unidade2_ConceitoDeFunção_ImportânciaNaMatemática

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O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática.
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A idéia de função…
Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles...
	que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.
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Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções:
O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida.
A altura de uma criança é função de sua idade;
O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade.
Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.
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O conceito de função na história...
René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar pontos e representar graficamente as equações.
Galileu Galilei (1564-1642), astrônomo e matemático italiano iniciou o método experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno.
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A função é um modo especial de relacionar grandezas.
Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que:
x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado.
a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B.
os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.
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Temos várias maneiras para representar a idéia de função.
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Representação gráfica
No dia-a-dia utilizamos esse tipo de representação em vários setores.
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Algumas funções especiais:
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A = {1, 2}; B = {2, 3, 4}
A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
A x B = { (x, y) | x  A e y  B}
Produto Cartesiano
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Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a 
qual cada elemento x em um conjunto A está 
associado a exatamente um elemento, chamado f(x), em um conjunto B.
Definição de função
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Não é função de A em B
É função de A em B
Definição de função através de conjuntos
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Não é função de A em B
É função de A em B
Noção de função através de conjuntos
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Im(f)
D(f) = A
CD(f) = B
Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem
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Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.
Teste da reta vertical
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D = {x  IR| –3  x  4 e x  1} e Im = {y  IR| –2 < y  3}
Domínio e imagem através do gráfico
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Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.
Interpretação geométrica das raízes de uma função
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FUNÇÃO INJETORA
	É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B.
0
-3
2
4
1
6
8
 Ou seja, “x” diferente 
tem “y” diferente !!!
A
B
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Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto.
Teste da reta horizontal para verificar se uma função é injetora
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FUNÇÃO SOBREJETORA
	É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. (Im = CD) 
-1
1
3
1
9
 
Se M é o conjunto das mulheres
 e H é o conjunto dos homens,
então não se pode ter homem
solteiro !!!
M
H
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FUNÇÃO BIJETORA
	É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.
-1
3
7
 Ou seja, homens 
e mulheres com os
 mesmos direitos !!
1
5
9
M
H
Injetora: “x” diferente 
tem “y” diferente 
 Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.
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Não é injetora.
É sobrejetora
É injetora.
Não é sobrejetora
Injeção, sobrejeção e bijeção
a)
b)
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É injetora
É sobrejetora
 É bijetora
Injeção, sobrejeção e bijeção
c)
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Testando seus conhecimentos
1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas:
é injetora
é sobrejetora
a)
b)
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é bijetora
não é sobrejetora, nem injetora
c)
d)
2) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas:
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3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8]  B, tal que f(x) = x² – 8x +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem.
D(f) = [2;8]
Im(f) = [-9;7]
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A função f é crescente 
A função f é crescente
A função g é decrescente
A função g é decrescente 
Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b).	
FUNÇÃO CRESCENTE:
Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).	
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	6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos
 onde a função é:
Decrescente:
]0, 4[
b) Crescente:
]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[
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Função crescente e Função decrescente
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Função crescente e Função decrescente
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Função crescente e Função decrescente
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GRÁFICO PARA x  0
GRÁFICO COMPLETO
Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
Função Par
f(x) = x4 – x2
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Função ímpar
Gráfico para x ³ 0
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Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.
Função ímpar
f(x) = x3 + x5
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FUNÇÃO PAR:
f(x) = f(-x)
Exemplo:
 f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4
FUNÇÃO ÍMPAR:
f(a) = - f(-a)
Exemplo: 
f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³
 Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y.
 Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.
y
x
f(x) = x²
y
x
f(x) = x³
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4) a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar:
 Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7
 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7
 Logo f(x) = 2x³ + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)
		ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)
b) Mostre que f(x) = 3x² é par:
Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3
Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3
 Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)
	ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3
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5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será:
Resposta: E
f(x) = f(-x)
Lembre-se:
Se
Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”.
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Sejam f e g duas funções quaisquer. 
Denomina-se função composta de g com f a função h definida por h(x) = g(f(x)).
Esquema para a composição de funções
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FUNÇÃO INVERSA
A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento:
1) Isola “x”;
2) Troca “x” por “y” e vice versa.
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O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função inversa de f”. 
FUNÇÃO INVERSA
O símbolo “–1” em f-1 não é um expoente; f-1(x) não significa 1/f(x).
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TESTE DA RETA HORIZONTAL
Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal.
EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa?
FUNÇÃO INVERSA
Conclusão: a função f(x) = x2 não tem inversa.
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Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).
Simetria das funções inversas