Resumo - Molas Helicoidais e Planas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
E L E M E N T O S D E M Á Q U I N A S I 
APOSTILA PARA O CURSO 
2o Semestre de 2001 
 
Molas Helicoidais e Planas 
 
A U T O R : 
PR O F . DR . AU T E L I A N O A N T U N E S D O S S A N T O S J Ú N I O R 
DE P A R T A M E N T O D E PR O J E T O M E C Â N I C O - FEM - UNICAMP 
 
 
 
Resumo: 
Essa apostila trata dos conceitos básicos para o projeto e análise de molas helicoidais 
e planas, conforme abordado na Disciplina EM 718 - Elementos de Máquinas I. 
Descreve as solicitações as quais as molas estão sujeitas, os fatores que devem ser 
levados em conta no projeto, os materiais mais utilizados, a influência do 
carregamento e os conceitos básicos para o seu emprego correto. Trata-se de um 
resumo, sendo necessária a consulta a textos especializados para aprofundamento. 
 1
1. Introdução 
Qualquer elemento mecânico, metálico ou não, pode ser considerado uma mola. Em última 
análise, todos têm alguma elasticidade e respondem elasticamente pelo menos num pequeno 
intervalo de solicitação. Essa resposta elástica depende do elemento e do material. Assim, uma 
alavanca é uma mola já que, quando fletida, responde elásticamente a solicitação, desde que 
nenhuma parte desta sofra deformação plástica. Mesmo quando parte do material sofre 
deformação plástica, ainda existe uma resistência a deformação que responde ao esforço 
aplicado, atuando contra esse. Molas de todos os tipos, respondendo mais ou menos, somente 
elásticas ou com esforços acima do limite de escoamento, podem ser construídas. O limite é a 
engenhosidade do projetista na solução de seu problema. 
Molas podem ter o formato de alavancas, mas as de uso mais comum na engenharia são as 
helicoidais, planas, prato e as de tensão constante. As primeiras são as mais utilizadas e podem 
ser vistas em torno do amortecedor de carros de passeio, em veículos ferroviários, nos suportes 
de máquinas ferramenta e em uma infinidade de outros lugares, nas mais diversas aplicações. 
Molas planas são utilizadas principalmente em veículos automotivos de carga, como carroceria 
de caminhões e camionetes. Molas prato (cônicas ou de Belleville) podem ser utilizadas para 
diferentes relações força deformação, dependendo da suas dimensões, e são úteis para aplicações 
especiais. Arruelas cônicas são uma variação desse tipo de mola. Molas de tensão constante são 
molas fabricadas como uma fita de aço levemente curvada, que é enrrolada em torno de um pino. 
Essas molas têm esse nome porque causam uma força constante durante todo o desenrolamento, 
isto é, tem uma constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação nula. 
Essa apostila vai tratar basicamente de molas helicoidais, embora alguma informação sobre 
o cálculo de tensões em molas planas também seja apresentada. Serão discutidas as molas 
helicoidais de compressão, de tração e de torção, com carregamento estático e dinâmico. Os 
exercícios relacionados a teoria exposta serão apresentados em sala de aula. 
 2
2. Torção em Barras 
A figura 1 mostra uma barra de torção, ou seja, uma barra entalhada nas extremidades de 
forma a transmitir esforço apenas de torção. O diâmetro da barra na região central é d. Se for 
aplicado um torque T a essa barra, a tensão de cisalhamento resultante pode ser calculada pela 
equação 1. 
 
 
 
 
 (1) 
 
Quando esse torque é aplicado, a deformação angular correspondente pode ser calculada 
pela equação 2. Segundo essa equação, a deformação será maior quanto maior for o 
comprimento da barra, ou seja, quanto menos rígido for o conjunto. Também será influenciada 
pelo módulo de eslaticidade transversal G e pelo momento polar de inécia J, além do próprio 
torque. 
 (2) 
 
Assim, se considerarmos a barra da figura 1 como uma mola, o seu coeficiente de mola 
torsional k, definido como a relação entre o esforço e a deformação correspondente, é: 
 
 (3) 
 
3.
.16.
d
T
J
rT
π
τ ==
Gd
LT
GJ
LT
..
..32
.
.
4π
θ ==
L
Gd
L
GJTk
.32
... 4π
θ
===
Figura 1 Barra de Torção 
 3
3. Esforços em Molas Helicoidais 
A figura 2.a mostra uma mola helicoidal de compressão. Nessa figura, uma força F é 
aplicada no sentido de fechar a mola de diâmetro médio D. O ângulo λ é chamado de ângulo de 
hélice e representa a inclinação das espiras da mola. Se cortarmos o fio dessa mola em qualquer 
ponto, os esforços para equilibrá-la serão uma força cortante, para que não haja movimento 
linear, e um torque, para que não haja rotação devida ao deslocamento de meio diâmetro D entre 
a força de atuação e a que a equilibra no fio. Estes esforços estão mostrados em na figura 2.b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma forma que na barra de torção, o torque na mola helicoidal torce o fio quando a 
carga é aplicada. Assim, para que haja deformação linear da mola, deve haver deformação 
angular do fio. 
 Interessante notar que as tensões causadas pelo cisalhamento devido à força cortante e 
pelo cisalhamento devido ao torque se somam na parte interna do fio da mola. Nessa região a 
tensão é máxima, enquanto que na região externa do fio é mínimo, já que as tensões atuam em 
sentidos diferentes. 
2.a 
2.b 
Figura 2 Mola Helicoidal solicitada à Compressão 
 4
As molas helicoidais de tração também sofrem os mesmos esforços. As tensões são 
maiores também na região interna do fio. Além disso, as molas de tração possuem gancho, o que 
pode levar a concentração de tensões devido à curvatura. 
A relação entre os diâmetros da mola (médio) e do fio é chamada de Índice de Mola C. 
Esse valor indica o quanto o fio deve ser curvado para formar o diâmetro médio D. Fios com 
menores índices de mola têm maiores curvaturas. A curvatura em uma mola é responsável pelo 
aumento das tensões originais. Os fios têm maior rigidez no lado interno do que no lado externo, 
já que o comprimento a ser torcido é menor internamente. O aumento da rigidez causa um 
aumento na tensão. A composição do aumento da rigidez com o fato de que as tensões devidas 
aos esforços se somam no lado interno dos fios é levada em conta através do fator de Wahl, 
nomeado a partir do pesquisador A.M. Wahl, da Whestinghouse Corporation. O fator de Wahl 
Kw é utilizado para solicitação variável. Para solicitação estática, o fator KS deve ser usado. Os 
fatores Kw e KS são apresentados nas equações 4 e 5, respectivamente. O desenvolvimento das 
expressões para esses fatores pode ser encontrado na referência citada ao final desta apostila. 
 
 (4) 
 
 (5) 
 
Pode-se notar que o fator KS é o fator Kw com o primeiro termo igual a um. Isso se dá 
porque o primeiro termo se refere à curvatura, ou seja, é um fator de concentração de tensões. 
Para a carga estática, a concentração de tensões não é considerada. 
O fator KS de Wahl leva em conta um coeficiente de segurança embutido de cerca de 23% 
sobre a carga estática. Para as aplicações usuais, o coeficiente de segurança é estimado apenas na 
CC
CKW
615,0
4.4
1.4
+
−
−
=
C
KS
615,01+=
 5
comparação final entre as tensões. Assim, é recomendável substituir o terrmo 0,615 por 0,5 na 
equação 5. O valor recomendado de KS é então: 
 
 (6) 
 
A tensão para carregamento estático pode ser calculada por: 
 
 (7) 
Para carregamento dinâmico a tensão é: 
 
 (8)
 As equações anteriores foram colocadas em funçào de C.K porque isso permite o cálculo 
sem a variável D, durante o projeto. Algumas vezes, quando não se definiu D inicialmente, podeser adequado utilizar essa forma. A figura 3 mostra os valores de Kw, KS, C.Kw e C.KS em 
função do índice de mola C. Nessa figura é mostrada a faixa de dimensões valores recomendados 
para C em molas de compressão com extremidades retificadas ou não, o que pode auxiliar no 
projeto. 
O valor da deflexão em uma mola helicoidal pode ser calculado a partir da método de 
Castigliano. O resultado para a deflexão δ de uma mola com N espiras ativa, sob ação de uma 
força F, é mostrado na equação 9. Como a constante de mola k é definida como o esforço F 
dividido pela a deflexão, o seu valor pode ser calculado conforme a equação 10. 
 
 (9) 
 
 (10) 
C
KS
5,01+=
SS KCd
FK
d
DF ..
.
.8.
.
..8
23 ππ
τ ==
ww KCd
FK
d
DF ..
.
.8.
.
..8
23 ππ
τ ==
Gd
NDF
.
...8
4
3
=δ
ND
dGk
..8
.
3
4
=
 6
 
4. Resistência de Molas Helicoidais 
A resistência dos fios de molas helicoidais depende do diâmetro do fio, devido ao processo 
de fabricação. Fios menores têm uma maior parte de sua seção transversal afetada pelo processo 
de estiramento, tornando-se mais resistentes. O apêndice 1 mostra o gráfico de resistência a 
tração (Su) dos materiais mais comuns em função do diâmetro do fio. 
Para evitar que a mola "assente", ou seja, diminua de tamanho em serviço devido a 
deformação plástica por carregamento excessivo, as molas são projetadas para que não haja 
escoamento significativo. Para tanto, estudos mostraram que a tensão limite em materiais 
ferrosos para que não haja uma deformação maior do que 2% é de 0,45.Su. Para outros materiais 
não ferrosos, o valor limite é de 0,35.Su. Essa tensão limite deve ser utilizada para comparar com 
Figura 3 Valores dos Fatores Kw e KS para molas helicoidais 
 7
a tensão que leva ao comprimento sólido (τS), que é o comprimento da mola com todas as 
espiras encostadas umas nas outras. 
Quando a mola sofre um pré-assentamento durante a sua fabricação, o efeito é uma tensão 
residual no sentido inverso da aplicação da carga. Essa tensão é benéfica para aplicação de 
solicitações posteriores no mesmo sentido. Para levar o pré-assentamento em conta, 
convencionou-se aumentar a tensão limite. Dessa forma, a tensão limite em materiais ferrosos é 
de 0,65.Su. Para outros materiais não ferrosos, o valor limite é de 0,55.Su. 
A fim de não permitir que as espiras se fechem totalmente sob carregamento em serviço, é 
recomendável deixar uma folga de cerca de 10% da deflexão máxima, que é a deflexão sob carga 
máxima. Assim, molas geralmente trabalham sem que as espiras encostem umas nas outras. Essa 
recomendação vem do fato de que, quando a mola se aproxima do comprimento sólido, algumas 
espiras vão se fechar primeiro, alterando o valor da constante de mola e modificando o 
comportamento da mola como um todo. 
4.1. Número de Espiras Efetivas e Comprimento Sólido 
O número total de espiras Nt é dado pela simples contagem do número de espiras. Como as 
espiras que estão em contato com os anteparos não colaboram na deformação da mola, o número 
efetivo de espiras ( N ) é obtido pela subtração dessa duas espiras do número total. Assim: 
 (11) 
O cálculo do comprimento sólido (LS) deve considerar a forma das extremidades da mola. 
Molas com extremidades retificadas em esquadro permitem o cálculo direto como o produto do 
número de espiras pelo diâmetro do fio. Para outras configurações, o comprimento sólido varia. 
A figura 4 mostra os principais formatos para as extremidades e o correspondente cálculo para o 
comprimento sólido 
 
2+= NNT
 8
 
 
 
 
 
 
4.2. Flambagem de Molas Solicitadas a Compressão 
Dependendo da relação entre o comprimento e o diâmetro médio, da mesma forma que no 
caso de colunas, molas a compressão podem falhar por flambagem. A figura 5 mostra um gráfico 
no qual são mostradas as regiões de estabilidade e instabilidade para as molas. As curvas A e B 
representam os casos onde a mola está totalmente presa nas extremidades ou está livre para 
deslocar-se transversalmente, respectivamente. Nos eixos mostrados estão plotadas as razões 
entre o comprimento livre Lf e o diâmetro médio D, e entre a deflexão máxima δ e o 
comprimento livre. Comprimento livre é o comprimento original da mola sem nenhuma carga. 
5. Molas Solicitadas à Tração 
Molas solicitadas a compressão necessitam de extremidades que permitam que a carga de 
compressão seja centrada no eixo principal da mola. Isso ocorre para que não surja um momento 
que facilitaria a flambagem. No caso de molas à tração, a transmissão da carga para a mola 
requer uma forma de acoplamento entre ambas. A forma mais simples é através de um gancho, 
feito com o próprio fio da mola, que fica nas extremidades da mola. A figura 6 mostra o arranjo 
em vista frontal e lateral. Nessas mesmas vistas é possível visualizar as tensões de flexão e 
cisalhamento geradas pela excentricidade da carga. Como os fios tem que ser conformados para 
Figura 4 Formato das Extremidades da Mola e Fórmula para Cálculo do Comprimento Sólido 
 9
a formação do gancho, surgem intensificadores em ambas as tensões. As equações para as 
tensões mostradas abaixo de cada uma das figuras mostra os intensificadores entre parenteses. O 
gancho é o principal local de falha em molas solicitada à tração. O dimensionamento das demais 
partes é similar ao visto para molas à compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 Gráfico para a Verificação da Propensão à Flambagem de Molas a Compressão 
Figura 6 Concentração de Tensões em Molas Helicoidais solicitadas à Tração 
 10
As molas à tração normalmente são construídas com um pré carregamento inicial que as 
mantém fechadas. Isso acontece para que seja necessário um esforço mínimo para abrí-las, já que 
não têm um limite máximo de força que pode ser aplicada, como nas molas sob compressão 
quando chegam ao comprimento sólido. 
6. Fadiga em Molas 
O cálculo de fadiga em molas leva em consideração o fato de que molas normalmente 
trabalham a tração ou a compressão, raramente com os dois tipos de solicitação. Assim, os 
diagramas de fadiga são baseados em tensão mínima e tensão máxima que a mola suporta, e não 
em tensão alternada e média como para fadiga em eixos. Isso se deve ao fato de que uma mola 
deve ser projetada para trabalhar entre um valor de carga mínimo e um máximo, permitindo mais 
facilmente o cálculo das tensões mínimas e máximas. 
A figura 7 mostra um gráfico padrão para a resistência à fadiga em molas. Esse gráfico foi 
derivado dos gráficos usuais e essa derivação foi apresentada em classe. O eixo horizontal 
mostra a tensão mínima e o eixo vertical a tensão máxima, ambas divididas pelo limite de 
resistência. A reta com inclinação unitária representa o caso de que a tensão mínima é igual a 
máxima, isto é, a tensão é constante. O valor máximo de 0,8.Su para a tensão de cisalhamento é 
coerente com o já visto na apostila de fadiga. 
A figura 8 mostra um diagrama tensão pelo número de ciclos (S-N) para o caso em que a 
tensão mínima é igual a zero. Nesse diagrama também são mostradas duas curvas de projeto, 
uma para material do fio jateado por granalhas e outro sem o jateamento. Pode-se notar que as 
curvas incluem um coeficiente de segurança de cerca de 1,5. 
A figura 9 mostra o diagrama real de uma mola utilizada para fechamento de válvulas. O 
gráfico tem a forma praticamente igual ao da figura 7, mas com valores reais. Também nesse 
caso são mostrados os dados para material jateado por granalhas e para material não jateado. 
Esse diagrama não está normalizadopelo limite de resistência à tração. 
 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Frequência Natural em Molas Helicoidais 
Molas com carregamento variável devem trabalhar longe de sua frequência natural. 
Quando uma mola é solicitada, a carga é inicialmente transferida para a primeira espira e esta 
começa a se deformar. Logo em seguida, a segunda espira começa a se deformar e assim por 
diante. Esse movimento não uniforme de movimento das espiras faz com que surjam outras 
frequências de vibração diferentes da frequência de solicitação. Estudos mostram que molas de 
Figura 7 Diagrama de Tensão Contante e Linhas de Goodman para Molas 
Figura 8 Diagrama de Tensão pelo Número de Ciclos (S-N) para Molas 
 12
válvula pode ter frequências de até 13 vezes a frequência de solicitação agindo na mola. Assim, 
para evitar o aumento descontrolado da amplitude do movimento, que aparece na frequência 
natural da mola, deve-se garantir que esta seja pelo menos 13 vezes a frequência de solicitação. 
A frequência natural da mola ( fn ) em Hz pode ser calculada pela equação seguinte, para d 
e D em milimetros: 
 
 (12) 
 
 
8. Molas Planas 
A figura 10 mostra três arranjos para vigas apoiadas na forma de molas planas. Para cada 
um desses arranjos, são mostrados o valor da tensão máxima e da deflexão quando a mola é 
solicitada por uma carga F. Pode-se notar que, não importa qual o arranjo adotado, a tensão vai 
ter sempre o mesmo valor e que a deflexão vai aumentar quando as molas são montadas em 
séria, conforme a figura da esquerda. 
 
2.
.353000
DN
dfn =
Figura 9 Diagrama de Tensão Constante Real para Molas de Válvula 
 13
Molas planas são baseadas em vigas de seção retangular e largura variável. A figura 11 
mostra uma viga de formato aleatório.A tensão em cada seção pode ser calculada pela equação 
13. 
 
 
 
 (13) 
 
 
Para manter a tensão constante ao longo de toda a viga, a relação entre w e x tem que ser 
constante. A figura 12 mostra uma solução para tensão constante. A figura 13.a mostra que, se 
cortarmos a viga em pedaços, o efeito de mola permanecerá o mesmo desde que consigamos 
distribuir o carregamento proporcionalmente a rigidez de cada pedaço. Isso pode ser feito 
apoiando um pedaço no outro, conforme a figura 13.b. Esse é o arranjo básico de molas planas 
Figura 10 Arranjos para molas planas 
2.
..6.
tw
xF
I
cM
==σ
Figura 11 Viga de Seção Variável 
 14
que, a menos da questão do atrito entre as faces das tiras, tem a mesma rigidez da viga original e 
a tensão constante ao longo de cada uma das partes. 
A constante de mola de vigas planas pode ser calculada pela equação 14. 
 
 (14) 
 
Figura 12 Viga com Tensão Constante 
Figura 13 Viga com Tensão Constante cortada em Tiras (a) que foram montadas na forma de 
molas planas (b) 
3
3
.6
..
L
hbEFk == δ
 15
9. Conclusão 
Esta é uma apostila resumida sobre molas helicoidais e planas. Como tal não tem a 
pretenção de servir de referência para estudos mais profundos, mas apenas para dar uma visão 
geral aos alunos da disciplina Elementos de Máquinas para que estes possam projetar esses tipos 
de molas. Obviamente, muitos fatores não foram abordados, como o amortecimento causado pela 
fricção em molas planas, a minimização das tensões no gancho das molas de tração, etc. 
Sugestões para melhoria, correções e sobre temas a serem incluídos serão muito bem vindas 
 
10. Referência Bibliográfica 
A maioria dos conceitos aqui descritos, bem como parte das figuras, foram extraídos do 
livro a seguir, embora estejam presentes na maioria dos textos de Elementos de Máquinas. 
 
JUVINALL, R. C. & MARSHEK, K. M. Fundamentals of Machine Component 
Design. Ed. John Wiley & Sons. New York, 1991. 2a ed. 
 
 
 
 
 
APENDICE 1 - RESISTÊNCIA EM FIOS DE MOLAS HELICOIDAIS 
 
A SEGUIR 
 
 
 
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