Limites de uma função

Prévia do material em texto

Aula 01
Limites, limites laterais, limites 
infinitos, assíntota vertical e 
propriedades do limite
Exemplo 3
Suponha uma placa de alumínio quadrada, 
que quando aquecida, expande 
uniformemente de acordo com a animação
a seguir .
Aquecedor 
Exemplo 3
x
  2A x x
Se é o comprimento do lado do quadrado,
logo a área da placa é calculada por
. 
x
  2A x x  A x
Evidentemente , quando mais o valor de 
se aproxima de mais o valor da área
se aproxima a , isto é,29,0m A x
x
3,0m
x 3,0m  A x 29,0m
Exemplo 3
Expressamos isto dizendo que quando se 
aproxima de , se aproxima de como
um limite. Simbolicamente escrevemos: 
3
x
2x 9
2
3
lim 9
x
x 
Exemplo 3
Onde a notação“ ” indica tende a e
“ ” significa o limite de. 
3x x 3
lim
??Questionamento??
Será que, à medida que se aproxima de
um número real , então fica
cada vez mais próxima de algum número 
real ?
x
p  x p  f x
L
fy
x
L 
p
x
 f x
Se a resposta for afirmativa, dizemos que
limite de ,quando tende para , é 
igual a . 
 f x x p
L
??Questionamento??
Se é uma função e é um ponto de 
acumulação do domínio da aplicação, 
entende-se a notação 
Limite de Função
f p
 lim
x p
f x L 
 f x Lx p
 f x x p
L  f x L
px
como o limite de quando tende é
, isto é, se aproxima do número
quando tende a , isto é, 
Limite de Funções
fy
x
L 
p
x
 f x
 lim
x p
f x L 
Limite de Funções
fy
x
L

p
x
 f x
 f p
 lim
x p
f x L 
fy
x
L

p
x
 f x
 f p
Olimitenãoexiste
 f x
f p
Limite de Funções
Investigação 
Qual o possível resultado para o seguinte
limite , sendo a função 
constante e um ponto qualquer do
domínio. 
 lim
x p
f x  f x K
p
Solução
Em primeiro lugar, vamos visualizar a
a representação geométrica do gráfico da 
função constante , supondo que o
valor de seja positivo.K
Representação Geométrica
f
y
xp
x
K
Conclusão
Observe que para todo valor de próximo
de , teremos . 
p
x
x
p  f x K
Sendo assim podemos concluir que 
 lim lim
x p x p
f x K K  
Formalizando
Se é uma função constante
definida por , então
para todo . 
 lim
x p
f x K 
 f x K
:f  
p
Investigação 
Qual o possível resultado para o seguinte
limite , sendo a função 
identidade e um ponto qualquer do seu
domínio. 
 lim
x p
f x  f x x
p
Solução
Em primeiro lugar, vamos a visualizar a
representação geométrica do gráfico
da função identidade.
Idéia da Representação 
Geométrica 
fy
x
 f p p 
p
x
 f x
   x p f x f p  
x
 f x
   x p f x f p  
Formalizando
Se é a função identidade
, então
para todo . 
   lim
x p
f x f p p  
 f x x
:f  
p
Atividade
Considere tal que .
Determine . 
:f     2 6f x x 
 
1
lim
x
f x
No processo investigativo vamos construir
uma tabela com valores menores e maiores
que . 1p 
Tabela
x   2 6f x x 
1
0,9
0,99
0,999
0,9999
1,0001
1,001
1,01
1,1
7,8
7,98
7,998
7,9998
8,0002
8,002
8,02
8,2
1
1
8
   
1 1
lim lim 2 6 8
x x
f x x   
f
y
x

x
 f x
6
2
10
1
8 
Representação Geométrica 
   
1 1
lim lim 2 6 8
x x
f x x   
Formalizando
Se definida por é a 
função polinomial do 1º grau, então
para todo sendo e . 
   lim
x p
f x f p ap b   
 f x ax b :f  
p a  b
f
y
x

x
 f x
b 
0x
 0f x
p
ap b 
Representação Geométrica 
 lim
x p
ax b ap b   
Limite da Função Polinomial 
Se definida por 
é a função polinomial de grau n, então
para todo sendo para todo 
    0
1
lim
n
k
kx p k
f x f p a a p 
  
  20 1 2 nnf x a a x a x a x    
:f  
p ia 
0,1,...,i n e 0.na 
Exemplos
 
0
1) lim 4 3 4.0 3 3
x
x     
 2 2
1
2) lim 3 1 1 3 5
x
x x      
     3 23 2
1
3) lim 3 1 1 3 1 1 3 3
x
x x            
 4 2 4 2
0
4) lim 3 0 0 3 3
x
x x      
y
0
Limite no Infinito
  1 ,f x x
x
  
x
0x 
0x 
x
 f x
x
1
0
x

 f x
y
0
Limite no Infinito 
  1 ,f x x
x
  
x
0x 
0x 
x x
1
0
x

y
0
Limite Infinito
  1 ,f x x
x
  
x
0x 
0x 
x
 f x
0x 
1
x

y
0
Limite Infinito
  1 ,f x x
x
  
x
0x 
0x 
x
 f x
0x 
1
x

Limite Infinito
  ,f x x x y
0 x
a
a
x
 f x
x
 f x 

Limite Infinito
  ,f x x x y
0 x
a
a
x
 f x
x
 f x 

Formalizando
Se definida por , então: 
 ) lim 0
x
i f x 
  1f x
x
:f   
 ) lim 0
x
ii f x 
 
0
) lim
x
iii f x  
 
0
) lim
x
iv f x  
Formalizando
) lim ,n
x
i x n     
) lim , 2 ,comn
x
ii x n p p      
) lim , 2 1,comn
x
iii x n p p       
1
) lim 0,nx
iv n
x

   
1
) lim 0,nx
v n
x

    
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
 21) lim 1
x
x    22) lim 3x x x   
 33) lim 2
x
x x   
4
4) lim
2x x 
   
2
3
3
5) lim
2 2x
x x
x x 
     
4
2
3
6) lim
2x
x x
x x 
     
4
4 2
3
7) lim
2x
x x
x x 
     
4 2
4 2
3
8) lim
2x
x x
x x 
     
Atividade
Determine caso exista os limites abaixo:
3
2
1) lim
3x x
    3
2
2) lim
3x x
   
3
2
3) lim
3x x
    24
4
4) lim
16x
x
x
   
24
4
6) lim
16x
x
x
   24
4
5) lim
16x
x
x
   
Obrigado!
Aula disponível em
http://200.129.163.52/moodle/
disney@ufam.edu.br