Resumo para primeira prova de Ciência de Materiais 1

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Efeito fotoele´trico Quando a luz incide sobre uma superf´ıcie meta´lica, alguns ele´trons pro´ximos a` superf´ıcie absorvem energia
suficientepara superar a forc¸a que os mante´m na superf´ıcie, em virtude da atrac¸a˜o dos ı´ons positivos do metal, e escapam para o
espac¸o das vizinhanc¸as. Uma investigac¸a˜o detalhada desse efeito revelou caracter´ısticas que desafiavam a o´tica cla´ssica.
O efeito fotoele´trico consiste na emissa˜o de ele´tronsque ocorre quando a luz incide sobre uma superf´ıcie. Os ele´trons absorvem
energia da radiac¸a˜o incidente e, portanto, podem superar a atrac¸a˜o das cargas positivas e ser libertados da superf´ıcie.
Frequeˆncia de corte e potencial de corte - A quantidade mı´nima de energia necessa´ria que um ele´tron precisa absorver para
escapar de uma dada superf´ıcie e´ chamada de func¸a˜o trabalho dessa superf´ıcie, designada por φ. Contudo, as superf´ıcies usadas
por Hertz na˜o estavam na temperatura necessa´ria para que houvesse emissa˜o termoioˆnica.
Depois da descoberta do ele´tron, em 1897, tornou-se claro que a luz fazia com que ele´trons fossem emitidos do catodo. Por causa de
suas cargas negativas −e, os fotoele´trons sa˜o a seguir empurrados pelo campo ele´trico para o anodo. E´ necessa´rio criar um va´cuo
elevado ou uma pressa˜o residual de 0, 01Pa(10−7atm), ou menor, para minimizar as coliso˜es dos ele´trons com as mole´culas gasosas.
Hallwachs e Lenard verificaram que, quando a luz monocroma´tica incide sobre o catodo, nenhum ele´tron e´ emitido se a frequeˆncia
da luz incidente e´ menor do que a chamada frequeˆncia de corte. Essa frequeˆncia mı´nima, abaixo da qual na˜o ocorre emissa˜o de
ele´trons, e´ uma caracter´ıstica do material do catodo. Para a maioria dos metais, a frequeˆncia de corte esta´ na regia˜o do ultravioleta
(que corresponde a comprimentos de onda entre 200 nm e 300 nm); pore´m, para o´xidos de pota´ssio e de ce´sio ela esta´ na regia˜o do
vis´ıvel do espectro (λ entre 400 nm e 700 nm).
Podemos determinar a energia cine´tica ma´xima dos ele´trons emitidos ajustando o potencial no anodo em relac¸a˜o ao catodo, VAC ,
de modo que seu valor negativo seja suficiente para fazer a corrente se anular. Isso ocorre quando VAC = −V0, em que V0 e´ o
chamado potencial de corte. A` medida que o ele´tron se desloca do catodo para o anodo, o potencial diminui de V0 e o trabalho
−eV0 e´ realizado sobre o ele´tron (com carga negativa); os ele´trons com velocidade ma´xima deixam o catodo com energia cine´tica
Kmax =
1
2
mv2max e possuem energia cine´tica igual a zero no anodo. Usando o teorema do trabalho-energia, obtemos
Wtotal = −eV0 = ∆K = 0−Kmax
Kmax =
1
2
mv2max = eV0 (energia cine´tica ma´xima dos fotoele´trons)
A intensidade de uma onda eletromagne´tica tal como a luz na˜o depende da frequeˆncia e, portanto, um ele´tron deveria poder atingir
a energia necessa´ria para escapar da superf´ıcie a partir de uma luz de qualque frequeˆncia. Logo, na˜o deveria existir uma frequeˆncia
de corte f0. Finalmente, seria de se esperar que os ele´trons levassem um longo intervalo de tempo para atingir a energia necessa´ria
a partir de um feixe fraco de luz. Mas as experieˆncias tambe´m mostram que os ele´trons sa˜o emitidos instantaneamente apo´s a
incideˆncia na superf´ıcie de qualquer luz com f ≥ f0.
Einstein postulou que um feixe de luz era constitu´ıdo por pequenos pacotes de energia, chamados fo´tons ou quanta. A energia
E de um fo´ton e´ igual a uma constante h vezes a frequeˆncia f . De acordo com a relac¸a˜o f = c/λ para ondas eletromagne´ticas no
va´cuo, temos
E = hf =
hc
λ
(energia de um fo´ton)
em que h e´ uma constante universal chamada de constante de Planck. O valor nume´rico dessa constante, com a precisa˜o
conhecida ate´ hoje, e´
h = 6, 6260693× 10−34J · s
Quando essa energia e´ maior do que a func¸a˜o trabalho φ, o ele´tron pode escapar da superf´ıcie.
Lembre-se de que φ e´ a energia mı´nima necessa´ria para remover um ele´tron da superf´ıcie. Enta˜o Einstein aplicou a lei da conservac¸a˜o
de energia e mostrou que a energia cine´tica ma´xima Kmax =
1
2
mv2max de um ele´tron emitido e´ dada pela diferenc¸a entre a func¸a˜o
trabalho φ e a energia hf que o ele´tron ganhou do fo´ton:
Kmax =
1
2
mv2max = hf − φ
Substituindo Kmax = eV0 na relac¸a˜o anterior, obtemos
eV0 = hf − φ (efeito fotoele´trico)
1
A func¸a˜o trabalho e as energias dos ele´trons sa˜o geralmente expressas em ele´trons-volt (eV ). Com dois algarismos significativos,
temos
1eV = 1, 602× 10−19J
Com essa mesma precisa˜o, a constante de Planck e´ dada por
h = 6, 626× 10−34J · s = 4, 136× 10−15eV · s
Quanto maior for a func¸a˜o trabalho, maior devera´ ser a frequeˆncia mı´nima necessa´ria para e emissa˜o de fotoele´trons.
Momento linear do fo´ton - Um fo´ton com energia E possui momento linear com mo´dulo p obtido da relac¸a˜o E = pc. Logo, o
comprimento de onda λ e o mo´dulo p de seu momento linear sa˜o relacionados por
p =
E
c
=
hf
c
=
h
λ
(momento linear de um fo´ton)
A direc¸a˜o e o sentido do momento linear do fo´ton sa˜o simplesmente a direc¸a˜o e o sentido da propagac¸a˜o da onda eletromagne´tica.
W = J/s
Emissa˜o de fo´tons por a´tomos - Cada a´tomo possui um conjunto poss´ıvel de n´ıveis de energia. Um a´tomo pode apresentar
qualquer quantidade de energia pertencentes a esses n´ıveis de energia, pore´m ele na˜o pode ter nenhuma energia com valor inter-
media´rio entre dois n´ıveis de energia consecutivos.
De acordo com Bohr, um a´tomo pode fazer uma transic¸a˜o de um n´ıvel de energia para outro n´ıvel mais baixo, emitindo um fo´ton
com energia igual a` diferenc¸a de energia entre o n´ıvel inicial e o n´ıvel final. Sendo Ei a energia inicial do a´tomo antes da transic¸a˜o,
Ef e´ sua energia final depois da transic¸a˜o e a energia do fo´ton e´ dada por hf = hc/λ, e enta˜o a lei da conservac¸a˜o da energia
fornece
hf =
hc
λ
= Ei − Ef (energia do fo´ton emitido)
O espectro do a´tomo de hidrogeˆnio - Podemos escrever a se´rie de Balmer na forma
1
λ
= R
(
1
22
− 1
n2
)
em que λ e´ o comprimento de onda, R e´ uma constante chamada de constante de Rydberg e n pode ter os valores inteiros
3, 4, 5, · · · . Quando λ e´ dado em metros, o valor nume´rico de R e´ dado por
R = 1, 097× 107m−1
A se´rie de Balmer possui relac¸a˜o direta com a hipo´tese de Bohr sobre n´ıveis de energia. Usando a relac¸a˜o E = hc/λ, e´ poss´ıvel
determinar as energias dos fo´tons correspondentes aos comprimentos de onda da se´rie de Balmer. Multiplicando por hc, encontramos
E =
hc
λ
= hcR
(
1
22
− 1
n2
)
=
hcR
22
− hcR
n2
A se´rie de Balmer sugere que o a´tomo de hidrogeˆnio possui uma se´rie de n´ıveis de energia que chamaremos de En, dada por
En = −hcR
n2
(n = 1, 2, 3, 4, · · · ) (n´ıveis de energia do a´tomo de hidrogeˆnio)
Se´rie de Lyman
1
λ
= R
(
1
12
− 1
n2
)
(n = 2, 3, 4, · · · )
Se´rie de Paschen
1
λ
= R
(
1
32
− 1
n2
)
(n = 4, 5, 6, · · · )
Se´rie de Brackett
1
λ
= R
(
1
42
− 1
n2
)
(n = 5, 6, 7, · · · )
Se´rie de Pfund
1
λ
= R
(
1
52
− 1
n2
)
(n = 6, 7, 8, · · · )
2
A se´rie de Lyman esta´ contida na regia˜o ultravioleta, enquanto as se´ries de Paschen, Brackett e Pfund esta˜o na regia˜o infravermelha.
Vemos que a se´rie de Balmer esta´ compreendida na regia˜o entre as se´ries de Lyman e de Paschen.
Energia potencial - U2 =
1
4pi�0
qq0
r
.
Modelo de Bohr - O mo´dulo do momento angular e´ L = mvr para uma part´ıcula com massa m se deslocando com velocidade
angular v ao longo de uma circunfereˆncia de raio r (logo, com φ = 90o). Portanto, o argumento de Bohr leva ao resultado
L = mvr = n
h
2pi
em que n = 1, 2, 3, · · · . Cada valor de n corresponde a um valor permitido para o raio dao´rbita, que daqui por diante sera´ designado
por rn, e a um valor correspondente da velocidade vn. O valor de n para cada o´rbita e´ chamado de nu´mero quaˆntico principal
para a referida o´rbita. Com essa notac¸a˜o, a equac¸a˜o anterior pode ser escrita na forma
Ln = mvnrn = n
h
2pi
(quantizac¸a˜o do momento angular)
De acordo com a lei de Coulomb,
F =
1
4pi�0
e2
r2n
portanto, a segunda lei de Newton afirma que
1
4pi�0
e2
r2n
=
mv2n
rn
Explicitando rn e vn das equac¸o˜es obtemos
rn = �0
n2h2
pime2
(raios orbitais no modelo de Bohr)
vn =
1
�0
e2
2nh
(velocidades orbitais no modelo de Bohr)
a0 = �0
h2
pime2
(raio de Bohr)�0 = 8, 854× 10−12C2/N ·m2
rn = n
2a0 a0 = 5, 29× 10−11m
Nı´veis de energia do hidrogeˆnio no modelo de Bohr - Podemos usar as equac¸o˜es para calcular a energia cine´tica Kn e a
energia potencial Un quando o ele´tron descreve uma o´rbita com nu´mero quaˆntico n:
Kn =
1
2
mv2n =
1
�20
me4
8n2h2
Un = − 1
4pi�0
e2
rn
= − 1
�20
me4
4n2h2
A energia total En e´ a soma da energia cine´tica mais a energia potencial:
En = Kn + Un = − 1
�20
me4
8n2h2
Comparando a expressa˜o para En, vemos que eles concordam apenas se os coeficientes forem iguais:
hcR =
1
�20
me4
8h2
ou R =
me4
8�20h
3c
Podemos tratar esse movimento de modo bem simples usando as equac¸o˜es de Bohr na˜o para a massa de repouso m do ele´tron, mas
sim para uma grandeza chamada de massa reduzida mr do sistema. Para um sistema de dois corpos com massas m1 e m2, a
massa reduzida e´ definida por
mr =
m1m2
m1 +m2
Emissa˜o estimulada e espontaˆnea - Essa func¸a˜o nos diz que, quando um ga´s esta´ em equil´ıbrio a uma temperatura absoluta
T , o nu´mero ni de a´tomos em um estado com energia Ei e´ igual a Ae
−Ei/kT , em que k e´ a constante de Boltzmann e A e´ outra
constante determinada pelo nu´mero total de a´tomos no ga´s. Por causa do sinal negativo na func¸a˜o exponencial, poucos a´tomos
3
ocupam estados de energia mais elevados, como era de se esperar. Designando por Eg a energia do estado fundamental e por Eex
a energia de um estado excitado, enta˜o a raza˜o entre os nu´meros de a´tomos dos dois estados e´ dada por
nex
ng
=
Ae−Eex/kT
Ae−Eg/kT
= e−(Eex−Eg)/kT
Dois processos distintos esta˜o envolvidos na emissa˜o de raios X. No primeiro, alguns ele´trons sa˜o freados ou param pela ac¸a˜o do
alvo e uma parte ou a totalidade da energia cine´tica do ele´tron e´ convertida diretamente em um espectro cont´ınuo de fo´tons,
inclusive os raios X. Esse processo e´ chamado de bremsstrahlung (palavra alema˜ que significa ’freio da radiac¸a˜o’). A f´ısica cla´ssica
e´ totalmente incapaz de explicar por que na emissa˜o de raios X no processo de bremsstrahlung existe uma frequeˆncia ma´xima fmax
e um correspondente comprimento de onda λmin mı´nimo, e muito menos pode prever esses valores. Mas com a mecaˆnica quaˆntica
e´ fa´cil. Um ele´tron possui carga −e e ganha uma energia cine´tica eVAC quando acelerado atrave´s de uma diferenc¸a de potencial
VAC . O fo´ton mais energe´tico (maior frequeˆncia e menor comprimento de onda) e´ produzido quando toda a energia cine´tica do
ele´tron e´ usada para produzir um fo´ton, ou seja,
eVAC = hfmax =
hc
λmin
(limites do bremsstrahlung)
Note que a frequeˆncia ma´xima e o comprimento de onda mı´nimo no processo de bremsstrahlung na˜o dependem do material do alvo.
Espalhamento Compton - Especificamente, se a radiac¸a˜o espalhada emerge formando um aˆngulo φ com a direc¸a˜o da radiac¸a˜o
incidente, sendo λ o comprimento de onda da radiac¸a˜o incidente e λ′ o comprimento de onda da radiac¸a˜o espalhada, verificamos
que
λ′ − λ = h
mc
(1− cosφ) (espalhamento Compton)
em que m e´ a massa de repouso do ele´tron. A grandeza h/mc tem a dimensa˜o de comprimento. Seu valor nume´rico e´
h
mc
=
6, 626× 10−34J · s
(9, 109× 10−31kg)(2, 998× 108m/s) = 2, 426× 10
−12m
O fo´ton incidente possui momento linear ~p, com mo´dulo p, e energia pc. O fo´ton espalhado possui momento linear ~p′, com mo´dulo
p′, e energia p′c. O ele´tron esta´ inicialmente em repouso, de modo que seu momento linear inicial e´ igual a zero e sua energia
inicial e´ sua energia de repouso mc2. O momento linear final do ele´tron ~Pe possui mo´dulo Pe e a energia final do ele´tron e´ dada
por E2e = (mc
2)2 + (Pec)
2. Enta˜o, o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia permite escrever
pc+mc2 = p′c+ Ee
Rearranjando, encontramos
(pc− p′c+mc2)2 = E2e = (mc2)2 + (Pec)2
Podemos eliminar o mo´dulo do momento linear ~Pe do ele´tron usando a lei da conservac¸a˜o do momento linear
~p = ~p′ + ~Pe ou ~Pe = ~p− ~p′
Fazendo o produto escalar
P 2e = p
2 + p′2 − 2pp′ cosφ
Substitu´ımos a expressa˜o de P 2e e desenvolvemos o quadrado do lado esquerdo. Colocando em evideˆncia o fator comum c
2, diversos
termos se cancelam e, quando a relac¸a˜o resultante e´ dividida por (pp′), encontramos
mc
p′
− mc
p
= 1− cosφ
Finalmente, substituindo p′ = h/λ′, p = h/λ e, a seguir, multiplicando por h/mc, obtemos a equac¸a˜o do espalhamento Compton.
Espectro cont´ınuo - Essa intensidade total I emitida a uma temperatura absoluta T e´ dada pela lei de Stefan-Boltzmann:
I = σT 4 (lei de Stefan-Boltzmann para um corpo negro)
4
em que σ e´ uma constante f´ısica fundamental chamada de constante de Stefan-Boltzmann. Em unidades do SI.
σ = 5, 670400× 10−8 W
m2 ·K4
Em segundo lugar, verificamos que a intensidade na˜o e´ distribu´ıda uniformemente ao longo de todos os comprimentosde onda. Sua
distribuic¸a˜o pode ser medida e descrita por uma intensidade por intervalos de comprimento de onda I(λ), chamada de emitaˆncia
espectral. Logo, I(λ)dλ corresponde a intensidades compreendidas no intervalo entre λ e λ+ dλ. A intensidade total I, dada pela
equac¸a˜o, e´ a integral da func¸a˜o distribuic¸a˜o I(λ) sobre todos os comprimentos de onda, que e´ igual a` a´rea sob a curva de I(λ) por
λ:
I =
∫ ∞
0
I(λ)dλ
Embora o s´ımbolo I(λ) seja usado para a emitaˆncia espectral, lembre-se de que a emitaˆncia espectral na˜o e´ a mesma coisa que a
intensidade I. A intensidade e´ a poteˆncia por unidade de a´rea, com unidades W/m2; a emitaˆncia espectral e´ a poteˆncia por unidade
de a´rea por unidade de intervalo de comprimento de onda, com unidades W/m3.
Cada uma delas possui um comprimento de onda de pico λm, no qual a intensidade por intervalo de comprimento de onda atinge
um valor ma´ximo. As experieˆncias mostram que λm e´ inversamente proporcional a T , de modo que o produto dessas grandezas
permanece constante. Esse resultado e´ chamado de lei de deslocamento de Wien. O valor experimental dessa constante e´
2, 9× 10−3m ·K:
λmT = 2, 9× 10−3m ·K (lei do deslocamento de Wien)
Cata´strofe do ultravioleta - Rayleigh calculou a distribuic¸a˜o de intensidades I(λ) da radiac¸a˜o emitida por um pequeno buraco
na caixa e obteve o seguinte resultado, bastante simples:
I(λ) =
2pickT
λ4
Em comprimentos de onda muito elevados, a fo´rmula anterior concorda muito bem com os resultados experimentais. Entretanto,
esses resultados na˜o concordam de forma alguma com a previsa˜o da fo´rmula para comprimentos de ondas pequenos. A curva
experimental tende a zero quando λ torna-se cada vez menor, pore´m a fo´rmula de Rayleigh indica um comportamento oposto,
tendendo ao infinito para valores pequenos de λ por causa da frac¸a˜o 1/λ4; esse resultado passou a ser chamado de ’cata´strofe do
ultravioleta’ na e´poca de Rayleigh. Um resultado ainda pior e´ que a integral tomada sobre todos os valores λ e´ infinita, indicando
que a intensidade total irradiada e´ infinitamente grande. Claramente, existe algum erro.
Finalmente, em 1900, Planck desenvolveu uma fo´rmula, hoje chamada de lei da radiac¸a˜o de Planck,cujos resultados sa˜o bastante
compat´ıveis com as curvas experimentais da distribuic¸a˜o de intensidades. Em sua deduc¸a˜o, ele usou uma fo´rmula que na e´poca
parecia ser uma hipo´tese descabida. Planck supoˆs que os osciladores eletromagne´ticos (ele´trons) nas paredes da caixa de Rayleigh,
vibrando com uma frequeˆncia f , poderiam possuir somente certos valores da energia iguais nhf , em que n = 0, 1, 2, 3, · · · e h
era uma constante que hoje recebe o nome de Planck. Esses osciladores estavam em equil´ıbrio com as ondas eletromagne´ticas no
interior da caixa. Sua hipo´tese imaginava n´ıveis de energia quantizados e batia de frente com o ponto de vista de Rayleigh, segundo
o qual cada modo normal poderia assumir qualquer quantidade de energia.
Cinco anos mais tarde, Einstein identificou a energia hf entre n´ıveis de energia como sendo a energia de um fo´ton para explicar o
efeito fotoele´trico.
I(λ) =
2pihc2
λ5(ehc/λkT − 1) (lei da radiac¸a˜o de Planck)
em que h e´ a constante de Planck, c e´ a velocidade da luz, k e´ a constante de Boltzmann, T e´ a temperatura absoluta e λ e´ o
comprimento de onda.
A lei da radiac¸a˜o de Planck tambe´m permite se chegar a` lei do deslocamento de Wien e a` lei de Stefan-Boltzmann como con-
sequeˆncias. Para deduzir a lei do deslocamento de Wien, derivamos a equac¸a˜o anterior e igualamos o resultado a zero para obter o
valor de λ para o qual I(λ) e´ ma´ximo. O resultado e´
λm =
hc
4, 965kT
(∗∗)
5
Para obter o resultado anterior, devemos resolver a equac¸a˜o
5− x = 5e−x
Podemos chegar a` lei de Stefan-Boltzmann para um corpo negro integrando a equac¸a˜o da radiac¸a˜o sobre todos os valores de λ para
determinar a intensidade total irradiada.
I =
∫ ∞
0
I(λ)dλ =
2pi5k4
15c2h3
T 4 = σT 4
O resultado anterior tambe´m mostra que a constante σ daquela lei pode ser expressa como uma combinac¸a˜o de outras constantes
fundamentais:
σ =
2pi5k4
15c2h3
A forma geral da equac¸a˜o(**) e´ a que dever´ıamos esperar pela teoria cine´tica, considerando a energia t´ıpica dos fo´tons da ordem
de kT , conforme o teorema da equipartic¸a˜o da energia sugere; enta˜o para um fo´ton t´ıpico espera-se que
E ≈ kT ≈ hc
λ
e λ ≈ hc
kT
Se uma part´ıcula se comporta como onda, ela deve ter um comprimento de onda e uma frequeˆncia. De Broglie postulou que uma
part´ıcula livre com massa de repouso m, deslocando-se com velocidade na˜o-relativ´ıstica v, deve ter um comprimento de onda λ
associado a seu momento linear p = mv do mesmo modo que um fo´ton, como expresso λ = h/p. O comprimento de onda de
De Broglie de uma part´ıcula e´ enta˜o
λ =
h
p
=
h
mv
(+∗) (comprimento de onda de De Broglie de uma part´ıcula)
onde h e´ a constante de Planck. Se a velocidade da part´ıcula e´ uma frac¸a˜o considera´vel da velocidade da luz c, devemos usar
uma equac¸a˜o para substituir mv na Equac¸a˜o, com γmv = mv/
√
1− v2/c2. A frequeˆncia f , de acordo com De Broglie, e´ tambe´m
relacionado com a energia da part´ıcula E da mesma forma que ocorre com um fo´ton, ou seja,
E = hf
Portanto, a relac¸a˜o entre comprimento de onda e momento linear e a relac¸a˜o entre frequeˆncia e energia, de acordo com De Broglie,
sa˜o exatamente as mesmas tanto para part´ıculas quanto para ondas.
Modelo de Bohr e ondas de De Broglie - De acordo com a relac¸a˜o proposta por De Broglie, o comprimento de onda λ de uma
part´ıcula com massa m, movendo-se com velocidade na˜o-relativ´ıstica v, e´ λ = h/mv. Combinando-se 2pir = nλ com λ = h/mv,
obtemos 2pir = nh/mv, ou seja,
mvr = n
h
2pi
k = 1, 3806505× 10−23J/K (constante de Boltzmann)
Natureza ondulato´ria dos ele´trons - Essas linhas se comportam como uma rede de difrac¸a˜o; os a˜ngulos em que ocorre forte
reflexa˜o sa˜o os mesmos que os obtidos no caso de uma rede de difrac¸a˜o com uma distaˆncia d entre duas fendas consecutivas. De
acordo com a equac¸a˜o, os aˆngulos em que ocorre reflexa˜o ma´xima sa˜o dados por
dsen θ = mλ (m = 1, 2, 3, · · · )
onde θ e´ o aˆngulo indicado na figura. Verificou-se que os valores observados concordavam com os previstos pela equac¸a˜o anterior,
usando o comprimento de onda de De Broglie. Portanto, a descoberta acidental da difrac¸a˜o de ele´trons foi a primeira evideˆncia
experimental direta a confirmar a hipo´tese feita por De Broglie.
O comprimento de onda proposto por De Broglie para uma part´ıcula na˜o-relativ´ıstica e´ λ = h/p = h/mv. Podemos tambe´m
expressar λ em termos da energia cine´tica da part´ıcula. Por exemplo, considere um ele´tron acelerado do repouso em um ponto a
ate´ um ponto b por um aumento de potencial Vb − Va = Vba. A variac¸a˜o da energia cine´tica K e´ igual ao trabalho realizado sobre
o ele´tron eVba. Usando K = p
2/2m, obtemos
eVba =
p2
2m
p =
√
2meVba
6
e o comprimento de onda de De Broglie do ele´tron e´ dado por
λ =
h
p
=
h√
2meVba
(comprimento de onda de De Broglie)
Probabilidade e incerteza - O aˆngulo da fronteira entre o ma´ximo central e o primeiro mı´nimo sera´ designado por θ1. Usando
a equac¸a˜o com m = 1, verificamos que θ1 e´ dado por sen θ1 = λ/a. Uma vez que supomos λ << a, conclu´ımos que θ1 e´ muito
pequeno e sen θ1 e´ aproximadamente igual a θ1 (em radianos), e
θ1 =
λ
a
Um ele´tron que atinge a borda externa do ma´ximo central, formando um a˜ngulo igual θ1, deve possuir um componente do momento
linear py na direc¸a˜o y, bem como um componente px na direc¸a˜o x, embora no estado inicial todos os ele´trons possuam somente
momento linear na direc¸a˜o x. De acordo com a geometria da situac¸a˜o, os dois componentessa˜o relacionados por py/px = tg θ1.
Como θ1 e´ muito pequeno, usamos tg θ1 = θ1, e
py = pxθ1
Combinando essa equac¸a˜o com a anterior, θ1 =
λ
a
, obtemos
py = px
λ
a
Contudo, a simetria da situac¸a˜o mostra que o valor me´dio deve ser (py)med = 0. Devera´ existir uma incerteza ∆py no componente
y do momento linear no mı´nimo igual a pxλ/a, ou seja,
∆py ≥ pxλ
a
Quanto menor for a largura a da fenda, mais larga sera´ a figura de difrac¸a˜o e maior a incerteza no valor do componente y do
momento linear py.
O comprimento de onda λ do ele´tron esta´ relacionado com seu momento linear px = mvx por meio da fo´rmula proposta por De
Broglie, que pode ser escrito na forma λ = h/px. Usando esse resultado na equac¸a˜o anterior, obtemos
∆py ≥ px h
pxa
=
h
a
∆pya ≥ h
Princ´ıpio da incerteza - Quando a coordenada x apresenta uma incerteza ∆x e o momento linear correspondente px apresenta
uma incerteza ∆px, enta˜o os desvios-padra˜o associados com as incertezas sa˜o relacionados de forma geral por meio da desigualdade
∆x∆px ≥ ~ (princ´ıpio da incerteza de Heisenberg para a posic¸a˜o e o momento linear)
Nessa expressa˜o, a grandeza h e´ a constante de Planck dividida por 2pi:
~ =
h
2pi
= 1, 05457168× 10−34J · s
Usaremos essa grandeza frequentemente para evitar escrever demasiados fatores 2pi nas equac¸o˜es que utilizaremos daqui para frente.
Na˜o existe nada de especial com o eixo x. Em treˆs dimenso˜es, com coordenadas (x, y, z), existe uma relac¸a˜o de incerteza para cada
coordenada e seu respectivo componente do momento linear: ∆x∆px ≥ ~,∆y∆py ≥ ~ e ∆z∆pz ≥ ~. Contudo, a incerteza de outro
componente do momento linear. Por exemplo, na˜o existe nenhuma relac¸a˜o direta entre ∆x e ∆py.
Para uma part´ıcula se deslocando ao longo de uma circunfereˆncia, podemos substituir x na equac¸a˜o por r, obtendo ∆r∆pr ≥ ~.
Incerteza na energia - Existe tambe´m um princ´ıpio da incerteza para a energia. Verifica-se que a energia de um sistema tambe´m
possui incertezas. A incerteza ∆E depende do intervalo de ∆t durante o qual o sistema permanece em um dado estado. A relac¸a˜o
e´
∆E∆t ≥ ~ (princ´ıpio da incerteza de Heisenberg para a energia e o intervalo de tempo)Um sistema que permanece em um estado metaesta´vel durante um tempo muito longo (∆t muito grande) pode apresentar um
estado de energia muito bem definido (∆E muito pequeno); contudo, quando ele permanece em um estado durante somente um
intervalo de tempo curto (∆t muito pequeno), a incerteza na energia e´ correspondentemente maior (∆E muito grande).
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