Teleinformática e Redes 1 - Comunicação de Dados e Representação de Sinais Analógicos e Digitais

Prévia do material em texto

Teleinformática e 
Redes I 
Comunicação de Dados e 
Representação de Sinais 
Analógicos e Digitais 
Aula 03 
 Profa. Priscila Solís Barreto 
 
Bits, números e informação 
 Bit: numero com valor 0 ou 1 
 n bits: representação digital para 0, 1, … , 2n 
 Byte ou Octeto, n = 8 
 Palavra, n = 16, 32, ou 64 
 n bits permitem a numeração de 2n possibilidades 
 Campo n-bit no cabeçalho 
 Representação de n-bits de uma amostra de voz 
 Mensagem consistente de n bits 
 O número de bits requeridos para representar uma 
mensagem é a medida do seu conteúdo de 
informação 
 Mais bits → Mais conteúdo 2 
Bloco vs. Informação de Stream 
Bloco 
 Informações que ocorrem 
em um único bloco 
 Mensagem de texto 
 Arquivo de dados 
 Imagem JPEG 
 Arquivo MPEG 
 Tamanho = Bits / bloco 
 ou bytes/bloco 
 1 Kbyte = 210 bytes 
 1 Mbyte = 220 bytes 
 1 Gbyte = 230 bytes 
Stream 
 Informação que é 
produzida e transmitida 
continuamente 
 Voz tempo real 
 Streaming vídeo 
 
 Taxa de bits= bits / seg 
 1 kbps = 103 bps 
 1 Mbps = 106 bps 
 1 Gbps =109 bps 
3 
Receptor 
Canal de Comunicação 
Transmissor 
Visão Abstrata da Transmissão de Dados 
Propriedades do canal de comunicação: 
Largura de banda 
Atraso de propagação e transmissão 
Jitter 
Perdas/Erros 
Buffer 4 
Atraso de Transmissão 
 Uso de compressão para reduzir L 
 Uso de modem rápido para aumentar R 
 Colocar servidores mais próximos para reduzir d 
 L Numero de bits na mensagem 
 R bps Taxa de transmissão do sistema digital em bps 
 L/R Tempo para transmitir a informação 
 tprop Tempo para que o sinal propague pelo do meio 
 d Distância em metros 
 c Velocidade da luz (3x108 m/s) 
 
Delay = tprop + ttrans = d/c + L/R (segundos) 
5 
Compressão 
 Informação normalmente não representada 
de forma eficiente 
 Algoritmos de compressão de dados 
 Representa a informação usando menos bits 
 Sem ruido: informação original recuperada de 
forma exata 
 E.g. zip, compress, GIF, fax 
 Ruidoso: recuperar informação aproximadamente 
 JPEG 
 Balanço entre # bits e qualidade 
 Relação da compressão 
 #bits (arquivo orginal) / #bits (arquivo comprimido) 
6 
Informação de Stream 
 Um sinal de voz de tempo real deve ser digitalizado 
e transmitido conforme é produzido 
 O nível de um sinal analógico varia continuamente 
não tempo 
7 
Exemplo 
 CD 
 Largura de banda de 22KHz 
 Cada amostra tem 16bits e ou sinal é amostrado 
a 44.000 amostras/seg 
 Em um sistema stereo (com dois canais): 
 44.000 amostas/seg * 16 bits/amostra x 2 canais=1.4 
Mbps 
 Uma hora (3600s) de música = 633.600.000 bits ou 
aprox. 604 Mbytes de informação 
8 
Um sistema de transmissão 
Transmissor 
 Converte informação em um sinal adequado para 
transmissão 
 Injeta energia no meio de comunicacação ou canal 
 O telefone converte voz em corrente elétrica 
 Fax Modens converte bits em tons audíveis (até 4khz) 
Receptor 
 Recebe energia do meio 
 Converte o sinal recebido de forma adequada para ser 
entregue ao usuário 
 Telefone converte corrente em voz 
 Modem converte tons em bits 
 
Receptor 
Canal de comunicação 
Transmissor 
9 
Problemas de Transmissão 
Canal de Comunicação 
 Par de fios de cobre 
 Cabo coaxial 
 Ondas de Radio (ar) 
 Luz em fibra óptica 
 Luz no ar 
 Infravermelho 
 
Problemas na Transmissão 
 Atenuação do sinal 
 Distorção do sinal 
 Ruído 
 Interferência de outros 
sinais 
Sinal 
Transmitido 
Sinal 
Recebido Receptor 
Canal de Comunicação 
Transmissor 
10 
Comunicações Analógicas de Longa Distância 
 Cada repetidor restaura o sinal analógico à sua forma original 
 A restauração é imperfeita 
 A Distorção não é completamente eliminada 
 O Ruído e interferências são parcialmente removidos 
 A qualidade do sinal diminui com ou número de repetidores 
 As comunicações são limitadas na distância 
 Ainda utilizado em sistemas analógicos de TV a cabo 
 Analogia: Copiar uma música usando um gravador de fita 
Fonte Destinatário Repetidor 
Segmento de transmissão 
Repetidor . . . 
11 
Na transmissão digital todos os detalhes devem ser reproduzidos 
Enviado 
Enviado 
Recebido 
Recebido 
• Exemplo: telefonia digial, audio CD 
 
Na transmissão digital somente níveis discretos devem ser reproduzidos 
• Exemplos: AM, FM, TV aberta 
Transmissão Analógica versus Digital 
Canal de comunicação 
d metros 
0110101... 0110101... 
12 
Fonte Repetidor Receptor Repetidor 
Segmento de Transmissão 
Em um canal de comunicação 
Sinal atenuado com 
distorção e ruído 
Equalizador 
Sinal recuperado 
+ 
Ruído residual 
Repetidor 
Amp. 
13 
Analógico vs. Transmissão Digital 
Transmissão analógica : todos os detalhes devem ser produzidos 
de forma precisa 
Enviado 
Enviado 
Recebido 
Recebido 
Distorção 
Atenuação 
Transmissão Digital : somente níveis discretos devem ser 
reproduzidos 
 
Distorção 
Atenuação 
Receptor simples: 
O pulso original 
era positivo ou 
negativo? 
14 
Comunicações Digitais de Longa 
Distancia 
 O regenerador recupera a sequência original de 
dados e a transmite ao segmento seguinte 
 Projetado para que a probabilidade de erro seja 
pequena 
 Cada regeneração é como a primeira transmissão! 
 Comunicação é possível em distâncias muito longas 
 Sistemas digitais vs. sistemas analógicos 
 Menos potência, maiores distâncias, menor o custo do 
sistema 
 Monitoramento, multiplexação, codificação, encriptação, 
protocolos … 
Fonte Destino Regenerador 
Segmento de transmissão 
Regenerador . . . 
15 
Repetidor Digital 
Amplifier 
Equalizer 
Timing 
Recovery 
Decision Circuit 
& Signal 
Regenerator 
16 
Digitalização de um Sinal Analógico 
 Amostrar o sinal analógico em tempo e amplitude 
 Encontrar a melhor aproximação 
D/2 
3D/2 
5D/2 
7D/2 
-D/2 
-3D/2 
-5D/2 
-7D/2 
Sinal original 
 valor amostragem 
Aproximação 
Rs = Taxa de bits = nº de bits/amostra X nº de amostras/seg 
3
 b
it
s
 /
 s
a
m
p
le
 
17 
Taxa de bits de um sinal digitalizado 
 Largura de banda Ws Hertz: a velocidade da variação 
do sinal 
 Largura de banda mais alta → amostrar mais frequentemente 
 Taxa mínima de amostragem = 2 x Ws 
 
 Precisão da representação : intervalo de aproximação 
de erro 
 Maior precisão 
→ menor espaçamento entre valores de aproximação 
→ mais bits por amostra 
18 
Exemplo: Voz & Audio 
Voz no telefone 
 Ws = 4 kHz → 8000 
amostras/sec 
 8 bits/amostra 
 Rs=8 x 8000 = 64 kbps 
 
 Telefones celulares 
usam algoritmos mais 
poderosos de : 8-12 
kbps 
 
CD Audio 
 Ws = 22 kHertz → 44000 
amostras/seg 
 16 bits/amostra 
 Rs=16 x 44000= 704 kbps 
por canal de audio 
 MP3 usa algoritmos mais 
poderosos de 
compressão : 50 kbps 
por canal de audio 
19 
Transmissão de Informação de Stream 
 Taxa constante de bits 
 Sinais tais como a voz digitalizada produzem um 
stream estável : ex. 64 kbps 
 A rede deve suportar a transmissão estável do 
sinal, isto é, circuitos de 64 kbps 
 Taxa variável de bits 
 Os sinais tais como vídeo digitalizado e comprimidos 
produzem stream que variam a taxa de bits, de 
acordo com a movimentação e detalhe na cena 
 A rede deve suportartaxa de transmissão variável 
do sinal: ex. comutação de pacotes ou suavização 
da taxa com circuito de taxa constante de bits 
(traffic shaping) 
 
20 
Qualidade de Serviço de Stream 
Problemas na transmissão de rede: 
 Atraso: A informação é entregue no tempo 
certo? 
 Jitter: A informação é entregue 
suficientemente ‘suavizada’? 
 Perda: A informação é entregue sem perdas? 
Se ocorrem perdas, a qualidade do sinal é 
aceitável? 
 Aplicações e protocolos de aplicação são 
desenvolvidos para lidar com estes problemas 
 21 
Digitalização de Sinais Analógicos 
1. Amostragem: obter amostras de x(t) em intervalos 
uniformes de tempo 
2. Quantização: mapear cada amostra em um valor 
de aproximação finita 
 Pulse Code Modulation (PCM): conversa de telefone 
 CD audio 
3. Compressão: para diminuir mais a taxa de bits, 
aplica-se um método adicional de compressão 
 Coding diferencial: conversa telefonia celular 
 Codificação Subband : MP3 audio 
22 
Taxa de Amostragem e Largura de Banda 
 Um sinal que varia mais rapidamente precisa ser 
amostrada mais frequentemente 
 Largura de Banda mede a velocidade de variação 
do sinal 
 
 Que é a largura de banda de um sinal ? 
 Como se relaciona a largura de banda com a taxa 
de amostragem? 
 
1 ms 
1 1 1 1 0 0 0 0 
. . . . . . 
t 
x2(t) 
1 0 1 0 1 0 1 0 
. . . . . . 
t 
1 ms 
x1(t) 
23 
Canal 
t t 
Aincos 2ft Aoutcos (2ft + (f)) 
Aout 
Ain 
A(f) = 
Caraterização do Canal: 
Domínio da Frequência 
24 
1 0 0 0 0 0 0 1 
. . . . . . 
t 
1 ms 
O pulso 
25 
Canal 
t 0 
t 
h(t) 
td 
Caraterização do Canal 
Domínio do Tempo 
26 
Introdução a Séries de Fourier 
A análise de Fourier foi introduzida em 1822 no 
trabalho “Théorie analyitique du chaleur” para 
tratar da solução de problemas de valores na 
fronteira e na condução do calor. 
Mais de século e meio depois as aplicações 
desta teoria são amplas: Sistemas Lineares, 
Comunicações, Física moderna, Eletrônica, 
Óptica, Processamento de Sinais, entre muitas 
outras. 
27 
Funções Periódicas 
Uma Função Periódica f(t) tem a seguinte 
propriedade para todo valor de t: 
f(t)=f(t+T) 
 
A constante mínima para o qual se cumpre a 
propriedade anterior é chamado do período (T) 
da função. 
 
Aplicando ciclicamente a propriedade pode-se 
obter: 
f(t)=f(t+nT), onde n=0,1,  2, 3,... 
28 
Funções Periódicas 
Exemplo: ¿Cuál é o período da função 
 
Solução.- Se f(t) é periódica então: 
 
Mas cos(x+2k)=cos(x) para qualquer inteiro k, então para 
manter a igualdade é necessário que 
T/3=2k1, T/4=2k2 
Ou seja , 
T = 6k1 = 8k2 
onde k1 e k2 são inteiros, 
O valor mínimo de T se obtém com k1=4, k2=3, ou 
seja,T=24 
 
f(t)  cos( t3)  cos(
t
4 )
 
f(t  T)  cos( tT3 )  cos(
tT
4 )
 
 f(t)  cos( t3)  cos(
t
4 )
29 
Funções Periódicas 
Gráfico da função 
0 50 100 150 200 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) 
t 
f(
t)
 
24 
T 
 
f(t)  cos( t3)  cos(
t
4 )
30 
Funções Periódicas 
Poderíamos pensar que qualquer soma de funções seno e 
coseno produz uma função periódica. 
 
Isto não é assim, por exemplo, consideremos a função 
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t). 
Para que seja periódica precisamos encontrar dois inteiros 
m, n tais que 
w1T= 2m, w2T=2n 
onde 
 
 
Ou seja, a relação w1/ w2 deve ser um número racional. 
 
w1
w 2

m
n
31 
Series de Fourier. 32 
Funções Periódicas 
Exemplo: a função cos(3t)+cos(+3)t não é 
periódica, já que não é um número 
racional. 
 
w1
w 2

3
3 
0 5 10 15 20 25 30 
-2 
-1 
0 
1 
2 
f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t) 
t 
f(
t)
 
Funções Periódicas 
Tarefa 1 : Encontrar o período das seguintes 
funções, se é que são periódicas: 
1) f(t) = sen(nt), onde n é um inteiro. 
2) f(t)= sen2(2t) 
3) f(t)= sen(t)+sen(t+/2) 
4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t) 
5) f(t)= sen(2 t) 
33 
Série Trigonométrica de Fourier 
Algumas funções periódicas f(t) de período T 
podem expresar-se pela seguinte série, 
chamada Série Trigonométrica de Fourier 
 f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+... 
 + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+... 
onde w0=2/T. 
e, 
])tn(senb)tncos(a[a)t(f
1n
0n0n02
1  ww


34 
Série Trigonométrica de Fourier 
É possível escrever de uma maneira 
ligeramente diferente a Série de Fourier, se 
observamos que o termo 
ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se pode escrever 
como 
 
 
 
Podemos encontrar uma maneira mais 
compacta para expressar estes coeficientes 
pensando em um triângulo retângulo: 
 
an
2 bn
2 an
an
2 bn
2
cos(nw 0t) bn
an
2 bn
2
sen(nw 0t)
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
Dessa forma, temos que : 
 
an
an
2  bn
2
 cosn
bn
an
2  bn
2
 senn
an 
bn 
2
n
2
nn baC 
n 
 )tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn ww
 )tncos(C n0n -w
36 
Série Trigonométrica de Fourier 
Se também definimos C0=a0/2, a série de 
Fourier pode-se escrever como 
 
 
 
Assim, 
 
e 
 


-w
1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
2
n
2
nn baC 






 -
n
n1
n
a
b
tan
37 
Série Trigonométrica de Fourier 
Tarefa 2: 
Definir adequadamente os coeficientes C0, Cn e 
n, de maneira que a série de Fourier se possa 
escrever como 
 
 
f (t)  C0  Cn sen(nw 0t  n ) 
n1


38 
Componentes e harmônicos 
Assim, uma função periódica f(t) pode-se escrever 
como a soma de componentes sinusoides de 
diferentes frequências wn=nw0. 
 
A componente sinusoide de frequência nw0 de 
Cncos(nw0t+n) é chamada de n-éssimo 
harmônico de f(t). 
 
O primero harmônico (n=1) é o componente 
fundamental e seu período é o mesmo que o de 
f(t) 
 
A frequência w0=2f0=2/T é a frequência angular 
fundamental. 
39 
Componentes e harmônicos 
A componente de frequência zero C0, é o 
componente de corrente direta (cd) e 
corresponde ao valor médio f(t) em cada 
período. 
 
Os coeficientes Cn e os ângulos n são 
respectivamente as amplitudes e os ângulos 
de fase dos harmônicos. 
40 
Series de Fourier. 41 
Componentes e harmônicos 
Exemplo: A função 
Como foi mostrado tem um período T=24, sua 
frequência fundamental é w0=1/12 rad/seg. 
Componente fundamental é da forma: 
0*cos(t/12). 
Terceiro harmônico: 
cos(3t/12)=cos(t/4) 
Quarto harmônico: 
Cos(4t/12)=cos(t/3) 
 
0 50 100 150 200 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) 
t 
f(
t)
 
24 
 
f(t)  cos( t3)  cos(
t
4 )
Series de Fourier. 42 
Componentes e harmônicos 
Exemplo: Como pode-se ver, a função anterior tem 
tantas partes positivas como negativas, então seu 
componente de cd é zero, em vez 
 
0 50 100 150 200 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4) 
t 
f(
t)
 
24 
 
f(t) 1 cos( t3) cos(
t
4 )
Têm tantas partes 
acima como 
abaixo de 1 
então, seu 
componente de 
cd é 1. 
 
Componentes e harmônicos 
Tarefa 3 
 Qual é a componente fundamental, de 
harmônicos diferentes de zero e o componente 
DC de: 
a) f(t) = sen2t 
b) f(t) = cos2t ? 
Mostrar o gráfico das funções e marcar nelas 
o período fundamental e o componente de cd.43 
ortogonalidade de senos e cosenos 
Um conjunto de funções fk(t) são ortogonais 
no intervalo a<t<b se duas funções fm(t), fn(t) 
de tal conjunto cumprem 
 





 nmparar
nmpara
dt
na
0
(t)(t)ff
b
nm
44 
Series de Fourier. 45 
ortogonalidade de senos e cosenos 
Exemplo: as funções t e t2 são ortogonais no 
intervalo –1< t <1, pois 
 
 
 
Exemplo: As funções sen t e cos t são ortogonais 
no intervalo –/2< t <
/2, pois 
0
4
dttdttt
1
141
1
3
1
1
2 
---

t
0
2
dt t cossen t 
2/
2/22/
2/

--




tsen
Cálculo dos coeficientes da série 
Dada uma função periódica f(t), como se 
calcula a série de Fourier? 
 
 
 
 
O primeiro passo é calcular os coeficientes 
a0,a1,a2,...,b1,b2,... e considerando a 
ortogonalidade das funções seno e coseno, o 
processo pode ficar mais simples. 
 
f (t)  12 a0  [an cos(nw 0t)  bnsen(nw 0t)
n1

 ]
46 
Cálculo dos coeficientes da Série 
Multiplicando ambos lados por cos(nw0t) e 
integrando de –T/2 a T/2, obtemos: 
 
 
 
 
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e 
integrando de –T/2 a T/2, obtemos: 
 
 
 
 
 
Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, 
obtemos: 
 
 
,...3,2,1,0 )cos()(
2/
2/
0
2  
-
ndttntfa
T
T
Tn
w
,...3,2,1 )()(
2/
2/
0
2  
-
ndttnsentfb
T
T
Tn
w

-

2/
2/
2
0 )(
T
T
T
dttfa
47 
Cálculo dos coeficientes da Série 
O intervalo de integração não precisa ser 
simétrico a origem. 
 
Como a ortogonalidade das funções seno e 
coseno não só acontece no intervalo de –T/2 a 
T/2, como em qualquer intervalo que cobre um 
período completo: 
 
(de t0 a t0+T, com t0 arbitrário) 
 
Assim as fórmulas anteriores podem calcular 
em qualquer intervalo que cumpra este 
requisito. 
48 
Series de Fourier. 49 
Cálculo de os coeficientes da Série 
Exemplo: Encontrar a Série de Fourier para a 
seguinte função de período T: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: A expressão para f(t) em –T/2<t<
T/2 é 
 
1 
f(t) 
t 
. . . -T/2 
0
 
T/2
 T . 
. . 
-1 






--

2
0 para ,1
 0
2
 para ,1
)(
T
t
t
T
tf
Series de Fourier. 50 
Cálculo dos coeficientes da Série 
coeficientes an: 
0 para ,0
)(
1
)(
1
)cos()cos(
)cos()(
0
2/
0
02/
0
0
0
2
2/
0
0
0
2/
0
2
2/
2/
0
2









-






-

-
-
-


n
tnsen
n
tnsen
n
dttndttn
dttntfa
T
T
T
T
T
T
T
T
Tn
w
w
w
w
ww
w
Series de Fourier. 51 
Cálculo dos coeficientes da Série 
coeficiente a0: 
0
)(
0
2/
2/
0
2
2/
0
0
2/
2
2/
2/
2
0









-






-

-
-
-


T
T
T
T
T
T
T
T
T
tt
dtdt
dttfa
Series de Fourier. 52 
Cálculo dos coeficientes da Série 
coeficientes bn: 
 
  0 para ,))1(12
)1)(cos())cos(1(
1
)cos(
1
)cos(
1
)()(
)()(
0
2/
0
02/
0
0
0
2
2/
0
0
0
2/
0
2
2/
2/
0
2
--
---








-






-

-
-
-


n
n
nn
n
tn
n
tn
n
dttnsendttnsen
dttnsentfb
n
T
T
T
T
T
T
T
T
Tn



w
w
w
w
ww
w
Series de Fourier. 53 
Cálculo dos coeficientes da Série 
Série de Fourier: Finalmente a Série de Fourier 
fica assim: 
 
 
 
 ...)5()3()(4)( 0510310  tsentsentsentf www
• Veja os harmônicos 1, 3, 5 e 7 e a soma destes 
termos da série para w0=p, ou seja, T=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos coeficientes da Série 
-1 -0.5 0 0.5 1 
-1.5 
-1 
-0.5 
0 
0.5 
1 
1.5 
Componentes da Série de Fourier 
t 
C
o
m
p
o
n
e
n
te
s
 
Soma 
fundamental 
tercer harmônico 
quinto harmônico 
septimo harmônico 
Cálculo dos coeficientes da Série 
Tarefa: Encontrar a série de Fourier para o 
seguinte sinal senoidal retificado de meia onda 
de período 2. 
 
 
 
-6 -4 -2 0 2 4 6 
-0.2 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
0.8 
1 
Senoidal retificada de meia onda 
t 
f(
t)
 
55 
Funções Pares e ímpares 
Uma função (periódica ou não) é função par 
(ou com simetria par) se seu gráfico é simêtrico 
respeito ao eixo vertical, i. e. , a função f(t) é 
par se f(t) = f(-t) 
 
 2 
f(t) 
t 
- -2 
56 
Funções Pares e ímpares 
De forma similar, uma função f(t) é função 
ímpar ou com simetria ímpar, se seu gráfico é 
simêtrico respeito à origem, ou seja, se cumpre 
ou seguinte: -f(t) = f(-t) 
 
 2 
f(t) 
t 
- -2 
57 
Series de Fourier. 58 
Funções Pares e ímpares 
Exemplo: 
Que funções são pares ou ímpares? 
f(t) = t+1/t 
g(t) = 1/(t2+1), 
Solução: 
Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), então f(t) é função 
ímpar. 
Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), então g(t) 
é função par. 
Series de Fourier. 59 
Funções Pares e ímpares 
Exemplo: A função h(t)=f(1+t2), onde f é uma 
função arbitraria, é par ou ímpar? 
Solução: 
Se g(t)= 1+t2, então h(t)=f(g(t)) 
Ou seja: h(-t) = f(g(-t)), 
Mas g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t), 
finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), então h(t) é função 
par, sem importar como seja f(t). 
Series de Fourier. 60 
Funções Pares e ímpares 
Exemplo: De acordo com o exemplo anterior, 
todas as siguientes funções são pares: 
h(t) = sen (1+t2) 
h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2) 
h(t) = cos (2+t2)+1 
h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2 
etc... 
Pois todas tem a forma f(1+t2) 
Funções Pares e ímpares 
Como a função sen(nw0t) é uma função ímpar 
para todo n0 e a função cos(nw0t) é uma 
função par para todo n, é de esperar que: 
 
 Se f(t) é par, sua série de Fourier não terá 
termos seno, então bn= 0 para todo n 
 
 Se f(t) é ímpar, sua série de Fourier não terá 
termos coseno, então an= 0 para todo n 
61 
Series de Fourier. 62 
Funções Pares e ímpares 
Por exemplo, o sinal quadrado, analisado 
previamente : 
 
 
 
 
 
É uma função ímpar, pois sua série de Fourier não 
contem termos coseno: 
1 
f(t) 
t 
. . . -T/2 
0
 
T/2
 T . 
. . 
-1 
 ...)5()3()(4)( 0510310  tsentsentsentf www
Simetria de Meia Onda 
Uma função periódica de período T é 
simétrica de meia onda, se cumpre a 
propriedade 
 
Ou seja, no seu gráfico as partes negativas são 
um reflexo das positivas mas deslocadas meio 
período: 
)t(f)Tt(f
2
1 -
 f(t) 
 t 
63 
Series de Fourier. 64 
Simetria de Quarto de Onda 
Se uma função tem simetria de meia onda e 
também é função par ou ímpar, podemos dizer 
que tem simetria de quarto de onda par ou 
ímpar 
Exemplo: Função com simetria ímpar de 
quarto de onda: 
 f(t) 
 t 
Series de Fourier. 65 
Simetria de Quarto de Onda 
Exemplo: Função com simetria par de quarto 
de onda: 
 f(t) 
 t 
Simetria de Quarto de Onda 
Tarefa 5: 
Que tipo de simetria tem o seguinte sinal de 
voltagem? 
 f(t) 
 t 
66 
Simetrias e coeficientes de Fourier 
simetria coeficientes 
Funções na 
série 
Nenhuma 
Senos e 
cosenos 
Par bn=0 
únicamente 
cosenosímpar an=0 
únicamente 
senos 
meia onda 
Senos e 
cosenos 
ímpares 

2/
0
0
4 )cos()(
T
Tn
dttntfa w

2/
0
0
4 )()(
T
Tn
dttnsentfb w






 imparndttntf
parn
a
T
T
n
2/
0
0
4 )cos()(
0
w






 imparndttnsentf
parn
b
T
T
n
2/
0
0
4 )()(
0
w

-

2/
2/
0
2 )cos()(
T
T
Tn
dttntfa w

-

2/
2/
0
2 )()(
T
T
Tn
dttnsentfb w
Simetrias e coeficientes de Fourier 
simetria coeficientes 
Funções 
na série 
Nenhuma 
Senos e 
cosenos 
¼ de onda 
par 
an=0 (n par) 
bn=0 
Só 
cosenos 
ímpares 
¼ de onda 
ímpar 
an=0 
bn=0 (n par) 
só 
senos 
ímpares 

-

2/
2/
0
2 )cos()(
T
T
Tn
dttntfa w

-

2/
2/
0
2 )()(
T
T
Tn
dttnsentfb w
)(
)cos()(
4/
0
0
8
imparn
dttntfa
T
Tn  w
)(
)()(
4/
0
0
8
imparn
dttnsentfb
T
Tn  w
68 
Series de Fourier. 69 
simetrias e coeficientes de Fourier 
Por exemplo, o sinal quadrado, já analisado 
em um exemplo prévio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É uma função com simetria de ¼ de onda 
ímpar, então a sua série de Fourier só contém 
termos seno de frequência ímpar: 
1 
f(t) 
t 
. . . -T/2 
0
 
T/2
 T . 
. . 
-1 
 ...)t5(sen)t3(sen)t(sen4)t(f 0510310 www

Fenômeno de Gibbs 
Se a série de Fourier para uma função f(t) se 
trunca para alcançar uma aproximação em 
soma finita de senos e cosenos, é natural 
pensar que a medida que agreguemos mais 
harmônicos, a somatoria se aproximará mais a 
f(t). 
 
 
70 
Fenômeno de Gibbs 
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 1 armónico
1 harmônico 71 
Fenômeno de Gibbs 
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 3 armónicos
3 harmônicos 72 
Fenômeno de Gibbs 
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 armónicos
5 harmônicos 73 
Fenômeno de Gibbs 
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 7 armónicos
7 harmônicos 74 
Fenômeno de Gibbs 
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 13 armónicos
15 harmônicos 75 
Fenômeno de Gibbs 
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 50 armónicos
50 harmônicos 76 
Fenômeno de Gibbs 
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 100 armónicos
100 harmônicos 77 
Forma Complexa da Série de 
Fourier 
Consideremos a série de Fourier para uma 
função periódica f(t), com período T=2/w0. 
 
 
É possível obter uma forma alternativa usando 
as fórmulas de Euler: 
 
 
onde 
 
f (t)  12 a0  [an cos(nw 0t)  bnsen(nw 0t)
n1

 ]
 
cos(nw0t)  12 (e jnw 0t  e- jnw 0t )
sen(nw0t)  12 j (e jnw 0t - e- jnw 0t )
1j -
78 
Forma Complexa da Série de Fourier 
Fazendo a substituição: 
 
 
 
 
 
E sabendo que 1/j=-j 
 
 
 
 
definimos: 
 
 
 
 
O que é coerente com a equação para bn, pois 
b-n=-bn, dado que a função seno é ímpar. 
 
f (t)  12 a0  [an
1
2 (e
jnw 0t  e- jnw 0t )  bn 12 j (e jnw 0t - e- jnw 0t )
n1

 ]
 
f (t)  12 a0  [
1
2 (an - jbn )e
jnw 0t  12 (an  jbn )e- jnw 0t
n1

 ]
 
c0 
1
2 a0, cn 
1
2 (an - jbn ), c-n 
1
2 (an  jbn )
79 
Forma Complexa da Série de Fourier 
A série pode-se escrever como 
 
 
Ou, 
 
 
Então, 
 
 
f (t)  c0  (cne
jnw 0t  c-ne
- jnw 0t
n1

 )
 
f (t)  c0  cne
jnw 0t
n1

  cne jnw 0t
n-1
-

 
f (t)  cne
jnw 0t
n-


80 
Forma Complexa da Série de Fourier 
A expressão obtida 
 
 
 
 
 
 
 
 
É a forma Complexa da série de Fourier e seus 
coeficientes cn podem ser obtidos a partir dos 
coeficientes an, bn, ou: 
 
 
 
Para n=0, 1, 2, 3, ... 
 
cn 
1
T f (t)e
- jnw 0tdt
0
T

 
f (t)  cne
jnw 0t
n-


81 
Forma Complexa da Série de Fourier 
Os coeficientes cn são números complexos, e 
também podem-se escrever em forma polar: 
 
 
 
 
 
Obviamente, 
 
 
 
Onde: , 
Para todo n0, 
 
Para n=0, c0 é um número real: 
 
cn  cn e
j n
 
c-n  cn
*  cn e
- j n
 
cn 
1
2 an
2 bn
2
 
n  arctan(-
bn
an
)
 
c0 
1
2 a0
82 
Forma Complexa da Série de Fourier 
Exemplo. Encontrar a forma complexa da série 
de Fourier para a função: 
 
 
 
 
Solução 1. Os coeficientes na forma 
trigonomêtrica (an e bn): 
an=0 para tudo n 
e 
1 
f(t) 
t 
. . . -T/2 
0
 
T/2
 T . 
. . 
-1 
n todo para ,])1(1[2 n
nn
b -- 
83 
Forma Complexa de a Série de Fourier 
Podemos calcular os coeficientes cn de: 
 
 
 
 
Então a Série Complexa de Fourier fica 
 
cn 
1
2 [an - jbn ]  - j
1
2
2
n [1- (-1)n]
 
cn  - j
1
n [1- (-1)
n ]
 
f (t)  2 j(...
1
5 e
- j5w 0t  13 e
- j3w 0t  e- jw 0t
- e jw 0t - 13 e
j3w 0t - 15 e
j5w 0t - ...)
84 
Series de Fourier. 85 
Forma Complexa de a Série de Fourier 
Solução 2. Também podemos calcular os 
coeficientes cn mediante a integral 

-
T
tjn
Tn
dtetfc
0
1 0)(
w
)(
2/
2/
0
1 00 
-- -
T
T
tjn
T
tjn
T
dtedte
ww
)(
2/
1
0
2/
11 00
T
T
tjn
jn
T
tjn
jnT
ee
oo
w
w
w
w
-
-
-
-
-
)]()1[(
2/2/1 000 TjnTjnTjn
Tjn
eee
o
wwww ---- ---
Series de Fourier. 86 
Forma Complexa de a Série de Fourier 
Como w0T=2 e temos 
 
 
 
 
 
 
o qual coincide com o resultado já obtido. 
 
e j  cos  jsen
)])1(1()1)1[(1 nn
Tjnn o
c -----
- w
])1(1[2 n
Tn o
j --- w
])1(1[1 n
n
j --- 
Forma Complexa da Série de Fourier 
Tarefa 6: Calcular os coeficientes cn para a 
seguinte função de período 2. 
a) A partir dos coeficientes an,bn 
b) Diretamente da integral 
-6 -4 -2 0 2 4 6 
-0.2 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
0.8 
1 
Senoidal retificada de meia onda 
t 
f(
t)
 
87 
Espectros de Frequência Discreta 
O gráfico da magnitude dos coeficientes cn 
contra a frequência angular w da componente 
correspondente é o espectro de amplitude de 
f(t). 
 
O gráfico do ángulo de fase n dos coeficientes 
cn contra w, é o espectro de fase de f(t). 
 
Como n só tem valores inteiros, a frequência 
angular w=nw0 é uma variavel discreta e os 
espectros mencionados são gráficos 
discretos. 
88 
Espectros de Frequência Discreta 
Dada uma função periódica f(t), lhe 
corresponde uma e somente uma série de 
Fourier, i. e. um conjunto único de coeficientes 
cn. 
 
Por isso, os coeficientes cn especificam a f(t) 
no domínio da frequência da mesma 
maneira que f(t) especifica a função no 
domínio do tempo. 
89 
Series de Fourier. 90 
Espectros de Frequência Discreta 
Exemplo. Para a função já analisada: 
 
 
 
 
 
Encontramos 
 
Então, 
1 
f(t) 
t 
. . . -T/2 
0
 
T/2
 T . 
. . 
-1 
 
cn  - j
1
n [1- (-1)
n ]
 
cn 
1
n [1- (-1)
n ]
Espectros de Frequência Discreta 
O espectro de amplitude:O eixo horizontal é um eixo de frequência, 
(n=número de harmônico = múltiplo de w0). 
-30 -20 -10 0 10 20 30 
0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
Espectro de Amplitude de f(t) 
n 

C
n
 
 
Frequência negativa (?) Frequência 
91 
Espectros de Frequência Discreta 
Tarefa 7 : 
 
Desenhar o espectro de amplitude para a 
função senoidal retificada de ½ onda. 
92 
Potência e Teorema de Parseval 
O valor médio de um sinal qualquer f(t) em um 
período (T) pode-se calcular como a altura de 
um rectângulo que tenha a mesma área que a 
área abaixo da curva de f(t) 
1 
f(t) 
t 
h=Altura 
média 

T
0
dt)t(fArea
T 
Area=Th 
93 
Potência e Teorema de Parseval 
Pelo anterior, se a função periódica f(t) 
representa um sinal de voltagem ou corrente, a 
potencia média entregue a uma carga 
resistiva de 1 ohm em um período está dada 
por 
 
 
 
Se f(t) é periódica, também será [f(t)]2 e o valor 
médio em um período será o valor médio em 
qualquer outro período. 
 
1
T [ f (t)]
2dt
-T / 2
T / 2

94 
Potência e Teorema de Parseval 
O teorema de Parseval nos permite calcular a 
integral de [f(t)]2 mediante os coeficientes com-
plexos cn de Fourier da função periódica f(t): 
 
 
 
Ou também, em termos dos coeficientes an, bn: 


--

n
n
T
T
T
cdttf
2
2/
2/
21 )]([


-

1
22
2
12
04
1
2/
2/
21 )()]([
n
nn
T
T
T
baadttf
95 
Potência e Teorema de Parseval 
Uma consequência importante do teorema de 
Parseval é o seguinte resultado: 
 
O valor quadrático médio de uma função 
periódica f(t) é igual à soma dos valores 
quadráticos médios de seus harmônicos, 
 
 
 
 
onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e 
C0 é o componente DC. 
 
1
T [ f (t)]
2dt
-T / 2
T / 2
  C02 
Cn
2
2
n1


96 
Potência e Teorema de Parseval 
No resultado anterior é conveniente encontrar a 
relação entre os coeficientes complexos cn da 
série 
 
 
 
 
 
 
 
 
E os coeficientes reais Cn da série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e 
C0 é o componente DC. 


-
w
n
tjn
n
0ec)t(f
 


-w
1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
97 
Potencia e Teorema de Parseval 
Por um lado 
 
 
E 
 
 
Então, e 
 
 
 
E para o harmônico 
Seu valor rms é 
então seu valor quadrático medio é 
 
 
Para a componente DC C0, seu valor rms é C0, 
então seu valor quadrático médio será C0
2. 
,baC 2n
2
nn 
 
cn 
1
2 an
2 bn
2
 
cn 
1
2Cn
 
cn
2
 14 Cn
2
 
fn (t) Cn cos(nw0t -n) 
 
Cn / 2
 
Cn
2 /2
98 
Series de Fourier. 99 
Potência e Teorema de Parseval 
Exemplo. Calcular ou valor quadrático médio 
da função f(t): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução. 
Do teorema de Parseval 
 
 
e do exemplo anterior 
 
 
 
então 
1 
f(t) 
t 
. . . -T/2 
0
 
T/2
 T . 
. . 
-1 
 
1
T [ f (t)]
2dt
-T / 2
T / 2
  cn
2
n-


 
cn 
1
n [1- (-1)
n ]
 
cn
2
n-

 
8
 2 1
1
9

1
25

1
49
 ...
 
  
 
  
Series de Fourier. 100 
Potencia e Teorema de Parseval 
A série numérica obtida converge a 
 
 
então, 
 
 
 
Como era de esperarse. 
Então, que significa essa convergência ? 
 
1
1
9

1
25

1
49
 ...1.2337
 
1
T [ f (t)]
2dt
-T / 2
T / 2
  cn
2
n-

 
8
 2 (1.2337) 1
Potencia e Teorema de Parseval 
Tarefa 8 
 
Calcular o valor quadrático médio para o sinal 
senoidal retificado de meia onda de período 2. 
 
Para que serve a relação entre a potência 
média de um sinal periódico com os seus 
coeficientes de Fourier ? 
 
101 
Exemplo 
 Determinar as linhas espectrais para a função 
periódica f(t), dada por um trem de pulsos 
retangulares de amplitude 1 e de duração d= 
0.05 s, cujo período é de T=0,25 s 
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
102 
Exemplo 
Esta função pode ser modelada matematicamente 
por: 
 
 
 





T/2td/2-d/2,tT/2- se 0
d/2td/2- se 1
)t(f
103 
Exemplo 
Aplicando-se a definição dos coeficientes complexos da 
série de Fourier, tem-se que: 
 
 
x
onde
T
dn
c
T
d
T
dn
T
dn
T
d
c
Assim
Td
n
d
n
T
d
d
nj
ee
T
d
ee
jnT
jn
e
T
dte
T
dtetf
T
c
n
d
jn
d
jnd
jn
d
jn
d
d
d
d
tjn
tjn
T
T
tjn
n





w
w
w
w
w
w
ww
ww
w
ww
x)sin(
sinc(x) ),
.
(sin.
..
)
..
sin(
:,
2
 mas 
2
)
2
sin(
2
..2
1
.
1
1
.1
1
).(
1
0
0
0
0
22)
2
(
2
0
2
2
2
2
0
2
2
00
00
0
00















-









-
-


-

-
---
- -
-
-
-
-

104 
Exemplo 
 Aplicando as condições do problema, 
onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que 
 



.2,0.n
)2,0.n(sin2,0
cn
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
105 
As tarefas 1 a 8 
 Devem ser feitas para praticar. 
106 
Espectro & Largura de Banda 
 Espectro de um sinal : 
magnitude das amplitudes 
como função da frequência 
 x1(t) varia mais rápido não 
tempo e tem conteúdo mais 
alto de frequencia que x2(t) 
 A largura de banda Ws é 
definida como ou intervalo 
de frequencias em que ou 
sinal tem uma potencia 
significante, ou seja, ou 
intervalo da banda que 
contém 99% da potencia 
total do sinal 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
frequency (kHz)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
frequency (kHz)
Espectro de x1(t) 
Espectro de x2(t) 
107