Aula 14 O Atomo de Hidrogenio

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Física Moderna I - O Átomo de 
Hidrogênio
O ÁTOMO
DE HIDROGÊNIO
FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
“A elegância, a riqueza, a complexidade
e a diversidade dos fenômenos naturais
que decorrem de um conjunto simples
de leis universais é parte integrante do
que os cientistas querem dizer quando
empregam o termo beleza” – E.
Schrödinger
1. Introdução
2. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
3. O Método de Separação de Variáveis
a. O Número Quântico Magnético
b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos
Esféricos
c. O Número Quântico Principal e a Quantização da
Energia
4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O Spin do Elétron
Física Moderna I - O Átomo de 
Hidrogênio
Relembrando....
INTRODUÇÃO
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
NATUREZA
MATÉRIA
RADIAÇÃO
(LUZ)
= +
1. Introdução
2. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
3. O Método de Separação de Variáveis
a. O Número Quântico Magnético
b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos
Esféricos
c. O Número Quântico Principal e a Quantização da
Energia
4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O Spin do Elétron
( ) ( ) ( )
2
2
2 op
r U r E r
µ
− ∇ Ψ + Ψ = ⋅Ψ
⋅
h r r r
A Equação de Schroedinger: ideias gerais
Entender o átomo sob o ponto de vista da Mecânica
Quântica significa escrever e resolver a Equação de
Schroedinger para o átomo.
Dificuldade: escrever uma expressão para a interação
entre os elétrons (cargas negativas) e o núcleo (cargas
positivas) pertencentes a esta átomo.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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2. EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Interação no Átomo de Hidrogênio ⇒⇒⇒⇒ energia potencial
eletrostática entre um núcleo positivo e um elétron.
( )
2
0
1
4op
eU r
rpi ε
= − ⋅ Ι
⋅ ⋅
ΙΙΙΙ: operador
identidadee = 1,6××××10-19 C:
carga elementar
r: variável espacial
que define a interação
εεεε0 = 8,85××××10-12 C2/N⋅⋅⋅⋅m2:
permissividade elétrica
do vácuo
Átomo de Hidrogênio: tem apenas um elétron, logo tem a
interação mais simples possível de ser tratada.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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A Equação de Schroedinger: ideias gerais
2. EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Embora a interação dependa apenas da variável radial, é
necessário escrever a Equação de Schroedinger em três
dimensões (três graus de liberdade).
∇∇∇∇ 2 : operador Laplaciano h/2⋅pi⋅pi⋅pi⋅pi = 1,05××××10-34 J⋅⋅⋅⋅s:
constante de Planck
µµµµ = 9,1××××10-31 kg: massa
do elétron
( ) ( ) ( )
2 2
2
0
1
2 4
e
r r E r
rµ pi ε
− ∇ Ψ − ⋅ Ψ = ⋅Ψ
⋅ ⋅ ⋅
h r r r
( ) ( )r rΙ ⋅Ψ = Ψr r
E : energia do elétron,
constante de movimento
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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A Equação de Schroedinger: a característica tridimensional
2. EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
A Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
fornece como solução o estado para o elétron.
A função de onda nos informa como o elétron está
distribuído, qual é portanto, a forma de seu orbital.
Estado ⇒⇒⇒⇒ função de onda ΨΨΨΨ (auto-função) e energia E
(autovalor) com que o elétron está ligado ao seu núcleo.
A energia nos informa quais são as energias com as
quais o elétron está preso (ligado) ao átomo.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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A Equação de Schroedinger: o que a solução fornece
2. EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Primeira dificuldade: escolher um sistema de
coordenadas para escrever o operador Laplaciano
adequadamente.
( ) ( ) ( )
2 2
2
0
1
2 4
e
r r E r
rµ pi ε
− ∇ Ψ − ⋅ Ψ = ⋅Ψ
⋅ ⋅ ⋅
h r r r
Como a interação depende apenas da variável radial, o
mais adequado é escolher o sistema de coordenadas
esféricas, com as variáveis r, θθθθ e φφφφ.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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A Equação de Schroedinger: a escolha das variáveis
2. EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Vamos expressar então o operador Laplaciano em
coordenadas esféricas.
2 2
2
2
2
2 2 2
1
1
sin
sin
1
sin
r
r r r
r
r
θ
θ θ θ
θ φ
∂ ∂ ∇ = + ∂ ∂ 
∂ ∂ 
+ ⋅ + 
⋅ ∂ ∂ 
∂
+
⋅ ∂
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A Equação de Schroedinger: coordenadas esféricas
2. EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Vamos agora substituir o operador Laplaciano na
Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2 2
0
1 1
, , sin , ,
2 sin
1 1
, , , , , ,
sin 4
r r r
r r r r
e
r r E r
r r
θ φ θ θ φ
µ θ θ θ
θ φ θ φ θ φ
θ φ pi ε
 ∂ ∂ ∂ ∂   
− Ψ + ⋅ Ψ    
⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂   
∂
+ Ψ + − ⋅ Ψ = ⋅Ψ
⋅ ∂ ⋅ ⋅
h
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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A Equação de Schroedinger
2. EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
1. Introdução
2. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
3. O Método de Separação de Variáveis
a. O Número Quântico Magnético
b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos
Esféricos
c. O Número Quântico Principal e a Quantização da
Energia
4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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5. O Spin do Elétron
Para resolver esta equação diferencial, propomos uma
solução do tipo
( ) ( ) ( ) ( ), ,r R rθ φ θ φΨ = ⋅Θ ⋅Φ
R(r): função que
depende apenas da
variável radial r.
ΘΘΘΘ(θθθθ): função que
depende apenas da
variável angular
azimutal θθθθ.
ΦΦΦΦ(φφφφ): função que
depende apenas da
variável angular polar
φφφφ.
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A proposta de solução
Após um árduo trabalhos obtemos a igualdade abaixo.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2
0
sin sin
sin
2 1 1
sin
4
d d d d
r R r
R r dr dr d d
e dE r
r d
θ θ θ θ
θ θ θ
µ θ φ
pi ε φ φ
   
+ ⋅ Θ +   Θ   
  ⋅
+ ⋅ + ⋅ ⋅ = − Φ  
⋅ ⋅ Φ  h
No lado esquerdo da
igualdade: uma função
que depende apenas
das variáveis r e θθθθ.
No lado direito da
igualdade: função que
depende apenas da
variável φφφφ.
AMBOS OS TERMOS
DEVEM SER IGUAIS À
MESMA CONSTANTE
m2.
g(φφφφ)f(r ,θθθθ) = f(r ,θθθθ) = g(φφφφ) = m2 ≥≥≥≥ 0
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A condição de solução
Temos então que
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2 2 2
2
0
sin sin
sin
2 1
sin
4
d d d d
r R r
R r dr dr d d
e E r m
r
θ θ θ θ
θ θ θ
µ θ
pi ε
   
+ ⋅ Θ +   Θ   
  ⋅
+ ⋅ + ⋅ ⋅ =  
⋅ ⋅  h
( ) ( )
2
2
2
1 d
m
d
φφ φ− Φ =Φ
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
O estabelecimento das igualdades
1. Introdução
2. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
3. O Método de Separação de Variáveis
a. O Número Quântico Magnético
b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos
Esféricos
c. O Número Quântico Principal e a Quantização da
Energia
4. Os Estados Quânticos do Elétronno Átomo de Hidrogênio
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5. O Spin do Elétron
( ) ( )
2
2
2 0
d
m
d
φ φφ Φ + ⋅Φ =
Estudemos agora a equação na variável φφφφ.
( ) ( )
2
2
2
1 d
m
d
φφ φ− Φ =Φ
Rearranjamos os termos desta equação e obtemos
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A equação na variável φφφφ
( ) ( )
2
2
2 0
d
m
d
φ φφ Φ + ⋅Φ =
Temos então a seguinte equação diferencial
Como sabemos, a solução desta equação diferencial é
( ) i mA e φφ ⋅ ⋅Φ = ⋅ A e m: constantes a serem determinadas a partir de condições de 
contorno.
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A solução na variável φφφφ
A constante m pode ser determinada a partir de uma
condição de contorno especial.
Lembremos que a função de onda que é solução da
Equação de Schroedinger deve ser continua em todo o
espaço.
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A determinação da constante m
A variável φφφφ representa o ângulo
polar, tal que os valores φφφφ = 0 e φφφφ =
2⋅pi⋅pi⋅pi⋅pi representam o mesmo ponto.
Logo para que ΦΦΦΦ seja contínua em todo o espaço, temos
que a seguinte condição de contorno deve ser satisfeita
( ) ( )0 2φ φ piΦ = = Φ = ⋅
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A condição de contorno
Esta igualdade nos leva a
condição de existência da constante
m.
Zm∈ ⇒⇒⇒⇒ ,....3,2,1,0,1,2,3... −−−=m
,....3,2,1,0,1,2,3... −−−=m
Obtemos então a seguinte condição para a constante m
A análise desta solução nos permite concluir que o
comportamento quântico (grandezas discretas) surge
naturalmente, apenas como conseqüência da solução da
Equação de Schrödinger.
À constante m (um número inteiro qualquer) dá-se o
nome de número quântico magnético.
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Análise da solução para m
0m = 1,0, 1m = − +
O número quântico magnético especifica a orientação
permitida para uma nuvem eletrônica no espaço.
O número de orientações permitidas está diretamente
relacionado à forma desta nuvem eletrônica.
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
O número quântico magnético
A constante A pode ser determinada impondo o fato que
a função de onda deve ser normalizada.
Obtemos então
1
2
A
pi
=
⋅
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A determinação da constante A
( ) 1
2
i m
m e
φφ
pi
⋅ ⋅Φ = ⋅
⋅
Zm∈
,....3,2,1,0,1,2,3... −−−=m
Assim, temos que ΨΨΨΨ(r,θθθθ,φφφφ) é dada provisoriamente por
( ) ( ) ( )1, ,
2
i m
m r R r e
φθ φ θ
pi
⋅ ⋅Ψ = ⋅Θ ⋅
⋅
Zm∈ ,....3,2,1,0,1,2,3... −−−=m⇒⇒⇒⇒
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A forma provisória da solução geral ΨΨΨΨm(r,θθθθ,φφφφ)
1. Introdução
2. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
3. O Método de Separação de Variáveis
a. O Número Quântico Magnético
b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos
Esféricos
c. O Número Quântico Principal e a Quantização da
Energia
4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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5. O Spin do Elétron
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2 2 2
2
0
sin sin
sin
2 1
sin
4
d d d d
r R r
R r dr dr d d
e E r m
r
θ θ θ θ
θ θ θ
µ θ
pi ε
   
+ ⋅ Θ +   Θ   
  ⋅
+ ⋅ + ⋅ ⋅ =  
⋅ ⋅  h
Vamos voltar agora nossa atenção à equação escrita em
termos das variáveis θθθθ e r.
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
As variáveis θθθθ e r
Após outro exaustivo trabalho obtemos a separação
destas duas variáveis.
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
0
2
2
1 2 1
4
1
sin
sin sin
d d e
r R r E r
R r dr dr r
dm d
d d
µ
pi ε
θθ
θ θ θ θ θ
  ⋅ 
+ ⋅ + ⋅ =   
⋅ ⋅    
Θ 
= − ⋅ 
⋅Θ  
h
No lado esquerdo da
igualdade: uma função
que depende apenas
das variável r.
No lado direito da
igualdade: uma função que
depende apenas das
variável θθθθ.
AMBOS OS TERMOS
DEVEM SER IGUAIS
À MESMA
CONSTANTE b.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A separação das variáveis θθθθ e r
Temos então que
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
0
1 2 1 1
4
d d e
r R r E r l l
R r dr dr r
µ
pi ε
  ⋅ 
+ ⋅ + ⋅ = ⋅ +   
⋅ ⋅    h
( )
( ) ( )
2
2
1
sin 1
sin sin
dm d l l
d d
θθ
θ θ θ θ θ
Θ 
− ⋅ = ⋅ + 
⋅Θ  
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
As equações nas variáveis θθθθ e r
Vamos agora estudar a equação na variável θθθθ.
( ) ( ) ( )
2
2
1
sin 1
sin sin
m d d l l
d d
θ θ
θ θ θ θ θ
 
− ⋅ Θ = ⋅ + 
⋅Θ  
Vamos rearranjar os termos desta equação.
( ) ( ) ( )
2
2
1
sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
θ θ θ
θ θ θ θ
  
⋅ Θ + ⋅ + − ⋅Θ =     
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A equação na variável θθθθ
Esta equação na variável θθθθ leva um nome especial.
Ela é uma das formas da chamada Equação Associada de
Legendre.
A Equação Associada de Legendre é resolvida utilizando-
se a técnica de expansão em séries de potências.
Uma boa fonte de consulta para entender o método das
séries de potências para solução deste problema é o livro
Equações Diferenciais aplicadas à Física de Kleber Daum
Machado, 2a Edição.
A solução do problema da Equação Associada de
Legendre é apresentada no Capítulo 7 deste livro, pgs. 284-
300.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A solução da Equação Associada de Legendre
Vamos apresentar também a condição de existência da
solução para ΘΘΘΘ(θθθθ), bem como comentar as conseqüências
desta condição.
Dada a complexidade do processo de solução, não a
desenvolveremos aqui, deixando a cargo do estudante o
interesse pela procura da solução.
Assim, vamos apenas apresentar as soluções para a
função ΘΘΘΘ(θθθθ).
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A solução da Equação Associada de Legendre
( ) ( ) ( )
2
2
1
sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
θ θ θ
θ θ θ θ
  
⋅ Θ + ⋅ + − ⋅Θ =     
A série de potência que é solução da Equação Associada
de Legendre converge apenas quando também a constante b
assume a forma b = l⋅⋅⋅⋅(l+1), onde l também é um número
inteiro e positivo.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A solução da Equação Associada de Legendre
O processo de solução mostra que a constante l além de
ser um número inteiro e positivo deve ser tal que
, 1, 2,... 2, 1,0,1,2,..., 2, 1,lm l l l l l l= − − + − + − − − −
( ) ( ) ( )
2
2
1
sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
θ θ θ
θ θ θ θ
  
⋅ Θ + ⋅ + − ⋅Θ =    
( ) ( ) ( )
2
2
1
sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
θ θ θ
θ θ θ θ
  
⋅ Θ + ⋅ + − ⋅Θ =     
Desta forma, fixando o valor do número inteiro e positivo
l, fixamos também os possíveis valores do número quântico
magnético m.
, 1, 2,... 2, 1,0,1, 2,..., 2, 1,lm l l l l l l= − − + − + − − − −
Repetimos aqui a Equação Associada de Legendre na
variável θθθθ e a condição de existência de solução.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A solução da Equação Associada de Legendre
, 1, 2,... 2, 1,0,1,2,..., 2, 1,lm l l l l l l= − − + − + − − − −
A solução da Equação Associada de Legendre para a
situação onde temos m > 0 é escrita na forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
21cos 1 sin cos 1
2 ! cos
l m lm mm
l l ml
d
l d
θ θ θ
θ
+
+
 Θ = − ⋅ ⋅ −  
⋅
Não devemos nos esquecer que a condição de existência
de solução é
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
As Funções Associadas de Legendre: m > 0
, 1, 2,... 2, 1,0,1,2,..., 2, 1,lm l l l l l l= − − + − + − − − −
Para encontrar a solução da Equação Associada de
Legendre para a situação onde temos m < 0 fazemos
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )!cos 1 cos
!
mm m
l l
l m
l m
θ θ−
−
Θ = − ⋅ ⋅Θ
+
Não devemos nos esquecer que a condição de existência
de solução é
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
As Funções Associadas de Legendre: m < 0
Abaixo apresentamos algumas Funções Associadas de
Legendre para valores de l = 0 e m = 0.
( )00 cos 1θΘ =0=l 0=m
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
As Funções Associadas de Legendre: exemplos
Abaixo apresentamos algumas Funções Associadas de
Legendre para valores de l = 1 e m = 0,±±±±1.
( )01 cosθ θΘ =
( )11 1 sin2θ θ
−Θ =
( )11 sinθ θΘ = −
1=l
1−=m
0=m
1=m
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
As Funções Associadas de Legendre: exemplos
Abaixo apresentamos algumas Funções Associadas de
Legendre para valores de l = 2 e m = 0,±±±±1±±±±2.
( )2 22 3 sinθ θΘ = ⋅
( ) ( )0 22 1 3 cos 12θ θΘ = ⋅ −
( )12 3 cos sinθ θ θΘ = − ⋅ ⋅
( )12 1 cos sin2θ θ θ
−Θ = ⋅ ⋅
( )2 22 1 sin8θ θ
−Θ = ⋅
2=l
2−=m
1−=m
0=m
1=m
2=m
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
As Funções Associadas de Legendre: exemplos
1=l ( ) xxy = ( ) ( )1321 2 −⋅⋅= xxy2=l 3=l ( ) ( )xxxy ⋅−⋅⋅= 3521 3
4=l
( ) ( )33035
8
1 24 +⋅−⋅⋅= xxxy
6=l
( ) ( )5105315216
16
1 246
−⋅+⋅−⋅⋅= xxxxy
( ) ( )xxxxy ⋅+⋅−⋅⋅= 157065
8
1 35
5=l
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Alguns gráficos das Funções Associadas de Legendre
para m = 0
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Alguns gráficos das Funções Associadas de Legendre
para m = 0
( )1L l l= ⋅ + ⋅h
0=m
O número quântico secundário indica a forma do orbital e
o valor do momento angular orbital associado a ele.
Veremos mais à frente que o módulo do momento angular
orbital é dado por
Assim, temos que
0=l
0=L Simetria Esférica.⇒⇒⇒⇒
Orbital 1S
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
O número quântico secundário (ou azimutal) l
2=l h⋅= 6L
Para outros valores de l
1=l ⇒⇒⇒⇒ h⋅= 2L
⇒⇒⇒⇒
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
O número quântico secundário (ou azimutal) l
, 1, 2,... 2, 1,0,1,2,..., 2, 1,lm l l l l l l= − − + − + − − − −
Desta forma, após a solução para a variável θθθθ, temos que
ΨΨΨΨlm(r,θθθθ,φφφφ) é dada provisoriamente por
( ) ( ) ( )1, ,
2
m i m
lm lr R r e
φθ φ θ
pi
⋅ ⋅Ψ = ⋅Θ ⋅
⋅
ΘΘΘΘlm(θθθθ) é a Função
Associada de
Legendre de ordem l
e m.
*Zl ∈ ,.....3,2,1,0=l⇒⇒⇒⇒
Zm∈ ⇒⇒⇒⇒
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A forma provisória da solução geral ΨΨΨΨm(r,θθθθ,φφφφ)
1. Introdução
2. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
3. O Método de Separação de Variáveis
a. O Número Quântico Magnético
b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos
Esféricos
c. O Número Quântico Principal e a Quantização da
Energia
4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O Spin do Elétron
Voltemos à equação escrita em termos das variáveis r:
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
0
1 2 1 1
4
d d e
r R r E r l l
R r dr dr r
µ
pi ε
  ⋅ 
+ ⋅ + ⋅ = ⋅ +   
⋅ ⋅    h
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
0
11 2 1 0
4
l ld d e
r R r E R r
r dr dr r r
µ
pi ε
 ⋅ + ⋅ 
+ ⋅ + − ⋅ =   
⋅ ⋅    h
Fazemos as simplificações necessárias e rearranjamos
os termos desta equação:
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
De volta à equação na variável r
Após uma exaustiva manipulação, obtemos a solução
para a função R(r).
⇒⇒⇒⇒
*Zl ∈
1,...,3,2,1,0 −= nl
,....3,2,1=n
**Zn∈
⇒⇒⇒⇒
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A solução para R(r)
( ) ( )rLe
aa
rR nl
an
rl
⋅⋅





⋅





=
⋅
−
0
00
11
Nesta equação, Lnl(r) são os Polinômios de Laguerre de
ordem n e l.
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
1 1
, ,
2
lr
n a m i m
nlm nl l
r
r e L r e
a a
φθ φ θ
pi
−
⋅ ⋅ ⋅
 
Ψ = ⋅ ⋅ ⋅Θ ⋅ 
⋅  
Apresentamos então a função de onda ΨΨΨΨ como sendo
Zm∈ .,1,...,3,2,1,0,1,2,3,...1, llllm −−−−+−−=
⇒⇒⇒⇒
*Zl ∈ 1,...,3,2,1,0 −= nl
⇒⇒⇒⇒
,....3,2,1=n**Zn∈
⇒⇒⇒⇒
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
A versão quase definitiva para a função de onda ΨΨΨΨ
A grandeza a0 tem dimensão de comprimento e é
conhecida como raio de Bohr.
2
0
02
4
a
e
pi ε
µ
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
h
a0 = 0,0529 nm é o Raio de Bohr
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Definições importantes
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
Por sua vez, a constante n (n ∈∈∈∈ Z**) está associada à
energia do elétron ligado ao Átomo de Hidrogênio.
A energia do elétron ligado ao Átomo de Hidrogênio
Assim, obtemos para a energia do elétron:
( ) eVnn
eEn 222
0
4 6,131
42
−=⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
−=
hεpi
µ
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
**Zn∈ ⇒⇒⇒⇒ ,....3,2,1=n
( ) eVnn
eEn 222
0
4 56,131
42
−=
⋅⋅⋅⋅
⋅
−=
hεpi
µ
Como vimos, obtemos a quantização da energia no
Átomo de Hidrogênio.
EI = 13,56 eV é a energia do 
estado fundamental no 
Modelo de Bohr
Novamente, é importante salientar que a única hipótese
feita para chegar a este resultado é que a dinâmica do
sistema elétron+próton é governada pela Equação de
Schrödinger.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃODE VARIÁVEIS
A energia obtida através da solução da Equação de
Schroedinger
EI = 13,6 eV é a energia do estado
fundamental no Modelo de Bohr
Observe que este resultado é idêntico àquele obtido por
Bohr em seu modelo atômico.
Por outro lado, os princípios envolvidos em cada um dos
modelos são totalmente diferentes!!!
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
3. O MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
( ) eVnn
eEn 222
0
4 6,131
42
−=⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
−=
hεpi
µ
A comparação entre as energias obtidas por Bohr e pela
solução da Equação de Schroedinger
1. Introdução
2. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
3. O Método de Separação de Variáveis
a. O Número Quântico Magnético
b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos
Esféricos
c. O Número Quântico Principal e a Quantização da
Energia
4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O Spin do Elétron
O cálculo dos Polinômios de Laguerre não é difícil de ser
feito, embora seja extremamente trabalhoso.
O Método de Separação de Variáveis: cálculo de alguns
Polinômios de Laguerre Lnl
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
Para se ter uma ideia do quanto trabalhoso é este cálculo,
basta dizer que temos que impor a condição de normalização
da função de onda para cada par de índices n e l.
Vamos nos limitar então a escrever a função de onda para
cada trinca de números quânticos n, l e m para
posteriormente interpretar este resultado.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Para n = 1, temos que l = 0 e m = 0.
A função de onda do estado fundamental
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
( ) ( )
0
100 3
0
1 ra
r e
api
−
Ψ = ⋅
⋅
eVE 56,131 −=
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
ΨΨΨΨ100 apresenta simetria esférica,
pois depende apenas da variável r
4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Para n = 2, podemos ter l = 0 e m = 0.
Uma das funções de onda do primeiro estado excitado
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
eVE 40,32 −=
( )
( )
02
200 3
00
1 1
28
r
ar
r e
aapi
−
⋅
 
Ψ = ⋅ − ⋅ 
⋅ ⋅ ⋅
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
ΨΨΨΨ200 também apresenta simetria esférica, 
pois depende apenas da variável r
Além disso, ΨΨΨΨ200
também apresenta 
uma posição onde ela 
é nula, que ocorre em 
r = 2⋅⋅⋅⋅a0
4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Para n = 2, podemos ter também l = 1 com m = 1, m = 0 e
m = 1.
O Método de Separação de Variáveis: cálculo de algumas
funções de onda
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
eVE 40,32 −=
( ) ( ) θpiθ cos
1
24
1
,
02
0
2/3
0
210 ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=Ψ ⋅
−
a
r
e
a
r
a
r
( ) ( )
ϕθ
pi
ϕθ ⋅⋅
−
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
=Ψ ia
r
ee
a
r
a
r sin1
8
1
,,
02
0
2/3
0
211
( ) ( )
ϕθ
pi
ϕθ ⋅−⋅
−
−
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
=Ψ ia
r
ee
a
r
a
r sin1
8
1
,,
02
0
2/3
0
121
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Para n = 3, podemos ter l = 2 com m = 2, m = 1, m = 0, m =
-1 e m = -2.
O Método de Separação de Variáveis: cálculo de algumas
funções de onda
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
eVE 51,13 −=
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
( ) ( )
ϕθ
pi
ϕθ ⋅⋅
−
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅
=Ψ ia
r
ee
a
r
a
r sin1
8
1
,,
02
0
2/3
0
322
( ) ( ) θpiθ cos
1
24
1
,
02
0
2/3
0
210 ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=Ψ ⋅
−
a
r
e
a
r
a
r
Para n = 3, podemos ter l = 1 com m = 1, m = 0 e m = -1.
O Método de Separação de Variáveis: cálculo de algumas
funções de onda
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
eVE 51,13 −=
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Para n = 3, podemos ter l = 0 com m = 0.
O Método de Separação de Variáveis: cálculo de algumas
funções de onda
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
eVE 51,13 −=
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
4. OS ESTADOS QUÂNTICOS NO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
1. Introdução
2. Equação de Schroedinger para o Átomo de Hidrogênio
3. O Método de Separação de Variáveis
a. O Número Quântico Magnético
b. O Número Quântico Secundário e os Harmônicos
Esféricos
c. O Número Quântico Principal e a Quantização da
Energia
4. Os Estados Quânticos do Elétron no Átomo de Hidrogênio
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O Spin do Elétron
Em 1922, Otto Stern (1888-1969) e Walther Gerlach (1889-
1979) planejaram um experimento para determinar se
elétrons têm momento de dipolo magnético intrínseco.
É importante frisar que este experimento foi conduzido
tendo em mente o Modelo Atômico de Bohr.
Otto Stern
(1888-1969)
Walther Gerlach
(1889-1979)
5. O SPIN DO ELÉTRON
Um pouco de história
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
O arranjo experimental do experimento de Stern-Gerlach
é mostrado abaixo.
O aparelho de Stern-Gerlach consiste essencialmente
num imã produzindo um campo magnético não uniforme.
Descrição do arranjo experimental
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O SPIN DO ELÉTRON
Um feixe de átomos penetra no imã numa direção
perpendicular ao gradiente do campo magnético.
Em consequência da interação do
seu momento de dipolo magnético
intrínseco (spin) com o campo
magnético, os átomos sofrem uma
deflexão na sua passagem pelo
campo.
Na saída do imã, os átomos são detectados por
contadores, que podem eventualmente atuar como filtros.
O experimento
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O SPIN DO ELÉTRON
Pode-se mostrar que um campo magnético não uniforme
aplica sobre um momento de dipolo magnético uma força na
direção do gradiente do campo.
Interpretação do experimento
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O SPIN DO ELÉTRON
O valor da força é proporcional ao gradiente do campo e
à componente do momento de dipolo magnético na direção
deste gradiente.
A força defletora
z
B
F zzz ∂
∂
⋅= µ
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O SPIN DO ELÉTRON
Esta força provoca um desvio na trajetória da partícula.
z
BF zzz ∂
∂
⋅= µ
O desvio depende do momento de dipolo magnético da
partícula.
A força defletora e o momento de dipolo magnético
Partículas com diferentes valores de µµµµz sofrem diferentes
desvios e se chocam com o anteparo em alturas diferentes.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O SPIN DO ELÉTRON
z
B
F zzz ∂
∂
⋅= µ
No experimento de Stern-Gerlach as partículas são
átomos neutros de prata (Ag) obtidos por evaporação do
metal em um forno.
Átomos de prata deixam o forno pela abertura, com uma
distribuição de velocidades determinada pela temperatura do
forno.
Os átomos de prata que conseguem passar pelos
colimadores tem uma velocidade praticamente horizontal.
Detalhes do experimento
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O SPIN DO ELÉTRON
z
B
F zzz ∂
∂
⋅= µ
O feixe de átomos colimado atravessa a região de
gradiente de campo magnético, onde cada átomo é desviado
de acordo com seu valor de µµµµz.
Assim, o aparato de Stern-Gerlach divide o feixe de
átomos original em tantos feixes quantos os forem os
valores de µµµµz presentes.
Por causada dispersão na
distribuição das velocidades, os
feixes de cada µµµµz são alargados.
Mais detalhes do experimento
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O SPIN DO ELÉTRON
Os átomos de prata são divididos em dois feixes: um
para cima, que corresponde a +µµµµB e outro para baixo, que
corresponde a -µµµµB.
Resultados do experimento de Stern-Gerlach
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
5. O SPIN DO ELÉTRON
A partir dos resultados obtidos por Stern e Gerlach, em
1925, Samuel A. Goudsmit (1902-1978) e George Eugene
Uhlenbeck (1900-1988) sugeriram que o elétron possui um
momento angular intrínseco.
Eles denominaram este
momento angular intrínseco de
spin.
Samuel Goudsmit
(1902-1978)
George Uhlenbeck
(1900-1988)
5. O SPIN DO ELÉTRON
Um pouco de história
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
O elétron (e outras partículas como o próton e o nêutron)
possui um outro grau de liberdade além dos representados
pelas três coordenadas espaciais.
Assim, ele têm um outro número quântico, associado a
um momento angular, adicional ao momento angular orbital,
que chamamos de momento angular de spin.
Embora o nome dado possa induzir a erro, não se trata de
um momento angular devido a rotação do elétron em torno
de si mesmo pois, até onde sabemos o elétron não tem
estrutura.
5. O SPIN DO ELÉTRON
Mais um número quântico
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
Uma componente qualquer do momento angular de spin
do elétron, Sz por exemplo, admite apenas os valores
h
2
1±=zS
Como vemos o momento angular de spin admite apenas
múltiplos semi-inteiros da quantidade elementar h/2pipipipi.
5. O SPIN DO ELÉTRON
Interpretação deste momento angular intrínseco
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
É importante salientar aqui que o momento angular de
spin é um momento angular.
Logo, temos que
Desta forma, as variáveis dinâmicas a ele associadas têm
autovalores exatamente similares aos correspondentes do
momento angular orbital.
( ) 22 1 h⋅+⋅= llL
h⋅= lz mL
( ) 22 1 h⋅+⋅= ssS
h⋅= sz mS ssssms ,1,....,1, −+−−=
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
5. O SPIN DO ELÉTRON
Propriedades do momento angular de spin
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
h
2
1
−=
−zS
A diferença entre o momento angular orbital e o de spin é
que no caso orbital para o elétron, l pode admitir qualquer
inteiro positivo, incluindo o zero.
h
2
1
+=+zS
Também nos referimos como spin
para cima e spin para baixo ou spin + e
spin – ou ↑↑↑↑ e ↓↓↓↓.
Já no caso do spin do elétron, a única possibilidade é
que s = ½.
Assim, podemos ter apenas ms = ½ e ms = - ½.
5. O SPIN DO ELÉTRON
Propriedades do momento angular de spin
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
h
2
1
−=
−zS
A partir deste resultado, associamos a este momento
angular intrínseco o número quântico de spin ms.
h
2
1
+=+zS
Assim, para a descrição do estado quântico de um
elétron é necessário, além de especificar a função de onda
ΨΨΨΨnlm, especificar também o seu estado de spin, isto é
2
1
+=sm
2
1
−=sm
slmnlmΨ
5. O SPIN DO ELÉTRON
O número quântico de spin
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio
Um auto-estado de um elétron no átomo de hidrogênio,
por exemplo, pode ser especificado por n, l, ml e ms.
Na teoria de Schrodinger a energia do elétron é
independente do spin, e as funções de onda são idênticas
para os estados com ms = ½ e ms = - ½ .
Assim, a degenerescência de um nível n, que era n2
devido à multiplicidade de l e m (n valores para l e 2⋅⋅⋅⋅l+1
valores de ml para cada l), passa a ser 2⋅⋅⋅⋅n2 devido à
degenerescência de spin.
5. O SPIN DO ELÉTRON
Os estados de energia
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Física para Engenharia Elétrica – O Átomo de Hidrogênio