1a_Avaliacao_Alg_Lin_2-2013-02 - Gabarito

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QUESTÕES - GABARITO 
Questão 01. Seja o espaço das matrizes de ordem . Sejam 
uma matriz fixa e 
 { } 
um subconjunto de . 
(a) Mostrar que é um subespaço vetorial de . 
RESOLUÇÃO: Vamos mostrar que é subespaço de . Sejam e . 
Temos que: 
(i) 
 
Logo, . 
(ii) 
 Logo, . 
Portanto, é subespaço de V. 
(b) Seja o espaço das matrizes triangulares superiores. Mostrar que se 
 (
 
 
), então . 
RESOLUÇÃO: O espaço das matrizes triangulares superiores é dado por 
 ,(
 
 
) - , (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) - 
 
Curso: Engenharia – Ciclo Básico Aluno (a): 
Disciplina: Álgebra Linear II Matrícula: Turma: Período: 
 
Professor (a): Semestre: Data: Nota: 
ORIENTAÇÕES GERAIS: 
1. Leia com atenção a sua prova. Cada questão valerá até ( 2,0 ) pontos. 
2. Esta avaliação é INDIVIDUAL E SEM CONSULTA. 
3. O aluno só poderá entregar a prova trinta minutos após o início da mesma. 
4. As dúvidas de ordem técnica, constantes da prova, só poderão ser esclarecidas pelo professor da disciplina, nos primeiros quarenta minutos do início da 
prova. 
5. É proibido destacar páginas da prova, bem como utilizar qualquer outra folha de papel, a não ser a entregue pelo(a) professor(a) fiscal, para rascunhos. 
6. A avaliação pode ser respondida a lápis, porém o resultado final da questão deverá ser apresentado, obrigatoriamente, em caneta, tinta azul ou preta. 
7. É proibido uso de celulares, tablets e outros aparelhos de comunicação durante a prova. 
8. Todo material é de uso individual, não sendo permitido empréstimo de qualquer material durante a realização da prova. 
9. O tempo máximo para a realização da prova é de 100 minutos. 
10. A portaria n. 024/2008/GD/EST/UEA estabelece que, em dia de prova, o aluno dos cursos de Engenharia, Tecnologia, Licenciatura em Informática e 
Meteorologia compareça ao local determinado para a realização de prova munido de documento oficial, original, com foto, para apresentação, se solicitado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 *(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)+ Agora observe que se (
 
 
) e (
 
 
) 
então pode ser reescrito como 
 ,(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)- 
Daí tem-se 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
implicando em 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
donde obtemos 
(
 
 
) (
 
 
) 
que nos fornece o sistema linear 
{
 
 
 
 
 
Uma solução deste sistema é e , assim o subespaço ficará 
da forma 
 ,(
 
 
) - , (
 
 
) - *(
 
 
)+ 
Logo, *(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)+ . Note que (
 
 
) (
 
 
) , 
(
 
 
) e (
 
 
) são L.I. De fato, 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
nos fornece (
 
 
) (
 
 
) . Assim, 
,(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)- 
é uma base de . Logo, . Sendo subespaço de e 
 , então . Esta soma é direta, pois , 
 e aplicados a relação 
 
 
 
 
 
 
nos fornecem o que implica que { }. 
Questão 02. Dados os vetores e , responda: 
(a) Os vetores e geram o 
 ? Justifique. 
RESOLUÇÃO: Não, pois [ ] 
 
(b) Seja um terceiro vetor de 
 . Quais as condições sobre , para que 
{ } seja uma base de 
 ? 
RESOLUÇÃO: Basta que { } seja L.I e que [ ] 
 . 
(c) Encontre um vetor que complete, junto com e , uma base do 
 . 
RESOLUÇÃO: Basta escolher um vetor que seja de e . Por exemplo, 
tome (produto vetorial), e teremos que { } é L.I e que 
[ ] 
 , pois [ ] e [ ] é subespaço de 
 . 
Questão 03. Determine a transformação linear tal que 
 e . 
RESOLUÇÃO: Seja . Temos que: 
 
nos fornece ,
 
 
 donde 
 
 
 e 
 
 
. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, aplicando a transformação em ambos os lados da igualdade acima obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares. 
Determine quais destas transformações são injetivas e quais são sobrejetivas. 
(a) , em que , sendo (
 
 
). 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: Vamos encontrar o núcleo de . Observe que se (
 
 
) então 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
Assim, { } ,(
 
 
) (
 
 
) 
(
 
 
)- ,(
 
 
) - ,(
 
 
) -. Logo, 
 , (
 
 
) (
 
 
) - *(
 
 
) (
 
 
)+ 
Observe que ,(
 
 
)-, logo não é injetiva. 
Agora vamos encontrar a imagem de . Observe que 
 ,(
 
 
) -
 , (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)-
 *(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)+ *(
 
 
) (
 
 
)+ 
Como , concluímos que , isto é, 
não é sobrejetiva. 
(b) 
 , em que . 
RESOLUÇÃO: Temos que 
 { }
 { } 
Assim, obtemos o sistema 
{
 
 
 
 
 
Logo, { } e, assim é injetiva. Por fim, veja que 
 { }
 { } 
Como , isto é, , e 
 , 
concluímos que , isto é, não é sobrejetiva. 
 
 
 
 
Questão 05. Sejam os espaços vetoriais , o espaço dos polinômios 
de grau e o espaço das matrizes reais . Considere 
 e transformações lineares e { } { 
 } e ,(
 
 
) (
 
 
)- bases de e , respectivamente. Dadas as matrizes 
de e : 
[ ] 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] [ ] 
 
 [
 
 
 
 
 
 
] 
Faça o que se pede: 
(a) Se , determine . 
RESOLUÇÃO: Temos que a matriz de em relação as bases e é 
[ ] 
 [ ] 
 
 [ ] 
 
Assim, 
[ ] 
 [
 
 
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
 
*
 
 
+ 
Seja . Temos que na base é da forma [ ] *
 
 
+, onde 
 
Assim, {
 
 
 donde obtemos 
 
 
 e 
 
 
 
. Portanto, as coordenadas de em relação à base são 
[ ] [ ] 
 [ ] 
 
 
*
 
 
+ [
 
 
 
 
] 
 
 
*
 
 
+ [
 
 
][
 
 
] 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
(
 
 
) (
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
) 
(
 
 
 
 
) 
(b) é invertível? Em caso afirmativo, determine (*
 
 +). 
RESOLUÇÃO: A aplicação é invertível, pois [ ] 
 [ ] 
 . 
Sabemos que a inversa de tem sua matriz em relação às bases e dada por 
[ ] 
 ([ ] 
 )
 
 *
 
 
+ *
 
 
+ 
Assim, para um vetor (
 
 ) temos que [ ] *
 
 
+ onde (
 
 
) (
 
 
) . Daí, 
obtemos (
 
 ) (
 
 
) que nos fornece 
 
 
 e 
 
 
. Logo, 
* (
 
 )+
 
 
 [ ] 
 [ ] *
 
 
+ [
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
]
 [
 
 
 
 
] [
 
 
] 
Portanto, (
 
 )