NP1 Transporte

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UNIVERSIDADE PAULISTA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CAMPUS BRASÍLIA
616W – FENOMENOS DE TRANSPORTE 
NP1
 
FRANKLIN CÉSAR ALVES DO NASCIMENTO 
RA: T133FF-3
TURMA: TT0S30
Teorema de Transporte de Reynolds 
Introdução
O Teorema do Transporte de Reynolds é o teorema fundamental utilizado na formulação das leis básicas da dinâmica dos fluidos, que são a equação da conservação de massa (ou equação da continuidade), as equações de conservação de quantidade de movimento e a equação de conservação de energia. Na Física e na Engenharia, estas leis são conhecidas, respectivamente, como: lei da conservação da massa, segunda lei de Newton e leis da Termodinâmica.
O Teorema do Transporte de Reynolds se refere a taxa de variação de uma propriedade extensiva, N, de um fluido em um volume de controle e é expressa em termos da derivada material. Seu propósito é fornecer uma ligação entre os conceitos ligados aos volumes de controles àqueles ligados a sistemas.
Conceitos 
A análise cinética dos fluidos baseia-se na classificação das propriedades e do regime de escoamento do fluido em questão. A primeira distinção é com relação às propriedades elásticas do fluido. Se a massa específica do fluido permanecer uniforme e constante, o fluido é classificado como incompressível, caso contrário, o fluido é classificado como compressível. Quase sempre os líquidos podem ser considerados como fluidos incompressíveis. Além dessa distinção, é importante identificar os diferentes regimes de escoamento de um fluido. Se as propriedades do fluido, em cada ponto do espaço, permanecerem constantes com o tempo, o regime de escoamento é dito permanente (ouestacionário), já se as propriedades desse fluido em um determinado ponto variam com o tempo, este regime é denominado não permanente(ou não estacionário).
As tensões em sólidos surgem quando estes são cilhados elasticamente, já para fluidos as tensões de cisalhamento são desenvolvidas em decorrência de escoamento viscoso. Assim, pode-se afirmar que sólidos são elásticos e fluidos são viscosos.  Grandezas como pressão, temperatura e massa específica são variáveis termodinâmicas características de qualquer sistema. Já a viscosidade é uma grandeza que caracteriza o comportamento mecânico de um fluido.
            
A viscosidade é uma medida do atrito interno do fluido, assim, representa a resistência que um fluido oferece ao escoamento. Um fluido de viscosidade nula é denominado de fluido perfeito, ou superfluido, e um exemplo é o hélio líquido.
         Para a medição da viscosidade empregam-se instrumentos denominados de viscosímetros. Entre os tipos de viscosímetros, vale citar oViscosímetro de Stokes, no qual a viscosidade é determinada por meio de medições do tempo de queda livre de uma esfera através de um fluido estacionário. Nos estudos sobre viscosidade pode-se definir dois tipos de viscosidade: dinâmica e cinemática.
 
Escoamento Laminar
           No experimento de Reynolds, para pequenas vazões, o corante formava um filete contínuo paralelo ao eixo do tubo (Figura 1). Nesse regime, o escoamento é chamado de laminar e é caracterizado pelo fato da velocidade do fluido em um ponto fixo qualquer não variar com o tempo, nem em módulo nem em orientação. Assim, as partículas do fluido deslocam-se sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas (ou camadas), sendo que cada lâmina de fluido exerce uma força sobre a camada mais próxima, contudo, como o a vazão não é elevada, as lâminas não se misturam. Um regime laminar pode ser observado durante o escoamento suave de água na parte central de um rio de águas calmas.
 
Figura 1: Ilustração de regime de escoamento laminar no experimento de Reynolds (F. White, Fluid Mechanics, 2009).
 
 
Escoamento Turbulento
             Ainda considerando o experimento de Reynolds, com o aumento da vazão, a velocidade das partículas do corante aumenta, resultando no desaparecimento do filete colorido, já que as partículas fluidas rapidamente se misturam enquanto se movimentam (Figura 2). Esse regime de escoamento é denominado turbulento e é caracterizado pelo fato do campo de velocidades das partículas do fluido mudar com o tempo de forma aparentemente aleatória.
 
 
Figura 2: Ilustração de regime de escoamento turbulento no experimento de Reynolds (F. White, Fluid Mechanics,2009).
 
Tensão de Cisalhamento
             Considerando um fluido, inicialmente em repouso, entre placas ao submeter a placa superior a uma força F, essa será arrastada ao longo do fluido com velocidade v (Figura 3). Nesta configuração, a tensão de cisalhamento é definida como sendo a razão entre o módulo da força tangente à superfície (F) e a área (A) submetida à ação da força:
 
Figura 3: Deformação de um fluido submetido a uma força tangencial F (R. W. Fox, et al., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 2014).     
 
         Para fluidos newtonianos (fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação) em regime de escoamento laminar, a constante de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação (dv/dy) é a viscosidade absoluta(ou dinâmica), µ.         
 
 
Onde v é a velocidade impressa pela força Ft e y é a altura da camada de fluido.
         A equação anterior é conhecida como lei de Newton da viscosidade e é aplicada para escoamentos laminares. Embora muitos escoamentos turbulentos de interesse sejam permanentes na média, a presença de flutuações aleatórias da velocidade torna a análise do escoamento turbulento difícil. Assim, para o regime de escoamento turbulento não existem relações universais entre a tensão e a velocidade média. Portanto, para o escoamento turbulento deve-se que considerar teorias semiempíricas e dados experimentais. 
 
Número de Reynolds (Re)
          Durante seus estudos sobre a transição entre os regimes de escoamentos laminar e turbulento Reynolds descobriu o parâmetro que permite determinar o regime de escoamento. Esse parâmetro é conhecido como número de Reynolds (Re):
 
 
Sendo:
         ρ é massa específica do fluido;
         v é a velocidade média de escoamento do fluido;
         L é um comprimento característico da geometria de escoamento;
         µ é a viscosidade dinâmica do fluido; e
   é a viscosidade cinemática do fluido.
         
    	Pode-se estimar se as forças viscosas são ou não desprezíveis em relação às forças de pressão por meio do cálculo do número de Reynolds. Se o número de Reynolds for “grande”, os efeitos viscosos são desprezíveis; se o número de Reynolds for “pequeno” os efeitos viscosos são dominantes.
             Para escoamentos em tubos, sob condições normais, a transição para o regime de turbulência ocorre para:
Re ≈ 2300
 
Viscosidade absoluta ou dinâmica 
 
           Para fluidos newtonianos a tensão de cisalhamento de escoamento (t) é proporcional à taxa de deformação do fluido (dv/dy), e a constante de proporcionalidade entre essas grandezas é a viscosidade dinâmica (ou absoluta), µ. Dessa forma, para o escoamento unidimensional, tem-se a lei de Newton da viscosidade:
 
 
            Vale destacar que, as dimensões de t são [F/L²] e as dimensões de (dv/dy) são [T-1]. Portanto, as dimensões da viscosidade dinâmica µ são [FT/L²]. Como as grandezas força, massa, comprimento e tempo são relacionadas pela segunda lei do movimento de Newton, as dimensões de µ também podem ser representadas por [M/LT]. Na Tabela 1 a seguir são mostradas as unidades para viscosidade dinâmica no Sistema Internacional (ou MKS) e no sistema CGS.
 
 
  Tabela 1: Unidades para viscosidade dinâmica (µ) no Sistema Internacional e no CGS.
 
Segundo autor: No sistema CGS de unidades a viscosidade é dada em poise, símbolo P, em homenagem ao médico fisiologista e físico francês Jean-Louis-Marie Poiseuille, que estudou o efeito da viscosidade no escoamento de fluidos em um tubo, com o propósito de entender a circulação sanguínea.A viscosidade é uma grandeza que depende do estado do fluido. Portanto, a viscosidade depende da temperatura e da pressão. Para gases a viscosidade aumenta com temperatura, enquanto que para líquidos a viscosidade decresce com o aumento da temperatura. Na Tabela 2 são mostrados alguns valores de viscosidade em função da temperatura para: ar, água e óleo lubrificante SAE 30. A classificação SAE de óleos lubrificantes de motores e transmissões refere-se a uma denominação da Society of Automotive Engineers (Sociedade dos Engenheiros Automotivos dos Estados Unidos).
 
Tabela 2: Valores de viscosidade dinâmica em função da temperatura para alguns fluidos.
 
Viscosidade cinemática
 
            Em mecânica dos fluidos a viscosidade cinemática (u) é definida como sendo razão entre a viscosidade dinâmica (µ) e massa específica (ρ):
 
 
            Como a viscosidade dinâmica tem dimensões [M/LT] e a massa específica dimensões de [M/L³], então a viscosidade cinemática tem dimensões de [L²/T]. Ela é chamada de cinemática, pois essa grandeza não depende da massa do fluido. Na Tabela 3 são mostradas as unidades para viscosidade cinemática no SI e no CGS.
 
Tabela 3: Unidades para viscosidade cinemática (u) no Sistema Internacional e no CGS.
 
Exemplo:
               Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido. Para uma altura d da camada, pode-se supor uma distribuição linear de velocidade no fluido. A viscosidade do líquido é 0,0065 g/cm e sua densidade relativa é 0,88.
 
 
Determinar:
(a) A viscosidade dinâmica do líquido, em Pa·s.
 
Solução:
 
         Lembrar que as dimensões da viscosidade dinâmica µ são [FT/L²] ou também podem ser representadas por [M/LT]. Portanto, µ = 0,0065 g/cm·s em unidade do SI pode ser determinada por:
 
 
 
 
 
(b) A viscosidade cinemática do líquido, em m²/s.
 
Solução:
 
            Lembrar que a densidade relativa (dr) de um líquido é a razão entre a massa específica deste líquido (ρ) e a massa específica da água (ρágua = 1000 kg/m³). Assim:
 
 
Portanto, a viscosidade cinemática do líquido é:
 
 
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior, em N/m².
 
Solução: 
            Para a resolução deste item deve-se considerar a distribuição linear velocidade (figura). Como u varia linearmente com y, a taxa de deformação é:
 
 
Assim, a tensão de cisalhamento pode ser calculada como:
 
 
 
 
 
Conclusão 
	Conclui-se que após analisar os conceitos, que o Teorema de Reynolds é o teorema fundamental utilizado na formulação das leis básicas da dinâmica dos fluidos, que são a equação da conservação de massa ou equação da continuidade.
Referências
www.mspc.eng.br/fldetc/fld_retrte_10.shtml>
Acessado em 10/04/2017
www2.eesc.usp.br/netef/Oscar/Aula10.pdf>
Acessado em 10/04/2017
www.ebah.com.br/content/ABAAAA_foAG/teorema-transporte-reynolds>
Acessado em 11/04/2017
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/5178
Acessado em 11/04/2017