NP2 1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE PAULISTA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CAMPUS BRASÍLIA
979S – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
NP2
 
FRANKLIN CÉSAR ALVES DO NASCIMENTO 
RA: T133FF-3
TURMA: TT0S30
QUI-QUADRADO
Introdução
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:
fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)
onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.
 
CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes)
                            de coeficientes variáveis (pelo menos um fi  variável)
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:
    P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y
   e  
logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.
 
TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .
Ex: 
Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema: 
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: 
  - 3x²y = x²   ou      =  x²dx =   + C
A multiplicação por  dá a solução:
Metodologia 
Uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes é escrita como
onde a, b e c são números reais.  A sua solução geral é encontrada seguindo os seguintes passos:
Passo1:    escreva sua equação característica associada
Que é uma equação do segundo grau, cujas soluções são dadas por:
 
                              
Passo 2:   Quando   e  são números reais e diferentes o que ocorre quando  , então a solução geral da EDO  é:  
Passo 3:  quando   o que ocorre quando    então a solução geral da EDO é:
Passo 4:  Quando   e   são números complexos o que ocorre quando  , então a solução geral é:  
onde
,
Isto é,
Exemplo: Encontre a solução geral do PVI:
Solução: Seguindo os passos descritos acima:
Passo 1:  Equação característica associadas é:
Uma vez que , nós temos raízes complexas .  Portanto   e ;
Passo 2: A solução geral é:
;
Passo 3:  Para encontrarmos a solução particular do PVI, usamos as condições iniciais para encontrarmos .
 
Usando a primeira condição inicial, temos que
.
Derivando y em relação a x na equação do passo 2, obtemos:
           
Usando a segunda condição inicial
Destas duas equações concluímos que  
,
O que fornece a solução do PVI
Conclusão
	Concluiu-se que equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem são equações que pertencem ao grupo das equações diferenciais lineares e satisfazem as duas características exigidas para tal. 
{\displaystyle a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=r(x),}
Referências
http://www.igm.mat.br/cursos/edo/edo_ordem2/edo_linear.htm
acessado, em 10/05/2017
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3536
acessadom em 10/05/2017