2006 1 MAT131 lista2

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas - CCE
Departamento de Matema´tica
2a Lista de Exerc´ıcios de MAT131 - Introduc¸a˜o a A´lgebbra -
2006-I
1. Simplificar a expressa˜o:
(a) (A ∩B) ∪ (A ∩B′)
(b) (A ∪B) ∩ (A ∪B′)
(c) (U ∪B) ∩ (A ∪∅)
(d) (∅ ∩B) ∪ (A ∩B)
(e) (A ∪B) ∩ (AC ∪B) ∩ (A ∪BC) ∩ (AC ∪B)
2. Provar que:
(a) Se A ⊂ ∅ enta˜o A = ∅
(b) Se A ⊂ C e B ⊂ C enta˜o A ∩B ⊂ C
(c) Se A ⊂ B e C ⊂ D enta˜o A ∩ C ⊂ B ∩D
(d) A ∩B = ∅⇒ A ∩BC = A
(e) AC ⊂ BC ⇔ A ∩B = B
(f) Se A ∩B = A e A ∩ C 6= ∅⇒ B ∩ C 6= ∅
3. Sejam X1, X2, Y1, Y2, subconjuntos do conjunto universo U . Suponha que
X1 ∪ X2 = U e Y1 ∩ Y2 = ∅, que X1 ⊂ Y1 e que X2 ⊂ Y2. Prove que X1 = Y1,
X2 = Y2.
4. Mostre que, para todo m > 0, a equac¸a˜o
√
x+m = x tem exatamente uma raiz.
5. Numa universidade sa˜o lidos apenas dois jornais, X e Y . 80% dos alunos da
mesma leˆem o jornal X e 60%, o jornal Y . Sabendo-se que todo aluno e´ leitor
de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual de alunos que leˆem.
6. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, enta˜o quantos elementos tem A.
7. Apo´s um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y . Sabe-se que das 10 pessoas
presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as
duas. Quantas na˜o comeram nenhuma das sobremesas?
8. Dados os conjuntos A, B e C, tais que: n(B ∪ C) = 20 ; n(A ∩ B) = 5 ;
n(A ∩ C) = 4 ; n(A ∩ B ∩ C) = 1; n(A ∪ B ∪ C) = 22. Nestas condic¸o˜es, qual
o nu´mero de elementos de A− (B ∩ C).
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9. Sejam A,B e C conjuntos finitos. O nu´mero de elementos de A ∩ B e´ 30, o
nu´mero de elementos de A∩C e´ 20 e o nu´mero de elementos de A∩B ∩C e´ 15.
Enta˜o qual e´ o nu´mero de elementos de A ∩ (B ∪ C).
10. Sendo a e b reais quaisquer, quais sa˜o os nu´meros poss´ıveis de elementos do
conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a, b}}.
11. Depois de n dias de fe´rias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manha˜ ou a` tarde;
b) quando chove de manha˜ na˜o chove a` tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manha˜s sem chuva.
Quanto vale n?
12. 52 pessoas discutem a prefereˆncia por dois produtos A e B, entre outros e conclui-
se que o nu´mero de pessoas que gostavam de B era:
I - O qua´druplo do nu´mero de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do nu´mero de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do nu´mero de pessoas que na˜o gostavam de A nem de B.
Nestas condic¸o˜es, qual o nu´mero de pessoas que na˜o gostavam dos dois produtos.
13. 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo
e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5,
3 visitaram tambe´m Sa˜o Paulo. O nu´mero de estudantes que visitaram Manaus
ou Sa˜o Paulo foi: a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5
14. Treˆs nu´meros ı´mpares e consecutivos, cujo produto e´ igual a 7 vezes a sua soma,
se somados, resulta em quanto?
15. Para se avaliar uma prova com 15 questo˜es, estabeleceu-se que, para cada questa˜o
certa, ganha-se 4 pontos e que, para cada questa˜o errada, perde-se 3 pontos.
Considerando-se os erros cometidos, um aluno que, nesta prova, obteve 11 pontos,
teve quantos acertos?
16. Construir o diagrama cartesiano de cada um dos seguintes produtos:
(a) {x ∈ R/ 1 6 x 6 4} × {x ∈ R/− 2 6 x 6 3}
(b) {x ∈ R/ − 3 6 x 6 3} × {x ∈ R/− 1 6 x 6 2}
(c) (−2, 3]× [−3,∞)
(d) (−3, 1]× (−∞, 2]
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17. Calcular os produtos cartesianos:
(a) {x ∈ N/(x− 1)(x− 3) = 0} × {x ∈ N/(x− 2)(x− 3) = 0)}
(b) {x ∈ R/ 0 6 x 6 1} × {x ∈ R/0 6 x 6 1}
(c) {x ∈ R/|x| 6 2} × {y ∈ R/− 1 < y 6 3}
18. Prove por induc¸a˜o:
(a) 22n−1 · 3n+2 + 1 e´ divis´ıvel por 11, ∀n ∈ N, n ≥ 1.
(b) 22n + 15n− 1 e´ divis´ıvel por 9, ∀n ∈ N, n ≥ 1.
(c) 32n+1 + 2n+2 e´ divis´ıvel por 7,∀n ∈ N.
(d) 34n+2 + 2 · 43n+1 e´ mu´tiplo de 17,∀n ∈ N.
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