Lista 1

Prévia do material em texto

FSMA - Faculdade Salesiana Maria Auxiliadora
Engenharias Química, de Produção e da Computação
Cálculo Integral a Várias Variáveis
Professor: Marques Fredman Mescolin
http://sites.google.com/site/mescolinmarques
mescolinmarques@gmail.com
Lista 1 - Integração em funções de uma variável
I � Antiderivadas (a Integral indefinida)
Definição: Uma função F é chamada antiderivada de uma função f em um intervalo I,
se F ′(x) = f(x), para todo x no intervalo.
Observando a definição apresentada, convém mencionar que se F (x) for qualquer antide-
rivada de f(x) num dado intervalo I, então para qualquer constante C, a função F (x) + C
também será uma antiderivada de f(x) naquele intervalo, uma vez que a derivada de F (x)+C
é dada por (F (x) + C)′ = F ′(x) + C ′ = F ′(x) = f(x). Deste modo, podemos afirmar que
a antiderivada de uma função f(x) deve ser escrita na forma F (x) + C, onde C é uma
constante qualquer. O processo para encontrar antiderivadas, chama-se antidiferenciação
ou integração. Assim, temos que se
d
dx
[F (x)] = f(x),
então, ∫
f(x)dx = F (x) + C.
Onde
∫
é o sinal de integração ou a integral indefinida (que é um sinônimo para antide-
rivação ou antidiferenciação) e a função f(x) é chamada integrando. Além disto, o símbolo
dx indica qual é a variável dependente (a variável a ser integrada) e portanto, complementa
o símbolo da integral.
Observamos ainda que por simplificação, dx é, às vezes absorvido no integrando. Por
exemplo,
∫
1dx pode ser escrita como
∫
dx e ainda,
∫
1
x2
dx pode ser escrita de maneira
mais simples por
∫
dx
x2
.
1
II � Exercícios
1. Nos itens a seguir, verifique se a função g(x) é uma antiderivada para a função f(x).
(a) f(x) = 12x2 − 6x+ 1, g(x) = 4x3 − 3x2 + x− 1
(b) f(x) = (x− 1)3, g(x) = 1
4
x4 − x3 + 3
2
x2 − x+ 753
2. Em cada ítem a seguir, verifique se igualdade está correta, derivando a solução dada.
(a)
∫
x sinxdx = − cosx+ C
(b)
∫
xexdx = (x+ 1)ex + C
(c)
∫ √
1 + x2dx =
x√
1 + x2
+ C
3. Mostre que g(x) =
x+ 1
x− 1 é uma antiderivada de f(x) =
−2
(x− 1)2
4. Sabendo que g(x) =
x
1 + x
é uma antiderivada de f(x) =
1
(x+ 1)2
, encontre um nú-
mero infinito de antiderivadas de f .
5. Nos itens seguintes, encontre a derivada e estabeleça a fórmula de integração corres-
pondente:
(a)
d
dx
√
x3 + 5
(b)
d
dx
x
x2 + 3
(c)
d
dx
(sinx− x cosx)
6. Este exercício proprõe itens para a construção de uma tabela de integrais.
(a) Qual é a função F (x) tal que F ′(x) = 2x? E tal que F ′(x) = 4x? E F ′(x) =
−7x?
(b) Qual é a função F (x) cuja derivada é F ′(x) = x2? E F ′(x) = x3? Generalize
este resultado.
(c) Observe uma tabela de derivadas e determine
∫
sinxdx e
∫
cosxdx.
2
III � Tabela com as fórmulas de integração:
Apresentamos na tabela seguinte, as principais regras de integração. Caso seja necessário,
você pode consultar em outros livros uma tabela mais abrangente.
f(x)
∫
f(x)dx
f(x) = k
∫
kdx = kx+ C
f(x) = xn
∫
xndx =
xn+1
n+ 1
+ C
f(x) = sin x
∫
sinxdx = − cosx+ C
f(x) = cos x
∫
cosxdx = sinx+ C
f(x) = sec2 x
∫
sec2 xdx = tanx+ C
f(x) = csc2 x
∫
csc2 xdx = − cotx+ C
f(x) = sec x tanx
∫
secx tanxdx = secx+ C
f(x) = csc x cot g
∫
cscx cotxdx = − cscx+ C
f(x) = ex
∫
exdx = ex + C
f(x) =
1
x
∫
1
x
dx = ln |x|+ C
f(x) = ax
∫
axdx =
ax
ln a
+ C
Além destas regras, é importante considerar que de derivarmos a integral de uma função
f(x), obviamente vamos obter de volta a função f(x), isto é,
d
dx
[∫
f(x)dx
]
= f(x).
Neste sentido, a derivada e a integral são �operações contrárias� em relação a uma função
f(x). Dois teoremas relevantes sobre integração, afirmam que uma constante pode ser
�retirada� do integrando e ainda que a integral pode ser separada para soma ou diferença de
funções. ∫
c · f(x)dx = c ·
∫
f(x)dx
∫
[f(x)± g(x)]dx =
∫
f(x)dx±
∫
g(x)dx
3
IV � Exercícios
1. Determine a integral indefinida em cada item a seguir:
(a)
∫
x8dx =
(b)
∫
x
5
7dx =
(c)
∫
x3
√
xdx =
(d)
∫
3
√
x2dx =
(e)
∫
1
x6
dx =
(f)
∫
1
2x3
dx =
(g)
∫
(u3 − 2u+ 7)du =
(h)
∫
(x
2
3 − 4x− 15 + 4)dx =
(i)
∫
(x−3 +
√
x− 3x 14 + x2)dx =
(j)
∫
x(1 + x3)dx =
(k)
∫
(2 + y2)2dy =
(l)
∫
x
1
3 (2− x)2dx =
(m)
∫
(1 + x2)(2− x)dx =
(n)
∫
x5 + 2x2 − 1
x4
dx =
(o)
∫
1− 2t3
t3
dx =
(p)
∫ [
2
x
+ 3ex
]
dx =
(q)
∫ [
1
2t
−
√
2et
]
dt =
(r)
∫
(4 sinx+ 2 cosx)dx =
(s)
∫
(4 sec2 x+ cscx cotx)dx =
4
(t)
∫
secx(secx+ tanx)dx =
(u)
∫
secx(tanx+ cosx)dx =
(v)
∫ [
1
θ
− 2eθ − csc2 θ
]
dθ
(w)
∫
dy
csc y
dy
(x)
∫ [
φ+
2
sin2 φ
]
dφ
(y)
∫
[1 + sin2 csc θ]dθ
(z)
∫
sin 2x
cosx
dx
2. Ache a forma geral de uma função cuja derivada segunda é F (x) =
√
x.
Sugestão: resolva a equação f ′′(x) =
√
x para f(x), integrando ambos os lados duas
vezes.
3. Chamamos Problema de Valor Inicial (PVI) ao sistema
dy
dx
= f(x), y(x0) = y0, onde
a segunda destas igualdades chama-se condição de valor inicial (é um par de valores
(x0, y0) ao qual a primeira das igualdades deve satisfazer). Tal problema consiste em
determinar a função cuja derivada é conhecida (por meio da integração indefinida) e a
seguir, utilizando o par (x0, y0), encontrar a constante C.
Resolva cada Problema de Valor Inicial a seguir:
(a)
dy
dx
= 3
√
x, y(1) = 2
(b)
dy
dt
=
1
t
, y(−1) = 5
(c)
dy
dx
=
x+ 1√
x
, y(1) = 0
(d)
dy
dx
= x2
√
x3, y(0) = 0
5
V � Integral Definida e Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo, que é de fato fundamental, define o que chamamos
de integral definida:
TFC: Se uma função f for contínua em [a, b] e se F for uma antiderivada de f em [a, b],
então ∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a).
O resultado obtido por meio do Teorema Fundamental do Cálculo, é também a área entre
o eixo x, o gráfico de uma função f , limitado pelas retas x = a e x = b. Observe na figura
seguinte:
lista6-figura1.JPG
A =
∫ b
a
f(x)dx.
Convém mencionar que
∫ b
a
f(x)dx, fornece o que chamamos de �área com sinal�, isto
é, áreas acima do eixo x são indicadas com sinal positivo e áreas abaixo do eixo x serão
indicadas com sinal negativo.
Desta maneiras, áreas podem ser determinadas por meio de integrais e, de maneira con-
trária, integrais podem ser determinadas através de áreas.
6
VI � Exercícios
1. Encontre a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo dado:
(a) f(x) = x3; [2, 3]
(b) f(x) =
√
x; [1, 9]
(c) f(x) = ex; [1, 3]
(d) f(x) = x4; [−1, 1]
2. Calcule as integrais seguintes usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(a)
∫ 0
−3
(x2 − 4x+ 7)dx
(b)
∫ 2
−1
x(1 + x3)dx
(c)
∫ 3
1
1
x2
dx
(d)
∫ 9
4
2x
√
xdx
(e)
∫ pi
2
−pi
2
sin θdθ
(f)
∫ pi
4
−pi
4
cos θdθ
(g)
∫ 3
ln 2
5exdx
(h)
∫ 4
1
(
3√
t
− 5√t− t− 32
)
dt
(i)
∫ 1
1
2
1
2x
dx
3. Ache a área acima do eixo x e abaixo da curva y = x2+1 entre as retas x = 0 e x = 3.
Faça um esboço desta região.
4. Ache a área abaixo do intervalo [−2,−1] e acima da curva y = x3. Faça um esboço
da região.
7
VII � Substituição Simples e Integração por Partes
A Substituição Simples pode ser considerada examinando-se a regra da cadeia (que utilí-
závamos para derivar funções compostas) do ponto de vista da integração. Sabemos que a
derivada de uma função composta F (g(x)) pode ser escrita pela Regra da Cadeia por
d
dx
[F (g(x)] = F ′(g(x))g′(x)e a forma integral pode ser escrita como∫
F ′(g(x))g′(x) = F (g(x)) + C.
Para nosso estudo, vamos considerar u = g(x) e escrever
du
dx
= g′(x) na forma d(u) =
g′(x)dx e assim, a integral dada anteriormente pode ser escrita como∫
f(u)du = F (u) + C.
A integral por partes, serve para integrar funções que são dadas por produtos de funções,
uma vez que, como sabemos, a integral não pode ser separada para a multiplicação, assim
como ocorre para a soma e para a diferença.
Pois bem, sabemos que a derivada do produto é dada por
d
dx
[f(x)g(x)] = f(x)g′(x) + f ′(x)g(x).
Integrando ambos os lados, obtemos∫
d
dx
[f(x)g(x)] dx =
∫
f(x)g′(x)dx+
∫
f ′(x)g(x)dx,
ou
f(x)g(x) =
∫
f(x)g′(x)dx+
∫
f ′(x)g(x)dx.
Deste modo, podemos afirmar que∫
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−
∫
g(x)f ′(x)dx.
Chamando u = f(x), du = f ′(x)dx, v = g(x) e dv = g′(x)dx, escrevemos a fórmula∫
udv = uv −
∫
vdu.
8
VIII � Exercícios
1. Nos itens a seguir, calcule as integrais, fazendo as substituições indicadas:
(a)
∫
2x(x2 + 1)23dx, u = x2 + 1
(b)
∫
cos3 x sinxdx, u = cosx
(c)
∫
1√
x
sin
√
xdx, u =
√
x
(d)
∫
3x√
4x2 + 5
dx, u = 4x2 + 5
(e)
∫
x2
x3 − 4dx, u = x
3 − 4
2. Determine as integrais a seguir, fazendo a subtituição adequada:
(a)
∫
e2xdx =
(b)
∫
dx
2x
=
(c)
∫
x(2− x2)3dx =
(d)
∫
(3x− 1)5dx =
(e)
∫
cos 8xdx =
(f)
∫
sin 3xdx =
(g)
∫
t
√
7t2 + 12dt =
3. Resolva as integrais seguintes, utilizando a integração por partes:
(a)
∫
xexdx =
(b)
∫
x2e−xdx =
(c)
∫
lnxdx =
(d)
∫
ex cosxdx =
(e)
∫
xe−xdx =
9
(f)
∫
xe3xdx =
(g)
∫
x2exdx =
(h)
∫
x2e−2xdx =
(i)
∫
x sin 2xdx =
(j)
∫
x cos 3xdx =
(k)
∫
x2 cosxdx =
(l)
∫
x2 sinxdx =
(m)
∫ √
x lnxdx =
(n)
∫
x lnxdx =
4. (Exercício para cansar a mente e o braço) Nas integrais a seguir, verifique qual é
a técnica de integração que deve ser utilizada (substituição simples ou integral por
partes), em seguida, resolva-as:
(a)
∫
x3ex4dx =
(b)
∫
x lnxdx =
(c)
∫
lnx√
x
dx =
(d)
∫
x2 sec2(x3)dx =
(e)
∫
xexdx =
5. Este exercício relaciona as integrais por partes com a integral definida. Determine cada
integral seguinte:
(a)
∫ 1
0
xe−5xdx =
(b)
∫ 2
0
xe2xdx =
(c)
∫ e
1
x2 lnxdx =
10