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FSMA - Faculdade Salesiana Maria Auxiliadora
Engenharia de Produção e Engenharia da Computação
Cálculo Integral a Várias Variáveis
Professor: Marques Fredman Mescolin
http://sites.google.com/site/mescolinmarques
mescolinmarques@gmail.com
Lista 8 - Campos Vetoriais
1. Dados os campos vetoriais F1(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j e F2(x, y) = (3 + 2xy)i +
(x2 − 3y2)j, verifique qual deles é conservativo.
2. (a) Considere o campo vetorial F2 dado no exercício anterior. Determine sua função
potencial f , isto é, uma campo escalar tal que ∇f = F .
(b) Calcule a integral de linha
∫
C
F2dr, sendo C dada por α(t) = (e
t sen t, et cos t),
para 0 ≤ t ≤ pi.
3. Se F (x, y, z) = y2i + (2xy + e3z)j + 3ye3zk, determine a função potencial f tal que
∇f = F .
4. Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj − y2k, determine rotF e divF .
5. Observe as expressões a seguir. Determine se o resultado será um campo vetorial, um
campo escalar ou se a expressão não faz sentido.
(a) (∇f)× ( divF )
(b) rot (∇f)
(c) div ( rot (∇f))
6. Considere o Teorema:
"Se f é uma campo escalar de três variáveis que tem derivadas parcias de 2a ordem
contínuas, então rotF = 0".
(a) Considere a função f(x, y, z) = x2y+3y3x−1. Verifique se f satisfaz ao teorema.
1
(b) Sabemos que se F é um campo vetorial conservativo, ∇f = F . Pelo teorema
anterior, podemos obter um resultado para verificar se um campo vetorial no R3
é conservativo. Enuncie este resultado.
(c) Utilize este resultado para verificar se o campo vetorial F (x, y, z) = xzi+xyzj−
y2k é conservativo.
(d) Utilize este resultado para verificar se o campo vetorial F (x, y, z) = y2z3i +
2xyz3j + 3xy2z2k é conservativo.
Respostas
1) Somente F2 é conservativo. 2) a) f(x, y) = 3x + x
2y − y3 + k, b) e3pi + 1. 3)
f(x, y, z) = xy2 + ye3z + k. 4) −y(2 + x)i + xj + yzk e z + xz. 5) Não faz sentido,
campo vetorial e escalar, respectivamente. 6) a) sim, b) Se F é conservativo, então
rot f = 0, c) não, d) sim.
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