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FSMA - Faculdade Salesiana Maria Auxiliadora Engenharia de Produção e Engenharia da Computação Cálculo Integral a Várias Variáveis Professor: Marques Fredman Mescolin http://sites.google.com/site/mescolinmarques mescolinmarques@gmail.com Lista 8 - Campos Vetoriais 1. Dados os campos vetoriais F1(x, y) = (x − y)i + (x − 2)j e F2(x, y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y2)j, verifique qual deles é conservativo. 2. (a) Considere o campo vetorial F2 dado no exercício anterior. Determine sua função potencial f , isto é, uma campo escalar tal que ∇f = F . (b) Calcule a integral de linha ∫ C F2dr, sendo C dada por α(t) = (e t sen t, et cos t), para 0 ≤ t ≤ pi. 3. Se F (x, y, z) = y2i + (2xy + e3z)j + 3ye3zk, determine a função potencial f tal que ∇f = F . 4. Se F (x, y, z) = xzi+ xyzj − y2k, determine rotF e divF . 5. Observe as expressões a seguir. Determine se o resultado será um campo vetorial, um campo escalar ou se a expressão não faz sentido. (a) (∇f)× ( divF ) (b) rot (∇f) (c) div ( rot (∇f)) 6. Considere o Teorema: "Se f é uma campo escalar de três variáveis que tem derivadas parcias de 2a ordem contínuas, então rotF = 0". (a) Considere a função f(x, y, z) = x2y+3y3x−1. Verifique se f satisfaz ao teorema. 1 (b) Sabemos que se F é um campo vetorial conservativo, ∇f = F . Pelo teorema anterior, podemos obter um resultado para verificar se um campo vetorial no R3 é conservativo. Enuncie este resultado. (c) Utilize este resultado para verificar se o campo vetorial F (x, y, z) = xzi+xyzj− y2k é conservativo. (d) Utilize este resultado para verificar se o campo vetorial F (x, y, z) = y2z3i + 2xyz3j + 3xy2z2k é conservativo. Respostas 1) Somente F2 é conservativo. 2) a) f(x, y) = 3x + x 2y − y3 + k, b) e3pi + 1. 3) f(x, y, z) = xy2 + ye3z + k. 4) −y(2 + x)i + xj + yzk e z + xz. 5) Não faz sentido, campo vetorial e escalar, respectivamente. 6) a) sim, b) Se F é conservativo, então rot f = 0, c) não, d) sim. 2
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