Lista 9

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FSMA - Faculdade Salesiana Maria Auxiliadora
Engenharia de Produção e Engenharia da Computação
Cálculo Integral a Várias Variáveis
Professor: Marques Fredman Mescolin
http://sites.google.com/site/mescolinmarques
mescolinmarques@gmail.com
Lista 9 - Teoremas de Green, Gauss e Stokes
Teorema 1: (Teorema de Green) Seja C uma curva fechada, simples, contínua por
partes e orientada positivamente e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas
parciais de primeira ordem contínuas em uma região aberta que contenha D, então∫
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA.
Teorema 2: (Teorema de Gauss) Seja G um sólido cuja superfície σ é orientada para
fora. Se F (x, y, z) = f~i+ g~j + h~k, então∫∫
S
(F · n)dS =
∫∫∫
W
divFdV
onde n é o vetor normal à superfície em todas as direções.
Teorema 3: (Teorema de Stokes) Seja σ uma superfície orientada, limitada por uma
curva C de orientação positiva. Se F (x, y, z) = f~i + g~j + h~k e T for um vetor tangente
unitário a C, então ∫
C
(F · T )ds =
∫∫
σ
( rotF ) · ndS
1
Observação: Por definição, ~n é o vetor normal a superfície σ, de bordo C. Se σ tem
orientação para cima (a curva C tem orientação positiva), então ~n =
(
−∂z
∂x
,−∂z
∂y
, 1
)
. Se
σ tem orientação para baixo (a curva C tem orientação negativa, então ~n =
(
∂z
∂x
,
∂z
∂y
,−1
)
Exercícios
1. Considere a integral de linha
∫
C
xy2dx+ x3dy, de C é o retângulo de vértices (0, 0),
(2, 0), (2, 3) e (0, 3). Resolva-a de dois modos distintos, utilizando o Teorema de Green
e a definição de integral de linha.
2. Calcule a integral de linha
∫
C
x4dx+ xydy, onde C é o triângulo de vértices (0, 0),
(1, 0), e (0, 1), usando diretamente o Teorema de Green.
3. Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de saída do campo vetorial F (x, y, z) = zk
através da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
4. Use o Teorema da divergência para determinar o fluxo de saída do campo vetorial
F (x, y, z) = 2x~i+ 3y~j + z2~k, através da superfície dada na figura:
5. Verifique a igualdade do Teorema de Stokes para o campo vetorial F (x, y, z) = 2z~i +
3x~j+5y~k, considerando que σ seja a porção do parabolóide z = 1−x2−y2 para z ≥ 0,
com orientação para cima e C é a cirunferência x2 + y2 = 4, orientada positivamente.
Respostas: 1) 6. 2) 1/6. 3) 4pi/3. 4) 6. 5) 12pi
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