EstruturaII_Exercício_2

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Estrutura da Mate´ria II - Exercı´cio no 2
Bruno C. Credidio
Professora Maria do Rosa´rio Zucchi
2 de setembro de 2014
a)
Para a Fı´sica Cla´ssica, quando uma partı´cula e´ arremessada em direc¸a˜o a uma barreira de potencial
com V maior do que a energia E da partı´cula, a partı´cula tem probabilidade 1 de ser refletida, enquanto
que quando a energia E e´ maior do que V , tem probabilidade 1 de que seja transmitida ate´ o outro lado da
barreira. Para a Fı´sica Quaˆntica, no entanto, existe uma probabilidade, ainda que pequena, de a partı´cula
ser transmitida no primeiro caso e refletida no segundo. Quando a partı´cula e´ transmitida atrave´s de uma
barreira com potencial maior que sua energia, a este fenoˆmeno e´ dado o nome de tunelamento. Este e´
um to´pico importante para a Fı´sica Nuclear, pois explica o decaimento de a´tomos radioativos, ao emitirem
partı´culas α - compostas de dois pro´tons e dois neˆutrons, como um nu´cleo do a´tomo de He. As partı´culas
α emitidas na˜o teˆm energia maior do que o potencial gerado pelo nu´cleo de seu a´tomo, no entanto, sa˜o
observadas. Portanto, na˜o existe explicac¸a˜o cla´ssica para este acontecimento, podendo apenas a Fı´sica
Quaˆntica explicar o fenoˆmeno.
b)
Chamemos de ΨI, Ψ2 e Ψ3 as equac¸o˜es de onda correspondentes a treˆs regio˜es, I, II e III, respectivamente,
onde a regia˜o I corresponde aos x anteriores a` barreira (x < a), II aos x interiores (0 < x < a) e III aos
x ulteriores a esta (x > a). Como a energia E das partı´culas α, nesta situac¸a˜o, sa˜o menores do que o
potencial V da barreira, na regia˜o I havera´ a incideˆncia de ondas e parte delas sera˜o refletidas de volta; em
II, ocorrera´ a transmissa˜o das ondas oriundas de I e a reflexa˜o destas ondas no outro extremo da barreira; e
em III, a onda apenas sera´ transmitida pois na˜o ha´ potencial nesta regia˜o que as fac¸a retornar. As soluc¸o˜es
da equac¸a˜o de Schro¨dinger em I e III sa˜o exponenciais complexas e, em II, exponenciais simples: Ψ1(x) = Ae
ikx + Be−ikx
Ψ2(x) = Ceβx +De−βx
Ψ3(x) = Feikx
(1)
Se substituirmos estas soluc¸o˜es de volta na equac¸a˜o de Schro¨dinger:
−
}2
2m
d2Ψ(x)
dx2
+ V0Ψ(x) = EΨ(x) (2)
Observando que V0 = 0 nas regio˜es I e III e V0 = V na regia˜o II, obteremos que:
k =
√
2m(E− V0)
}
=
√
2mE
}
, e β =
√
2m(V − E)
}
(3)
Em ambas as interfaces da barreira, x = 0 e x = a, Ψ(x) deve ser contı´nua, bem como dΨ(x)
dx
. Assim,
para x = 0:
Ψ1(0) = Ψ2(0) (4)
Ae0 + Be0 = Ce0 +De0 (5)
A+ B = C+D (6)
e:
dΨ1(0)
dx
=
dΨ2(0)
dx
(7)
ikAeikx − ikBe−ikx = βCeβx − βDe−βx (8)
ik(A− B) = β(C−D) (9)
1
E, em x = a:
Ψ2(a) = Ψ3(a) (10)
Ceβa +De−βa = Feika (11)
e:
dΨ2(a)
dx
=
dΨ3(a)
dx
(12)
βCeβa − βDe−βa = ikFeika (13)
β(Ceβa −De−βa) = ikFeika (14)
Para que encontremos a probabilidade de tunelamento da partı´cula, precisaremos do coeficiente de trans-
missa˜o T , que e´ uma relac¸a˜o entre as amplitudes das ondas incidentes e transmitidas:
T =
F∗F
A∗A
(15)
Para isso, necessitaremos encontrar relac¸o˜es entre as constantes A, B, C, D e F.
Afim de simplificar os ca´lculos, chamemos:
γ =
β
k
e Γ = Feika (16)
Assim, temos:
F = Γe−ika (17)
(11) fica:
Ceβa +De−βa = Γ (18)
E (14):
−iγ
(
Ceβa −De−βa
)
= Γ (19)
De−βa − Ceβa =
Γ
iγ
(20)
Somando (18) e (20):
2De−βa = Γ(1+ iγ)
iγ
(21)
D =
Γ(1+ iγ)
2iγ
eβa (22)
Subtraindo (18) e (20):
2Ceβa = Γ(iγ− 1)
iγ
(23)
C = −
Γ(1− iγ)
2iγ
e−βa (24)
Substituindo C e D em (6):
A+ B =
Γ
2iγ
[
(1+ iγ)eβa − (1− iγ)e−βa
]
(25)
= Γ
[
eβa + iγeβa − e−βa + iγe−βa
2iγ
]
(26)
= Γ
[
eβa − e−βa
2iγ
+��
iγeβa +��iγe
−βa
2��iγ
]
(27)
= Γ
[
1
iγ
sinh(βa) + cosh(βa)
]
(28)
A+ B = Γ
[
cosh(βa) − i
γ
sinh(βa)
]
(29)
2
E, fazendo o mesmo em (9):
A− B =
β
ik
(
−
Γ(1− iγ)
2iγ
e−βa −
Γ(1+ iγ)
2iγ
eβa
)
(30)
= iγΓ
(
e−βa − iγe−βa
2iγ
+
eβa + iγeβa
2iγ
)
(31)
= iγΓ
(
−
i
γ
eβa + e−βa
2
+��iγ
eβa − e−βa
2��iγ
)
(32)
A− B = Γ [cosh(βa) + iγ sinh(βa)] (33)
Somando (29) e (33) obtemos A:
2A = Γ
[
2 cosh(βa) +
(
iγ−
i
γ
)
sinh(βa)
]
(34)
A = Γ
[
cosh(βa) + i
2
(
γ−
1
γ
)
sinh(βa)
]
(35)
De posse de (17) e (35), podemos calcular T a partir de (15), nos dando a amplitude da onda transmitida
na regia˜o III em relac¸a˜o a` amplitude da onda incidente na regia˜o I. Para isso, encontremos A∗A:
A∗ = Γ
[
cosh(βa) + i
2
(
γ−
1
γ
)
sinh(βa)
]∗
(36)
= Γ
[
cosh(βa) − i
2
(
γ−
1
γ
)
sinh(βa)
]
(37)
A∗A = Γ 2
[
cosh2(βa) + 1
4
(
γ−
1
γ
)2
sinh2(βa)
]
(38)
Assim, T pode ser calculado:
T =
Γ 2
Γ 2
[
cosh2(βa) + 1
4
(
γ−
1
γ
)2
sinh2(βa)
]−1
(39)
Utilizando a identidade
cosh2(x) − sinh2(x) = 1⇒ cosh2(x) = 1+ sinh2(x) (40)
teremos:
T =
[
1+ sinh2(x) + 1
4
(
γ−
1
γ
)2
sinh2(βa)
]−1
(41)
T =

1+
1+ 1
4
(
γ−
1
γ
)2
︸ ︷︷ ︸
1
4 (γ+
1
γ )
2
sinh2(βa)

−1
(42)
Retornando aos valores, a partir de (16) e (3):
γ =
β
k
=
√
2m(V − E)
}√
2mE
}
=
√
��2m(V − E)
��2mE
(43)
3
Assim, T fica:
T =
1+ 1
4
(√
V − E
E
+
√
E
V − E
)2
sinh2(βa)
−1 (44)
=
[
1+ 1
4
(
V − E
E
+
E
V − E
+ 2
)
sinh2(βa)
]−1
(45)
=
[
1+ 1
4
(
(V − E)2 + E2 + 2E(V − E)
E(V − E)
)
sinh2(βa)
]−1
(46)
=
[
1+ 1
4
(
V2 +��E2 −��2VE+��E2 +��2VE−��2E2
E(V − E)
)
sinh2(βa)
]−1
(47)
=
[
1+ 1
4
(
V2
VE− E2
)
sinh2(βa)
]−1
(48)
=
[
1+ 1
4
(
VE− E2
V2
)−1
sinh2(βa)
]−1
(49)
=
1+ sinh2(βa)
4
(
VE−E2
V2
)
−1 (50)
T =
1+ sinh2(βa)
4
(
E
V
− E
2
V2
)
−1 (51)
T =
[
1+ sinh
2(βa)
4 E
V
(
1− E
V
)]−1 , β = √2m(V − E)
}
(52)
Como T e´ o coeficiente de transmissa˜o da onda, este nos da´ a amplitude da onda que tunela atrave´s do
potencial em relac¸a˜o a` onda que incide sobre ele, ou seja, e´ a probabilidade P de tunelamento para a
partı´cula incidente na barreira.
Se considerarmos que βa e´ muito grande, podemos, na expressa˜o final de T , abrir novamente o sinh2(βa)
em exponenciais (sem esquecermos de multiplicar o denominador de volta por 22) e dizer que e−βa → 0,
sobrando apenas a exponencial positiva que, elevada ao quadrado, se torna e2βa. O termo somado em 1
se torna desprezı´vel e enta˜o inverte-se a frac¸a˜o e o expoente da exponencial se torna negativo, pois toda a
expressa˜o esta´ elevada a -1, nos dando a probabilidade de a partı´cula atravessar a barreira:
T = P ≈ 16 E
V0
(
1− E
V0
)
e−2βa (53)
Foi mostrado que, ainda assim, βa e´ muito grande e torna o coeficiente desta exponencial, tambe´m, insig-
nificante. Ficamos enta˜o com:
P ≈ e−2βa (54)
P ≈ exp
[
−2
√
2m(V0 − E)
}2
a
]
(55)
Agora, de posse da expressa˜o para a probabilidade de tunelamento, usemos os dados fornecidos para
calcular seu valor nume´rico. A massa da partı´cula esta´ expressa em MeV/c2 e a constante de Planck, h, em
J.s. Transformemos, enta˜o, h para seu valor em MeV/c2, ficando 4.136× 10−21 MeV, e } sendo 6.582× 10−22.
4
Assim, teremos:
P ≈ exp
[
−2
√
2 · 4 · 931.5 · (26.4− 8.78)
(6.582× 10−22)2 · 17.9× 10
−15
]
(56)
≈ exp (−2 · 3030.84× 102 · 2 · 17.9× 10−15) (57)
P ≈ exp(−1.055× 1012) (58)
Que e´ um valor extremamente pequeno.
Agora o ca´lculo do tempo da meia vida t1/2:
t1/2 =
ln(2)
1.1× 1021 · exp(−1.055× 1012) (59)
t1/2 =
0.630× 1021
exp(−1.055× 1012) (60)
Que e´ extremamente grande e na˜o bate com as medidas experimentais.A expressa˜o para a probabilidade esta´ correta, pois foi verificada em diversos em casos e e´ uma boa
aproximac¸a˜o. Nos resta apenas, enta˜o, considerar que a barreira desenhada na˜o condiz com a realidade;
o que faz sentido, porque de maneira alguma a barreira de botencial gerada pelo nu´cleo do a´tomo seria
retangular com um valor constante. Nos itens a seguir calcularemos de maneira mais condizente com a
realidade.
c) Utilizando, agora, a aproximac¸a˜o das cinco barreiras de potencial, calculemos o tempo de meia vida
novamente. Utilizando o produto das probabilidades, que e´ de 2.47× 10−15, temos:
t1/2 =
ln(2)
×1021 · 2,47× 10−15 (61)
t1/2 = 2.551× 10−5 s = 25.5 µ s (62)
d) O valor encontrado no item anterior pode ser considerado pro´ximo do experimental, de 0.3 µs, dado
que o me´todo utilizado e´ bastante aproximado. Para melhorar a aproximac¸a˜o, um bom procedimento seria
dividir a barreira de potencial em tantas barreiras menores quanto possı´vel, fazendo com que o ca´lculo
final se torne uma aproximac¸a˜o suave do potencial que o nu´cleo realmente gera, que e´ bem diferente de
uma simples barreira retangular. Certamente por isso o primeiro ca´lculo resultou num valor ta˜o baixo para
a probabilidade; nossa aproximac¸a˜o retangular para o potencial talvez pudesse ser feita de maneira mais
realista se ao menos a altura do potencial fosse igual a` me´dia do potencial entre x = 0 e x = a, pois
desenhar um potencial com a altura constante igual a` maior altura do potencial do nu´cleo e´ simplesmente
um absurdo, ja´ que seu valor cai rapidamente com a distaˆncia da partı´cula ao nu´cleo, e na˜o se mante´m
num valor alto por uma distaˆncia ta˜o longa.
5