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Apostila de Probabilidade 1 - UFRJ

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CÁLCULO DAS PROBABILIDADES I
Prof. Nei Rocha
Instituto de Matemática - UFRJ
Rio de Janeiro
2016-2
Sumário
1 Elementos de Teoria dos Conjuntos e Combinatória 1
1.1 Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Noções Fundamentais de Técnicas de Contagem . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Permutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Arranjo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Arranjos Completos ou Arranjos com Repetição . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Permutação Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Combinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7.1 O Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Permutação com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Combinação Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 O Princípio da Inclusão-Exclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.11 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Elementos da Teoria das Probabilidades 17
2.1 De…nições e Resultados Básicos da Teoria das Probabilidades . . . . . 17
2.1.1 De…nição e Propriedades das Probabilidades . . . . . . . . . . 18
2.2 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Variáveis Aleatórias 33
3.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Função de Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Esperança Matemática 42
4.1 De…nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Esperanças de Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Função Geratriz de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
5 Modelos de Variáveis Aleatórias Unidimensionais 53
5.1 Modelos de Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.1 O Modelo de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2 O Modelo Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.3 O Modelo Geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.4 O Modelo Binomial Negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.5 O Modelo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.6 O Modelo Hipergeométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Modelos de Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1 O Modelo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.2 O Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.3 O Modelo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.4 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5 Outras Distribuições de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5.1 Distribuição Zeta (Zipf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5.2 Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5.3 Distribuição Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.4 Distribuição t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5.5 Distribuição de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.6 Distribuição F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.7 Distribuição Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5.8 Distribuição Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5.9 Distribuição Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.6 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Vetores Aleatórios Bidimensionais 86
6.1 Distribuições Conjuntas e Marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Independência de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Esperança Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 Distribuições Condicionais e Esperança Condicional . . . . . . . . . . 88
6.5 Covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.6 Coe…ciente de Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
i
Capítulo 1
Elementos de Teoria dos
Conjuntos e Combinatória
1.1 Álgebra de Conjuntos
Letras maiúsculas, como por exemplo A, B, ..., Y , Z, representarão conjuntos.
A letra grega 
 representará o conjunto universal em uma situação determinada.
Letras minúsculas a, b, ..., y, z, indicarão elementos desses conjuntos.
A relação de pertinência será grafada pelo símbolo 2 e escrevemos, por exemplo
a 2 A para indicar que a é membro de A (ou a pertence a A).
O conjunto vazio é representado pelo símbolo ;.
Um conjunto também pode ser descrito por uma propriedade p, comum a todos
os seus elementos, e escrevemos
A = fx j x tem a propriedade pg
Exemplo 1 A = fx j x = 2k, k = 1; 2; :::g descreve o conjunto dos números in-
teiros pares positivos.
Diremos que A � B (A está contido em B) se todo elemento de A é também um
elemento de B, e diremos também que A é subconjunto de B.
Se A � B mas existe um elemento b 2 B tal que b =2 A, (b não pertence a A),
diremos que A é um subconjunto próprio de B.
Dizemos que A = B se A � B e B � A.
Para mostrar que A não está contido em B, basta exibir um elemento a 2 A tal
que a =2 B.
Se A é um conjunto, denotamos jAj o número de elementos de A, ou seja, jAj é
a cardinalidade do conjunto A.
Proposição 1 ; � A, para qualquer conjunto A.
Prova. (Em aula.)
De…nição 1 Dado um conjunto universal 
, denotaremos o conjunto de todos os
subconjuntos de 
 por P(
), chamado conjunto das partes de 
. Assim
P(
) = fA : A � 
g .
1
De…nição 2 Se A 2 P(
), de…nimos a função indicadora de A como 1A : 
! R
tal que
1A(!) =
�
1, se ! 2 A
0, se ! =2 A .
De…nição 3 Dados dois conjuntos A � 
 e B � 
 indicaremos por A [ B o
conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, isto é o conjunto dos elementos
que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Este conjunto é chamado
união de A com B.
A [B = f! 2 
 j ! 2 A ou ! 2 Bg
Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai � 
, para todo
i = 1; 2; :::; n). Então
n[
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 A1 ou ! 2 A2 ... ou ! 2 Ang
Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai � 
, para todo i 2 N).
Então 1[
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 Ai para algum i 2 Ng
De…nição 4 Dados dois conjuntos A e B, de…nimos o conjunto interseção de A
e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, isto é
A \B = f! 2 
 j ! 2 A e ! 2 Bg
Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai � 
, para todo i =
1; 2; :::; n). Então
n\
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 A1 e ! 2 A2 ... e ! 2 Ang
Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai � 
, para todo i 2 N).
Então 1\
i=1
Ai = f! 2 
 j ! 2 Ai para todo i 2 Ng
De…nição 5 Dados dois conjuntos A e B, diz-se que eles são disjuntos, se não
têm elementoscomuns, isto é, se A \ B = ;. Por extensão, dada uma coleção de
conjuntos A1, ..., An, dizemos que eles são (mutuamente) disjuntos, ou disjuntos
dois a dois, se Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
De…nição 6 Dado um conjunto A, de…nimos o conjunto complementar de A o
conjunto dos elementos de 
 que não pertencem a A. Simbolicamente
Ac = f! 2 
 j ! =2 Ag
De…nição 7 Dados dois conjuntos A e B, de…ne-se o conjunto diferença de A e
B como o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B, isto é
A�B = f! 2 
 j ! 2 A e ! =2 Bg
Observe que A�B = A \Bc.
2
A proposição seguinte lista as propriedades mais importantes que relacionam os
conceitos de…nidos anteriormente.
Proposição 2 Dado um conjunto universal 
 e conjuntos A, B e C, os seguintes
itens se veri…cam:
(i) Para todo conjunto A � 
, A [ ; = A, A \ ; = ;.
(ii) A � B se e somente se A [B = B.
(iii) A � B se e somente se A \B = A.
(iv) A [ (B [ C) = (A [B) [ C.
(v) A \ (B \ C) = (A \B) \ C.
(vi) A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C).
(vii) A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C).
(viii) A [ Ac = 
, A \ Ac = ;, ;c = 
, 
c = ;.
(ix) (Ac)c = A.
(x) A � B se e somente se Bc � Ac.
(xi) (A [B)c = Ac \Bc,
�
n[
i=1
Ai
�c
=
�
n\
i=1
Aci
�
e
� 1[
i=1
Ai
�c
=
� 1\
i=1
Aci
�
.
(xii) (A \B)c = Ac [Bc,
�
n\
i=1
Ai
�c
=
�
n[
i=1
Aci
�
e
� 1\
i=1
Ai
�c
=
� 1[
i=1
Aci
�
.
Prova. (Deixada como exercício.)
De…nição 8 Dados dois conjuntos A e B, chamaremos de produto cartesiano de
A por B o conjunto de pares ordenados (a; b) onde a é um elemento de A e b é um
elemento de B. Simbolicamente
A�B = f(a; b) j a 2 A, b 2 Bg
Extensão 1: Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, o produto cartesiano
nY
i=1
Ai := A1� A2 � ::: � An é de…nido como o conjunto das n-uplas (a1; a2; :::; an),
onde ai 2 Ai, para i = 1; :::; n.
Extensão 2: Dada uma sequência de conjuntos A1, A2, ..., o produto cartesiano1Y
i=1
Ai = A1� A2 � ::: é de…nido como o conjunto das 1-uplas (a1; a2; :::; ) (ou das
sequências fan; n � 1g) onde ai 2 Ai, para todo i 2 N.
Exemplo 2 Se A = f1; 2g e B = f1; 2; 3g, temos
A�B = f(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3)g
Observe que, em geral, A�B 6= B � A.
De…nição 9 Dados dois conjuntos A e B, denotamos BA o conjunto de todas as
aplicações de A em B, ou seja, BA = f(x; f(x)) j f : A! Bg.
De…nição 10 Dois conjuntos A e B têm a mesma cardinalidade se existir uma
função bijetora f : A! B.
3
Exemplo 3 Sejam A = f0; 1g e B = f�1; 1; 2g. Interprete o signi…cado de BA e
AB e discuta a cardinalidade de tais conjuntos.
Exemplo 4 Sejam A = f0; 1g e B = N. Interprete o signi…cado de BA e AB e
discuta a cardinalidade de tais conjuntos.
Proposição 3 (Teorema de Cantor) Seja 
 um conjunto e P(
) o conjunto das
partes de 
. Então não existe nenhuma aplicação ' : 
 ! P(
) sobrejetora.
Consequentemente, j
j < jP(
)j.
Prova. (Em aula.)
1.2 Noções Fundamentais de Técnicas de Con-
tagem
(Princípio da Contagem Disjuntiva ou Princípio da Adição) Sejam os con-
juntos A1, A2, A3 ...2 A disjuntos dois a dois, isto é, Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
Então ��� 1[
i=1
Ai
��� = 1X
i=1
jAij .
O que se a…rma pelo axioma acima é que se os conjuntos A1, A2, A3... têm ele-
mentos distintos, então a cardinalidade da sua união é soma de suas cardinalidades.
Exemplo 5 De quantas formas podemos extrair uma carta de copas ou de espadas
de um baralho de 52 cartas? Uma carta ás ou rei?
(Princípio da Contagem Sequencial ou Princípio da Multiplicação) Se-
jam os conjuntos A1, A2, ..., An � 
, então�����
nY
i=1
Ai
����� =
nY
i=1
jAij ,
onde
nY
i=1
Ai = A1 � A2 � :::� An é o produto cartesiano dos conjuntos.
Exemplo 6 Qual o número de subconjuntos que o conjunto M de cardinalidade
…nita é capaz de gerar?
Exemplo 7 Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os
quatro quadrantes de um círculo, cada quadrante com uma só cor, se quadrantes
cuja fronteira é uma linha não podem receber a mesma cor?
Exemplo 8 Escrevem-se os inteiros de 1 a 222222. Quantas vezes o algarismo zero
é escrito?
Exemplo 9 Dado U = pa11 :p
a2
2 :::p
an
n onde os pi‘s são primos e distintos, quantos são
os divisores de U?
Exemplo 10 De um baralho comum (52 cartas) retiram-se sucessivamente e sem
reposição três cartas. Quantas extrações são possíveis nas quais a primeira carta é
de copas, a segunda é um rei e a terceira não é uma dama?
4
1.3 Permutação
Proposição 4 (Permutação) Sejam n objetos distintos, ordenados em …la. Então
o número de con…gurações das ordenações possíveis, ou por outra, o número de
permutações dos objetos é dado por
Pn = n!
Pn é chamado de permutação de n objetos distintos.
Prova. Em aula.
Exemplo 11 Suponha que um carteiro bêbado tenha n cartas a serem distribuídas
aleatoriamente em n casas diferentes. Suponha que ele o faça colocando uma carta
em cada caixa de correio. De quantas formas ele pode distribuir as cartas?
Exemplo 12 Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:
(a) que começam por consoante e terminam por vogal?
(b) que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem?
(c) que têm as letras C, A, P juntas em qualquer ordem?
(d) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?
(e) que têm a letra C no primeiro lugar e a letra A no segundo lugar?
Exemplo 13 De quantos modos é possível colocar em uma prateleira 5 livros de
matemática, 3 de física e 2 de estatística, de modo que livros de um mesmo assunto
permaneçam juntos?
Exemplo 14 Delegados de 10 países devem sentar-se em 10 cadeiras em …la. De
quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugual devem
sentar-se juntos e o do Iraque e o dos Estados Unidos não podem sentar-se juntos?
1.4 Arranjo
Exemplo 15 Suponha agora que o carteiro bêbado tenha n cartas a serem distribuí-
das aleatoriamente em k casas diferentes (k � n). Suponha que ele o faça colocando
uma carta em cada caixa de correio.
(a) De quantas formas ele pode distribuir as cartas?
(b) Justi…que, com base nos dois exemplos do carteiro, o fato de 0! = 1.
O resultado do exemplo anterior é chamado de arranjo de n objetos em k com-
partimentos, ou simplesmente arranjo de n, k a k, como veremos na proposição a
seguir.
Proposição 5 (Arranjo) Suponha que n objetos devam ser alocados em k com-
partimentos (k � n), de forma ordenada de modo que cada compartimento tenha
apenas um objeto. O número de alocações possíveis é dado por
Akn =
n!
(n� k)! .
5
Prova. Em aula.
Exemplo 16 Suponha que 20 corredores disputam uma corrida de Fórmula 1. Quan-
tos resultados de pódium (primeiro, segundo e terceiro lugares) são possíveis?
Exemplo 17 Suponha que 5 pessoas entrem num elevador que conduz aos 10 an-
dares de um edifício. De quantas maneiras podemos ter pessoas saindo sozinhas em
andares diferentes?
Exemplo 18 São dados n pontos em uma circunferência. Quantos n-ágonos (não
necessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos?
Exemplo 19 Sejam A e B dois conjuntos, com jAj = k e jBj = n. Qual o número
de funções f : A! B injetoras possíveis?
1.5 Arranjos Completos ou Arranjos comRepetição
Proposição 6 (Arranjo Completo) Suponha que k objetos devam ser seleciona-
dos de n objetos distinguíveis, de forma ordenada onde repetições são permitidas. O
número de seleções possíveis é dado por
ARkn = n
k.
Prova. Em aula.
Exemplo 20 15 pessoas entram num bar para pedir, cada uma, uma bebida den-
tre as 7 bebidas oferecidas. De quantos modos as 15 pessoas podem fazer as suas
escolhas?
Exemplo 21 Em um concurso há 3 candidatos e 5 examinadores, devendo cada
examinador votar em um candidato. De quantos modos os votos podem ser dis-
tribuídos?
1.6 Permutação Circular
Proposição 7 (Permutação Circular) Suponha n objetos distintos dispostos cir-
cularmente. Então o número de padrões circulares gerados pelosn objetos é dado
por
Pn�1 = (n� 1)!
Prova. Em aula.
Exemplo 22 De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda
de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não …quem juntas?
6
Exemplo 23 Um grupo constituído por 4 mulheres e 4 homens deve ocupar as 8
cadeiras dispostas ao redor de uma mesa circular. O grupo deve ser acomodado de
modo que cada homem sente entre duas mulheres. João e Maria estão nesse grupo
de pessoas; entretanto por motivos de ordem estritamente pessoal não podem sentar-
se lado a lado. Duas acomodações de pessoas ao redor da mesa são consideradas
diferentes quando pelo menos uma das pessoas não tem o mesmo vizinho à direita,
nas duas acomodações. Determine o número de diferentes acomodações possíveis
dessas 8 pessoas ao redor da mesa circular.
Exemplo 24 De quantos modos n crianças podem formar uma roda de ciranda de
modo que p dessas crianças (p < n) permaneçam juntas?
Exemplo 25 Quantos dados diferentes podemos formar gravando os números de 1
a 6 sobre as faces de um cubo de madeira se:
(a) as faces são distinguíveis (por exemplo, cada face tem uma cor diferente)?
(b) as faces são indistinguíveis?
Exemplo 26 Uma pulseira deve ser cravejada com um rubi, uma esmeralda, um
topázio, uma água-marinha, uma turmalina e uma ametista. De quantos modos isso
pode ser feito, supondo:
(a) que a pulseira tem um fecho e um relógio engastado no fecho;
(b) que a pulseira tem fecho;
(c) que a pulseira não tem fecho e o braço só pode entrar na pulseira em um
sentido;
(d) que a pulseira não tem fecho e o braço pode entrar na pulseira nos dois
sentidos.
1.7 Combinação
Proposição 8 (Combinação) Suponha que n objetos devam ser alocados em k
compartimentos (k � n), de forma não-ordenada. O número de alocações possíveis
é dado por �
n
k
�
=
An;k
k!
=
n!
k!(n� k)!�
n
k
�
(ou Cn;k ou Ckn) é chamado de combinação de n, k a k, e sua distinção básica com
o conceito de arranjo de n, k a k reside no fato de que, na combição, a ordenação
dos objetos não é relevante, embora o seja no contexto de arranjo.
Prova. Em aula.
Exemplo 27 Suponha que desejemos formar uma comissão de 4 pessoas retiradas
aleatoriamente de 10 pessoas. Quantas comissões são possíveis?
7
Exemplo 28 Quantos padrões distintos usando-se k letras A e n� k letras B são
possíveis de serem criados? (As ”palavras”assim formadas são chamadas de ana-
gramas.)
Exemplo 29 Um homem possui 15 amigos dos quais 6 são mulheres.
(a) De quantas formas ele pode convidar 3 ou mais amigos para uma festa?
(b) De quantas formas ele pode convidar 3 ou mais amigos para uma festa, se
ele deseja que haja o mesmo número de homens e mulheres (incluindo ele mesmo)?
Exemplo 30 Um baralho tem 52 cartas. Estas cartas consistem de 4 naipes chama-
dos paus, ouros, copas e espadas. Cada naipe tem 13 cartas com os símbolos 2, 3, 4,
..., 10, J, Q, K, A. Uma mão de pôquer consiste de 5 cartas extraídas do baralho, sem
reposição e sem consideração de ordem. Considera-se que constituem sequências as
mãos do seguinte tipo: A, 2, 3, 4, 5; 2, 3, 4, 5, 6;...; 10, J, Q, K, A. Determine o
número de formas de se extrair:
(a) um Four (valores da forma (x, x, x, x, y) onde x e y são distintos).
(b) um Full House (valores da forma (x, x, x, y, y) onde x e y são distintos).
(c) um Flush (cinco cartas do mesmo naipe).
(d) um Straight (cinco cartas em sequência, sem consideração de naipes).
(e) uma Trinca (valores da forma (x, x, x, y, z) onde x, y e z são distintos).
(f) Dois pares (valores da forma (x, x, y, y, z) onde x, y e z são distintos).
(g) um par (valores da forma (x, x, y, z, w) onde x, y, z e w são distintos).
Exemplo 31 Sejam A e B dois conjuntos, com jAj = k e jBj = n. Quantas funções
f : A! B são estritamente crescentes (decrescentes)
Chamamos de Triângulo de Pascal o quadro�
0
0
�
�
1
0
� �
1
1
�
�
2
0
� �
2
1
� �
2
2
�
�
3
0
� �
3
1
� �
3
2
� �
3
3
�
�
4
0
� �
4
1
� �
4
2
� �
4
3
� �
4
4
�
� � �
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
� � �
Os seguintes resultados envolvendo Combinação se veri…cam:
8
Proposição 9 (Relação de Stifel)
�
n
p
�
+
�
n
p+ 1
�
=
�
n+ 1
p+ 1
�
. (Ou seja,
somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha, obtemos o elemento
situado abaixo da última parcela.)
Prova. Em aula.
Proposição 10 (Relação das Combinações Complementares)
�
n
p
�
=
�
n
n� p
�
.
Prova. Em aula.
Proposição 11 (Teorema das Linhas)
Xn
k=0
�
n
k
�
= 2n.
Prova. Em aula.
Exemplo 32 Qual o valor da soma�
n
1
�
+ 2
�
n
2
�
+ 3
�
n
3
�
+ :::+ n
�
n
n
�
?
Proposição 12 (Teorema das Colunas)�
n
n
�
+
�
n+ 1
n
�
+
�
n+ 2
n
�
+ :::+
�
n+ p
n
�
=
�
n+ p+ 1
n+ 1
�
Ou seja, a soma dos elementos de uma coluna do triângulo (começando no primeiro
elemento da coluna) é igual ao elemento que está avançado uma linha e uma coluna
sobre a última parcela da soma.
Prova. Em aula.
Exemplo 33 Qual o valor da soma
S = 1:2:3 + 2:3:4 + 3:4:5 + :::+ 50:51:52?
Proposição 13 (Teorema das Diagonais)�
n
0
�
+
�
n+ 1
1
�
+
�
n+ 2
2
�
+ :::+
�
n+ p
p
�
=
�
n+ p+ 1
p
�
Ou seja, as somas dos elementos de uma diagonal (isto é, de uma paralela à hipotenusa)
do triângulo de Pascal (começando no primeiro elemento da diagonal) é igual ao el-
emento que está imediatamente abaixo da última parcela.
Prova. Em aula.
9
De…nição 11 A expressão
�
x
k
�
=
x(x� 1):::(x� k + 1)
k!
faz sentido para qual-
quer x real, desde que k seja um inteiro positivo. De…niremos então para qualquer
x real e qualquer k inteiro não-negativo o binomial de x sobre k por�
x
k
�
=
x(x� 1):::(x� k + 1)
k!
(k > 0) e
�
x
0
�
= 1
Exemplo 34 Calcule
�
1=2
3
�
.
Exemplo 35 Calcule
� �5
4
�
.
Exemplo 36 Calcule
�
3
5
�
.
Observação 1 É interessante observar que mesmo se x não for um inteiro não-
negativo continuam sendo verdade a Relação de Stifel e o Teorema das Diagonais.
Entretanto o Teorema das Linhas, o Teorema das Colunas e o Teorema das Combi-
nações Complementares não têm sentido se x não for um inteiro não-negativo.
1.7.1 O Binômio de Newton
Proposição 14 Se x e a são números reais e n é um inteiro positivo, então
(x+ a)n =
nX
k=0
�
n
k
�
akxn�k.
Prova. Em aula.
Observação 2 (i) O desenvolvimento de (x+ a)n possui n+ 1 termos.
(ii) Os coe…cientes do desenvolvimento de (x+ a)n são os elementos da linha n
do Triângulo de Pascal.
(iii) Escrevendo os termos do desenvolvimento na ordem acima (isto é, ordena-
dos segundo as potências decrescentes de x), o termo de ordem k + 1 é
Tk+1 =
�
n
k
�
akxn�k
Exemplo 37 Determine o coe…ciente de x2 no desenvolvimento de (x3 � 1
x2
)9.
Exemplo 38 Determine o termo máximo do desenvolvimento de (1 +
1
3
)65.
Exemplo 39 Qual é a soma dos coe…cientes do desenvolvimento de (x3 � 2x2)15?
10
Exemplo 40 Calcule
Pn
k=0 k
�
n
k
�
xk.
Se tomarmos a expansão em série de Taylor, em torno de zero, da função f(x) =
(1 + x)u, onde u é um número real arbitrário, pode-se provar facilmente que para
jxj < 1 temos:
Teorema 1 (Teorema Binomial) (1 + x)u =
P1
k=0
�
u
k
�
xk.
Prova. Em aula.
O número
�
u
k
�
de…nido anteriormente é chamado de coe…ciente binomial gen-
eralizado. Caso u seja igual ao inteiro positivo n,
�
u
k
�
será o familiar coe…ciente
binomial, e como
�
n
k
�
é zero para k > n, a expansão acima se reduzirá à expansão
binomial usual.
Embora o teorema anterior se veri…que somente para jxj < 1, não estaremos
preocupados com questões de convergência, uma vez que não iremos atribuir valores
numéricos à variável x.Exemplo 41 Mostre que o coe…ciente de xp na expansão de (1� 4x)� 12 é dado por�
2p
p
�
.
1.8 Permutação com Repetição
Vejamos agora a construção do conceito de permutação com repetição, que generaliza
o conceito de combinação.
Proposição 15 (Permutação com Repetição) Se há n objetos, com r1 objetos
indistinguíveis do tipo 1, r2 objetos indistinguíveis do tipo 2, ..., e rm objetos in-
distinguíveis do tipo m, onde r1 + r2::: + rm = n, então o número de permutações
distintas geradas pelos objetos é dado por
P (n; r1; r2; :::; rm) =
�
n
r1
��
n� r1
r2
��
n� r1 � r2
r3
�
:::
�
n� r1 � r2:::� rm�1
rm
�
=
n!
r1!r2!:::rm!
.
Prova. Em aula.
Exemplo 42 Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6.000.000, podem ser for-
mados usando apenas os algarismos 1, 3, 6, 6, 6, 8, 8?
Exemplo 43 Quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não pos-
suem duas letras A juntas?
11
1.9 Combinação Completa
O conceito de Combinação Completa está associado ao número de modos de se
selecionar um subconjunto de k elementos de um conjunto de n elementos com
repetições permitidas, mas sem importância na ordenação.
Proposição 16 Seja A um conjunto de n elementos. Então o número de amostras
com reposição de k elementos de A, ou por outra, o número de subconjuntos de k
elementos de A com repetições permitidas é dado por�
n
k
�
:=
�
n+ k � 1
k
�
Obs.: A notação
�
n
k
�
é chamada de combinação completa (ou com repetição)
de n, k a k. Alguns autores adotam a notação CRkn.
Prova. Em aula.
Corolário 1 O número de soluções inteiras de x1 + x2 + ::: + xn = k onde cada
xi � 0 é dado por
�
n
k
�
.
Prova. Em aula.
Exemplo 44 De quantas formas diferentes podemos comprar 6 cachorros-quentes,
se há 3 variedades possíveis (mini, regular e super)?
Exemplo 45 Quantas soluções inteiras há para a equação
x1 + x2 + x3 + x4 = 12
(a) com xi � 0?
(b) com xi � 1?
(c) com x1 � �3, x2 � 2, x3 � �1, x4 � 0?
Exemplo 46 Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x+ y+ z+w < 6?
Exemplo 47 Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x:y:z = 3:600?
Exemplo 48 A fábrica X produz 8 tipos de bombons que são vendidos em caixas de
30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas diferentes podem ser
formadas?
Exemplo 49 Sejam A e B dois conjuntos, com jAj = k e jBj = n. Quantas funções
f : A! B são não-decrescentes (não-crescentes)?
Exemplo 50 Qual o coe…ciente de xp na expansão de (1 + x+ x2 + x3 + :::)n?
12
1.10 O Princípio da Inclusão-Exclusão
Proposição 17 Sejam 
 o conjunto universal, A1, A2 , ..., An subconjuntos de 
e
S0 = j
j
S1 =
nP
i=1
jAij
S2 =
P
1�i<j�n
jAi \ Ajj
S3 =
P
1�i<j<k�n
jAi \ Aj \ Akj ...
(observe que há
�
n
1
�
parcelas em S1,
�
n
2
�
parcelas em S2, etc). Então o número
de elementos do conjunto A1 [ A2 [ ::: [ An é
S1 � S2 + S3 � :::+ (�1)n+1Sn
Prova. Em aula.
Exemplo 51 Numa classe de 30 alunos, 14 falam inglês, 5 falam alemão e 7 falam
francês. Sabendo-se que 3 falam inglês e alemão, 2 falam inglês e francês, 2 falam
alemão e francês e que 1 fala as três línguas, determinar o número de alunos que
não falam nenhuma dessas três línguas.
Exemplo 52 Numa cidade em que são publicados os jornais A, B e C, foram obti-
dos os seguintes resultados numa pesquisa: 20% da população lê o jornal A, 16% o
jornal B, 14% o jornal C; 8% lê A e B, 5% A e C e 4% B e C. Somente 2% lê os
três jornais A, B e C. Qual a porcentagem da população que não lê nenhum desses
três jornais?
Exemplo 53 Quantos são os inteiros entre 1 e 42.000, que não são divisíveis por
2, por 3 e nem por 7?
Exemplo 54 Quantas são as permutações das letras da palavra BRASIL em que o
B ocupa o primeiro lugar, ou o R o segundo lugar, ou o L o sexto lugar?
Exemplo 55 Dentre os inteiros de 1 a 1.000.000 inclusive, quantos não são quadra-
dos perfeitos, cubos perfeitos e nem quartas potências perfeitas?
Exemplo 56 De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa
circular de tal forma que marido e mulher não …quem juntos?
Exemplo 57 De quantas formas podemos permutar 3 a’s, 3 b’s e 3 c’s de tal modo
que 3 letras iguais nunca sejam adjacentes?
Exemplo 58 Encontrar o número de soluções, em inteiros positivos, de
x1 + x2 + x3 + x4 = 22
em que x1 � 7, x2 � 6, x3 � 9 e x4 � 8.
13
Exemplo 59 Encontrar o número de soluções de x1 + x2 + x3 + x4 = 1 em inteiros
entre -3 e 3 inclusive.
Exemplo 60 Lançam-se 3 dados. Em quantos dos 63 resultados possíveis a soma
dos pontos é 12?
Exemplo 61 Determine o número de permutações de f1; 2; 3; 4; 5; 6g nas quais nem
o 4 ocupa o quarto lugar nem o 6 ocupa o sexto lugar.
Exemplo 62 Sejam A e B dois conjuntos, com jAj = n e jBj = k. Prove que o
número de funções f : A ! B sobrejetoras possíveis é dado por 0, se k > n e
kX
i=0
(�1)i
�
k
i
�
(k � i)n, se k � n.
1.11 Lista de Exercícios
Exercício 1 De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos
de dois lugares se em cada banco deve haver um homem e uma mulher? Resp.:
460.800
Exercício 2 De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto
de dois inteiros positivos? E o número 144? Resp.: 15 e 8.
Exercício 3 Em um corredor há 900 armários numerados de 1 a 900, inicialmente
todos fechados. 900 pessoas numeradas de 1 a 900 atravessam o corredor. A pessoa
de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de
k. Por exemplo, a pessoa de número 4 mexe nos armários de números 4, 8, 12, ...,
abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Ao …nal de
toda a operação, quantos armários …carão abertos? Resp.: 30
Exercício 4 Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os
quatro quadrantes de um círculo, cada quadrante com uma só cor, se quadrantes
contíguos não podem receber a mesma cor? Resp.: 260
Exercício 5 Uma turma tem aulas às segundas, quartas e sextas, de 8h às 10h e de
10h às 12h. As matérias são Probabilidade, Combinatória e Álgebra, cada uma com
4 horas semanais cada em dois dias diferentes de 2 horas cada. De quantos modos
pode ser feito um horário para essa turma? Resp.: 48
Exercício 6 De quantos modos é possível colocar 8 pessoas em …la de modo que
duas dessas pessoas, Vera e Paulo, não …quem juntas e duas outras, Helena e Pedro,
permaneçam juntas? Resp.: 7.200
Exercício 7 Quantas são as permutações simples dos números 1; 2; 3; :::; 10, nas
quais o elemento que ocupa o lugar de ordem k, da esquerda para a direita, é sempre
maior que k � 3? Resp.: 13.122
Exercício 8 De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5
atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas? Resp.: 756.756
14
Exercício 9 De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5
atletas? Resp.: 126.126
Exercício 10 Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6,
7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. Determine:
(a) o lugar ocupado pelo número 62.417; (Resp.: 81o)
(b) a soma dos números assim formados. (Resp.: 5:333:280)
Exercício 11 Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de se-
gurança, os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de
modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes.
(a) Qual o número mínimo possível de cadeados para que isso ocorra? Resp.:
330
(b) Na situação do item (a), quantas chaves cada cientista deve ter? Resp.: 210
Exercício 12 Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinado-
ras de modo que cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas
bancas têm exatamente um professor em comum.
(a) Qual o valor de x? Resp.: 28
(b) Qual o número de professores em cada banca? Resp.: 7
Exercício 13 Considere um conjunto C de 20 pontosdo espaço que tem um sub-
conjunto B formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de
C são coplanares então eles são pontos de B. Quantos são os planos que contêm pelo
menos três pontos de C? Resp.: 1.085
Exercício 14 Um indústria fabrica 5 tipos de balas que são vendidas em caixas de
20 balas, de um só tipo ou sortidas. Quantos tipos de caixas podem ser montados?
Resp.: 10.626
Exercício 15 Se (1 + x+ x2)n = A0+A1x+A2x2+ :::+A2nx2n, determine o valor
de
(a) A0 + A1 + A2 + :::+ A2n; Resp.: 3n
(b) A0 + A2 + A4 + :::+ A2n. Resp.: 3
n+1
2
Exercício 16 No quadro abaixo, de quantos modos é possível formar a palavra
MATEMÁTICA, partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo?
Resp.: 512.
M
M A
M A T
M A T E
M A T E M
M A T E M A
M A T E M A T
M A T E M A T I
M A T E M A T I C
M A T E M A T I C A
15
Exercício 17 Dado o conjunto f1; 2; 3; :::; 20g, quantos subconjuntos de três ele-
mentos podemos construir em que a soma dos elementos do subconjunto é um múlti-
plo de 3? Resp.: 384
Exercício 18 Uma rã pretende subir uma escada de 13 degraus. Ela só consegue
subir um ou dois degraus em cada pulo. De quantas maneiras ela pode chegar do
chão até o último degrau, sempre pulando para cima? (Dica: pense nas sequências
de 1 e 2 possíveis tais que a soma dos elementos da sequência é 13.) Resp.: 377
Exercício 19 Calcule
Pn
k=0 k
2
�
n
k
�
. Resp.: n (n+ 1) 2n�2
Exercício 20 Determine o termo máximo de desenvolvimento de
�
1 + 1
2
�100
. Resp.:
C40120
240
16
Capítulo 2
Elementos da Teoria das
Probabilidades
2.1 De…nições e Resultados Básicos da Teoria das
Probabilidades
Suponha que vamos realizar um experimento cujo resultado não pode ser predito
de antemão. Entretanto, suponha que saibamos todos os possíveis resultados de
tal experimento. Este conjunto de todos os resultados possíveis, que denotaremos
por 
, é chamado de espaço amostral do experimento. Assim, temos a seguinte
de…nição:
De…nição 12 O conjunto 
 de todos os resultados possíveis de um determinado
experimento é chamado de espaço amostral.
Exemplo 63 Se o experimento consiste em lançar uma moeda, então 
 = fCa;Cog,
onde Ca é ”cara”e Co é ”coroa”.
Exemplo 64 Se o experimento consiste em lançar um dado e observar a face su-
perior, então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
Exemplo 65 Se o experimento consiste em lançar duas moedas, então
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g, onde o resultado (a; b) ocorre se a
face da primeira moeda é a e a face da segunda moeda é b.
Exemplo 66 Se o experimento consiste em lançar dois dados e observar as faces
superiores, então
 =
8>>>>>><>>>>>>:
(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
9>>>>>>=>>>>>>;
onde o resultado (i; j) ocorre se a face i aparece no primeiro dado e a face j no
segundo dado.
17
Exemplo 67 Se o experimento consiste em medir a vida útil de um carro, então
um possível espaço amostral consiste de todos os números reais não-negativos, isto
é, 
 = [0;1).
De…nição 13 Qualquer subconjunto A do espaço amostral 
, isto é A � 
, ao qual
atribuímos uma probabilidade, é dito um evento aleatório.
Obviamente, como ; � 
 e 
 � 
 os conjuntos ; e 
 são eventos aleatórios. O
conjunto vazio ; é denominado evento impossível e o conjunto 
 é denominado
evento certo. Se ! 2 
 o evento f!g é dito elementar (ou simples).
De…nição 14 Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos ou incom-
patíveis se A \B = ;.
Observação 3 É importante saber traduzir a notação de conjuntos para a lin-
guagem de eventos: A [ B é o evento ”A ou B”; A \ B é o evento ”A e B” e
Ac é o evento ”não A”.
Observação 4 (Concepção Errônea) Um dos equívocos comumente observado é
o estabelecimento de uma relação um a um do experimento com o espaço amostral
associado. É preciso ter em mente que para todo experimento é possível estabelecer
uma in…nidade de espaços amostrais, todos legítimos, pois o espaço amostral deve
ser o conjunto que contém todos os resultados possíveis, mas não há necessidade
de que este seja minimal. Assim, se o experimento consiste em lançar um dado
e se observar a sua face superior, podemos ter 
1 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, 
2 = N e
3 = (0;1) como espaços amostrais legítimos para esse experimento. Em todos
eles basta atribuir a probabilidade de 1
6
para os pontos 1; 2; 3; 4; 5 e 6 e probabilidade
nula para os demais pontos se houver. Claro que não há necessidade de se pecar por
excesso, se podemos reconhecer o espaço amostral mínimo, mas isso nem sempre é
possível, como o exemplo 67, que se presta a vários possíveis espaços amostrais e
nesse caso pecaremos por excesso e deixaremos a medida de probabilidade fazer o
trabalho de de…nir pontos (ou regiões) de maior e menor probabilidade.
É preciso lembrar também que toda escolha do espaço amostral induz uma medida
de probabilidade diferente. Por exemplo, se temos uma urna com três bolas brancas
e 2 bolas vermelhas e o experimento consiste em se retirar uma bola e registrar a sua
cor, então poderíamos ter os seguintes espaços amostrais, dentre outros possíveis:
1 = fb; vg e 
2 = fb1; b2; b3; v1; v2g. No primeiro espaço amostral, estaríamos con-
siderando as bolas pretas e vermelhas indistinguíveis entre si e assim o ponto b teria
3
5
de chance e o ponto v teria 2
5
de chance, ou seja, um espaço amostral de elemen-
tos não equiprováveis. No segundo espaço amostral, estaríamos considerando todas
as bolas como distinguíveis e, nesse caso, cada ponto tem a mesma probabilidade
1
5
, construindo assim um espaço amostral de elementos equiprováveis. Portanto, se
o evento for "retirar uma bola branca", então esse evento será dado por fbg pelo
espaço amostral 
1, e fb1; b2; b3g pelo espaço amostral 
2. No entanto, ambos terão
a mesma chance de 3
5
.
2.1.1 De…nição e Propriedades das Probabilidades
Há várias interpretações da probabilidade. Discutiremos as três mais correntes:
18
(Clássica) Baseia-se no conceito de equiprobabilidade, ou seja, de resultados equiprováveis.
Seja A um evento e 
 o espaço amostral …nito, então
P (A) =
jAj
j
j
onde jAj é a cardinalidade de A e j
j a cardinalidade de 
.
Vemos, portanto, que esta de…nição de probabilidade presupõe que todos os
elementos de 
 são igualmente prováveis, ou seja, têm o mesmo peso. Este é o caso
por exemplo de um dado equilibrado.
Esta forma de de…nir a probabilidade é também conhecida pelo nome de probabil-
idade de Laplace, em homenagem ao astrônomo e matemático francês Pierre-Simon
Laplace, que estabeleceu, de uma maneira sistemática e rigorosa, os princípios e
propriedades desta forma de calcular probabilidades.
Exemplo 68 Sete pessoas entram juntas num elevador no andar térreo de um ed-
ifício de 10 andares. Suponha que os passageiros saiam independentemente e de
maneira aleatória com cada andar (1; 2; :::; 10) tendo a mesma probabilidade de ser
selecionado. Qual a probabilidade de que todos saiam em andares diferentes?
(Frequentista) Baseia-se na frequência relativa de um ”número grande”de realizações inde-
pendentes do experimento. Seja A um evento, então
P (A) = lim
n!1
nA
n
onde nA é o número de ocorrências do evento A em n realizações.
Observação 5 O limite acima não pode ser entendido como um limite matemático,
pois dado " > 0 não há garantia de que existe n0 2 N tal que para todo n � n0 se
tenha ���P (A)� nA
n
��� < ".
É improvável que
���P (A)� nA
n
��� � " para n � N (grande), mas pode acontecer.
Outra di…culdade do conceito frequentista é que o experimento nunca é realizado
in…nitas vezes, logo não há como avaliar a probabilidade de forma estrita.Exemplo 69 (Discussão em sala de aula) Suponha a seguinte situação: Você
está participando de um programa televisivo chamado "Porta da Felicidade", da
seguinte forma: O apresentador do programa lhe mostra três portas, uma das quais
esconde um carro como prêmio e as outras duas não oferecem nada e o colocam fora
do jogo. O que acontece? Você escolhe uma porta e o apresentador abre uma outra
porta vazia não escolhida por você. Assim, ainda há a chance de você ganhar o carro.
Mas agora lhe é oferecida a oportunidade de mudar de porta! O que você deve fazer
para maximizar a chance de acerto? Ficar com a mesma porta escolhida; mudar para
a outra porta; ou qualquer das duas estratégias, por achar ser indiferente? Analise
a estratégia ótima à luz do conceito frequentista de probabilidade.
19
(Subjetiva) Baseia-se em crenças e/ou informações do observador a respeito do fenômeno
em estudo. Neste caso a probabilidade de um evento depende do observador,
isto é, do que o observador conhece sobre o fenômeno em estudo. Pode pare-
cer um tanto informal para uma de…nição de probabilidade de um evento. No
entanto, em muitas situações é necessário recorrer a um especialista para ter
pelo menos uma ideia vaga de como se comporta o fenômeno de nosso inter-
esse e saber se a probabilidade de um evento é alta o baixa. Por exemplo,
qual é a probabilidade de que o Vasco ganhe o próximo campeonato? Cer-
tas circunstâncias internas do time, as condições do time rival ou qualquer
outra condição externa, são elementos que só algumas pessoas conhecem e que
poder¬am nos dar uma ideia mais exata desta probabilidade. Esta forma sub-
jetiva de atribuir probabilidades aos diferentes eventos deve, entretanto, ser
consistente com uma série de regras naturais que estudaremos adiante.
Exemplo 70 Por exemplo, seja o evento C ”chove em Moscou”.
Então, para alguém no Rio de Janeiro, sem qualquer conhecimento prévio, podemos
ter a seguinte avaliação: P (C) = 0; 5.
Já para alguém de Leningrado, podemos ter: P (C) = 0; 8, se chove em Leningrado
e P (C) = 0; 2, se não chove em Leningrado.
Finalmente, para alguém de Moscou, tem-se: P (C) = 1, se está chovendo em
Moscou e P (C) = 0, se não está chovendo em Moscou.
(Axiomática) Na de…nição axiomática da probabilidade não se estabelece a forma explícita
de calcular as probabilidades, mas unicamente as regras que o cálculo das
probabilidades deve satisfazer. Três postulados ou axiomas para a Teoria das
Probabilidades foram estabelecidos em 1933 pelo matemático russo Andrey
Nikolaevich Kolmogorov.
Não nos preocuparemos com o problema de como de…nir probabilidade para cada
experimento. Assentaremos a base axiomática da teoria das probabilidades tal como
foi erigida pelo matemático russo Kolmogorov, responsável pela base matemática sol-
ida da teoria. Antes, porém, será necessário de…nirmos uma classe de subconjuntos
do amostral cujos membros são os eventos aleatórios.
De…nição 15 Seja A uma classe de subconjuntos de 
 tendo as seguintes pro-
priedades:
(i) 
 2 A;
(ii) Se A 2 A então Ac 2 A; (a classe é fechada pela complementariedade)
(iii) Se A1; A2; :::; An 2 A então
n[
i=1
Ai 2 A. (a classe é fechada pela união …nita)
Então a classe A de subconjuntos de 
 é chamada uma álgebra.
Exercício 21 Seja A uma álgebra. Mostre que:
(a) ; 2 A;
(b) se A e B 2 A então A�B 2 A;
(b) se A1; A2; :::; An 2 A então
n\
i=1
Ai 2 A.
20
De…nição 16 Seja A uma classe de subconjuntos de 
 tendo as seguintes pro-
priedades:
(i) 
 2 A;
(ii) Se A 2 A então Ac 2 A; (a classe é fechada pela complementariedade)
(iii) Se A1; A2; ::: 2 A então
1[
i=1
Ai 2 A. (a classe é fechada pela união in…nita
enumerável)
Então a classe A de subconjuntos de 
 é chamada uma �-álgebra.
Proposição 18 Seja A uma �-álgebra de subconjuntos de 
. Se A1; A2; ::: 2 A
então
1\
i=1
Ai 2 A.
Prova. (Em aula.)
De…nição 17 Os membros de A são chamados (no contexto da teoria de Probabil-
idade) de eventos, ou subconjuntos de 
 A-mensuráveis, ou apenas subconjuntos
mensuráveis de 
 se não houver confusão quanto à �-álgebra referente. O par (
;
A) é dito ser um espaço mensurável.
Exercício 22 Seja 
 = R e A a classe de todas as uniões …nitas de intervalos do
tipo (�1; a], (b; c] e (d;1). Mostre que
(a) A é uma álgebra;
(b) A não é uma �-álgebra.
Seja 
 um espaço amostral e A uma �-álgebra para um dado experimento. Uma
medida de probabilidade P é uma aplicação
P : A ! [0; 1]
tendo os seguintes axiomas:
A1) P (A) � 0.
A2) P (
) = 1.
A3) (Aditividade …nita) Se A1; A2; :::; An 2 A são disjuntos dois a dois, isto é,
Ai \ Aj = ; para todo i 6= j, então P
�
n[
i=1
Ai
�
=
nX
i=1
P (Ai).
Uma função P satisfazendo os axiomas 1, 2 e 3 é chamada probabilidade …ni-
tamente aditiva. Entretanto, para os nossos objetivos, será mais conveniente
supor �-aditividade:
A3’) Se A1; A2; ::: 2 A são disjuntos dois a dois, então P
� 1[
i=1
Ai
�
=
1X
i=1
P (Ai).
Modelo Probabilístico: Terminamos a formulação do modelo matemático para
um experimento, ou modelo probabilístico. É constituído de
a) Um conjunto não-vazio 
, de resultados possíveis, o espaço amostral.
21
b) Uma �-álgebra A de eventos aleatórios.
c) Uma probabilidade P de…nida em A.
Vamos agora retirar nosso modelo do contexto de um experimento e reformulá-lo
como um conceito matemático abstrato.
De…nição 18 Um espaço de probabilidade é um trio (
;A; P ) onde
(a) 
 é um conjunto não-vazio,
(b) A é uma �-álgebra de subconjuntos de 
, e
(c) P é uma probabilidade de…nida em A.
Com base nos axiomas de probabilidade, pode-se demonstrar os seguintes teore-
mas:
Teorema 2 P (;) = 0.
Prova. (Em aula.)
Observação 6 (Concepção Errônea) Sabemos agora que se A = ; então P (A) =
0. No entanto, a recíproca não é verdadeira, isto é, P (A) = 0 não implica neces-
sariamente que A = ;! Um evento pode ter probabilidade nula e não ser impossível.
Da mesma forma, sabemos pelo Axioma 2 que se A = 
 então P (A) = 1. No
entanto um evento pode ter probabilidade 1 e não ser o evento certo 
. É o que
chamamos em probabilidade de um evento quase-certo.
Vejamos o exemplo a seguir para ilustrar esses fatos.
Exemplo 71 Um experimento consiste em se selecionar um ponto aleatoriamente
do círculo de raio unitário centrado na origem. Então
 =
�
! = (x; y) : x2 + y2 � 1	
Como todo ponto é aleatoriamente escolhido, a probabilidade de um ponto cair numa
região do círculo deveria ser a razão entre a área dessa região e a área do círculo
unitário. Assim, se A � 
, temos
P (A) =
SA
�
,
com SA a área da região de…nida pelos pontos de A. Mas então, todo evento ele-
mentar desse espaço amostral tem probabilidade nula, pois se A = f(a; b)g, então
SA = 0, e consequentemente
P (A) =
0
�
= 0.
No entanto A 6= ?. Além disso, observe que todo experimento terá como um resul-
tado um ponto do círculo unitário, que tinha probabilidade nula antes de ele ocorrer.
Portanto eventos de probabilidade 0 não são necessariamente eventos impossíveis!
Seja agora o evento B como sendo o conjunto de pontos do círculo unitário tais
que a abscissa é diferente da ordenada, isto é, B = f! = (x; y) : x2 + y2 � 1 e x 6= yg.
Naturalmente B é subconjunto próprio de 
. Mas
P (B) =
SB
�
=
�
�
= 1,
22
pois SB (a área da região de…nida pelos pontos de B) equivale à área de 
. Assim
B é um evento quase-certo, pois embora possamos obter um ponto do tipo (a; a) que
não satisfaz ao evento B, a chance de isso ocorrer é nula.
Proposição 19 O Axioma 3’implica o Axioma 3, isto é, se P é �-aditiva, então é
…nitamente aditiva.
Prova. (Em aula.)
Teorema 3 Para todo A 2 A, temos P (Ac) = 1� P (A).
Prova. (Em aula.)
Teorema 4 Para todo A 2 A, temos 0 � P (A) � 1.
Prova. (Em aula.)
Teorema 5 Sejam A e B 2 A. Se A � B, então
(a) P (B � A) = P (B)� P (A);
(b) P (A) �P (B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 6 Sejam A e B 2 A. Então P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B).
Prova. (Em aula.)
Teorema 7 Para qualquer sequência de eventos A1; A2; ::: 2 A, P
� 1[
i=1
Ai
�
�
1X
i=1
P (Ai)
(desigualdade de Boole).
Prova. (Em aula.)
Teorema 8 Sejam A1; A2; :::; An 2 A. Então
P
�
n[
i=1
Ai
�
=
nX
i=1
P (Ai)�
X
i<j
P (Ai \ Aj) +
X
i<j<k
P (Ai \ Aj \ Ak)
�
X
i<j<k<l
P (Ai \ Aj \ Ak \ Al) + :::+ (�1)n+1P (A1 \ A2 \ ::: \ An)
Prova. (Em aula.)
Finalmente mostraremos que a medida de probabilidade é uma função conjunto
contínua. Para isso necessitaremos das seguintes de…nições:
De…nição 19 (i) Se fAn; n � 1g é uma sequência crescente de eventos, isto é, An �
An+1 para todo n, então limn!1An existe e é dado por
lim
n!1
An =
1[
n=1
An.
(ii) Se fAn; n � 1g é uma sequência decrescente de eventos, isto é, An � An+1 para
todo n, então limn!1An existe e é dado por
lim
n!1
An =
1\
n=1
An.
23
Proposição 20 Se a sequência de eventos fAn; n � 1g é crescente ou decrescente
com A = limn!1An, então
lim
n!1
P (An) = P ( lim
n!1
An) = P (A).
Prova. (Em aula.)
Observação 7 (Paradoxo de Bertrand) O Paradoxo de Bertrand nos mostra
que não existe um único modelo de Probabilidade para um dado experimento, se
a gênese do fenômeno não é conhecida. Vejamos o paradoxo:
Seja um triângulo equilátero inscrito num círculo unitário. Uma corda do círculo
é selecionada aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a corda seja maior que o
lado do triângulo?
Modelo 1: A corda é obtida através da seleção aleatória de dois pontos da
circunferência. Então p = 1
3
.
Modelo 2: Um ponto é escolhido aleatoriamente sobre um diâmetro do círculo.
A corda é obtida pela perpendicular ao diâmetro que passa pelo ponto. Então p = 1
2
.
Modelo 3: Um ponto é escolhido aleatoriamente do círculo. A corda é con-
struída tendo o ponto selecionado como seu ponto médio. Então p = 1
4
.
24
Exemplo 72 Suponha que dois dados sejam lançados. Qual a probabilidade de que
a soma dos números seja par?
Exemplo 73 5 bolas brancas e 3 bolas vermelhas são retiradas aleatoriamente de
uma urna. Qual a probabilidade de que a primeira e a última bolas sejam brancas?
Qual a probabilidade de que a primeira e a última bolas tenham cores diferentes?
Exemplo 74 Um ponto é selecionado do círculo unitário. Qual a probabilidade de
se selecionar um ponto no setor angular de 0 a
�
4
radianos?
Exemplo 75 Numa sala há n alunos (n � 365). Qual a probabilidade de haver dois
ou mais alunos com a mesma data de aniversário (dia e mês idênticos)?
Exemplo 76 Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 a
10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a se retirarem simultanea-
mente. Os números dos emblemas são registrados. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que o menor número seja 5?
(b) Qual a probabilidade de que o maior número seja 5?
Exemplo 77 Da população canadense 30% são da província de Quebec, 28% falam
francês e 24% são de Quebec e falam francês. Escolhido ao acaso um canadense,
qual a probabilidade de:
(a) ser de Quebec ou falar francês?
(b) não ser de Quebec nem falar francês?
(c) falar francês mas não ser de Quebec?
Exemplo 78 Se quatro dados são lançados, qual a probabilidade de que os quatro
números sejam diferentes?
Exemplo 79 Qual a probabilidade de se ganhar a sena com um único cartão e
jogando apenas 6 números? E a quina? E a quadra?
Exemplo 80 Uma caixa contém 2n sorvetes, n do sabor A e n do sabor B. De um
grupo de 2n pessoas, a < n preferem o sabor A, b < n o sabor B e 2n� (a+ b) não
têm preferência. Se os sorvetes são distribuídos ao acaso, qual a probabilidade de
que a preferência de todas as pessoas seja respeitada?
Exemplo 81 Se P (E) = 0; 9 e P (F ) = 0; 8, mostre que P (E \F ) � 0; 7. Em geral
mostre que
P (E \ F ) � P (E) + P (F )� 1.
Este resultado é conhecido como a desigualdade de Bonferroni.
Exemplo 82 Suponha que n homens presentes numa festa joguem seus chapéus no
centro da sala. Em seguida cada homem de olhos vendados seleciona um chapéu.
Mostre que a probabilidade de que nenhum dos n homens selecione o seu próprio
chapéu é
1
2!
� 1
3!
+
1
4!
� :::+ (�1)
n
n!
.
O que acontece quando n!1?
25
2.2 Probabilidade Condicional
De…nição 20 Seja (
;A; P ) um espaço de probabilidade. Se B 2 A e P (B) > 0,
a probabilidade condicional de A dado B é de…nida por
P (A j B) = P (A \B)
P (B)
, A 2 A. (2.1)
Note que P (A j B), A 2 A, é realmente uma probabilidade em A (veri…que os
axiomas!). Consequentemente as propriedades de probabilidade são mantidas, por
exemplo,
P (Ac j B) = 1� P (A j B).
Observe que, dado B, se de…nirmos PB(A) = P (A j B), então podemos de…nir
um novo espaço de probabilidade dado por (B;G; PB), onde G := fA \B : A 2 Ag.
Exemplo 83 Certo experimento consiste em lançar um dado equilibrado duas vezes,
independentemente. Dado que os dois números sejam diferentes, qual é a probabili-
dade condicional de
(a) pelo menos um dos números ser 6;
(b) a soma dos números ser 8?
Teorema 9 Sejam A;B 2 A com P (A) > 0 e P (B) > 0. Então
P (A \B) = P (B):P (A j B)
= P (A):P (B j A)
Prova. (Em aula.)
Teorema 10 (a) P (A \B \ C) = P (A):P (B j A):P (C j A \B).
(b) P (A1 \ A2 \ ::: \ An) = P (A1):P (A2 j A1):P (A3 j A1 \ A2):::P (An j A1 \
A2 \ :::An�1), para todo A1; A2; :::; An 2 A e para todo n = 2; 3; :::.
Prova. (Em aula.)
Exemplo 84 Selecionar três cartas sem reposição ao acaso. Qual a probabilidade
de se retirar 3 reis. (Use o teorema acima para resolver o problema e compare com
o uso da análise combinatória.)
De…nição 21 Seja 
 um conjunto não-vazio. Uma partição de 
 é uma família
de conjuntos A1, A2, ..., An tais que
(i)
n[
i=1
Ai = 
(ii) Ai \ Aj = ;, para todo i 6= j.
Ou seja, os conjuntos A1, A2, ..., An são disjuntos dois a dois e a sua união é
o conjunto 
. Dizemos também que 
 foi particionado pelos conjuntos A1, A2, ...,
An.
26
Para todo evento B 2 A temos
B =
n[
i=1
(Ai \B) .
Como os Ai são disjuntos, então os Ci = Ai\B são disjuntos. Com isto podemos
demonstrar os seguintes teoremas:
Teorema 11 (Teorema da Probabilidade Total) Se a sequência (…nita ou enu-
merável) de eventos aleatórios A1, A2, ...formar uma partição de 
, então
P (B) =
X
i
P (Ai):P (B j Ai) (2.2)
para todo B 2 A.
Prova. (Em aula.)
Teorema 12 (Fórmula de Bayes) Se a sequência (…nita ou enumerável) de even-
tos aleatórios A1, A2, ... formar uma partição de 
, então
P (Ai j B) = P (Ai)P (B j Ai)X
j
P (Aj):P (B j Aj)
. (2.3)
Prova. (Em aula.)
Exemplo 85 Seja uma caixa contendo 3 moedas: duas honestas e uma de duas
caras. Retirar uma moeda ao acaso e jogá-la. Pergunta: qual a probabilidade condi-
cional da moeda ter sido a de duas caras, dado que o resultado …nal foi cara?
Exemplo 86 Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O
Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 0,4; e em
um dia sem chuva com a probabilidade de 0,6. Se ganhou um jogo em novembro,
qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
Exemplo 87 Pedro quer enviar uma carta à Marina. A probabilidade de que Pedro
escreva a carta é de 0,80. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A
probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a
carta, qual é a probabilidade de que Pedro não a tenha escrito?
Exemplo 88 Suponha que temos 4 cofres, cada um com dois compartimentos. Os
cofres 1 e 2 têm um anel de brilhante num compartimento e um anel de esmeralda
no outro. O cofre 3 têm dois anéis de brilhante em seus compartimentos, e o cofre
4 têm dois anéis de esmeralda. Escolhe-se um cofre ao acaso, abre-se um dos com-
partimentos ao acaso e encontra-se um anel de brilhantes.Calcule a probabilidade
de que o outro compartimento contenha:
(a) um anel de esmeralda;
(b) um anel de brilhantes.
27
2.3 Independência
De…nição 22 Seja (
;A; P ) um espaço de probabilidade. Os eventos aleatórios A
e B são (estocasticamente) independentes se
P (A \B) = P (A):P (B).
Teorema 13 Eventos de probabilidade 0 ou 1 são independentes de qualquer outro.
Prova. (Em aula.)
Observação 8 (Concepção Errônea) Um erro muito comum entre os alunos é
associar independência com disjunção de eventos, interpretando erroneamente que
se A e B são independentes, então A \ B = ?. É justamente o contrário que se
dá, ou seja, se A \ B = ?, então A e B não são independentes (a menos que um
deles tenha probabilidade zero). Isso …ca claro se pensarmos que P (A) = p > 0 e
P (B) = q > 0 com A \B = ?. Assim, neste caso, teremos
P (A j B) = P (A \B)
P (B)
=
P (?)
P (B)
=
0
q
= 0 6= p = P (A) .
Assim P (A j B) 6= P (A), o que prova que A e B não são independentes!
Outra maneira de justi…car esse fato é pensar que se A e B não têm nada em
comum, então se um deles ocorre a probabilidade de o outro ocorrer é inevitavelmente
nula, o que reduz uma chance inicial desse outro evento ocorrer a zero. Ou seja,
para que dois conjuntos sejam independentes eles necessitam potencialmente ter algo
em comum, do contrário serão dependentes.
Outro problema de má interpretação do conceito de independência de eventos
com a disjunção decorre de uma má caracterização do espaço amostral como no
exemplo a seguir.
Exemplo 89 Um dado e uma moeda honestos são lançados sucessivamente e seus
resultados são registrados. Qual a probabilidade de se obter um número primo e uma
face cara?
Teorema 14 A é independente de si mesmo se e somente se P (A) = 0 ou 1.
Prova. (Em aula.)
Teorema 15 Se A e B são independentes, então A e Bc também são independentes
(e também Ac e B, e ainda Ac e Bc).
Prova. (Em aula.)
Observação 9 Se A \ B = ;, então A e B não são independentes (a menos que
um deles tenha probabilidade zero).
De…nição 23 Os eventos aleatórios Ai, i 2 I (I um conjunto de índices), são
independentes dois a dois (ou a pares) se
P (Ai \ Aj) = P (Ai):P (Aj)
para todo i; j 2 I, i 6= j.
28
De…nição 24 (a) Os eventos aleatórios A1; :::; An (n � 2) são chamados (coletiva
ou estocasticamente) independentes se
P (Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aim) = P (Ai1):P (Ai2):::P (Aim)
para todo 1 � i1 < i2 < ::: < im � n, para todo m = 2; 3; :::; n (isto é, se todas as
combinações satisfazem a regra produto).
(b) Os eventos aleatórios A1; A2; ::: independentes se para todo n � 2, A1; :::; An
são independentes.
Observação 10 Independência a pares não implica independência coletiva.
Exemplo 90 Seja 
 = fw1; w2; w3; w4g e suponha P (fwg) = 1=4 para todo w 2 
.
Sejam os eventos A = fw1; w4g, B = fw2; w4g e C = fw3; w4g. Veri…que que A, B
e C são independentes dois a dois, mas
P (A \B \ C) 6= P (A):P (B):P (C).
Teorema 16 Se os eventos Ai, i 2 I, são independentes, então os eventos Bi, i 2 I,
são também independentes, onde cada Bi é igual a Ai ou Aci (ou um ou outro).
Prova. (Em aula.)
2.4 Lista de Exercícios
Exercício 23 Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó comum. Qual é a
probabilidade delas possuírem um número comum? Resp.: 7=18
Exercício 24 No jogo da quina concorrem 80 dezenas e são sorteadas 5 dezenas.
Se você apostou em 8 dezenas, qual a probabilidade de você acertar:
(a) 3 dezenas? Resp.: 0; 5954%
(b) 4 dezenas? Resp.: 0; 0209%
(c) 5 dezenas? Resp.: 1=429:286
Exercício 25 Em uma roda são colocadas n pessoas. Qual é a probabilidade de
duas dessas pessoas …carem juntas? Resp.: 2=(n� 1)
Exercício 26 Uma pessoa tem um molho de n chaves, das quais apenas uma abre
a porta. Se ela vai experimentando as chaves até acertar, determine a probabilidade
dela só acertar na tentativa de ordem k, supondo:
(a) que a cada tentativa frustrada ela toma a sábia providência de descartar a
chave que não serviu. Resp.: 1=n
(b) supondo que ela não age como no item (a). Resp.: (n� 1)k�1 =nk
Exercício 27 Há 8 carros estacionados em 12 vagas em …la. Determine a proba-
bilidade:
(a) das vagas vazias serem consecutivas. Resp.: 1=55
(b) de não haver duas vagas vazias adjacentes. Resp.: 14=55
29
Exercício 28 Laura e Telma retiram cada uma um bilhete numerado de uma urna
que contém bilhetes numerados de 1 a 100. Determine a probabilidade do número
de Laura ser maior que o de Telma, supondo a extração:
(a) sem reposição. Resp.: 50%
(b) com reposição. Resp.: 49; 5%
Exercício 29 Em uma gaveta há 10 pilhas, das quais duas estão descarregadas.
Testando-se as pilhas uma a uma até serem identi…cadas as duas descarregadas,
determine a probabilidade de serem feitos:
(a) cinco testes; Resp.: 4=45
(b) mais de cinco testes; Resp.: 7=9
(c) menos de cinco testes. Resp.: 2=15
Exercício 30 Joga-se um dado não-viciado duas vezes. Determine a probabilidade
condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.
Resp.: 1=6.
Exercício 31 Um estudante resolve um teste de múltipla escolha de 10 questões,
com 5 alternativas por questão. Ele sabe 60% da matéria do teste. Quando ele sabe
uma questão, ele acerta, e, quando não sabe, escolhe a resposta ao acaso. Se ele
acerta uma dada questão, qual é a probabilidade de que tenha sido por acaso? Resp.:
2=17
Exercício 32 Determine a probabilidade de obter ao menos
(a) um seis em 4 lançamentos de um dado; Resp.: 51; 77%
(b) um duplo seis em 24 lançamentos de um par de dados. Resp.: 49; 14%
Exercício 33 Um exame de laboratório tem e…ciência de 95% para detectar uma
doença quando ela de fato existe. Entretanto o teste aponta um resultado falso-
positivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0; 5% da população tem a doença,
qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o seu exame foi positivo?
Resp.: 32; 31%
Exercício 34 Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a prob-
abilidade de se obter algum seis seja superior a 0; 9? Resp.: 13
Exercício 35 Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade 1=3.
Suponha que A faz uma a…rmação e que D diz que C diz que B diz que A falou a
verdade. Qual a probabilidade de A ter falado a verdade? Resp.: 13=41
Exercício 36 Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e duas urnas
iguais. O prisioneiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas urnas, desde
que nenhuma urna …que vazia. As urnas serão embaralhadas e o prisioneiro deverá,
de olhos fechados, escolher uma urna e, nesta urna, escolher uma bola. Se a bola
for branca ele será libertado e, se for preta, será condenado. Como deve agir o
prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado? Resp.: Uma urna recebe
uma bola branca e a outra urna recebe as demais 99 bolas.
30
Exercício 37 Dois dados são lançados. Seja A1 = fface ímpar no primeiro dadog,
A2 = fface ímpar no segundo dadog e A3 = fa soma da faces é ímparg. Esses even-
tos são independentes dois a dois? Eles são conjuntamente independentes? Resp.:
Sim; Não.
Exercício 38 Uma moeda honesta é lançada até que uma cara ocorra ou então até
que três lançamentos sejam feitos. Qual a probabilidade de que a moeda deva ser
jogada 3 vezes se se sabe que o primeiro lançamento foi coroa? Resp.: 1=2
Exercício 39 Prove que se A e B são eventos tais que P (A) > 0, P (B) > 0 e
P (AjB) > P (A), então P (BjA) > P (B).
Exercício 40 Se A e B são eventos independentes tais que P (A) = 1=3 e P (B) =
1=2, calcule P (A [B), P (Ac [Bc) e P (Ac \B). Resp.: 2=3, 5=6 e 1=3
Exercício 41 A probabilidade de um homem ser canhoto é 1=10. Qual é a prob-
abilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto? Resp.:
aproximadamente 0; 65
Exercício 42 Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho
comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a primeira carta ser umadama e a
segunda ser de copas. Resp.: 1=52
Exercício 43 Quantas pessoas você deve intrevistar para ter probabilidade igual ou
superior a 0; 5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje? Resp.: 253
Exercício 44 Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os de
novo no lago. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata que
dois desses peixes haviam sido marcados por você.
(a) Se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes,
encontrar dois peixes marcados? Resp.:
�
10
2
��
k � 10
18
��
k
20
��1
(b) Para que valor de k essa probabilidade é máxima? Resp.: k = 99 ou k = 100
Exercício 45 Qual a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:
(a) haver alguma coincidência de signos zodiacais? Resp.: 41=96
(b) as quatro terem o mesmo signo? Resp.: 1=1728
(c) duas terem um mesmo signo, e as outras duas outro signo? Resp.: 11=576
(d) três terem um mesmo signo, e a outra outro signo? Resp.: 11=432
(e) todas terem signos diferentes? Resp.: 55=96
Exercício 46 Dados P (A) = 1
3
, P (B) = 1
4
, P (C) = 1
6
, P (A \B) = 1
6
, P (A \ C) =
P (B \ C) = 1
10
e P (A \B \ C) = 1
12
, determine a probabilidade de ocorrência de:
(a) exatamente um dos eventos A, B, C; Resp.: 4=15
(b) exatamente dois dos eventos A, B, C; Resp.: 7=60
(c) pelo menos dois desses eventos; Resp.: 1=5
(d) no máximo dois desses eventos; Resp.: 11=12
(e) no máximo um desses eventos. Resp.: 4=5
31
Exercício 47 Uma moeda é lançada. Se ocorre cara, um dado é lançado e o seu
resultado é registrado. Se ocorre coroa, dois dados são lançados e a soma dos pontos
é registrada. Qual a probabilidade de ser registrado o número 2? Resp.: 7=72
Exercício 48 Num certo certo país, todos os membros de comitê legislativo ou são
comunistas ou são republicanos. Há três comitês. O comitê 1 tem 5 comunistas, o
comitê 2 tem 2 comunistas e 4 republicanos, e o comitê 3 consiste de 3 comunistas e
4 republicanos. Um comitê é selecionado aleatoriamente e uma pessoa é selecionada
aleatoriamente deste comitê.
(a) Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada seja comunista. Resp.:
58; 73%
(b) Dado que a pessoa selecionada é comunista, qual a probabilidade de ela ter
vindo do comitê 1? Resp.: 56; 76%
Exercício 49 Um executivo pediu à sua secretária que …zesse uma ligação para
o escritório do Sr.X. Admitindo que: a probabilidade de a secretária conseguir a
ligação é de 50%; a probabilidade de o Sr.X se encontrar no escritório naquele
momento é de 80%; a probabilidade de o executivo não se ausentar enquanto a
secretária tenta fazer o que ele pediu é de 90%.
(a) Calcule a probabilidade de que o executivo tenha de fato conseguido falar com
o Sr.X pelo telefone. Resp.: 36%
(b) No caso de ele não ter conseguido falar com o Sr.X, calcule a probabilidade
condicional de que isso tenha ocorrido porque a ligação não se completou. Resp.:
78; 125%
Exercício 50 São dadas duas urnas A e B. A urna A contém 1 bola azul e 1
vermelha. A urna B contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Uma bola é extraída ao
acaso de A e colocada em B. Uma bola então é extraída ao acaso de B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de se retirar uma bola vermelha de B? Resp.: 5=12
(b) Qual a probabilidade de ambas as bolas retiradas serem da mesma cor? Resp.:
7=12
Exercício 51 Suponha que A, B e C sejam eventos tais que A e B sejam indepen-
dentes e que P (A \B \ C) = 0; 04, P (C j A \B) = 0; 25, P (B) = 4P (A). Calcule
P (A [B). Resp.: 84%
Exercício 52 Suponha que uma caixa contenha 5 moedas e que cada moeda tenha
uma probabilidade diferente de dar cara. Seja pi a probabilidade de sair cara, quando
a i-ésima moeda é lançada, e que p1 = 0, p2 = 1=4, p3 = 1=2, p4 = 3=4, p5 = 1.
Suponha, …nalmente, que uma moeda é selecionada aleatoriamente da caixa e que,
ao ser lançada, dá cara. Com base nesta informação, calcule:
(a) A probabilidade de que se tenha selecionado a moeda 5. Resp.: 2=5
(b) A probabilidade de se obter outra cara ao lançar a mesma moeda novamente.
Resp.: 3=4
Exercício 53 Um dado não viciado é lançado uma vez. Se a face que aparece é
ímpar, uma moeda não viciada é lançada repetidas vezes. Se a face é par, uma
moeda com probabilidade p 6= 1
2
de dar cara é lançada repetidamente. Os sucessivos
lançamentos são independentes. Se os primeiros n lançamentos resultaram em cara,
qual a probabilidade de que a moeda não viciada foi usada? Resp.: [1 + (2p)n]�1
32
Capítulo 3
Variáveis Aleatórias
3.1 Conceito
Informalmente, uma variável aleatória é um característico numérico do resultado de
um experimento. Por exemplo:
Exemplo 91 Seja o lançamento de duas moedas e a observação do número de caras
obtido. Então 
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g. Se de…nirmos X =
número de caras observadas, e !1 = (Ca;Ca), !2 = (Ca;Co), !3 = (Co;Ca),
!4 = (Co;Co), temos
X(!1) = 2;
X(!2) = X(!3) = 1;
X(!4) = 0.
Exemplo 92 Escolher ao acaso um ponto em [0; 1]. Seja X o quadrado do ponto
obtido. Então 
 = [0; 1] e
X(!) = !2.
Exemplo 93 Escolher ao acaso um ponto no círculo unitário. Seja X a distância
entre o ponto escolhido e a origem. Então 
 = f(x; y) : x2 + y2 � 1g e, com
! = (x; y), temos
X(!) =
p
x2 + y2.
Exemplo 94 Joga-se um dado e observa-se a face superior. Então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
e
X(!) = !.
Entretanto, nem toda função de 
 em R traduz uma variável aleatória.
33
De…nição 25 Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (
;A; P ) é
uma função real de…nida no espaço 
 tal que o conjunto [! 2 
 : X(!) � x] (daqui
para frente escrito de forma simpli…cada [X � x]) é evento aleatório para todo x 2 R;
isto é,
X : 
! R
é uma variável aleatória se [X � x] 2 A para todo x 2 R.
Exemplo 95 Sejam 
 = f1; 2; 3; 4g e A = f;; f1; 2g; f3; 4g;
g e considere os con-
juntos A = f1; 2g e B = f1; 3g. Então 1A é variável aleatória em (
;A), mas 1B
não é.
3.2 Função de Distribuição
De…nição 26 A função de distribuição (acumulada) da variável aleatória X,
representada por FX , ou simplesmente por F quando não houver confusão, é de…nida
por
FX(x) = P (X � x), x 2 R. (3.1)
Exemplo 96 Duas moedas honestas são lançadas. Seja a variável X que conta o
número de caras observadas. Construa a função de distribuição da variável aleatória
X e represente-a gra…camente.
Exemplo 97 Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto no círculo
unitário. Seja X a distância entre o ponto escolhido e a origem. Construa a função
de distribuição da variável aleatória X e represente-a gra…camente.
Proposição 21 Propriedades da Função de Distribuição. Se X é uma var-
iável aleatória, sua função de distribuição F tem as seguintes propriedades:
F1) Se x1 � x2 então F (x1) � F (x2); isto é, F é não-decrescente.
F2) Se xn # y, então F (xn) # F (y); isto é, F é contínua à direita.
F3) limx!�1 F (x) = 0 e limx!+1 F (x) = 1.
Prova. (Em aula)
Tendo em mente que FX(x) = P (X � x), podemos observar que
1. P (X > a) = 1� P (X � a) = 1� FX(a)
2. P (a < X � b) = P (X � b) � P (X � a) = P (X � b) � P (X � a) =
FX(b)� FX(a)
3. P (X = a) = P (X � a) � P (X < a) = FX(a) � FX(a�). Ou seja, P (X = a)
é o tamanho do salto da função de distribuição em x = a. Se a função for
contínua no ponto x = a então P (X = a) = 0.
34
4. P (a < X < b) = P (a < X � b)� P (X = b)
= P (X � b)� P (X � a)� P (X = b) = FX(b)� FX(a)� [FX(b)� FX(b�)]
= FX(b
�)� FX(a).
5. P (a � X < b) = P (a < X < b) + P (X = a)
= FX(b
�)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b�)� FX(a�).
6. P (a � X � b) = P (a < X � b) + P (X = a)
= FX(b)� FX(a) + [FX(a)� FX(a�)] = FX(b)� FX(a�).
Exemplo 98 Um dado tendencioso é tal que a probabilidade de um ponto é propor-
cional ao próprio ponto. Seja X a variável aleatória que representa a parte inteira
da raiz quadrada do dobro da face obtida. Pede-se:
(a) O espaço de probabilidade (
;A;P ) e o espaço de probabilidade induzido pela
variável aleatória X.
(b) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá…co.
Exemplo 99 Um ponto é selecionado aleatoriamente do intervalo (0; 1). Seja X a
variável aleatória de…nida como X(!) = � ln!, com ! o ponto obtido no experi-
mento. Pede-se:
(a) O espaço de probabilidade (
;A; P ) e o espaço de probabilidade induzido pela
variável aleatória X.
(b) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá…co.
3.3 Variáveis Aleatórias Discretas
De…nição 27 A variável aleatória X é discreta se toma um número …nito ou enu-
merável de valores, isto é, se existe um conjunto …nito ou enumerável fx1; x2; :::g �
R tal que X(!) 2 fx1; x2; :::g para todo ! 2 
. A função p(xi) de…nida por
p(xi) = P (X = xi), i = 1; 2; 3; ::: (3.2)
é chamada função de probabilidade de X.
Observação 11 Note que [X � x] =
[
i:xi�x
[X = xi] e assim
F (x) =
X
i:xi�x
P (X = xi) =
X
i:xi�x
p(xi).
Além disso, observe que
p(xi) � 0, i = 1; 2; 3; ::: (3.3)
e 1X
i=1
p(xi) = 1. (3.4)
35
Exemplo 100 A probabilidade de um indivíduo acertar um alvo é 2/3. Ele deve
atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Seja X a variável aleatória que representa
o número de tentativas até que ele acerte o alvo. Pede-se:
(a) A função de probabilidade de X, mostrando que ela atende as propriedades
(3.3) e (3.4).
(b) A probabilidade de serem necessários cinco tiros para que ele acerte o alvo.
Exemplo 101 Seja X o número de caras obtidas em 4 lançamentos de uma moeda
honesta. Construa a função de probabilidade e a função de distribuição de X es-
boçando os seus grá…cos.
3.4 Variáveis Aleatórias Contínuas
De…nição 28 A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de
distribuição FX(x) é contínua. Isto é, se existe uma função fX(x), dita função de
densidade de probabilidade, com as seguintes propriedades
fX(x) � 0 para todo x 2 R e
1Z
�1
fX(x)dx = 1
de modo que
FX(x) =
xZ
�1
fX(t)dt.
Observação 12 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, observe que
fX(x) =
dFX(x)
dx
.
Observação 13 Como FX(x) é contínua, observe que
1. P (X = x) = FX(x)� FX(x�) = 0 para todo x 2 R.
2. P (a � X � b) = P (a < X � b) = P (a � X < b) = P (a < X < b) =
bZ
a
fX(x)dx.
3. dFX(x) = fX(x)dx.
Exemplo 102 Veri…que que
FZ(z) =
8>><>>:
0, z < 0
z2, 0 � z < 1
2
1� 3(1� z)2, 1
2
� z < 1
1, z � 1
é uma função de distribuição e obtenha a função de densidade de Z. Calcule também
P (Z > 1
4
jZ � 3
4
).
36
Exemplo 103 Veri…que que
FY (y) =
8<:
0, y < 0p
y, 0 � y � 1
1, y > 1
é uma função de distribuição e calcule a função de densidade de Y. Use-a para
calcular P (1
4
< Y < 3
4
).
De…nição 29 Uma variável aleatória é dita singular, se sua função de distribuição
é contínua, mas sua derivada é zero em quase todos os pontos, isto é, exceto em um
conjunto de medida de Lebesgue nula. (Essa linguagem mencionando "quase todos
os pontos"é muito utilizada em probabilidade avançada e signi…ca que a propriedade
só não é válida num conjunto de pontos que tem probabilidade zero, às vezes também
referido como de medida nula.) Em outras palavras, X é singular se, e somente se,
existe um conjunto B de comprimento zero tal que P (X 2 B) = 1 e FX é contínua
(isto é, P (X = x) = 0 para todo x 2 R).
De…nição 30 Uma variável aleatória X é dita mista se tem partes nas diferentes
classi…cações (parte discreta, parte contínua e parte singular). (O mais comum é a
mistura de parte contínua com parte discreta, pois, como dissemos, a parte singular
raramente ocorre.)
Exemplo 104 (Exemplo de Variável Aleatória Mista: Discreta e Contínua ao mesmo
tempo) A função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por:
FX(x) =
8>>>><>>>>:
0, x < 0
x
2
, 0 � x < 1
2
3
, 1 � x < 2
11
12
, 2 � x < 3
1, x � 3
Obtenha:
(a) o grá…co de FX(x);
(b) P (X < 3);
(c) P (X = 1);
(d) P (X > 1=2);
(e) P (2 < X < 4).
Observação 14 Assim toda função de distribuição F de uma variável aleatória X
admite a decomposição
F = �1Fd + �2Fac + �3Fs
onde Fd é a função de distribuição da parte discreta de X, Fac é a função de dis-
tribuição da parte absolutamente contínua de X, Fs é função de distribuição da parte
singular de X, e �1 + �2 + �3 = 1 com �1 � 0, �2 � 0 e �3 � 0.
37
Exemplo 105 Seja X uma variável com função de distribuição
FX(x) =
8<:
0, x < �2
1
4
+ x+2
8
, � 2 � x < 0
3
4
+ 1
4
(1� e�x), x � 0
(a) Classi…que a variável aleatória X e esboce um grá…co de FX .
(b) Calcule P (X > �1) e P (X � 4jX > 0).
(c) Decomponha F nas partes discreta, absolutamente contínua e singular.
3.5 Funções de Variáveis Aleatórias
Seja X uma variável aleatória em (
;A; P ), e considere o problema de determinar
a distribuição de Y = g(X), com g uma função mensurável. Então, temos
FY (y) = P fY � yg = P fg(X) � yg
De…nindo By = fx : g(x) � yg, temos
FY (y) = P fX 2 Byg
= PX fByg
ou seja, conhecendo a distribuição de X, podemos obter a distribuição de qualquer
função mensurável de X.
Observação 15 (a) Quando X é discreta, Y é também discreta e o problema torna-
se simples, pois
pY (y) =
X
i:g(xi)=y
pX(xi)
(b) Quando X é contínua, o problema é mais complexo pois Y pode ser discreta,
contínua ou mista. A ideia aqui é essencialmente obter a função de distribuição da
variável aleatória Y e decompô-la nas suas partes discreta e contínua.
Exemplo 106 Seja uma variável aleatória discreta, com função de probabilidade
dada por P (X = x) =
�
1
2
�x
para x = 1; 2; 3; ::: Seja Y =
jp
X
k
, a parte inteira dep
X. Qual a função de probabilidade da variável aleatória Y?
Exemplo 107 Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade
dada por
fX(x) =
( 1
7
, � 2 � x � 5
0, caso contrário
Encontre a densidade de Y = X2.
Exemplo 108 Seja X uma variável contínua com densidade
fX(x) =
8>>><>>>:
1
4
x, 0 � x < 2
1
8
, 2 � x � 6
0, caso contrário
(a) Determine a função de distribuição de Y = min(3; X).
(b) Faça a decomposição de FY nas suas partes discreta, contínua e singular.
38
3.6 Lista de Exercícios
Exercício 54 Mostre que se X é uma v.a. do tipo contínuo com função de densi-
dade par, ou seja, simétrica em torno de x = 0, isto é, fX(x) = fX(�x), então:
(a) FX(x) = 1� FX(�x);
(b) FX(0) = 12 ;
(c) P (�x < X < x) = 2FX(x)� 1, x > 0;
(d) P (X > x) = 1
2
�
xZ
0
fX(t)dt, x > 0.
Exercício 55 Seja F (x) a função
F (x) =
8<:
0, se x < 0
x+ 1
2
, se 0 � x � 1
2
1, se x > 1
2
Mostre que F é de fato uma função de distribuição e calcule:
(a) P (X > 1
8
)
(b) P (1
8
< X < 2
5
)
(c) P (X < 2
5
j X > 1
8
)
Exercício 56 Suponha que X seja uma variável aleatória com f.d.p. dada por
fX(x) =
1
2(1 + jxj)2 , �1 < x <1
(a) Obtenha a função de distribuição de X.
(b) Ache P (�1 < X < 2).
(c) Ache P (jXj > 1).
Exercício 57 Z é uma variável aleatória contínua com função de densidade de
probabilidade
fZ(z) =
�
10e�10z, z > 0
0, z � 0
Obtenha a função de distribuição de Z e esboce o seu grá…co.
Exercício 58 Seja X uma variável contínua com densidade fX(x) = 12e
�jxj, �1 <
x <1. Mostre que a densidade de Y = X2 é dada por
fY (y) =
1
2
p
y
e�
p
y1(0;1)(y).
Exercício 59 Seja X uma variável aleatória com função de distribuição
FX(x) =
8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:
0, se x < 0
1
4
+
1
8
x(x+ 2), se 0 � x < 1
3
4
, se 1 � x < 4
3
1, se x � 4
3
39
Pede-se:
(a) Classi…car a v.a. X, segundo o critério discreto, contínuo ou misto, justi…-
cando.
(b) Obter a função de probabilidade e/ou a função de densidade da v.a. X.
Exercício 60 Seja FX a função de distribuição de uma variável aleatóriaX, de…nida
por
FX(x) =

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