Capitalização Composta de Juros

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Cálculo Aplicado 
AULA 3 
Prof. Ernani João Silva 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à nossa terceira aula! Neste encontro, vamos 
continuar estudando a modelagem matemática pela ótica do fluxo de caixa. 
Todavia, agora o foco será a capitalização composta dos juros, na qual temos 
cinco temas básicos sobre esse assunto: 
1. Valor presente e valor futuro composto exponencial – fórmulas, fatores de 
cálculo e calculadora financeira; 
2. Convenção linear/mista; 
3. Desconto racional composto; 
4. Desconto comercial composto; 
5. Valores e títulos equivalentes. 
Com esta lista de assuntos ao término dessa aula você será capaz de 
aplicar os instrumentos básicos de análise de um fluxo de caixa por capitalização 
composta de juros e, logicamente, entender e explicar o significado dos 
resultados numéricos que eles geram. E dito isso vamos trabalhar! 
CONTEXTUALIZANDO 
Imagine que você acumulou R$ 10 mil para comprar camisetas de cor 
branca para revender. Sua operação comercial é composta por duas etapas. 
Primeiramente, você vai até a fábrica de camisetas, entrega os R$ 10 mil e sai 
de lá com 1 mil camisetas para revender (ou seja, cada camiseta que você 
comprou custou R$ 10). A segunda etapa é vender esse lote de camiseta, e isso 
você consegue realizar em um mês. Ou seja, após um mês da data da compra 
do lote, você vende todas as camisetas e, por causa disso, obteve um lucro de 
10% sobre o que aplicou. Sendo assim você transformou R$ 10 mil em R$ 11 
mil (M = P + J => R$ 10 mil + (R$ 10 mil .10%) => M= R$ 10 mil + 1 mil). 
Com seus R$ 11 mil no bolso, você retorna à fábrica para comprar mais 
1,1 mil camisetas (R$ 11 mil  R$ 10/camiseta). E, novamente, vende tudo em 
apenas um mês, obtendo 10% de lucro sobre o capital investido (agora R$ 11 
mil). Ou seja, agora você transformou R$ 11 mil em R$ 12,1 mil. 
Por fim, no terceiro mês, você novamente investe todo seu capital (R$ 
12,1 mil) na compra e venda de camisetas brancas. E, novamente, obtém ao 
final de um mês 10% de lucro, alcançando, assim, o valor de R$ 13.310,00. 
 
 
3 
Parabéns! Em três meses você conseguiu, ganhando 10% de lucro por mês, 
transformar R$ 10 mil em R$ 13,31 mil. 
Agora, imagine que um amigo seu, sabendo que você tem um capital de 
R$ 13.310,00 no bolso, lhe pede um favor. Ele quer que você lhe empreste R$ 
10 mil, pois deseja viajar pela Europa nas férias. Como ele é quase um irmão 
para você, o “juro de risco” você resolve não cobrar, porém, avisa que precisa 
receber o “juro de oportunidade”, isto é, os 10% ao mês (a taxa que você ganha 
todo mês na operação de compra e venda). O amigo topa e diz que em três 
meses quita o empréstimo (M = P + J). Sendo assim, por três meses você não 
pode transformar seus R$ 10 mil em R$ 13,31 mil com sua operação de compra 
e venda de camisetas. 
Após três meses, o amigo volta a lhe procurara para quitar a dívida. Nisso, 
entrega para você R$ 13 mil e agradece o empréstimo. Você diz que estão 
faltando R$ 310,00 (devido à lógica exposta nos parágrafos anteriores). O amigo 
fica ofendido, pois diz não acreditar que você quer cobrar dele juros sobre juros 
e vai embora... E, assim, você fica sem amigo e sem seus R$ 310,00. 
 Brincadeiras à parte, essa estória é para demonstrar a principal diferença 
entre juros simples e compostos. No cálculo dos juros simples, a taxa de juro 
sempre é aplicada ao valor original (foi por isso que o amigo pagou só R$ 13 mil 
[ele calculou: R$ 10 mil . (1 + 10%.3) = R$ 10 mil . 1,3 = R$ 13 mil]). Já no caso 
dos juros compostos, a taxa de juros é aplicada em cada saldo intermediário no 
período de análise (como foi exemplificado nos primeiros parágrafos desse 
contexto). Bem interessante! Não acha? Todavia, aqui não vamos entrar no 
mérito se o juro composto é justo ou não, nosso foco será entendê-lo. Portanto, 
vamos começar nossa jornada. 
TEMA 1 – VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO 
Como vimos na aula 2, podemos diagramar as operações financeiras em 
uma representação denominada como fluxo de caixa: 
 
 
 
4 
Figura 1 – Fluxo de caixa 
 
Onde: 
 VP = Valor presente; 
 VF = Valor futuro 
 i = Taxa de juro; 
 n = Valor final do tempo do fluxo. 
Neste tópico usaremos esse diagrama para estudar como funciona o fluxo 
de caixa na capitalização composta dos juros, considerando o momento entre o 
valor presente e futuro do capital. Ou seja, vamos estudar como o VP torna-se 
VF e vice-versa, pelo uso de: (i) fórmula, (ii) fator de cálculo e, também, pela (iii) 
HP 12c1. 
1.1 Fórmula 
Na aula 1, vimos que a fórmula básica da matemática financeira é: 
M = P + J 
Também vimos na aula 1 que esta fórmula poderia ser convertida nos 
juros compostos para: 
VF = VP + J  VF = VP . (1 + i)n 
Onde: 
 VF: Valor Futuro (valor no término do período); 
 VP: Valor Presente (valor no início do período); 
 J: Juros (valor total); 
 
1 Vamos utilizar nesta aula, sempre que possível, as mesmas situações de exemplos e números 
que vimos na aula de juros simples, para que assim fique bem claras as diferenças entre os dois 
métodos de capitalização. 
 
 
5 
 i: Taxa de juro (ajustada à condição de capitalização); 
 n: Período (ajustada à condição de capitalização). 
Esta fórmula nos permite, como foi visto na aula 1, encontrar qualquer um 
dos valores das quatro variáveis do modelo (VF, VP, i, n), desde que nos sejam 
apresentados, no mínimo, três valores. Veja esses exemplos: 
a. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização 
é mensal por juros compostos, qual será o valor futuro dessa aplicação? 
Importante 
Lembre-se de que a taxa precisa ser coerente com a condição de 
capitalização, por isso, dividimos 24% ao ano por 12 meses, para, assim, termos 
2% a.m. 
VF = VP . (1 + i)n  VF = R$ 100 . (1 + 24%/12)10  . 
VF = R$ 100 . (1+ 2%)10  VF = R$ 100 . (1 + 0,02)10  
VF = R$ 100 . 1,02 10  VF = R$ 100 . 1,218994 
VF = R$ 121,8994  R$ 121,90 (Resposta) 
Agora vem o pulo do gato! Na fórmula, não usamos os sinais de negativo 
e positivo que foram discutidos na explicação do fluxo de caixa, porém, no final 
fazemos os ajustes necessários. Sendo assim, nesse exemplo, temos que: VP 
= - R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 121,90 (encaixe). 
 
b. Paulo quer ter R$ 121,90 ao término de um investimento bancário de 10 
meses que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a 
capitalização é mensal por juros compostos, qual o valor que Paulo 
precisa colocar na aplicação hoje (Valor Presente) para ter o que deseja 
no futuro? 
VF = VP . (1 + i) n  R$ 121,90 = VP . (1 + 24%/12)10  
R$ 121,9 = VP . (1+ 2%)10  R$ 121,9 = VP . 1,218994  
VP = R$ 121,9 / 1,218994  VP = R$ 100,00 (Resposta) 
 
 
6 
Sinais no fluxo: VP = - R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 121,90 (encaixe) 
c. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
para, ao término desse tempo, ter R$ 121,90. Sabendo que a 
capitalização é mensal por juros composta, qual é o valor de taxa de juro 
ao ano que essa aplicação precisa ter? 
VF = VP . (1 + i) n  R$ 121,9 = R$ 100 . (1 + i) 10 meses  
R$ 121,9 / R$ 100 = (1+ i) 10  1,219 = (1 + i) 10  
√1,219
10
 = 1 + i “ou” 1,219 1/10 = 1 + i  1,02 = i + 1  
1,02 – 1 = i  i = 0,02 = 2% ao mês 
Como a resposta é “ao ano”  2% ao mês. 12 meses = 24% ao ano 
d. Paulo quer aplicar R$ 100 em um investimento bancário para que este 
capital, ao término de “n” períodos de tempo, torne-se R$ 121,90. 
Sabendo que a capitalização é mensal por jurossimples e que a taxa de 
juros é de 24% ao ano, qual é o valor de tempo dessa aplicação em 
meses? 
VF = VP . (1 + i) n  R$ 121,9 = R$ 100 . (1 + 24%/12) n  
R$ 121,9 = R$ 100 . (1+ 2%) n  121,9/100 = (1 + 0,02) n  
1,219 = 1,02 n , aqui temos que usar logarítmico2, Log 1,02 1,219 = n 
1,219 = 1,02 n  Log 1,02 1,219 = n  n = 10 meses 
e. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização3 
é mensal por juros composta, qual será o valor do juro dessa aplicação? 
 
2 O logarítmico não é um tema da matemática financeira, trata-se de um assunto de matemática 
básica. Usamos “Log” sempre que desejamos encontrar qual é o valor de um expoente, sendo 
esse o caso desse exemplo, pois queremos descobrir o valor de “n”, um número esse no 
expoente da equação. 
3 Lembre-se que no juro composto a forma de capitalização altera o resultado final, ou seja, uma 
mesma taxa nominal pode gerar diferentes valores futuros em um mesmo período de tempo (ver 
aula 1, Tema 5). Por esse motivo, a condição de capitalização é mencionada sempre em 
exercícios de juros compostos. 
 
 
7 
VF = VP . (1 + i ) n  VF = VP + J ; Então: J = VF – V P  
VF = R$ 100 . (1+ 2%)10  VF = R$ 121,8994  R$ 121,90 
Assim: 
J = VF – VP  J = 121,90 – 100  21,9 (Resposta) 
ou 
J = VP . (1 + i) n – VP  J = VP . [(1 + i) n – 1]  
J = R$ 100 . [(1 + 2%) 10 – 1]  J = R$ 100 . [1,218994 – 1]  
J = R$ 100 . 0,218994  R$ 21,9 
Muito fácil! Afinal de contas, trata-se apenas da aplicação do que foi 
estudado no fim da aula 1. Agora, vamos ver como usamos o fator de cálculo. 
1.2 Fator de cálculo para capitalização composta de juros 
Na aula 2 já estudamos o que são os fatores de cálculos (Lembre-se das 
tabelas que os vendedores usam atrás das calculadoras simples, para o cálculo 
de prestações e descontos). Sendo assim, vamos direto ao que interessa sobre 
o fator de juros compostos. Se a fórmula financeira da capitalização composta 
de juro é “VF = VP . (1 + i)n”; então podemos estabelecer que o valor “(1 + i)n” é 
o fator de cálculo quando queremos o VF partindo do VP. E, por sua vez, sendo 
“VP = VF / (1 + i)n”, então, podemos estabelecer que o fator de cálculo é “1 / (1+ 
i)n” quando queremos o VP partindo do VF. Veja estes exemplos: 
a. Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização 
é mensal por juros compostos, qual é o fator de cálculo dessa operação e 
qual seria o valor futuro dessa aplicação? 
Sendo: VF = VP . (1 + i . n)  VF = R$ 100 . (1 + 24%/12)10  
Então, o Fator de Cálculo (fc): fc = (1 + i)n = (1 + 24%/12)10 = 1,218994 
Portanto: VF = VP . fc  VF = R$ 100 . 1,218994  VF = R$ 121,8994 
 
 
8 
Sinais no fluxo: VP = - R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 120 (encaixe) 
b. Paulo mudou de ideia sobre a quantia que vai aplicar. Agora ele quer 
aplicar R$ 300 nas mesmas condições anteriores. Isto é, 10 meses em 
um investimento bancário que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. 
Sabendo que a capitalização é mensal por juros compostos, qual será o 
valor futuro? 
Muitas pessoas fazem todos os cálculos de novo, porém não precisa. 
Pense comigo se todas as condições para i e n são iguais, então, basta aplicar 
o fator de cálculo feito no item “a” no novo valor presente: 
VF= VP . fc  VF= $ 300. 1,218994 VF = $365,6983  VF  R$ 365,70. 
Sinais no fluxo: VP = - R$ 300 (desencaixe); VF = + R$ 365,70 (encaixe). 
A mesma ideia pode ser usada para o cálculo do valor presente a partir 
do valor futuro. Veja esses exemplos: 
I. Paulo quer ter R$ 121,9 ao término de um investimento bancário de 
10 meses que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a 
capitalização é mensal por juros compostos, qual é o fator de cálculo 
e o valor que Paulo precisa colocar na aplicação hoje (=Valor 
Presente)? 
Sendo: VF = VP . ( 1 + i )n  VP = 
VF
( 1 + i )𝑛 
  VP = VF . 
1
( 1 + i )𝑛 
  
Então: 
Fator de cálculo: fc = 
1
( 1 + i )𝑛 
  
1
( 1 + 2% )10 
  
1
1,218994
 = 0,82035 
Portanto: 
VP = VF . fc  VP = R$ 121,9 . 0,82305  VP = R$ 100,00 
Sinais no fluxo: VP = - R$ 100 (desencaixe); VF = + R$ 121,9 (encaixe). 
II. Caso o Paulo queira ter R$ 365,70 ao término de um investimento 
bancário nas mesmas condições vistas acima, qual é o valor que ele 
precisa colocar na aplicação hoje (=Valor Presente)? 
 
 
9 
Usando o fator de cálculo, uma vez que as condições são iguais, temos: 
VP = VF . fc  VP = $365,70. 0,82035  VP= $ 300 
Sinais no fluxo: VP = - R$ 300 (desencaixe); VF = + R$ 365,7 (encaixe) 
Viu? É muito fácil! E para encerrarmos este tópico sobre fatores, vamos 
ver duas tabelas de capitalização composta, onde “n” é números de dias (já 
ajustado para a condição de capitalização) e “taxa” é o taxa efetiva de juro: 
Tabela 1 – VP para VF 
 
Tabela 2 – VF para VP 
 
a. Investindo R$ 10, qual é o valor futuro para 90 dias de aplicação com taxa 
0,5% ao dia, com capitalização composta diária? 
 Resposta: R$ 10 . 1,5666 = R$ 15,67. 
b. Para ter R$ 15,67 em 90 dias em uma aplicação composta com taxa 
efetiva de 0,5% ao dia, qual é o valor que de aplicação? 
Resposta: R$ 14,50 . 0,6383 = R$ 10. 
Para utilizar as tabelas de fatores de cálculo, bastou encontrar o valor de 
intersecção entre a taxa efetiva do juro simples e o valor desejado de “n”; depois 
multiplicar esse valor (= fator de cálculo) com Valor Futuro ou Valor Presente. 
Esta é a lógica das tabelas dos vendedores. 
 
 
10 
Agora que você já sabe deduzir e usar o fator de cálculo, então, só falta 
estudar como resolvemos a capitalização por juros compostos, condição VP e 
VF, em uma calculadora financeira HP 120c. 
1.3 Capitalização composta de juros na calculadora financeira 
Para realizar o cálculo dos juros compostos, na condição VP e VF, na HP 
12c, vamos precisar dos comandos que estão na primeira linha de cima da 
máquina. Lá, usaremos os comandos brancos “n, i, PV, FV” e, também, o 
comando “CHS”. O melhor jeito de explicar é com um exemplo: 
Paulo quer aplicar R$ 100 por 10 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é 
mensal por juros compostos, qual o juro e o valor futuro da aplicação? 
Passo 1: ajustar os dados para uso na HP 12c 
 n = 10 meses (nada precisa ser feito, n = meses = capitalização mensal); 
 i = 24% ao ano  24% / 12 meses = 2% ao mês (lembre-se da aula 1). 
Passo 2: lançar os dados 
 F CLx (limpa a máquina); 
 F 4 (ajusta a máquina para 4 casas decimais); 
 Verificar se a Hp 12 c está na forma exponencial4: 
a. Se o visor tem a letra “c”, a Hp está na forma exponencial. 
b. Se o visor não tem a letra “c” na tela, então a Hp está na forma linear 
(mista) e precisa ser alterada para forma exponencial (o “c” precisa 
aparecer na tela), use o comando: “STO”; “EEX” para ativar o “c”. 
 10 n (lançamento dos dias); 
 2 i (taxa é lançada ao ano como se tivesse %, ou seja, não pode 0,02); 
 100 CHS PV (CHS para trocar o sinal para negativo, pois é desencaixe); 
 FV (Valor futuro); 
 Na tela, aparece o valor do juro => R$ 121,8994 (juros); 
 F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); 
 
4 Os juros compostos que estamos estudando agora é a forma pura, ou seja, todo o período de 
tempo está no expoente do cálculo, por isso, essa forma é chamada de exponencial. No próximo 
item iremos estudar o que é essa tal de forma linear, por enquanto, vamos apenas usar o 
comando.11 
 Na tela aparece o valor futuro => + R$ 121,90 (na HP os sinais atendem 
a lógica do fluxo de caixa: se R$ 100 era desencaixe, então R$ 121,90 é 
encaixe, por isso, sinal positivo). 
Observação: aqui, usei “F4” e “F2” somente para ensinar como muda o 
número de casas decimais no visor. Todavia, quero que fique bem claro que o 
número de casas decimais que aparece no visor não altera a precisão dos 
cálculos na Hp12c. O motivo? Simples, a máquina continua a usar nas 
operações as casas decimais que não estão visíveis. Por exemplo, 
 F CLx (limpa os registros); 
 F 0 (zero casas decimais); 
 5 enter; 
 2 ; 
 Aparece 3 na tela; 
 4 x; 
 Aparece 10 na tela. 
Entendeu? Se você usar “F0” não terá casas decimais no visor, sendo 
assim, se dividir o n. 5 por 2 na tela irá aparece o n. 3 (a forma arredonda de 
2,5), agora, se multiplicarmos esse número por 4, o resultado “não” será 12, ele 
será o n. 10 (=2,5 x 4). Portanto, ela mostra 3 na tela, mas usa no cálculo o 2,5. 
TEMA 2 – CAPITALIZAÇÃO MISTA OU LINEAR 
Tudo o que vimos até agora é a forma mais comum no uso da 
capitalização composta, ela é denominada de capitalização composta 
exponencial (pois, como já foi dito na nota de rodapé, o valor do n está totalmente 
no expoente). Todavia, convém ressaltar que existe ainda uma modalidade mista 
de capitalização, onde temos na composição do modelo financeiro tanto a 
capitalização composta como a capitaliza simples. Este tipo de capitalização é 
denominado de capitalização linear ou, obviamente, de capitalização mista: 
VF = VP . (1 + i) n’ . (1 + i . n’’) 
Onde: 
 VF = Valor futuro; 
 VP = Valor presente; 
 
 
12 
 i = Taxa de juro efetiva (que é igual para ambos os parênteses); 
 n’ = período inteiro do tempo; 
 n’’ = período fracionário do tempo; 
 n = período total, isto é, a soma de n’ e n’’  n = n’ + n’’. 
Ficou preocupado com a fórmula? Então, fique tranquilo, primeiro porque 
não é assim tão difícil e, segundo, porque somente existe diferença nos 
resultados das contas entre a forma exponencial e linear se, e somente se, o 
valor do n (isto é, o tempo) tiver valores quebrados (fracionários), por exemplo: 
2,5 meses, 1,3 meses etc. Vamos ver um exemplo: 
Paulo quer aplicar R$ 100 por 10,5 meses em um investimento bancário 
que paga uma taxa de juro de 24% ao ano. Sabendo que a capitalização é linear 
e mensal, qual será o valor futuro dessa aplicação? 
VF = VP . (1 + i) n’ . (1 + i . n’’)  VF = $100 . (1 + 2%) 10 . (1 + 2% . 
0,5) 
VF = $100 . 1,218994 . (1 +1%  VF = $100 . 1,218994 . 1,01 
VF = $100 . 1,2312  VF = $ 123,12 
Entendeu? O valor de n igual a 10,5 meses foi decomposto em n’ =10 e 
n’’ = 0,5. O valor de n’ (a parte inteira) foi usada na capitalização composta, já n’’ 
(a parte fracionária) foi usada na capitalização simples. Sendo assim, o produto 
dos fatores 1,218994 (capitalização composta) e 1,01 (capitalização simples) é 
o fator de cálculo da capitalização linear (ou mista), ou seja, fc = 1,2312: 
Vamos resolver esse problema com o uso da Hp 12c. 
Passo 1: ajustar os dados para uso na HP 12c 
 n = 10,5 meses (nada precisa ser feito, n: meses = capitalização: meses); 
 i = 24% ao ano  24% / 12 meses = 2% ao mês (lembre-se da aula 1). 
Passo 2: lançar os dados 
 F CLx (limpa a máquina); 
 F 4 (ajusta a máquina para 4 casas decimais); 
 Verificar se a Hp 12 c está na forma linear: 
a. Se o visor não tem a letra “c” na tela, então a Hp está na forma linear; 
 
 
13 
b. Se o visor tem a letra “c” na tela, então a Hp está na forma exponencial 
e precisa ser alterada para forma linear (o “c” precisa sumir); use o 
comando: “STO”; “EEX”, isto vai desativa o “c” 
 10,5 n (tempo integral = n’ + n’’); 
 2 i (taxa); 
 100 CHS PV (CHS para trocar o sinal para negativo, pois é desencaixe); 
 FV (Valor futuro); 
 Na tela aparece o valor do juro => R$ 123,1184 (Juros); 
 F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); 
 Na tela aparece o valor futuro + R$ 123,12 (VF). 
Por fim, caso você resolva refazer o cálculo com capitalização 
exponencial, o resultado final será menor, ele será R$ 123,1124 = R$ 123,11. 
Ou seja, ele será menor que o valor linear! O motivo? Simples, porque quando a 
gente faz o cálculo de uma potência com a parte quebrada de um número, 
estamos tirando uma raiz, veja este exemplo: 
25 0,5 = 25 1/2 = √25
2
 = 5 (isto é o que ocorre n’’ com “c” na tela) 
25 . 0,5 = 25 . 50% = 12,5 (isto é o que ocorre n’’ sem “c” na tela) 
Resumindo a ópera, temos que quando usamos o n’’ (parte fracionária) 
no cálculo exponencial aquela parte é uma raiz, já quando usamos o n’’ no juro 
simples ele é uma percentagem. É por isso que partes fracionárias em cálculos 
financeiros exponenciais apresentam resultados menores se comparados com 
os resultados de cálculos lineares. 
E, assim, encerramos este tema de conceitos sobre capitalização do 
capital por juros compostos de “VP para VF” e de “VF para VP”, assim, podemos 
nos aprofundar em operações mais complexas no uso do juro composto como, 
formas descontos, por exemplo. Então, vamos lá! 
TEMA 3 – DESCONTO RACIONAL 
Como vimos, na aula 2, uma operação de desconto é uma operação 
inversa ao processo de capitalização. Nela, retiramos o juro que está incorporado 
no valor futuro (aqui chamado de Valor nominal) até o momento em que estamos 
antecipando o pagamento, obtendo, assim, o valor atual do título: 
 
 
14 
VA = VN – D 
Onde: 
 VA: Valor atual no momento do efetivo pagamento; 
 VN: Valor nominal = valor na data original de vencimento da dívida; 
 D: Desconto até o momento do efetivo pagamento. 
A questão chave aqui é que este cálculo – isto é, o procedimento de 
desconto – pode ser feito tanto por dentro (desconto racional) como por fora 
(desconto comercial), tudo depende do contrato firmado entre quem cede e 
quem recebe o capital. Neste tópico, nosso foco será o desconto racional 
composto. Ele é assim chamado, pois seu cálculo é feito por meio do uso de uma 
razão (= uma divisão na forma de fração), dado o fato de partimos do uso da 
fórmula de capitalização para definir o “Valor atual” e o “Valor do desconto”: 
a. Valor atual racional 
Sendo, VF = VP . (1 + i)n, 
Onde, VP = 
𝑉𝐹
(1+𝑖)𝑛
  VP = VF / (1 + i) n 
Então, se substituirmos o VP (Valor presente) por VA (Valor atual) e o VF 
(Valor futuro) por VN (Valor nominal), teremos: 
Equação 1 – Valor atual racional 
VA r = 
𝑉𝑁
(1+𝑖)𝑛
  VA r = VN / (1 + i) 
n 
Onde: 
 VA r = Valor atual no momento do pagamento pelo método racional. 
 VN = Valor nominal = valor da dívida na data original de vencimento. 
Esta é a fórmula do valor atual! 
b. Desconto racional 
Sendo, D r = VN - VA r , 
Onde, VA r = VN / ( 1 + i ) 
n 
 
 
15 
Então, D r = VN - VN / ( 1 + i ) 
n 
Sendo assim, D r = VN . [ 1 - 
1
(1+𝑖)𝑛
 ] 
Esta é a fórmula do desconto racional! Todavia, nada impede que você 
faça da fórmula “Dr= VN – VAr”, para tanto, basta calcular antes o VAr. 
Por fim, resta dizer que, pelo fato do desconto racional ser calculado em 
relação ao valor atual, ele é denominado pelo mercado como um desconto por 
dentro. 
Agora, vamos exercitar: 
 A Loja “Roupas Sónois Éketem Ltda” tem uma duplicata para receber de 
um cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está precisando de 
dinheiro hoje e a citada duplicata só vai vencer daqui dois meses. Sendo assim, 
o dono da loja vai até um amigo e pede para ele descontar a duplicata. Isto é, o 
amigo fica com a duplicata (fica com direito de receber o valor do título na data 
do vencimento) e antecipa o dinheiro mediante um valor dedesconto. O amigo 
aceita descontar a duplicata por uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, por meio 
do cálculo do desconto racional composto. Qual é o valor do desconto e qual é 
o valor que o dono da loja vai receber nesta operação? Solução: 
a. No desconto racional, a primeira coisa é achar o valor atual: 
VA r = VN / (1 + i)
n  VA r = 1000 / (1+1,5%)
2  VA r = 1000 /1,030225 
VA r  R$ 970,66 (valor que o dono da loja vai receber) 
Após determinar o valor atual, encontramos o valor do desconto: 
Dr = VN – VA  Dr = 1000 - 970,66  Dr  R$ 29,34 (valor do desconto) 
Ou, podemos usar a outra fórmula: 
D r = VN . [1 - 1 /(1 + i) 
n ]  Dr = 1000. [1 – 1/(1 + 1,5%) 
2]  
Dr =1000. [1 – 1 / 1,030225 ]  Dr = 1000. [1 – 0,970662]  
Dr = 1000 . 0,029338  
 
 
16 
Dr  R$ 29,34 (desconto cobrado pelo amigo) 
Viu? É bem simples, o desconto racional é exatamente o processo 
inverso da operação de capitalização VP para VF. Dado esse fato, uma 
operação de desconto racional, na HP 12c, pode ser executada informando VF 
e solicitando o VP; veja a resolução do exemplo na calculadora: 
Passo 1: Achar o valor presente (atual) 
 F CLx (limpa a máquina); 
 F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); 
 Aqui não precisa verificar se a Hp 12 c está na forma exponencial, pois o 
“n” não tem valor quebrado; 
 2 n (meses de antecipação); 
 1,5 i (taxa); 
 1000 CHS PV (baixa do caixa, o título saiu); 
 PV = na tela aparece 970,66 (valor atual, sinal positivo  dinheiro entrou). 
Passo 2: Achar o valor do desconto (lógica => D = M – VAr): 
 F CLx (limpa a máquina); 
 1000 Enter (valor montante); 
 970,66 (valor atual); 
 - (na tela aparece  29,34, valor do desconto). 
Então, é isso... desconto racional composto nada mais é do que uma 
operação inversa da capitalização composta exponencial. Agora, vamos para o 
desconto comercial composto. 
TEMA 4 – DESCONTO COMERCIAL 
O desconto comercial é assim chamado, pois seu cálculo é amplamente 
utilizado nas operações comerciais de desconto de títulos para antecipação de 
recebíveis. Ou seja, se uma loja quer antecipar o valor de uma duplicata que irá 
receber daqui 2 meses, a operação, por certo, será por meio deste desconto. O 
seu cálculo é feito em relação ao valor nominal (o valor de face da dívida) e, na 
mesma forma que o racional, tem duas fórmulas a serem consideradas: “Valor 
Atual” e o “Valor do desconto”: 
a. Valor atual comercial (VAc): 
 
 
17 
Fórmula  VA c = VN . (1 ─ i)
n 
Como podemos ver na fórmula anterior, o valor atual no desconto 
comercial composto é muito parecido com a modelagem de capitalização. Na 
capitalização, temos VF = VP . (1 + i)n, já no desconto comercial temos VP = VF 
. (1 – i)n . Ou seja, comparando com o cálculo da capitalização, temos que o VF 
e o VP estão invertidos e o sinal do taxa i positivo “+” tornou-se negativo “–”. 
Observação: pelo fato do desconto comercial ser calculado em relação ao 
valor nominal (ou seja, o valor futuro da dívida), ele é denominado pelo mercado 
como um desconto por fora. 
b. Desconto comercial (Dc): 
Sendo, Dc = VN ─ VAc 
Onde, VA c = VN . (1 ─ i) 
n 
Então, Dc = VN ─ VN . (1 ─ i) 
n 
Portanto, Dc = VN . [1 ─ (1 ─ i ) 
n ], 
Esta é a fórmula base do desconto comercial! Todavia, nada impede que 
você faça da fórmula “Dc= VN – VAc”, basta calcular antes o VAc. 
Vamos exercitar! A Loja “Roupas Sónois Éketem Ltda” tem uma duplicata 
de um cliente no valor de R$ 1 mil. Acontece que o dono da loja está precisando 
de dinheiro hoje e a citada duplica só vai vencer daqui dois meses. Sendo assim, 
o dono da loja vai até um amigo é pede para ele descontar a duplicada. O amigo 
aceita descontar a duplicata por uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, por meio 
do cálculo do desconto comercial composto. Qual é o valor do desconto e qual 
é o valor que o dono da loja vai receber? 
Solução 
a. No desconto comercial a primeira coisa é achar o valor atual do título: 
VA c = VN . (1 ─ i) 
n  VA c = 1000 . (1 ─ 1,5%) 
2 
VA c = 1000 . 0,970225  VA c = R$ 970,2250  R$ 970,23 
 
 
18 
Ou seja, R$ 970,23 é o valor que o dono da loja vai receber. 
b. Após determinar o valor atual, encontramos o valor do desconto: 
Dc = VN – VAc  Dc = 1000 – 970,225 
Dc = R$ 29,775  R$ 29,78 ( valor do desconto ) 
ou 
Dc = VN . [ 1 ─ (1 ─ i ) 
n ]  Dc = 1000 . [ 1 ─ (1 ─ 1,5% ) 
2 ]  
Dc = 1000 . [ 1 ─ 0,970225 ]  Dc = 1000 . 0,029775  
Dc  R$ 29,78 (valor do desconto) 
Convenhamos, é bem tranquilo aplicar o desconto comercial. Afinal de 
contas, ele é muito parecido com a modelagem de capitalização. E, dado esse 
fato, podemos realizar a operação de desconto comercial, na HP 12c, por meio 
de algumas adaptações: 
I. Informando VF no comando VP; 
II. Solicitando o VP no comando VF; 
III. Informando a taxa de desconto com valor negativo. 
Veja a solução de nosso exemplo na calculadora: 
Passo 1: Achar o valor presente (atual) 
 F CLx (limpa a máquina); 
 F 2 (ajusta a máquina para 2 casas decimais); 
 2 n (lançamento dos meses); 
 1,5 CHS i (taxa de desconto com sinal negativo, por ser (1 - i)n; 
 1000 CHS PV (baixa do caixa); 
 PV = na tela aparece => 970,23 (valo atual). 
Passo 2: Achar o valor do desconto 
 F CLx (limpa a máquina); 
 1000 Enter (valor montante); 
 970,23 (valor atual); 
 - (na tela aparece  29,77)*. 
 
 
19 
Observação: aqui, deu uma diferença de 0.01, pois nós digitamos 970,23 
(que é um número arredondado). Todavia, devemos esclarecer que essa 
diferença não tem materialidade (não é significante). 
TEMA 5 – VALOR EQUIVALENTE E TÍTULOS EQUIVALENTES 
Como já discutimos em juros simples (aula 2), no mercado, normalmente 
as operações do dia a dia não são realizadas apenas com 1 título, elas são feitas, 
muitas vezes, em lotes com vários títulos. Sendo assim, se faz necessário 
estabelecer algum artefato matemático que nos auxilie nesses casos. Dentre as 
possibilidades existentes, costuma-se utilizar, para os juros compostos, o valor 
de equivalência. Ou seja, quando temos vários títulos estabelecemos qual é o 
valor de equivalência para todos eles, considerando em uma data específica, 
denominada de data focal. Agindo assim, podemos trocar vários títulos com 
datas diferentes por um único título equivalente, ou por um valor (caso a 
operação seja de desconto). Esta lógica segue, em geral, os preceitos do 
desconto racional, sendo assim, apresenta a modelagem abaixo: 
Equação 2 – Troca de títulos 
VP = ∑ .𝑚𝑗=1
𝑉𝐹𝑗
(1+ 𝑖 )
𝑛 𝑗  VP = 
𝑉𝐹1
(1+ 𝑖 )𝑛1
 + 
𝑉𝐹2
(1+𝑖 )𝑛2
 + …+ 
𝑉𝐹 𝑚
(1+ 𝑖 )𝑛 𝑚
  
VP = ∑ .𝑚𝑗=1
𝑉𝐹𝑗
(1+ 𝑖 )
𝑛 𝑗  VP = ∑ .
𝑚
𝑗=1 𝑉𝑃 𝑗  VP = 𝑉𝑃 1 + 𝑉𝑃 2 +…+ 𝑉𝑃 𝑚 
Onde: 
 VP: Valor presente = VA (Valor atual); 
 VF: Valor futuro = VN (Valor nominal); 
 i: Taxa de juro; 
 j: Identifica o título no cálculo (ex.: “VF2” e “n2” são elementos do título 2); 
 m: representa a identificação do último título do lote analisado. 
Resumindo a ópera, quando temos muitos títulos com diferentes datas de 
vencimento, realizamos o desconto racional em cada um deles para uma mesma 
data, usando um mesmo valor de taxa i. Depois, somamos os valores atuais. 
Achou difícil? Então, vamos exemplificar. A seguir, temos dois exemplos sobre 
 
 
20 
esse modelo: um para explicar o que são valores equivalentes e outro para 
ilustrar o que são títulos equivalentes: 
5.1 – Exemplo 1 
Uma empresa tem um lote com três títulos a receber, conforme os valores 
nominais (VN) e prazos em meses (n) informados na tabela que segue. 
Tabela 3 – Valores nominaise prazos em meses 
Títulos VN n 
1 R$ 8.000,00 2,0 
2 R$ 3.000,00 4,0 
3 R$ 7.000,00 5,0 
 
Acontece que, por questões de falta de caixa, ela deseja antecipar esse 
lote de títulos. O Banco informa que a taxa desconto mensal será de 5%. Sendo 
assim, responda: Sendo o desconto aplicado racional composto, qual é o valor 
atual equivalente ao lote de títulos? 
Solução 
VP = ∑ .𝑚𝑗=1
𝑉𝐹𝑗
(1+ 𝑖 )
𝑛 𝑗  VP = 
8000
(1+5%)2
 + 
3000
(1+5%)4
 + 
7000
(1+5%)5
  
VP = ∑ .𝑚𝑗=1
𝑉𝐹𝑗
(1+ 𝑖 )
𝑛 𝑗  VP = 
8000
1,1025
 + 
3000
1,2155
 + 
7000
1,2763
  
VP = ∑ .𝑚𝑗=1
𝑉𝐹𝑗
(1 + 𝑖 )
𝑛 𝑗  VP = 7256,24 + 2468,11 + 5484,68 = R$ 15.209,03 
Resposta: A empresa leva um lote no valor de R$ 18 mil em títulos e, se 
aceitar a condição apresentada, sai do banco com um valor de R$ 15.209,03 em 
dinheiro. Pois, para o banco, R$ 15.209,03 hoje é a mesma coisa (equivale) a 
 
 
21 
ter um lote de títulos com R$ 8 mil para 2 meses; R$ 3 mil para 4 meses; R$ 7 
mil para 5 meses. 
Agora, vamos aprofundar essa lógica, vamos ver uma situação de troca 
de títulos! E, para facilitar nossa vida, vamos usar os mesmos números do 
exemplo anterior, porém, dentro de outra realidade transacional. 
5.1 – Exemplo 2 
Uma empresa tem com um fornecedor um lote com quatro títulos a pagar, 
conforme os valores nominais (VN) e prazos em meses (n) informados na tabela 
que segue. 
Tabela 4 – Valores nominais e prazos em meses 
Títulos VN n 
1 R$ 8.000,00 2,0 
2 R$ 3.000,00 4,0 
3 R$ 7.000,00 5,0 
 
Acontece que, por questões de falta de caixa, ela deseja trocar os três 
títulos por um único documento de dívida com data de vencimento para 6 meses. 
Ou seja, ela não tem caixa para pagar as dívidas antes de 6 meses. O fornecedor 
aceita a troca se, e apenas se, o novo título for equivalente ao lote dos três títulos 
na data focal zero, considerando uma taxa de desconto de 5% ao mês. Sendo 
assim, responda: Qual deve ser o valor do novo título para ele ter equivalência 
na data focal zero com o lote informado? 
Solução 
Primeiro, vamos calcular o VA (=VP) do lote dos três títulos na data focal 
zero: 
VP = 
8000
(1+5%)2
 + 
3000
(1+5%)4
 + 
7000
(1+5%)5
  VP = R$ 15.209,03 
 
 
22 
Agora, vamos calcular o VF do novo título para ter o mesmo valor atual do 
lote na data focal zero, considerando uma taxa de 5% ao mês: 
VF = VP . (1 + i) n  VF = 15.209,03 . (1 + 5%) 6  VF = R$ 20.381,55 
Resposta: Considerando um prazo de 6 meses, o título equivalente à uma 
taxa de 5% ao mês é de R$ 20.381,55. Ou seja, para o fornecedor receber R$ 
18 mil parcelados (8 mil em 2 meses + 3 mil em 4 meses + 7 mil em 5 meses), 
equivale a ter um único pagamento de R$ 20.381,55 em seis meses, 
considerando uma taxa de juro de 5% ao mês. 
Entendeu o que significa o título equivalente ou valor equivalente? Mais o 
menos? Então veja essa passagem de Castanheira e Macedo (2010, p. 84 – 
grifo nosso): 
Ao necessitarmos substituir um título por outro, é preciso ter a certeza 
de que os títulos são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer 
quando se deseja ou antecipar ou postecipar o pagamento de um título. 
Trata-se, portanto, da troca de papéis. É importante ressaltar que dois 
títulos só são equivalentes a uma determinada taxa. Alterando o valor 
da taxa, a equivalência desaparecerá. 
Agora você entendeu! A equivalência na data focal somente vale para 
certo valor de taxa, ou seja, o valor de R$ 15.209,03 somente equivale aos três 
títulos no momento zero se a taxa de desconto for 5%, na mesma forma, R$ 
20.381,55 somente equivale aos três títulos se a taxa for 5%; se mudar a taxa, 
esses valores de equivalência se perdem, pois outros valores surgirão. 
Bem, por hoje basta, já vimos todos os elementos essenciais sobre o 
sistema de capitalização e desconto por juros compostos, considerando o 
momento VP e VF (ou VA e VN). Com essa bagagem, já podemos desenvolver 
os conteúdos presentes nas aulas 4 e 5, quando iremos estudar algumas das 
formas específicas no uso do artefato dos juros compostos em séries uniforme 
e não uniformes. 
TROCANDO IDEIAS 
Durante os cinco temas que foram vistos nesta aula, analisamos vários 
conceitos sobre o processo de capitalização composta. Agora, entre no Fórum 
da disciplina e, usando este conhecimento geral adquirido, reflita com seus pares 
quando é interessante usar a convenção linear e quando é interessante usar a 
 
 
23 
convenção exponencial, tanto pela ótica do que cede o capital como, também, 
pela ótica de quem o recebe. 
NA PRÁTICA 
a. Leitura do caso. 
O Sr. Kenenóis tem uma dívida no valor de R$ 2,5 mil que vai vencer daqui 
a 10 dias, porém, ele deseja quitá-la hoje. Sabendo que o desconto contratual é 
por desconto racional composto e que a taxa de juro efetiva é de 1,5% ao mês, 
responda: qual será o valor atual da dívida e do desconto? 
b. Identificação do que deve ser feito e teoria/conteúdo que resolve o 
problema 
Para resolver esse problema, precisamos encontrar o valor atual racional 
e o valor do desconto racional (Tema 3). 
c. Apresentação da solução do problema 
Passo 1: encontrar o valor atual racional: 
1. Preparar os dados: 
i = 1,5% ao mês (taxa efetiva, então já está certa) 
n = 10 dias (se a taxa efetiva é mensal, então dias precisar virar mês) 
 n = 10 dias / 30 dias de 1 mês = 1/3 = 0,3333 meses 
2. Cálculo 
VAr = VF / (1+ i)n  VAr = 2,5 mil / (1+ 1,5%) 0,333 
VAr = 2,5 mil / (1+ 0,015) 0,333  VAr = 2,5 mil / 1,004975  
VAr = 2,487624 mil = R$ 2.487,62 (valor atual) 
Passo 2: encontrar o desconto racional 
Dr = VN – VAr = 2.500,00 - 2.487,62 = R$ 12,38 (desconto) 
Resposta: Valor atual de R$ 2.487,62; Desconto de R$ 12,38. 
 
 
24 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos os juros compostos. Vimos as diferentes formas 
de obtermos o valor presente e o valor futuro (fórmulas, fator de cálculo e Hp 
12c). Também estudamos as duas formas possíveis de desconto (racional e 
comercial). E, por fim, vimos como é possível encontrar o valor de equivalência 
para operações de desconto para lotes com vários títulos ou para operações de 
troca de títulos (títulos equivalentes). Tudo isso foi visto utilizando exemplos 
numéricos nos quais os cenários foram sendo alterados didaticamente para 
facilitar a sua aprendizagem. Espero que tenha gostado e, sem mais para o 
momento, desejo-lhe bons estudos e a gente se vê na aula 4! 
 
 
 
25 
REFERÊNCIAS 
ANDRICH, E. G.; CRUZ, J. A. W. Gestão financeira: uma abordagem prática. 
Curitiba: InterSaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, N. P; MACEDO, L. R. D. Matemática financeira aplicada. 
Curitiba: Ibpex, 2010. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. 
Curitiba: Ibpex, 2011.