aula 2 - Integrais no cálulo de área

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A´rea de regio˜es planas
Aplicac¸a˜o de Integrais no ca´lculo de a´reas de
regio˜es planas
Danilo Sande
October 9, 2013
Danilo Sande Aplicac¸a˜o de Integrais no ca´lculo de a´reas de regio˜es planas
A´rea de regio˜es planas
I´ndice
1 A´rea de regio˜es planas
Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Danilo Sande Aplicac¸a˜o de Integrais no ca´lculo de a´reas de regio˜es planas
A´rea de regio˜es planas
Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Definic¸a˜o
A´rea a partir de integrais definidas
Seja R a regia˜o limitada pelo gra´fico da func¸a˜o y = f (x), as retas
x = a, x = b e o eixo x , sendo f (x) > 0 e cont´ınua para todo
[a, b]. A a´rea da regia˜o R e´ dada por:
A =
∫ b
a f (x)dx , a e b arbitra´rios.
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A´rea de regio˜es planas
Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Demonstrac¸a˜o
Fac¸amos uma partic¸a˜o do intervalo [a, b] da figura anterior,
em n sub-intervalos, escolhendo os pontos
a = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b.
Danilo Sande Aplicac¸a˜o de Integrais no ca´lculo de a´reas de regio˜es planas
A´rea de regio˜es planas
Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Demonstrac¸a˜o
Fac¸amos uma partic¸a˜o do intervalo [a, b] da figura anterior,
em n sub-intervalos, escolhendo os pontos
a = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b.
Danilo Sande Aplicac¸a˜o de Integrais no ca´lculo de a´reas de regio˜es planas
A´rea de regio˜es planas
Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Demonstrac¸a˜o
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimeno do intervalo [xi−1, xi ].
Em cada um dos intervalos [xi−1, xi ], escolhemos um ponto
qualquer ci .
Para cada i = 1, ..., n, constru´ımos um retaˆngulo de base ∆xi
e altura f (ci ).
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A´rea de regio˜es planas
Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Demonstrac¸a˜o
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimeno do intervalo [xi−1, xi ].
Em cada um dos intervalos [xi−1, xi ], escolhemos um ponto
qualquer ci .
Para cada i = 1, ..., n, constru´ımos um retaˆngulo de base ∆xi
e altura f (ci ).
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A´rea de regio˜es planas
Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Demonstrac¸a˜o
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimeno do intervalo [xi−1, xi ].
Em cada um dos intervalos [xi−1, xi ], escolhemos um ponto
qualquer ci .
Para cada i = 1, ..., n, constru´ımos um retaˆngulo de base ∆xi
e altura f (ci ).
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A´rea de regio˜es planas
Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Demonstrac¸a˜o
A soma das a´reas dos n retaˆngulos, e´ dada por:
Sn = f (c1)∆x1 + f (c2)∆x2 + ... + f (cn)∆xn =
n∑
i=1
f (ci )∆xi
(Soma de Riemann da func¸a˜o f (x))
Fazendo n→∞, temos que ∆x → 0 e a soma das a´reas dos
retaˆngulos se aproxima da a´rea da regia˜o R.
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Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Demonstrac¸a˜o
Assim, lim
∆xi→0 ou n→∞
n∑
i=1
f (ci )∆xi = A e´ a a´rea da regia˜o R.
Se o limite existe:
A =
∫ b
a f (x)dx
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Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Demonstrac¸a˜o
No caso em que f (x) e´ negativa dentro de algum intervalo de
integrac¸a˜o, a a´rea da curva sera´ dada por:
A =
∫ b
a |f (x)|dx
Na figura dada, a a´rea seria dada por:
A =
∫ d
a |f (x)|dx =
∫ b
a f (x)dx −
∫ c
b f (x)dx +
∫ d
c f (x)dx
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Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Exemplos
Exemplo 1
Calcule a a´rea da figura do plano limitada pela curva y = tan x e o
eixo x, tal que −pi3 ≤ x ≤ pi4 .
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Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Exemplos
Exemplo 2
Calcule a a´rea da figura do plano limitada pela curva y = log2 x e
o eixo x, tal que 12 ≤ x ≤ 4.
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Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Func¸o˜es de y
No caso de func¸o˜es de y:
Seja R a regia˜o limitada pelo gra´fico da func¸a˜o x = g(y), as retas
y = a, y = d e o eixo y , sendo g(y) cont´ınua para todo [a, d ]. A
a´rea da regia˜o R e´ dada por:
A =
∫ d
a |g(y)|dy .
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Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Exemplos
Exemplo 3
Qual a a´rea da func¸a˜o delimitada por x = y2 e o eixo y, onde
−1 ≤ y ≤ 1?
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Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
A´rea entre curvas
Se ao inve´s do eixo, uma outra curva delimitar a regia˜o:
A´rea entre curvas
Seja R a regia˜o delimitada pelas curvas y = f1(x) e y = f2(x),
interceptando-se nos pontos com abcissas x = a e x = b, enta˜o, A
e´ dada por:
A =
∫ b
a |f1(x)− f2(x)|dx e de modo ana´logo para y:
A =
∫ b
a |g1(y)− g2(y)|dy
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Definic¸a˜o
Demonstrac¸a˜o
Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Exemplos
Exemplo 4
Calcular a a´rea da figura limitada pelas curvas f (x) = 2x2 + 10 e
g(x) = 4x + 16 de modo que −2 ≤ x ≤ 5.
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Exemplos
Func¸o˜es de y
A´rea entre curvas
Exemplos
Exemplo 5
Calcular a a´rea da figura limitada pelas curvas y2 + y − 1− x = 0
e y − x = 0.
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Exemplos
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A´rea entre curvas
Exemplos
Exemplo 6
Achar a a´rea da regia˜o delimitada por uma elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, a e
b positivos.
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	Área de regiões planas
	Definição
	Demonstração
	Exemplos
	Funções de y
	Área entre curvas