aula 7 - Momento Estático e Centróide

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Centro´ide, centro de massa e centro de gravidade
Centro´ide atrave´s de integrais
Momento Esta´tico e Centro´ide
Danilo Sande
October 16, 2013
Danilo Sande Momento Esta´tico e Centro´ide
Centro´ide, centro de massa e centro de gravidade
Centro´ide atrave´s de integrais
Danilo Sande Momento Esta´tico e Centro´ide
Centro´ide, centro de massa e centro de gravidade
Centro´ide atrave´s de integrais
Danilo Sande Momento Esta´tico e Centro´ide
Centro´ide, centro de massa e centro de gravidade
Centro´ide atrave´s de integrais
Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa de placas planas
Centro´ide, centro de massa e centro de gravidade
Centro´ide, centro de massa e centro de gravidade
Danilo Sande Momento Esta´tico e Centro´ide
Centro´ide, centro de massa e centro de gravidade
Centro´ide atrave´s de integrais
Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa de placas planas
Centro de massa
Como calcular centro de massa?
Vamos supor uma gangorra com duas pessoas nas extremidades,
com pesos p1 e p2 conforme a figura:
Pela Lei da alavance de Arquimedes, a gangorra estara´ em
equil´ıbrio se:
p1d1 = p2d2
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Centro´ide atrave´s de integrais
Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa de placas planas
Centro de massa
Como calcular centro de massa?
Analisando unidimensionalmente:
Da figura temos:
d1 = xg − x1 e d2 = x2 − xg , aplicando a lei da alavanca:
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Centro´ide atrave´s de integrais
Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa de placas planas
Centro de massa
Como calcular centro de massa?
p1d1 = p2d2
p1(xg − x1) = p2(x2 − xg )
xg (p1 + p2) = p2x2 + p1x1
xg =
p2x2+p1x1
p1+p2
Temos que p1 = m1g e p2 = m2g (considerando g uniforme), onde
m1 e m2 sa˜o as massas das pessoas na gangorra, assim:
xg =
m2gx2+m1gx1
m1g+m2g
= m2x2+m1x1m1+m2 = X
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Centro´ide, centro de massa e centro de gravidade
Centro´ide atrave´s de integrais
Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa de placas planas
Definic¸a˜o de Momento esta´tico
Definic¸a˜o de Momento esta´tico
Definimos o Momento esta´tico da massa m1 em relac¸a˜o a` origem,
denotado por M1, atrave´s do produto M1 = m1x1, onde x1 e´ a
distaˆncia da massa m1 em relac¸a˜o a` origem.
Seja M =
n∑
i=1
mixi o momento de um sistema de n part´ıculas. M
mede a tendeˆncia do sistema de girar em torno da origem.
(pensando unidimensionalmente: se M e´ positivo, o sistema gira no
sentido hora´rio e vice versa)
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Centro´ide atrave´s de integrais
Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa de placas planas
Definic¸a˜o de Momento esta´tico
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Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa de placas planas
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa para n part´ıculas
Considere um sistema com n part´ıculas com massas m1,m2, ...,mn
localizadas nos pontos x1, x2, ..., xn respectivamente (sobre o eixo
x). Podemos obter o centro de massa do sistema do seguinte
modo:
X =
n∑
i=1
mixi
n∑
i=1
mi
= Mm → m.x = M
m =
n∑
i=1
mi e´ a massa total do sistema e M =
n∑
i=1
mixi e´ o
somato´rio dos momentos esta´ticos de cada part´ıcula em relac¸a˜o a`
origem (momento do sistema).
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Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
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Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa caso bi-dimensional
No caso bi-dimensional, vamos considerar as part´ıculas do seguinte
modo:
Tomando como refereˆncia os eixos x e y, temos que o centro´ide
nesse caso e´ denotado pelo par (x¯ , y¯).
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Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
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Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa caso bi-dimensional
As coordenadas do centro´ide (x¯ , y¯) no caso bi-dimensional sa˜o
calculadas por:
x =
My
m e y =
Mx
m , onde My =
n∑
i=1
mixi e Mx =
n∑
i=1
miyi
representam os somato´rios dos momentos esta´ticos em relac¸a˜o aos
eixos y e x respectivamente.
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Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
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Centro de massa caso bi-dimensional
Observe que Mx depende da coordenada y, pois y e´ a distaˆncia de
uma part´ıcula ao eixo x (ana´logo para My ).
Ex: M1x = y1.m1 e M1y = x1.m1
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Exemplo 1
Obtenha os momentos esta´ticos e o centro de massa do sistema
composto por part´ıculas de massas 3, 4 e 8, localizadas nos pontos
(-1,1), (2,-1) e (3,2) respectivamente.
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Centro de massa
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Centro de massa de placas planas
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Centro de massa de placas planas
Desejamos calcular o centro de massa de placas planas de
densidade uniforme ρ e a´rea A.
Se uma superf´ıcie ou curva apresenta um eixo de simetria, o
centro´ide ou centro de massa dessa regia˜o se encontra sobre esse
eixo:
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Centro de massa
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Centro de massa de placas planas
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Uma regia˜o que apresenta dois eixos de simetria, tem o seu
centro´ide situado na intersec¸a˜o desses eixos:
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Centro de massa
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O centro´ide de um triaˆngulo qualquer, coincide com o seu
baricentro (ponto de encontro das medianas):
(x , y) = ( x1+x2+x33 ,
y1+y2+y3
3 )
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Centro de massa
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Para figuras compostas de va´rias regio˜es, o momento dessas
figuras sera´ dado pelo somato´rio dos momentos de cada regia˜o que
a compo˜e.
Sendo a massa de cada regia˜o da figuraigual a mi = ρAi , i=1,2,...
os momentos da figura composta sera´ dado por MY =
n∑
i=1
ρAixi e
Mx =
n∑
i=1
ρAiyi , onde xi e yi sa˜o os centro´ides de cada regia˜o.
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Centro de massa
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Centro de massa para n part´ıculas
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Exemplo 2
Obtenha o centro´ide da figura abaixo:
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Centro de massa
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Exemplo 3
Obtenha o centro´ide da figura abaixo:
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Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
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Exemplo 4
Obtenha o centro´ide da figura abaixo:
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Centro de massa
Momento esta´tico
Centro de massa para n part´ıculas
Centro de massa de placas planas
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Exemplo 5
Na figura abaixo, qual deve ser o valor de x para que a ordenada
do centro´ide seja igual a 2?
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Centro´ide atrave´s de integrais
Ca´lculo de centro´ide de uma regia˜o limtada por uma func¸a˜o
Centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Deduc¸a˜o de centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Seja R uma regia˜o limitada pelas retas x=a, x=b, o eixo x e a
func¸a˜o cont´ınua f (x) ∈ [a, b].
Vamos subdividir o intervalo [a,b] em n sub-intervalos:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn−1 < xn = b
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Ca´lculo de centro´ide de uma regia˜o limtada por uma func¸a˜o
Centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Seja ∆x = xi−1 − xi e vamos tomar xi ∈ [xi−1, xi ], tal que
xi =
xi−1+xi
2
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Ca´lculo de centro´ide de uma regia˜o limtada por uma func¸a˜o
Centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Deduc¸a˜o de centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Podemos dizer que a regia˜o R e´ aproximadamente a unia˜o dos
retaˆngulos de base ∆x e altura f (xi ).
Seja Ci = (xi ,
f (xi )
2 ) o centro´ide de cada retaˆngulo Ri ,
Ai = f (xi ).∆x a a´rea dos mesmos e a massa sendo dada por
m = ρAi .
O momento de cada retaˆngulo Ri em relac¸a˜o ao eixo y e´ dado por:
My (Ri ) = ρAixi = ρf (xi ).∆x .xi = ρxi f (xi ).∆x
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Ca´lculo de centro´ide de uma regia˜o limtada por uma func¸a˜o
Centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Deduc¸a˜o de centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Para obter o momento da regia˜o R em relac¸a˜o ao eixo y, vamos
fazer ∆x → 0 ou n→∞ e somar os momentos de todos os
retaˆngulos:
My = lim
n→∞ ou ∆x→0
n∑
i=1
ρxi f (xi )∆x , da´ı:
x =
My
m =
ρ
∫ b
a
xf (x)dx
ρA =
1
A
∫ b
a
xf (x)dx (coordenada x do
centro´ide)
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Ca´lculo de centro´ide de uma regia˜o limtada por uma func¸a˜o
Centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Deduc¸a˜o de centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Para o caso de Mx de um retaˆngulo Ri :
Mx(Ri ) = ρAiyi = ρf (xi ).∆x .
f (xi )
2 =
ρ
2 [f (xi )]
2∆x .
De modo ana´logo ao My , vamos somar as contribuic¸o˜es dos
momentos de todos os retaˆngulos e aplicar o limite quando n→∞
ou ∆x → 0, assim, obtemos:
Mx = lim
n→∞ ou ∆x→0
n∑
i=1
ρ
2
[f (xi )]
2∆x , da´ı:
y = Mxm =
ρ
2
∫ b
a
[f (x)]2dx
ρA =
1
2A
∫ b
a
[f (x)]2dx (coordenada y do
centro´ide)
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Ca´lculo de centro´ide de uma regia˜o limtada por uma func¸a˜o
Centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Resumindo...
As coordenadas do centro´ide (x , y) de uma regia˜o delimitada por
uma func¸a˜o de x e o eixo x, com x ∈ [a, b] sa˜o dadas por:
x = 1A
∫ b
a
xf (x)dx e y = 12A
∫ b
a
[f (x)]2dx
Se a regia˜o for delimitada por uma func¸a˜o de y e o eixo y, com
y ∈ [a, b] teremos:
y = 1A
∫ b
a
yg(y)dy e x = 12A
∫ b
a
[g(y)]2dy
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Ca´lculo de centro´ide de uma regia˜o limtada por uma func¸a˜o
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Exemplo 6
Encontre o centro´ide de 1/4 da circunfereˆncia de raio r, centrada
na origem, no primeiro quadrante.
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Centro´ide de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o
Centro´ide de uma regia˜o entre curvas
Para o caso de regio˜es limitadas entre curvas, valem as equac¸o˜es:
x = 1A
∫ b
a
x(f (x)− g(x))dx e y = 12A
∫ b
a
{[f (x)]2 − [g(x)]2}dx
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Exemplo 7
Calcule o centro´ide da regia˜o delimitada pelas curvas y = x2 e
y = 2x + 3.
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	Centróide através de integrais
	Cálculo de centróide de uma região limtada por uma função