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Definic¸o˜es ba´sicas Coordenadas polares Danilo Sande November 6, 2013 Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Ale´m do sistema cartesiano, existe uma outra forma bem conhecida de se representar curvas no plano... O plano polar Nesse sistema, as coordenadas consistem de uma distaˆncia a` origem (raio) e um aˆngulo formado entre o eixo polar e o segmento de reta que liga o po´lo ao ponto no plano. O ponto P fica determinado pelo par ordenado (r , θ). |r | representa a distaˆncia entre a origem e o ponto P, e θ representa a medida, em radianos (ou graus se especificar), do aˆngulo AoˆP. Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Convenc¸o˜es * Se θ for descrito no sentido anti-hora´rio, enta˜o θ > 0 e vice-versa (como na trigonometria) * Se r < 0 devemos rotacionar o segmento OP (P(r,θ)) em pi radianos. * O par ordenado (0, θ), θ qualquer, representa o po´lo. Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplo 1 Represente no sistema de coordenadas polares os seguinte pontos: a) P1(2, pi 4 ) b) P2(−2, pi4 ) c) P3(−2,−pi4 ) d) P4(2,−pi4 ) Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Descevendo pontos no plano Um par (r , θ) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Pore´m, va´rios pares podem determinar o mesmo ponto. Um ponto P de coordenadas (r , θ) pode ser determinado por qualquer um dos pares representados por (r , θ + kpi) onde k e´ par, ou por (−r , θ + kpi) onde k e´ qualquer inteiro ı´mpar. Resumindo: (r .θ) = ((−1)k r , θ + kpi), k ∈ Z Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplo 2 Quais pares de coordenadas podem tambe´m representar o ponto dado na figura? Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplo 2 Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplo 3 Apresente treˆs conjuntos de pares ordenados que representem o ponto (1, 2940o). Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Conjunto principal Como va´rios pares de coordenadas representam o mesmo ponto, convenciona-se usar para fins pra´ticos de representac¸a˜o, o par ordenado onde { r ≥ 0 0o ≤ θ < 360o . Para esse par, damos o nome de conjunto principal (ele e´ u´nico) Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplo 4 Qual o conjunto principal de coordenadas polares dos pontos (−5, 380o); (3, 9pi4 ); (−2, 720o)? Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Equac¸a˜o polar e conjunto abrangente Uma equac¸a˜o polar e´ qualquer equac¸a˜o do tipo f (r , θ) = 0. Essa relac¸a˜o representa um lugar geome´trico. Por exemplo, C: r=3 e´ a equac¸a˜o que descreve uma circunfereˆncia de centro no po´lo e raio 3 unidades. Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Equac¸a˜o polar e conjunto abrangente Os pontos (3, pi/2) e (−3, pi/2) pertencem a` curva C, pore´m o ponto (−3, pi/2) na˜o satisfaz a eq. da curva C: r=3. Assim, vemos que e´ poss´ıvel um ponto P pertencer ao lugar geome´trico definido por f (r , θ) = 0 sem que esta igualdade seja satisfeita para o ponto P. Ale´m disso, eq. polares distintas podem representar o mesmo lugar geome´trico. Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplo 5 Determine o lugar geome´trico definido pelas equac¸o˜es: θ = pi4 , θ = 5pi 4 , r = 5 e r = −5. Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Equac¸a˜o polar e conjunto abrangente Se um par de coordenadas polares na˜o pertence a` uma equac¸a˜o polar de uma dada curva, na˜o significa que esse ponto na˜o pertenc¸a a` curva. Pode existir uma outra equac¸a˜o para a mesma curva ou um outro par de coordenadas polares do mesmo ponto para que satisfac¸a a eq. polar dada... Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplo 6 Verifique se o ponto P pertence a` curva C: P1(−1, 2pi) e C: r(1− cos θ) = 2 Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Como saber se um ponto pertence a` uma curva sem ficar procurando outras coordenadas do mesmo, que satisfac¸a a eq. da curva dada? Definic¸a˜o de Conjunto abrangente Um conjunto M de equac¸o˜es polares e´ chamado conjunto abrangente de uma curva C, definida pela equac¸a˜o polar f (r , θ) = 0, se qualquer ponto de C, distinto do po´lo, com qualquer par de coordenadas polares, satisfaz a uma das equac¸o˜es de M. Teorema sobre Conjunto abrangente Seja f (r , θ) = 0 uma equac¸a˜o polar de uma curva C. As equac¸o˜es polares da forma A(C ) = {f ((−1)nr , θ + npi) = 0; n ∈ Z} sa˜o equivalentes a` equac¸a˜o f (r , θ) = 0, ou seja, tambe´m representam a curva C. A(C) e´ o conjunto abrangente de C. Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplos 7 a 11 7) Seja C1 : r = −2, calcule o conjunto abrangente de C1; 8) Seja C2 : r = 2− 3 cos θ, calcule o conjunto abrangente de C2; 9) Seja C3 : r = 2 cos 2θ, calcule o conjunto abrangente de C3; 10) Seja C4 : r = cos θ, calcule o conjunto abrangente de C4. 11) Calcule o conjunto abrangente da espiral r = θ Exemplos 12 a 14 12) Verifique se o ponto P(−72 ,−pi2 ) pertence a` curva C : r(2 sin θ) = 5 + 2 sin θ; 13) Verifique se P(0, pi8 ) pertence a` curva C : 2r2 − r sin θ + 3 cos θ = 0; 14) Verifique se o ponto P(0, 780o) pertence a` curva C : r + 2 = sin θ. Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Relac¸a˜o entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o sistema de coordenadas polares Fac¸amos coincidir as origens e os eixos Ox e o polar dos sistemas de coordenadas cartesianas e polares, respectivamente. Seja P um ponto tal que (x , y) sejam suas coordenadas cartesianas e (r , θ) as suas coordenadas polares. Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Relac¸a˜o entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o sistema de coordenadas polares De acordo com a figura, temos: cos θ = xr → x = r cos θ; sin θ = yr → y = r sin θ; x2 + y2 = r2 → r = ± √ x2 + y2; tan θ = sin θcos θ = y x → θ = arctan yx Danilo Sande Coordenadas polares Definic¸o˜es ba´sicas Sistema de coordenadas polares Exemplos 15 a 17 15) Determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares sa˜o (−4, 7pi6 ); 16) Encontrar (r , θ), supondo r < 0 e 0 ≤ θ < 2pi para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas sa˜o ( √ 3,−1); 17) Determinar a equac¸a˜o retangular do lugar geome´trico cuja equac¸a˜o polar e´ r = 21−cos θ ; 18) Determinar a equac¸a˜o cartesiana do lugar geome´trico cuja equac¸a˜o polar e´ sin θ cos θ = 2; Danilo Sande Coordenadas polares Definições básicas
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