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Definic¸o˜es ba´sicas
Coordenadas polares
Danilo Sande
November 6, 2013
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Ale´m do sistema cartesiano, existe uma outra forma bem
conhecida de se representar curvas no plano...
O plano polar
Nesse sistema, as coordenadas consistem de uma distaˆncia a`
origem (raio) e um aˆngulo formado entre o eixo polar e o segmento
de reta que liga o po´lo ao ponto no plano.
O ponto P fica determinado pelo par ordenado (r , θ).
|r | representa a distaˆncia entre a origem e o ponto P, e θ representa
a medida, em radianos (ou graus se especificar), do aˆngulo AoˆP.
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Convenc¸o˜es
* Se θ for descrito no sentido anti-hora´rio, enta˜o θ > 0 e vice-versa
(como na trigonometria)
* Se r < 0 devemos rotacionar o segmento OP (P(r,θ)) em pi
radianos.
* O par ordenado (0, θ), θ qualquer, representa o po´lo.
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplo 1
Represente no sistema de coordenadas polares os seguinte pontos:
a) P1(2,
pi
4 )
b) P2(−2, pi4 )
c) P3(−2,−pi4 )
d) P4(2,−pi4 )
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Descevendo pontos no plano
Um par (r , θ) determina um e apenas um ponto no plano
coordenado. Pore´m, va´rios pares podem determinar o mesmo
ponto.
Um ponto P de coordenadas (r , θ) pode ser determinado por
qualquer um dos pares representados por (r , θ + kpi) onde k e´ par,
ou por (−r , θ + kpi) onde k e´ qualquer inteiro ı´mpar.
Resumindo:
(r .θ) = ((−1)k r , θ + kpi), k ∈ Z
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplo 2
Quais pares de coordenadas podem tambe´m representar o ponto
dado na figura?
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplo 2
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplo 3
Apresente treˆs conjuntos de pares ordenados que representem o
ponto (1, 2940o).
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Conjunto principal
Como va´rios pares de coordenadas representam o mesmo ponto,
convenciona-se usar para fins pra´ticos de representac¸a˜o, o par
ordenado onde
{
r ≥ 0
0o ≤ θ < 360o . Para esse par, damos o nome
de conjunto principal (ele e´ u´nico)
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplo 4
Qual o conjunto principal de coordenadas polares dos pontos
(−5, 380o); (3, 9pi4 ); (−2, 720o)?
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Equac¸a˜o polar e conjunto abrangente
Uma equac¸a˜o polar e´ qualquer equac¸a˜o do tipo f (r , θ) = 0. Essa
relac¸a˜o representa um lugar geome´trico. Por exemplo, C: r=3 e´ a
equac¸a˜o que descreve uma circunfereˆncia de centro no po´lo e raio
3 unidades.
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Equac¸a˜o polar e conjunto abrangente
Os pontos (3, pi/2) e (−3, pi/2) pertencem a` curva C, pore´m o
ponto (−3, pi/2) na˜o satisfaz a eq. da curva C: r=3. Assim, vemos
que e´ poss´ıvel um ponto P pertencer ao lugar geome´trico definido
por f (r , θ) = 0 sem que esta igualdade seja satisfeita para o ponto
P.
Ale´m disso, eq. polares distintas podem representar o mesmo lugar
geome´trico.
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplo 5
Determine o lugar geome´trico definido pelas equac¸o˜es:
θ = pi4 , θ =
5pi
4 , r = 5 e r = −5.
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Equac¸a˜o polar e conjunto abrangente
Se um par de coordenadas polares na˜o pertence a` uma equac¸a˜o
polar de uma dada curva, na˜o significa que esse ponto na˜o
pertenc¸a a` curva.
Pode existir uma outra equac¸a˜o para a mesma curva ou um outro
par de coordenadas polares do mesmo ponto para que satisfac¸a a
eq. polar dada...
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplo 6
Verifique se o ponto P pertence a` curva C:
P1(−1, 2pi) e C: r(1− cos θ) = 2
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Como saber se um ponto pertence a` uma curva sem ficar
procurando outras coordenadas do mesmo, que satisfac¸a a eq. da
curva dada?
Definic¸a˜o de Conjunto abrangente
Um conjunto M de equac¸o˜es polares e´ chamado conjunto
abrangente de uma curva C, definida pela equac¸a˜o polar
f (r , θ) = 0, se qualquer ponto de C, distinto do po´lo, com qualquer
par de coordenadas polares, satisfaz a uma das equac¸o˜es de M.
Teorema sobre Conjunto abrangente
Seja f (r , θ) = 0 uma equac¸a˜o polar de uma curva C. As equac¸o˜es
polares da forma A(C ) = {f ((−1)nr , θ + npi) = 0; n ∈ Z} sa˜o
equivalentes a` equac¸a˜o f (r , θ) = 0, ou seja, tambe´m representam a
curva C. A(C) e´ o conjunto abrangente de C.
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplos 7 a 11
7) Seja C1 : r = −2, calcule o conjunto abrangente de C1;
8) Seja C2 : r = 2− 3 cos θ, calcule o conjunto abrangente de C2;
9) Seja C3 : r = 2 cos 2θ, calcule o conjunto abrangente de C3;
10) Seja C4 : r = cos θ, calcule o conjunto abrangente de C4.
11) Calcule o conjunto abrangente da espiral r = θ
Exemplos 12 a 14
12) Verifique se o ponto P(−72 ,−pi2 ) pertence a` curva
C : r(2 sin θ) = 5 + 2 sin θ;
13) Verifique se P(0, pi8 ) pertence a` curva
C : 2r2 − r sin θ + 3 cos θ = 0;
14) Verifique se o ponto P(0, 780o) pertence a` curva
C : r + 2 = sin θ.
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Relac¸a˜o entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e
o sistema de coordenadas polares
Fac¸amos coincidir as origens e os eixos Ox e o polar dos sistemas
de coordenadas cartesianas e polares, respectivamente.
Seja P um ponto tal que (x , y) sejam suas coordenadas cartesianas
e (r , θ) as suas coordenadas polares.
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Relac¸a˜o entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e
o sistema de coordenadas polares
De acordo com a figura, temos:
cos θ = xr → x = r cos θ;
sin θ = yr → y = r sin θ;
x2 + y2 = r2 → r = ±
√
x2 + y2;
tan θ = sin θcos θ =
y
x → θ = arctan yx
Danilo Sande Coordenadas polares
Definic¸o˜es ba´sicas
Sistema de coordenadas polares
Exemplos 15 a 17
15) Determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas
coordenadas polares sa˜o (−4, 7pi6 );
16) Encontrar (r , θ), supondo r < 0 e 0 ≤ θ < 2pi para o ponto P,
cujas coordenadas cartesianas sa˜o (
√
3,−1);
17) Determinar a equac¸a˜o retangular do lugar geome´trico cuja
equac¸a˜o polar e´ r = 21−cos θ ;
18) Determinar a equac¸a˜o cartesiana do lugar geome´trico cuja
equac¸a˜o polar e´ sin θ cos θ = 2;
Danilo Sande Coordenadas polares
	Definições básicas

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