Comprimento de arco e área em coordenadas polares

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Comprimento de arco na forma polar
A´rea de figuras planas em coordenadas polares
Coordenadas polares
Danilo Sande
November 13, 2013
Danilo Sande Coordenadas polares
Comprimento de arco na forma polar
A´rea de figuras planas em coordenadas polares
Comprimento de arco na forma polar
Comprimento de arco
Vimos na aula 12 que o comprimento de arco de uma cuva dada
por equac¸o˜es parame´tricas{
x = x(t)
y = y(t)
, t ∈ [α, β] e´ obtido pela integral:
S =
∫ β
α
√
[x ′(t)]2 + [y ′(t)]2dt.
Seja uma curva C dada por sua equac¸a˜o polar r = f (θ). Sabemos
que
{
x = r cos θ = f (θ) cos θ
y = r sin θ = f (θ) sin θ
.
Essas equac¸o˜es podem ser consideradas como as equac¸o˜es
parame´tricas da curva C, para θ ∈ [θ0, θ1]. Assim:
S =
∫ θ1
θ0
√
[x ′(θ)]2 + [y ′(θ)]2dθ.
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Comprimento de arco na forma polar
Comprimento de arco
S =
∫ θ1
θ0
√
[x ′(θ)]2 + [y ′(θ)]2dθ.
Temos que:{
x ′(θ) = f ′(θ) cos θ − f (θ) sin θ
y ′(θ) = f ′(θ) sin θ + f (θ) cos θ . Portanto:
[x ′(θ)]2 + [y ′(θ)]2 = f ′(θ)2 + f (θ)2, Assim:
S =
∫ θ1
θ0
√
[f ′(θ)]2 + [f (θ)]2dθ.
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Comprimento de arco na forma polar
Exemplo 1
Determine o comprimento da espiral r = eθ, para θ ∈ [0, 2pi].
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Exemplo 2
Calcule o comprimento de arco da curva de equac¸a˜o
r = a(1− cos θ), a > 0.
θ r
0o 0
30o 0,13a
60o a/2
90o a
120o 1,5a
150o 1,87a
180o 2a
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A´rea de figuras planas em coordenadas polares
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Queremos encontrar a a´rea A, da figura delimitada pelas retas
θ = α, θ = β e pela curva r = f (θ).
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Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [α, β]. Consideraremos uma
partic¸a˜o desse intervalo dada por:
α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θi−1 < ... < θn = β
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Para cada [θi−1, θi ], i=1,...,n, vamos considerar um setor circular
de raio f (zi ) e aˆngulo central ∆θi , onde θi−1 < zi < θi e
∆θi = θi − θi−1:
A a´rea do i-e´simo setor circular e´ dada por 12 [f (zi )
2]∆θi .
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A´rea de um setor circular
Um setor circular e´ a parte de um c´ıcrulo limitada por dois raios e
um arco.
A a´rea do c´ırculo e´ proporcional a 2pi assim como a a´rea do setor
circular e´ proporcional ao seu aˆngulo central.
pir2 −−2pi
A−−∆θ
Assim:
A = pir
2∆θ
2pi =
1
2 r
2∆θ
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Voltando ao ca´lculo de a´rea...
A a´rea do i-e´simo setor circular e´ dada por 12 [f (zi )
2]∆θi .
Logo, a a´rea desejada a´ aproximadamente:
An =
n∑
i=1
1
2
[f (zi )]
2∆θi .
Quanto mais partic¸o˜es em setores circulares, ∆θi se torna cada vez
menor. Podemos enta˜o escrever:
A = lim
∆θi→0 ou n→∞
1
2
n∑
i=1
[f (zi )]
2∆θi =
1
2
∫ β
α
[f (θ)]2dθ
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Exemplo 3
Encontre a a´rea da regia˜o S, limitada pelo gra´fico de
r = 3 + 2 sin θ.
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Exemplos 4 e 5
4) Encontre a a´rea da regia˜o S, interior a` circunfereˆncia r = 2 cos θ
e exterior ao cardio´ide r = 2− 2 cos θ.
5) Calcule a a´rea exterior a` circunfereˆncia r = 2 cos θ e interior ao
cardio´ide r = 2− 2 cos θ.
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