Funções de duas variáveis

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Func¸o˜es de duas varia´veis
Danilo Sande
November 17, 2013
Danilo Sande Func¸o˜es de duas varia´veis
Func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplo de func¸o˜es de duas varia´veis
*O volume V de um cilindro e´ dado por V = pir2h;
*A equac¸a˜o de estado de um ga´s ideal e´ dada por PV = nRT ;
*Dado o circuito abaixo:
A corrente do circuito e´ dada por I = UR1+R2+R3+R4+R5 .
Danilo Sande Func¸o˜es de duas varia´veis
Func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplo de func¸o˜es de duas varia´veis
As func¸o˜es apresentadas, sa˜o exemplos pra´ticos de func¸o˜es de duas
ou mais varia´veis:
V = V (r , h);
P = P(V ,T , n);
I = I (R1,R2,R3,R4,R5).
Danilo Sande Func¸o˜es de duas varia´veis
Func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplo de func¸o˜es de duas varia´veis
Na primeira func¸a˜o, trabalhamos com os pares ordenados (r,h) do
plano R2 = RxR;
Na segunda func¸a˜o, usamos ternas ordenadas;
Para a terceira func¸a˜o, usamos o espac¸o R5, que na˜o possui
visualizac¸a˜o gra´fica.
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Func¸o˜es de duas varia´veis
Definic¸a˜o de func¸o˜es de duas varia´veis
Seja A um conjunto do espac¸o n-dimensional (A ⊆ Rn), ou seja, os
elementos de A sa˜o n-uplas ordenadas (X1,X2, ...,Xn) de nu´meros
reais.
Se a cada ponto do conjunto A, associamos um u´nico elemento
Z ∈ R, temos uma func¸a˜o:
f : A ⊆ Rn → R.
Essa func¸a˜o e´ chamada de func¸a˜o de n varia´veis reais e denotamos:
z = f (X1,X2, ...,Xn)
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Func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplos de func¸o˜es de duas varia´veis
1) f : R2 → R, (x , y)→ 2x + 3y
D = R2, e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis;
2) f : R3 → R, (x , y ,w)→ x2 + 3y + w
D = R3, e´ uma func¸a˜o de treˆs varia´veis (func¸a˜o polinomial);
3) f : R3 − {(0, 0, 0)} → R, (x , y ,w)→ 2x
x2+y2+w2
D = R3 − {(0, 0, 0)}, e´ uma func¸a˜o de treˆs varia´veis (func¸a˜o
racional);
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Func¸o˜es de duas varia´veis
Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
Determine e represente geometricamente os dom´ınios das func¸o˜es
a seguir:
1) f (x , y) = 3x2 + 1
D(f ) = R2
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Func¸o˜es de duas varia´veis
Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
Determine e represente geometricamente os dom´ınios das func¸o˜es
a seguir:
1) f (x , y) = 3x2 + 1
D(f ) = R2
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Func¸o˜es de duas varia´veis
Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
2) f (x , y) = 3x
2−1
x2+y2+1
x2 + y2 + 1 6= 0, sempre acontece, logo: D(f ) = R2
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
2) f (x , y) = 3x
2−1
x2+y2+1
x2 + y2 + 1 6= 0, sempre acontece, logo: D(f ) = R2
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
3) f (x , y) = 3x
2+y
x2+y2
x2 + y2 6= 0, logo: D(f ) = R2 − {(0, 0)}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
3) f (x , y) = 3x
2+y
x2+y2
x2 + y2 6= 0, logo: D(f ) = R2 − {(0, 0)}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
4) f (x , y) = x
3
x−y
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/x − y 6= 0}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
4) f (x , y) = x
3
x−y
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/x − y 6= 0}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
5) f (x , y) = 2x+y√
x2−y
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/x2 > y}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
5) f (x , y) = 2x+y√
x2−y
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/x2 > y}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
6) f (x , y) = ln( x−yy−1 )
O argumento do logaritmo na˜o pode ser nulo, logo
x−y
y−1 > 0→ x − y > 0 e y − 1 > 0 ou x − y < 0 e y − 1 < 0
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/(x > y ∩ y > 1) ∪ (x < y ∩ y < 1)}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
6) f (x , y) = ln( x−yy−1 )
O argumento do logaritmo na˜o pode ser nulo, logo
x−y
y−1 > 0→ x − y > 0 e y − 1 > 0 ou x − y < 0 e y − 1 < 0
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/(x > y ∩ y > 1) ∪ (x < y ∩ y < 1)}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
7) f (x , y) = arccos(x2 + y
2
4 )
Como −1 ≤ cos θ ≤ 1, enta˜o:
−1 ≤ x2 + y24 ≤ 1→ −1 ≤ x2 + y
2
4 e x
2 + y
2
4 ≤ 1, como a
primeira condic¸a˜o e´ sempre satisfeita:
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/x2 + y24 ≤ 1}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
7) f (x , y) = arccos(x2 + y
2
4 )
Como −1 ≤ cos θ ≤ 1, enta˜o:
−1 ≤ x2 + y24 ≤ 1→ −1 ≤ x2 + y
2
4 e x
2 + y
2
4 ≤ 1, como a
primeira condic¸a˜o e´ sempre satisfeita:
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/x2 + y24 ≤ 1}
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
8) f (x , y) = arcsec(x2 + y2)
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Dom´ınio - Representac¸a˜o gra´fica
8) f (x , y) = arcsec(x2 + y2)
Como sec θ ≤ −1 ou sec θ ≥ 1, enta˜o:
x2 + y2 ≤ −1 ou x2 + y2 ≥ 1, a primeira condic¸a˜o nunca e´
satisfeita, enta˜o:
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/x2 + y2 ≥ 1}
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Construc¸a˜o de gra´ficos e curvas de n´ıvel
Definic¸a˜o: O gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis z = f (x , y) e´
o conjunto de todos os pontos
(x , y , z) ∈ R3/(x , y) ∈ D(f ) e z = f (x , y).
Seu gra´fico e´ uma superf´ıcie de R3
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Construc¸a˜o de gra´ficos e curvas de n´ıvel
Ex: Seja a func¸a˜o z =
√
4− x2 − y2.
D(z) = {(x , y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 4}
O gra´fico de z representa o hemisfe´rio superior da esfera de centro
na origem e raio 2.
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Construc¸a˜o de gra´ficos e curvas de n´ıvel
Obs: Nem sempre uma superf´ıcie no espac¸o representa o gra´fico de
uma func¸a˜o z = f (x , y). Se f e´ uma func¸a˜o, cada ponto do seu
dom´ınio pode ter somente uma imagem. Portanto, uma superf´ıcie
so´ representara´ o ggra´fico de uma func¸a˜o z = f (x , y) se qualquer
reta perpendicular ao plano xy cortar a superf´ıcie no ma´ximo em
apenas um ponto.
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Func¸o˜es de duas varia´veis
Construc¸a˜o de gra´ficos e curvas de n´ıvel
Ex: A esfera x2 + y2 + z2 = 1 na˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o
z = f (x , y).
As func¸o˜es seriam f (x , y) =
√
1− x2 − y2 e g(x , y) = −
√
1− x2 − y2.
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Um dos recursos para construc¸a˜o gra´fica de func¸o˜es de duas
varia´veis e´ a determinac¸a˜o das curvas de n´ıvel.
Curvas de n´ıvel
Definic¸a˜o: Dada uma func¸a˜o z = f (x , y) e k ∈ R, a curva de n´ıvel
de f em z=k e´ o conjunto {(x , y) ∈ R2/f (x , y) = k}.
Em outras palavras, e´ a intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano de
equac¸a˜o z=k (paralelo a` XoY).
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Aplicac¸o˜es de curvas de n´ıvel
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Aplicac¸o˜es de curvas de n´ıvel
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Exemplo 1
Determine e esboce a curva de n´ıvel de f (x , y) =
√
4− x2 − y2
em z=0.
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Exemplo 2
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x
y2−1 , determine e represente seu dom´ınio
e as suas curvas de n´ıvel.
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Exemplo 2
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x
y2−1 , determine e represente seu dom´ınio
e as suas curvas de n´ıvel.
D(f ) = {(x , y) ∈ R2/y 6= ±1}
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Exemplo 2
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x
y2−1 , determine e represente seu dom´ınio
e as suas curvas de n´ıvel.
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Exemplo 3
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x2 + y2. Determine e represente
graficamente:
a) Dom´ınio de f;
b) Curvas de n´ıvel;
c) Intersec¸a˜o com os planos coordenados;
d) Gra´fico de f.
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Exemplo 3
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x2 + y2.
a) Dom´ınio
D(f ) = R2
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Exemplo 3
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x2 + y2.
b) Curvas de n´ıvel
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Exemplo 3
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x2 + y2.
c) Intersec¸o˜es com os planos coordenados
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Exemplo 3
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x2 + y2.
d) Gra´fico de f
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Exemplo 4
Dada a func¸a˜o f (x , y) = 1− y2. Determine e represente
graficamente:
a) Dom´ınio de f;
b) Curvas de n´ıvel;
c) Intersec¸a˜o com os planos coordenados;
d) Gra´fico de f.
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Exemplo 4
Dada a func¸a˜o f (x , y) = 1− y2.
b) Curvas de n´ıvel
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Exemplo 4
Dada a func¸a˜o f (x , y) = 1− y2.
d) Gra´fico de f
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Exemplo 5
Dada a func¸a˜o f (x , y) = y2 − x2. Esboce o gra´fico.
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Exemplo 5
Dada a func¸a˜o f (x , y) = y2 − x2. Esboce o gra´fico.
Curvas de n´ıvel
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Exemplo 5
Dada a func¸a˜o f (x , y) = y2 − x2. Esboce o gra´fico.
Gra´fico de f
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Exemplo 6
Dada a func¸a˜o f (x , y) = ln( x
2
9 + y
2). Esboce o gra´fico.
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Exemplo 6
Dada a func¸a˜o f (x , y) = ln( x
2
9 + y
2). Esboce o gra´fico.
D(f ) = R2 − {(0, 0)}
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Exemplo 6
Dada a func¸a˜o f (x , y) = ln( x
2
9 + y
2). Esboce o gra´fico.
Intersec¸a˜o com os eixos
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Exemplo 6
Dada a func¸a˜o f (x , y) = ln( x
2
9 + y
2). Esboce o gra´fico.
Gra´fico de f
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Superf´ıcies de n´ıvel
Obs: Dada uma func¸a˜o z = f (x1, x2, ..., xn), a superf´ıcie de n´ıvel de
f em z=k e´ definida de modo ana´logo a`s curvas de n´ıvel para n=2.
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Exemplo 7
Determine e represente graficamente as superf´ıcies de n´ıvel da
func¸a˜o f (x , y , z) = x2 + y2 + z2.
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