Limite e continuidade

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Limite e continuidade
Danilo Sande
November 20, 2013
Danilo Sande Limite e continuidade
Limite e continuidade
Noc¸o˜es topolo´gicas em R2
Distaˆncia entre dois pontos:
Dados dois pontos quaisquer (x1, y1) e (x2, y2) de R
2, a distaˆncia entre
eles a´ dada por d [(x1, y1), (x2, y2)] =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Definic¸a˜o de vizinhanc¸a:
Uma vizinhanc¸a do ponto (xo , yo) ∈ R2 de raio r > 0 e´ o conjunto
V = {(x , y) ∈ R2/d [(x , y), (xo , yo)] < r}
Ex: A vizinhanc¸a de (1,2) de raio 2 e´ o conjunto
{(x , y) ∈ R2/d [(x , y), (1, 2)] < 2}
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Noc¸o˜es topolo´gicas em R2
Definic¸a˜o de ponto de acumulac¸a˜o:
Seja S um subconjunto do R2 e (xo , yo) ∈ R2. Dizemos que
(xo , yo) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de S, se toda vizinhanc¸a V de
(xo , yo) for tal que V ∩ S − {(xo , yo)} 6= ∅.
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Noc¸o˜es topolo´gicas em R2
Ex: a) Se S = {(x , y) ∈ R2/y > x}, enta˜o:
*(-2,2) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de S
*(1,2) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de S
*(3,1) na˜o e´ um ponto de acumulac¸a˜o de S.
O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de S e´ {(x , y) ∈ R2/y ≥ x}
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Noc¸o˜es topolo´gicas em R2
Ex: b) Se S = {(x , y) ∈ R2/y > x2} ∪ {(2,−2)}, enta˜o:
*(2,−2) ∈ S , mas na˜o e´ um ponto de acumulac¸a˜o de S.
O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de S e´
{(x , y) ∈ R2/y ≥ x2}
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Definic¸a˜o de Limite de duas varia´veis
Seja f(x,y) uma func¸a˜o de duas varia´veis com dom´ınio D e L um
nu´mero real. Dado (xo , yo) ∈ R2 um ponto de acumulac¸a˜o de D.
Dizemos que L e´ o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de
(xo , yo) se para todo � > 0, ∃ δ > 0/(x , y) ∈ D e 0 <
d [(x , y), (xo , yo)] < δ → |f (x , y)− L| < �.
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Definic¸a˜o de Limite de duas varia´veis
� e´ um nu´mero positivo, pode ser ta˜o pequeno quanto se queira;
δ e´ um nu´mero positivo correspondente a` �, que pode ser pensado
como o raio ma´ximo onde se pode escolher valores de x e y;
|f (x , y)− L| < � e´ a distaˆncia entre o nu´mero f (x , y) e L. Expressa˜o
matema´tica para dizer que f (x , y) pode ser arbitrariamente pro´xima
de L, quanto menor for �.
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Definic¸a˜o de Limite de duas varia´veis
Quanto menor for �, teremos um raio de escolha de valores de x e
y menor (delta menor), o que implica que os valores de f(x,y) va˜o
se aproximar de L, tanto quanto (x,y) se aproximar de (xo , yo).
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y) = L
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Definic¸a˜o de Limite de duas varia´veis
Obs: Em func¸o˜es de uma varia´vel, existem apenas duas direc¸o˜es
para se aproximar do valor que gera o limite:
lim
x→a f (x) = L, com x → a
+ ou x → a−
Em func¸o˜es de duas varia´veis, (x , y) pode se aproximar de (xo , yo)
atrave´s de va´rias direc¸o˜es no plano.
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Passos para calcular limite por definic¸a˜o
Para demonstrar um limite por definic¸a˜o, partimos de |f (x , y)− L|
e manipulamos ate´ obter uma desigualdade com δ
(|f (x , y)− L| < δ), depois, escolhemos � arbitra´rio e mostramos
que |f (x , y)− L| < �. Se isso for poss´ıvel, lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y) = L.
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Exemplo de ca´culo de limite por definic¸a˜o
Mostre que lim
(x ,y)→(0,0)
2xy√
x2 + y2
= 0 por definic¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Devemos demonstrar que para todo � > 0, existe um δ > 0/ se
0 <
√
(x − 0)2 + (y − 0)2 < δ, enta˜o | 2xy√
x2+y2
− 0| < �.
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Exemplo de ca´culo de limite por definic¸a˜o
Mostre que lim
(x ,y)→(0,0)
2xy√
x2 + y2
= 0 por definic¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Temos que | 2xy√
x2+y2
− 0| = 2|x||y |√
x2+y2
. Como |x | ≤
√
x2 + y2 e
|y | ≤
√
x2 + y2, para todo (x , y) 6= (0, 0), enta˜o:
| 2xy√
x2+y2
− 0| = 2|x||y |√
x2+y2
≤ 2
√
x2+y2.
√
x2+y2√
x2+y2
= 2
√
x2 + y2.
Tomando 0 <
√
x2 + y2 < δ e δ = �2 , temos:
| 2xy√
x2+y2
| ≤ 2
√
x2 + y2 < 2δ = 2 �2 . Assim:
| 2xy√
x2+y2
| < �, logo lim
(x,y)→(0,0)
(x + 2y) = 0.
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Exemplo 2
Mostre que lim
(x ,y)→(1,2)
(x + 2y) = 5 por definic¸a˜o.
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Exemplo 2
Mostre que lim
(x ,y)→(1,2)
(x + 2y) = 5 por definic¸a˜o.
Soluc¸a˜o: |f (x , y)− L| = |(x + 2y)− 5| = |(x − 1) + 2(y − 2)|.
Utilizando a desigualdade triangular (|u + v | ≤ |u|+ |v |), temos:
|(x + 2y)− 5| = |(x − 1) + 2(y − 2)| ≤ |x − 1|+ 2|y − 2|, assim:
Como
{ |x − 1| ≤√(x − 1)2 + (y − 2)2
|y − 2| ≤√(x − 1)2 + (y − 2)2 ,enta˜o:
|(x + 2y)− 5| ≤√(x − 1)2 + (y − 2)2 + 2√(x − 1)2 + (y − 2)2 ≤
3d [(x , y), (1, 2)].
Se 0 < d [(x , y), (1, 2)] < δ, enta˜o:
|(x + 2y)− 5| < 3δ. Dado � > 0, escolhemos δ = �3 , assim|(x + 2y)− 5| < � e o limite esta´ comprovado.
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Limite por definic¸a˜o
Obs: Se f (x , y) e´ um polinoˆmio de duas varia´veis, enta˜o:
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y) = f (xo , yo)
.
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Propriedades operato´rias dos limites
Sejam as func¸o˜es f (x , y) e g(x , y) com dom´ınio D e seja
(xo , yo) ∈ R2 um ponto de acumulac¸a˜o de D. Se
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y) = L1, lim
(x ,y)→(xo ,yo)
g(x , y) = L2 e k e´ uma
constante, temos:
a) lim
(x ,y)→(xo ,yo)
Kf (x , y) = KL1
b) Se m e n sa˜o inteiros, enta˜o lim
(x ,y)→(xo ,yo)
[f (x , y)]m/n = L
m/n
1
c) lim
(x ,y)→(xo ,yo)
[f (x , y)± g(x , y)] = L1 ± L2
d) lim
(x ,y)→(xo ,yo)
[f (x , y).g(x , y)] = L1.L2
e) Se L2 6= 0, enta˜o lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y)
g(x , y)
=
L1
L2
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Exemplo 3
Calcule lim
(x ,y)→(1,2)
3x3 − y2
x − 2
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Exemplo 3
Calcule lim
(x ,y)→(1,2)
3x3 − y2
x − 2
Obs: Dada qualquer func¸a˜o racional f (x , y) = P(x ,y)Q(x ,y) e qualquer
(xo , yo) ∈ R2 (dentro do dom´ınio de f, ou seja, Q(x , y) 6= 0),
temos que:
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
P(x , y)
Q(x , y)
=
P(xo , yo)
Q(xo , yo)
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Exemplo 4
Calcule lim
(x ,y)→(2,−1)
2x2y − y2
xy2 − 4
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Exemplo 5
Obs: Mesmo que o ponto na˜o pertenc¸a ao dom´ınio da func¸a˜o, em
alguns casos podemos calcular limites de func¸o˜es racionais,
cancelando fatores do numerador e denominador:
Calcule lim
(x ,y)→(1,−1)
3x2(y2 − 1)
xy2(y + 1)
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Func¸a˜o limitada
Uma func¸a˜o f : D ⊂ R2 → R e´ dita limitada, se existe um nu´mero
real M > 0 tal que |f (x , y)| < M para todo (x , y) ∈ D
Proposic¸a˜o: Se lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y) = 0 e |g(x , y)| ≤ M para todo
(x , y) ∈ V , V sendo uma vizinhanc¸a de (xo , yo), enta˜o
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y).g(x , y) = 0
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Exemplo 6
Mostre que lim
(x ,y)→(0,0)
x sin(
1
y
) = 0
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Teorema do confronto
Sejam f, g e h func¸o˜es de D ⊂ R2 → R e seja (xo , yo) um ponto
de acumulac¸a˜o de D. Se g(x , y) ≤ f (x , y) ≤ h(x , y) para todo
(x , y) 6= (xo , yo) em um disco com centro em (xo , yo) e
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
g(x , y) = lim(x ,y)→(xo ,yo)
h(x , y) = L, enta˜o
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y) = L
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Exemplo 7
Mostre que lim
(x ,y)→(0,0)
x2y
x2 + y2
= 0
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Limites direcionais
Teorema: Sejam f : D ⊂ R2 → R uma func¸a˜o. Se o limite de f
quando (x,y) aproxima-se de (xo , yo) existe, enta˜o ele e´ u´nico.
Desse modo, podemos concluir que se duas curvas passam pelo
ponto (xo , yo) e originam valores diferentes para o limite de uma
func¸a˜o, enta˜o o limite da func¸a˜o quando (x,y) se aproxima de
(xo , yo) na˜o existe.
Quando (x,y) se aproxima de (xo , yo) ao longo de uma
determinada direc¸a˜o C:
lim
(x , y)→ (xo , yo)
(x , y) ∈ C
f (x , y)
A esse limite damos o nome de limite direcional.
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Exemplo 8
Calcule lim
(x ,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
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Exemplo 9
Calcule lim
(x ,y)→(1,0)
(x − 1)y
(x − 1)2 + y2
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Exemplo 10
Calcule lim
(x ,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
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Exemplo 11
Calcule lim
(x ,y)→(1,1)
x − y√
(x − 1)2 + (y − 1)2
Obs: O ca´lculo de limites direcionais para o ponto (x , y) 6= (xo , yo), pode
ser facilitado ao se efetuar a translac¸a˜o dos eixo:{
x = X + xo
y = Y + yo
, que coloque a nova origem em (xo , yo), tornando assim
o estudo de um limite em (0,0).
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Limites atrave´s de coordenadas polares
Em algumas func¸o˜es o ca´lculo de limites pode ser realizado por
meio de uma mudanc¸a de varia´veis usando coordenadas polares{
x = r cos θ
y = r sin θ
.
Seja f : D ⊂ R2 → R, enta˜o:
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y) = L pode ser escrito como
lim
r→0+
f (xo + r cos θ, yo + r sin θ) = L.
Se a func¸a˜o na˜o depender de θ ou se houver o produto de r por
func¸o˜es limitadas de θ.
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Exemplos 12 a 15
12) Calcule lim
(x ,y)→(0,0)
x2 + y2
x − y
13) Calcule lim
(x ,y)→(0,0)
sin(xy)
x2 + y2
14) Calcule lim
(x ,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
15) Calcule lim
(x ,y)→(0,0)
sin(x2 + y2)
1− cos(
√
x2 + y2)
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Continuidade
Seja f (x , y) uma func¸a˜o, D ⊂ R2 seu dom´ınio e (xo , yo) ∈ D.
Dizemos que f (x , y) e´ cont´ınua em (xo , yo) se
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x , y) = f (xo , yo).
Obs: Se f (x , y) e´ uma func¸a˜o polinomial, enta˜o ela e´ cont´ınua em
qualquer ponto do R2.
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Exemplo 16
Mostre que a func¸a˜o abaixo na˜o e´ cont´ınua na origem:
f(x,y)=
{
−3x2y2+x3
x2+y2
, se (x , y) 6= (0, 0)
1, se (x , y) = (0, 0)
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Exemplo 17
Verifique se a func¸a˜o e´ cont´ınua em (3,1):
f(x,y)=
 2 +
3
√
(x−3)(y−1)5)√
(x−3)2+(y−1)2 , se (x , y) 6= (3, 1)
2, se (x , y) = (3, 1)
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Continuidade
Sejam f , g : D ⊂ R2 → R func¸o˜es cont´ınuas no ponto (xo , yo).
Enta˜o:
i) f+g e f.g sa˜o cont´ınuas em (xo , yo)
ii) Se f (xo , yo) 6= 0, enta˜o 1f e´ cont´ınua em (xo , yo).
Obs: As func¸o˜es racionais nos pontos onde os polinoˆmios do
denominador na˜o se anulam, sa˜o cont´ınuas.
Ex: A func¸a˜o f (x , y) = x
3+y
x2+1
e´ cont´ınua em R2.
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Continuidade da func¸a˜o composta
Sejam y = f (u) e z = g(x , y). Suponha que g e´ cont´ınua em
(xo , yo) e f e´ cont´ınua em g(xo , yo). Enta˜o, a func¸a˜o composta
fog = f (g(x , y)) e´ cont´ınua em (xo , yo).
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Exemplo 18
Verifique a continuidade da func¸a˜o h(x , y) = ln(x2y2 + 4)
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