aula 19 - Derivadas parciais de funções de duas variáveis

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Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
Danilo Sande
December 2, 2013
Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
”Se seus problemas sa˜o constantes, enta˜o e´ so´ derivar”
Definic¸a˜o de derivada parcial em relac¸a˜o a` x em um ponto
Seja f : D ⊂ R2 → R.
A derivada parcial de f em relac¸a˜o a` varia´vel x, no ponto
(xo , yo) ∈ D e´ denotada por ∂f∂x (xo , yo) (ou por fx(xo , yo)) e
definida por:
∂f
∂x (xo , yo) = limh→0
f (xo + h, yo)− f (xo , yo)
h
, ou
∂f
∂x (xo , yo) = limx→xo
f (x , yo)− f (xo , yo)
x − xo , se o limite existir.
Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
Definic¸a˜o de derivada parcial em relac¸a˜o a` y em um ponto
Seja f : D ⊂ R2 → R.
A derivada parcial de f em relac¸a˜o a` varia´vel y, no ponto
(xo , yo) ∈ D e´ denotada por ∂f∂y (xo , yo) (ou por fy (xo , yo)) e
definida por:
∂f
∂y (xo , yo) = limh→0
f (xo , yo + h)− f (xo , yo)
h
, ou
∂f
∂y (xo , yo) = limy→yo
f (xo , y)− f (xo , yo)
y − yo , se o limite existir.
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Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
Derivada parcial de func¸o˜es de va´rias varia´veis
Seja f : D ⊂ Rn → R.
∂f
∂xn
(x ′1, x
′
2, ..., x
′
n) = lim
h→0
f (x ′1, x
′
2, ..., x
′
n + h)− f (x ′1, x ′2, ..., x ′n)
h
,
onde (x ′1, x
′
2, ..., x
′
n) e´ um ponto no R
n
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Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
Exemplo 1
Seja f (x , y) =
{
x3−y2
x2+y2
, se (x , y) 6= (0, 0)
0, se (x , y) = (0, 0)
. Calcule as derivadas
parciais da func¸a˜o dada.
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Exemplo 2
Dado f (x , y) = 16− x2 − y2, calcule ∂f∂x (1, 2)
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Derivada parcial de 1a ordem
Seja f : A ⊂ R2 → R e B ⊂ A o conjunto formado por todos os
pontos (x , y) tais que ∂f∂x (x , y) exista.
Definimos a func¸a˜o derivada parcial de 1a ordem de f em relac¸a˜o a`
x, como a func¸a˜o que a cada (x , y) ∈ B associa o nu´mero ∂f∂x dado
por:
∂f
∂x (x , y) = limh→0
f (x + h, y)− f (x , y)
h
e, analogamente em relac¸a˜o
a` y:
∂f
∂y (x , y) = limh→0
f (x , y + h)− f (x , y)
h
, que tambe´m podem ser
representadas por:
Dx f (x , y), D1f (x , y), fx(x , y) no caso de x, e:
Dy f (x , y), D2f (x , y), fy (x , y) no caso de y.
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Exemplo 3
Seja f (x , y) = 2xy − 3y2, calcule suas derivadas parciais.
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Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
Derivada parcial de 1a ordem
Obs: Pensando y como uma constante yo , podemos considerar a func¸a˜o
g de uma varia´vel dada por g(x) = f (x , yo), assim:
∂f
∂x (x , y) = limh→0
f (x + h, y)− f (x , y)
h
= lim
h→0
g(x + h)− g(x)
h
= g ′(x).
Desse modo, podemos calcular a derivada parcial de uma func¸a˜o de
va´rias varia´veis em relac¸a˜o a` uma varia´vel, considerando todas as outras
varia´veis como constantes e derivando a func¸a˜o em relac¸a˜o a` u´nica
”varia´vel na˜o constante” . Desse modo, todas as regras de derivac¸a˜o do
ca´lculo A podem ser aplicadas.
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Exemplos 4 a 8
4) Se f (x , y) = sin(x2 + xy) + y , calcule suas derivadas parciais.
5) Se f (x , y) = x ln ( x
2
y−1) + 3y , calcule suas derivadas parciais.
6) Se f (x , y) = x2
√
[x2 + y2 ln(y2 + 1)]−5etan (x2y+y3x2), calcule
∂f
∂x (1, 0).
7) Se f (x , y , z) = cos(x+y+z)
ln(x2+y2+z2)
, calcule ∂f∂x (pi, 0, 0).
8) Verifique se a func¸a˜o z = ln(xy) + x + y satisfaz a equac¸a˜o
x ∂z∂x -y
∂z
∂y = x − y .
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Derivada de func¸o˜es com integral
Do teorema fundamental do ca´lculo:
(1) ddx
∫ x
0
f (t)dt = f (x), assim:
d
dx
∫ b(x)
a(x)
f (t)dt =
d
dx
∫ b(x)
0
f (t)dt − d
dx
∫ a(x)
0
f (t)dt
d
dx
∫ b(x)
a(x)
f (t)dt =
d
db(x)
∫ b(x)
0
f (t)dt
db(x)
dx
− d
da(x)
∫ a(x)
0
f (t)dt
da(x)
dx
Usando (1):
d
dx
∫ b(x)
a(x)
f (t)dt = f (b(x))
db(x)
dx
− f (a(x))da(x)
dx
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Exemplo 9
Calcule as derivadas parciais da func¸a˜o:
w =
∫ 3y
2xy
t3dt
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Interpretac¸a˜o geome´trica das derivadas parciais de uma func¸a˜o de
duas varia´veis
Vamos supor que f : A ⊆ R2 → R admite derivadas parciais em
(xo , yo) ∈ A.
Para y = yo temos que f (x , yo) e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel cujo
gra´fico e´ uma curva C1, resultante da intersec¸a˜o da superf´ıcie
Z = f (x , y) com o plano y = yo
A inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva C1 no ponto P = (xo , yo) e´ dada
por tanα = ∂f∂x (xo , yo).
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Interpretac¸a˜o geome´trica das derivadas parciais de uma func¸a˜o de
duas varia´veis
De maneira ana´loga, temos que a inclinac¸a˜o da reta tangente a`
curva C2, resultante da intersec¸a˜o de z = f (x , y) como o plano
x = xo , e´ tanβ =
∂f
∂y (xo , yo)
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Exemplo 10
Seja z = 6− x2 − y2. Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a`
curva C2, resultante da intersec¸a˜o de z = f (x , y) com x=2, no
ponto (2,1,1) e a eq. da reta tangente nesse ponto.
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Exemplo 11
Seja z = 2x2 + 5y2x − 12x . Encontre a inclinac¸a˜o da reta
tangente a` curva C1, resultante da intersec¸a˜o de z = f (x , y) com
y=1, no ponto (2,1,-6) e a eq. da reta tangente nesse ponto.
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Derivadas parciais de ordem superior
A derivada parcial de 2a ordem de uma func¸a˜o, e´ a derivada parcial
da derivada parcial dessa func¸a˜o.
Para uma func¸a˜o z = f (x , y) temos quatro derivadas parciais de 2a
ordem:
∂
∂x (
∂f
∂x ) =
∂2f
∂x2
= Dxx f = D11f = fxx
∂
∂y (
∂f
∂x ) =
∂2f
∂y∂x = Dxy f = D12f = fxy
∂
∂x (
∂f
∂y ) =
∂2f
∂x∂y = Dyx f = D21f = fyx
∂
∂y (
∂f
∂y ) =
∂2f
∂y2
= Dyy f = D22f = fyy
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Exemplo 12
Dada a func¸a˜o f (x , y) = x3y + x2y4, determine suas derivadas
parciais de 2a ordem.
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Exemplo 13
Dada a func¸a˜o f (x , y) = sin(2x + y), determine ∂
2f
∂y∂x e
∂2f
∂x∂y .
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Teorema de Schwartz (Teorema de Clairaut)
Seja Z = f (x , y) uma func¸a˜o com derivdas parciais de 2a ordem
mistas cont´ınuas em um conjunto aberto A⊂ R2. Enta˜o:
∂2f
∂x∂y (xo , yo) =
∂2f
∂y∂x (xo , yo) para todo (xo , yo) ∈ A.
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Teorema de Schwartz (Teorema de Clairaut)
Derivadas de ordem mais alta podem tambe´m ser definidas, pode
exemplo:
∂3f
∂x3
= ∂∂x (
∂
∂x (
∂f
∂x ))
∂3f
∂x∂y2
= ∂∂x (
∂2f
∂y2
)
∂3f
∂y∂x∂y =
∂
∂y (
∂
∂x (
∂f
∂y ))
O teorema de Schwartz pode ser generalizado para essas situac¸o˜es,
garantindo por exemplo que:
fxyy = fyxy = fyyx .
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Teorema de Schwartz (Teorema de Clairaut)
De forma geral ”Se todas as derivadas parciais em questa˜o forem
cont´ınuas em um conjunto aberto A, enta˜o, para os pontos desse
conjunto, a ordem da derivc¸a˜o parcial pode ser trocada sem alterar
o resultado.”
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Exemplo 14
Dada a func¸a˜o f (x , y) = e2x+3y .
a) Calcule ∂
3f
∂x3
e ∂
3f
∂y3
.
b) Verifique que ∂
3f
∂y2∂x
= ∂
3f
∂x∂y2
.
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Exemplo 15
Dada a func¸a˜o f (x , y) =
{
x3y
x2+y2
, se (x , y) 6= (0, 0)
0, se (x , y) = (0, 0)
.
Verifique que as derivadas parciais de 2a ordem mistas sa˜o
diferentes no ponto (0,0). Avalie a continuidades dessas func¸o˜es
no ponto dado.
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Equac¸o˜es diferenciais parciais
Derivadas parciais aparecem em equac¸o˜es diferenciais parciais que
expressam certas leis f´ısicas. Por exemplo, a equac¸a˜o diferencial
parcial:
∇2u = 0, ou
( ∂
2
∂x2
+ ∂
2
∂y2
)u = 0, ou
∂2u
∂x2
+ ∂
2u
∂y2
= 0 e´ chamada equac¸a˜o de Laplace (caso 2-D).
Soluc¸o˜es dessas equac¸o˜es sa˜o chamadas func¸o˜es harmoˆnicas e sa˜o
importantes no problema de conduc¸a˜o te´rmica, fluxo de fluidos e
potencial ele´trico por exemplo.
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Exemplo 16
Mostre que a func¸a˜o u = ex sin y e´ soluc¸a˜o da eq. de Laplace.
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Equac¸o˜es diferenciais parciais
A eq. da onda ∂
2u
∂t2
= a2 ∂
2u
∂x2
descreve o movimento de uma onda,
que pode ser sonora, onda de luz, onda no oceano ou uma onda
viajando ao longo de uma corda vibrando.
Por exemplo, se u(x , t) representa o deslocamento de uma corda
de viola˜o vibrando no tempo t e a uma distaˆncia x de um final da
corda, enta˜o u(x , t) satisfaz a eq. da onda.
Nesse caso, a depende da densidade e tensa˜o da corda a =
√
T
µ
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Equac¸o˜es diferenciais parciais
Se a=c (velocidade da luz no va´cuo), temos a eq. da onda
eletromagne´tica:
1
c2
∂2u
∂t2
− ∂2u
∂x2
= 0 (1-D), ou
�u = 0
( 1
c2
∂2
∂t2
−∇2)u = 0
1
c2
∂2u
∂t2
− (∂2u
∂x2
+ ∂
2u
∂y2
+ ∂
2u
∂z2
) = 0
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Exemplo 17
Mostre que a func¸a˜o u(x , t) = sin(x − ct) satisfaz a eq. da onda.
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