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Diferenciabilidade

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Diferenciabilidade
Danilo Sande
December 1, 2013
Danilo Sande Diferenciabilidade
Diferenciabilidade
Diferenciabilidade
O gra´fico de uma func¸a˜o diferencia´vel de uma varia´vel e´ uma curva
que na˜o possui pontos angulosos. E´ uma curva suave, que em
cada ponto do seu gra´fico possui uma reta tangente u´nica.
Queremos caracterizar uma func¸a˜o diferencia´vel de duas varia´veis
pela suavidade de seu gra´fico.
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Em cada ponto (xo , yo , f (xo , yo)) do gra´fico de f, devera´ existir um
u´nico plano tangente, que represente uma ”boa aproximac¸a˜o” de f
perto de (xo , yo).
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Vamos analisar uma func¸a˜o de uma varia´vel para entender o que
seria uma ”boa aproximac¸a˜o”.
Se f e´ deriva´vel no ponto xo , sua derivada f
′(xo) e´ dada por:
lim
x→xo
f (x)− f (xo)
x − xo = f
′(xo)
lim
x→xo
f (x)− f (xo)
x − xo − f
′(xo) = 0
lim
x→xo
f (x)− [f (xo) + f ′(xo)(x − xo)]
x − xo = 0
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A expressa˜o lim
x→xo
f (x)− [f (xo) + f ′(xo)(x − xo)]
x − xo = 0 mostra que
a reta tangente no ponto xo : y = f (xo) + f
′(xo)(x − xo) e´ uma
boa aproximac¸a˜o de f perto de xo . Ou seja, quando x se aproxima
de xo , a diferenc¸a entre f(x) e y se aproxima de zero.
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A derivada de uma func¸a˜o de uma varia´vel esta´ ligada a` reta
tangente ao gra´fico dessa func¸a˜o assim como as derivadas parciais
de uma func¸a˜o de duas varia´veis esta˜o relacionadas com o plano
tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis.
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Plano tangente
Se o plano tangente a` z = f (x , y), no ponto (xo , yo , f (xo , yo)), for dado
pela equac¸a˜o (1) h(x , y) = ax + by + c , teremos que:
a) Sua inclinac¸a˜o na direc¸a˜o do eixo x e´ a = ∂f∂x (xo , yo).
b) Sua inclinac¸a˜o na direc¸a˜o do eixo y e´ b = ∂f∂y (xo , yo).
c) O ponto (xo , yo , f (xo , yo)) satisfaz a eq. do plano (1), assim
h(xo , yo) = f (xo , yo).
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Plano tangente
Substituindo a e b na eq. (1):
h(x , y) = ∂f∂x (xo , yo)x +
∂f
∂y (xo , yo)y + c
No ponto (xo , yo), usamos a condic¸a˜o c) para obter a constante c:
f (xo , yo) =
∂f
∂x (xo , yo)xo +
∂f
∂y (xo , yo)yo + c .
c = f (xo , yo)− ∂f∂x (xo , yo)xo − ∂f∂y (xo , yo)yo , assim:
(2) h(x , y) = f (xo , yo) +
∂f
∂x (xo , yo)(x − xo) + ∂f∂y (xo , yo)(y − yo).
Se o plano tangente ao gra´fico de z = f (x , y) no ponto (xo , yo , f (xo , yo))
existir, ele sera´ dado pela equac¸a˜o (2).
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Exemplo 1
Encontre o plano tangente ao parabolo´ide el´ıptico z = 2x2 + y2,
no ponto (1,1,3).
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Definic¸a˜o
Dizemos que a func¸a˜o f(x,y) e´ diferencia´vel no ponto (xo , yo), se as
derivadas parciais ∂f∂x (xo , yo) e
∂f
∂y (xo , yo) existem, e se:
lim
(x ,y)→(xo ,yo)
f (x,y)−[f (xo ,yo )+ ∂f∂x (xo ,yo )(x−xo )+
∂f
∂y
(xo ,yo )(y−yo )]
|(x,y)−(xo ,yo )| =0
* |(x , y)− (xo , yo)| representa a distaˆncia de (x,y) a` (xo , yo), ou seja,√
(x − xo)2 + (y − yo)2
* Se uma das derivadas parciais na˜o existe no ponto (xo , yo), f na˜o e´
diferencia´vel nesse ponto.
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Diferenciabilidade e continuidade
Se f(x,y) e´ diferencia´vel no ponto (xo , yo), enta˜o f e´ cont´ınua nesse
ponto, pore´m, ela pode ser cont´ınua e na˜o diferencia´vel.
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Exemplo 2
Mostre que f (x , y) = x2 + y2 e´ diferencia´vel em R2 por definic¸a˜o.
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Exemplos 3 a 5
Verificar se as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis na origem:
3) f (x , y) =
√
x2 + y2
4) f (x , y) =
{
x2
x2+y2
, (x , y) 6= (0, 0)
0, (x , y) = (0, 0)
5) f (x , y) =
{
2y3
x2+y2
, (x , y) 6= (0, 0)
0, (x , y) = (0, 0)
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Condic¸a˜o suficiente para a diferenciabilidade
Seja (xo , yo) um ponto do dom´ınio da func¸a˜o f(x,y). Se f(x,y)
possui derivadas parciais ∂f∂x e
∂f
∂y em um conjunto aberto A que
conte´m (xo , yo) e se essas derivadas parciais sa˜o cont´ınuas em
(xo , yo), enta˜o f e´ diferencia´vel nesse ponto.
*Pore´m se as derivadas na˜o forem cont´ınuas, na˜o significa que a
func¸a˜o na˜o seja diferencia´vel.
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Exemplos 6 a 8
Verificar que as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis em R2:
6) f (x , y) = x2 + y2 (mesmo exemplo 2, agora usando
continuidade das derivadas)
7) f (x , y) = 3xy2 + 4x2y + 2xy
8) f (x , y) = sin(xy2)
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Exemplos 9 e 10
Verificar que as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis em R2, exceto na
origem:
9) f (x , y) = x
x2+y2
10) f (x , y) =
√
x2 + y2 (mesmo que o 3, pore´m, para verificar em
todos os pontos, na˜o apenas na origem.)
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Exemplo 11
Verificar se f (x , y) =
{
(x2 + y2) sin( 1
x2+y2
), (x , y) 6= (0, 0)
0, (x , y) = (0, 0)
e´
diferencia´vel em (0,0).
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