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Diferenciabilidade Danilo Sande December 1, 2013 Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Diferenciabilidade O gra´fico de uma func¸a˜o diferencia´vel de uma varia´vel e´ uma curva que na˜o possui pontos angulosos. E´ uma curva suave, que em cada ponto do seu gra´fico possui uma reta tangente u´nica. Queremos caracterizar uma func¸a˜o diferencia´vel de duas varia´veis pela suavidade de seu gra´fico. Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Diferenciabilidade Em cada ponto (xo , yo , f (xo , yo)) do gra´fico de f, devera´ existir um u´nico plano tangente, que represente uma ”boa aproximac¸a˜o” de f perto de (xo , yo). Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Diferenciabilidade Vamos analisar uma func¸a˜o de uma varia´vel para entender o que seria uma ”boa aproximac¸a˜o”. Se f e´ deriva´vel no ponto xo , sua derivada f ′(xo) e´ dada por: lim x→xo f (x)− f (xo) x − xo = f ′(xo) lim x→xo f (x)− f (xo) x − xo − f ′(xo) = 0 lim x→xo f (x)− [f (xo) + f ′(xo)(x − xo)] x − xo = 0 Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Diferenciabilidade A expressa˜o lim x→xo f (x)− [f (xo) + f ′(xo)(x − xo)] x − xo = 0 mostra que a reta tangente no ponto xo : y = f (xo) + f ′(xo)(x − xo) e´ uma boa aproximac¸a˜o de f perto de xo . Ou seja, quando x se aproxima de xo , a diferenc¸a entre f(x) e y se aproxima de zero. Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Diferenciabilidade A derivada de uma func¸a˜o de uma varia´vel esta´ ligada a` reta tangente ao gra´fico dessa func¸a˜o assim como as derivadas parciais de uma func¸a˜o de duas varia´veis esta˜o relacionadas com o plano tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis. Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Plano tangente Se o plano tangente a` z = f (x , y), no ponto (xo , yo , f (xo , yo)), for dado pela equac¸a˜o (1) h(x , y) = ax + by + c , teremos que: a) Sua inclinac¸a˜o na direc¸a˜o do eixo x e´ a = ∂f∂x (xo , yo). b) Sua inclinac¸a˜o na direc¸a˜o do eixo y e´ b = ∂f∂y (xo , yo). c) O ponto (xo , yo , f (xo , yo)) satisfaz a eq. do plano (1), assim h(xo , yo) = f (xo , yo). Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Plano tangente Substituindo a e b na eq. (1): h(x , y) = ∂f∂x (xo , yo)x + ∂f ∂y (xo , yo)y + c No ponto (xo , yo), usamos a condic¸a˜o c) para obter a constante c: f (xo , yo) = ∂f ∂x (xo , yo)xo + ∂f ∂y (xo , yo)yo + c . c = f (xo , yo)− ∂f∂x (xo , yo)xo − ∂f∂y (xo , yo)yo , assim: (2) h(x , y) = f (xo , yo) + ∂f ∂x (xo , yo)(x − xo) + ∂f∂y (xo , yo)(y − yo). Se o plano tangente ao gra´fico de z = f (x , y) no ponto (xo , yo , f (xo , yo)) existir, ele sera´ dado pela equac¸a˜o (2). Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Exemplo 1 Encontre o plano tangente ao parabolo´ide el´ıptico z = 2x2 + y2, no ponto (1,1,3). Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Definic¸a˜o Dizemos que a func¸a˜o f(x,y) e´ diferencia´vel no ponto (xo , yo), se as derivadas parciais ∂f∂x (xo , yo) e ∂f ∂y (xo , yo) existem, e se: lim (x ,y)→(xo ,yo) f (x,y)−[f (xo ,yo )+ ∂f∂x (xo ,yo )(x−xo )+ ∂f ∂y (xo ,yo )(y−yo )] |(x,y)−(xo ,yo )| =0 * |(x , y)− (xo , yo)| representa a distaˆncia de (x,y) a` (xo , yo), ou seja,√ (x − xo)2 + (y − yo)2 * Se uma das derivadas parciais na˜o existe no ponto (xo , yo), f na˜o e´ diferencia´vel nesse ponto. Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Diferenciabilidade e continuidade Se f(x,y) e´ diferencia´vel no ponto (xo , yo), enta˜o f e´ cont´ınua nesse ponto, pore´m, ela pode ser cont´ınua e na˜o diferencia´vel. Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Exemplo 2 Mostre que f (x , y) = x2 + y2 e´ diferencia´vel em R2 por definic¸a˜o. Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Exemplos 3 a 5 Verificar se as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis na origem: 3) f (x , y) = √ x2 + y2 4) f (x , y) = { x2 x2+y2 , (x , y) 6= (0, 0) 0, (x , y) = (0, 0) 5) f (x , y) = { 2y3 x2+y2 , (x , y) 6= (0, 0) 0, (x , y) = (0, 0) Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Condic¸a˜o suficiente para a diferenciabilidade Seja (xo , yo) um ponto do dom´ınio da func¸a˜o f(x,y). Se f(x,y) possui derivadas parciais ∂f∂x e ∂f ∂y em um conjunto aberto A que conte´m (xo , yo) e se essas derivadas parciais sa˜o cont´ınuas em (xo , yo), enta˜o f e´ diferencia´vel nesse ponto. *Pore´m se as derivadas na˜o forem cont´ınuas, na˜o significa que a func¸a˜o na˜o seja diferencia´vel. Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Exemplos 6 a 8 Verificar que as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis em R2: 6) f (x , y) = x2 + y2 (mesmo exemplo 2, agora usando continuidade das derivadas) 7) f (x , y) = 3xy2 + 4x2y + 2xy 8) f (x , y) = sin(xy2) Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Exemplos 9 e 10 Verificar que as func¸o˜es sa˜o diferencia´veis em R2, exceto na origem: 9) f (x , y) = x x2+y2 10) f (x , y) = √ x2 + y2 (mesmo que o 3, pore´m, para verificar em todos os pontos, na˜o apenas na origem.) Danilo Sande Diferenciabilidade Diferenciabilidade Exemplo 11 Verificar se f (x , y) = { (x2 + y2) sin( 1 x2+y2 ), (x , y) 6= (0, 0) 0, (x , y) = (0, 0) e´ diferencia´vel em (0,0). Danilo Sande Diferenciabilidade
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