Diferencial

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Diferencial
Danilo Sande
December 2, 2013
Danilo Sande Diferencial
Diferencial
Definic¸a˜o
Para uma func¸a˜o de duas varia´veis z = f (x , y), o diferencial dz ,
tambe´m chamada de diferencial total, e´ definida por:
dz =
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy .
Se z = f (x1, x2, ..., xn) e´ uma func¸a˜o de n varia´veis, temos que:
dz =
∂z
∂x1
dx1 +
∂z
∂x2
dx2 + ... +
∂z
∂xn
dxn,
e´ a diferencial total de z.
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Incremento
A diferencial das varia´veis independentes x e y, pode ser definida
como os acre´scimos ∆x e ∆y :
dx = ∆x e dy = ∆y .
Ja´ o incremento ∆z e´ definido como:
∆z = f (xo + ∆x , yo + ∆y)− f (xo , yo), ou
∆z = f (x , y)− f (xo , yo).
Ja´ que ∆x = x − xo e ∆y = y − yo .
*A diferencial total de uma func¸a˜o de duas varia´veis e´ um valor
muito pro´ximo do incremento da func¸a˜o quando as varia´veis
independentes x e y sofrem um acre´scimo pequeno.
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Incremento, diferencial e plano tangente
Quando ∆x e ∆y sa˜o bem pequenos, temos:
∆z ≈ dz
f (xo + ∆x , yo + ∆y)− f (xo , yo) ≈ ∂z∂x (xo , yo)∆x + ∂z∂y (xo , yo)∆y
f (x , y)− f (xo , yo) ≈ ∂z∂x (xo , yo)(x − xo) + ∂z∂y (xo , yo)(y − yo)
f (x , y) ≈ f (xo , yo) + ∂z∂x (xo , yo)(x − xo) + ∂z∂y (xo , yo)(y − yo).
O plano tangente e´ uma aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o pro´ximo de
(xo , yo).
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Exemplo do erro ao aproximar o incremento pela diferencial
Incremento da a´rea ∆A = A(x + ∆x , y + ∆y)− A(x , y) =
(x + ∆x).(y + ∆y)− x .y = x∆y + y∆x + ∆x∆y .
Diferencial da a´rea dA = ∂A∂x dx +
∂A
∂y dy = ydx + xdy = y∆x + x∆y .
O erro e´ de ∆x∆y . Veja que quanto menor ∆x e ∆y , menor sera´ o erro
da aproximac¸a˜o.
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Exemplo 1
Dada a func¸a˜o z = x2 + y2 − xy .
a) Determine a diferencial total da func¸a˜o quando (x,y) passa de
(1,1) para (1,001;1,02);
b) Calcule o incremento da func¸a˜o z = f (x , y) quando as varia´veis
independentes sofrem a variac¸a˜o dada em a).
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Exemplo 2
Calcule a diferencial das seguintes func¸o˜es:
a) z = sin2(xy);
b) z = ln(x + y2).
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Exemplo 3
Calcule a diferencial total de w = x2 + y2 + exyz .
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Aplicac¸o˜es da diferencial
Exemplo 4
Dada as figuras abaixo, calcule um valor aproximado para a
variac¸a˜o da a´rea quando os lados sa˜o modificados de:
a) 4 cm e 2 cm para 4,01 cm e 2,001 cm, respectivamente, no caso
do retaˆngulo.
b) 2 cm para 2,01 cm e 1 cm para 0,5 cm, no caso do triaˆngulo.
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Aplicac¸o˜es da diferencial
Exemplo 5
Vamos considerar uma caixa com tampa, de forma cil´ındrica, cujas
dimenso˜es sa˜o: raio = 2 cm e altura = 5 cm. O custo do material
usado em sua confecc¸a˜o e´ de R$ 0,81 por cm2. Se as dimenso˜es
sofrem um acre´scimo de 10% no raio e 2% na altura, pergunta-se:
a) Qual o valor aproximado do acre´scimo no custo da caixa?
b) Qual o valor exato do acre´scimo no custo da caixa?
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Aplicac¸o˜es da diferencial
Exemplo 6
Suponha que precisamos calcular o valor de (1, 001)3,02 e na˜o
dispomos de calculadora ou computador. Como calcular um valor
aproximado?
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