Condução e Equação de difusão

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EQUAÇÃO GERAL DA 
CONDUÇÃO 
Prof José Francisco Vilela Rosa 
CONDUÇÃO TÉRMICA 
L
T
Akq
dx
dT
Akq



..
..
CONDUÇÃO DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA 
DIFUSIVIDADE TÉRMICA -  
Fonte: Incropera et al. 
Equação geral da Condução 
Tomemos um determinado volume elementar 
(com volume dV = dx.dy.dz) em um dado meio 
onde a temperatura é variável. 
Vamos considerar um balanço de energia 
térmica neste pequeno volume elementar. 
BALANÇO ENERGÉTICO 
• O balanço de energia envolvente tem como base a 
primeira lei de termodinâmica, a lei da conservação de 
energia. 
• Esta lei estabelece que a quantidade de energia térmica 
(calor) que entra em um volume de controle - (Ee), 
• quantidade de energia que sai o volume (Es) 
• quantidade de calor gerada no interior (Eg), 
quantidade de energia armazenada (Acumulada) (Ear) 
BALANÇO DE ENERGIA 
 
 
A taxa de condução de calor em determinada 
direção é proporcional ao gradiente de 
temperatura (dT/dx). A condução de calor em 
um meio é, em geral, tridimensional e 
dependente do tempo e sua temperatura 
varia com a posição e com o tempo, ou seja: 
T= f(x, y, z, t). 
GERAÇÃO DE CALOR 
O meio pelo qual a energia é transferida pode envolver a 
conversão de energia elétrica, química ou nuclear em calor 
(Energia térmica). 
Para essa análise da condução de calor, denomina-se GERAÇÃO 
DE CALOR. 
A geração de calor é um fenômeno volumétrico, ocorrendo em 
todo o corpo, dessa forma a unidade é expressa em W/m3. 
  geradodzzdyydxxzyx QdQQQQQQ
dt
dQ   
Variação da energia interna por unidade de tempo 
Fluxos que entram – Fluxos que saem 
 
 
Analisemos o fluxo de calor ao longo da direção x: 
 
A componente x da taxa de transferência de calor no ponto x+dx é igual ao valor da 
componente x mais o produto da variação da taxa em relação a x por dx. 
Considerando todas as direções: 
Por fim, juntando todos estes termos na 
equação de BALANÇO ENERGÉTICO 
EXERCÍCIOS 
1) A difusividade térmica  é a propriedade de transporte que controla a 
condução transiente. Calcular  para os seguintes materiais, nas temperaturas 
mencionadas, mediante os valores apropriados de K, , cp do apêndice A do 
livro do Incropera. 
a) Alumínio puro a 300 K e 700 K. 
b) Carbeto de sílício a 1000 K 
 
2) A equação T(x) = 1000 – 250x – 50x2 é usada para expressar a forma de 
como a temperatura se comporta ao longo de uma parede de espessura 0,5 m. 
Uma geração de calor uniforme, qg = 800 W/m
3, está presente na parede, cuja 
área é 10 m2 . As propriedades do material são: 
 = 1600 kg/m3, cp = 4000 J/(kg.K) e K = 45 W/(m.K). 
a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede e que sai 
da parede. 
b) Determine a taxa de variação de energia acumulada na parede. 
c) Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas 
posições x = 0 m e 0,5 m. 
 
 
EXERCÍCIOS 
3) Uma pastilha de silício com espessura de 925 m é aquecida 
com um fluxo de calor uniforme na superfície inferior. A pastilha 
de silício tem uma condutividade térmica que varia com a 
temperatura e pode ser expressa como k (T) = (a + bT+ cT2) 
W/m.K, onde a = 437, b = -1,29 e c = 0,00111. Para evitar a 
deformação, a diferença de temperatura na espessura da 
pastilha não pode exceder 2°C. Considerando que a superfície 
superior da pastilha de silício está na temperatura uniforme de 
600 K, determine o máximo permitido de fluxo de calor. 
 
4) Considere uma placa de 1,5 m de altura, 0,6 m de largura e 
0,15 m de espessura. Um lado da placa é mantido a uma 
temperatura constante de 500 K, enquanto o outro lado é 
mantido a uma temperatura de 350 K. Podemos assumir que a 
condutividade térmica da placa varia linearmente nesse intervalo 
de temperaturas, como k(T) = ko(1 + T), onde ko = 18 W/m.K e 
 = 8,7 X 10-4 K-1. Desprezando os efeitos de borda e assumindo 
que a transferência de calor seja unidimensional e permanente, 
determine a taxa de condução de calor através da placa. 
 
 
 
Considere um camada fina de 
espessura r de um cilindro 
longo, como mostrado na figura. 
Assumindo que a densidade do 
cilindro é , o calor específico é 
cp e seu comprimento L. A área 
do cilindro normal na direção de 
transferência de calor, em 
qualquer ponto, é A = 2rL, onde 
r é o raio nessa posição. 
BALANÇO DE ENERGIA DURANTE UM PEQUENO INTERVALO 
DE TEMPO EM UMA PEQUENA CAMADA CILÍNDRICA. 
gp q
dr
dT
rK
dr
d
rdt
dT
c 





 ...
1
..ρ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR 
EM UMA ESFERA 
Considere uma esfera de densidade  e calor 
específico cp e raio externo R. A área da esfera 
normal na direção da transferência de calor, em 
qualquer ponto, é A = 4r2, onde r é o raio nessa 
posição. 
Considere uma fina camada esférica de 
espessura r e repetindo a abordagem descrita 
antes para o cilindro usando A = 4r2 em vez de 
A = 2rL, a equação de condução de calor 
transiente unidimensional para uma esfera pode 
ser descrita como: 
gp q
dr
dT
rK
dr
d
rdt
dT
c 





 ...
1
..ρ 2
2
ATENÇÃO 
SOB CONDIÇÕES ESPECÍFICAS ELA A EQUAÇÃO SE REDUZ ÀS 
SEGUINTES FORMAS 
COMPARATIVO 
gp q
dx
dT
K
dx
d
dt
dT
c 





..ρ
gp q
dr
dT
rK
dr
d
rdt
dT
c 





 ...
1
..ρ
gp q
dr
dT
rK
dr
d
rdt
dT
c 





 ...
1
..ρ 2
2
Parede Plana 
Cilindro 
Esfera 
Exercício 5 
Em uma tubulação cilíndrica, com 80 cm de diâmetro e 2,0 metros 
de comprimento, há geração interna de calor por um combustível 
a uma taxa uniforme de geração de energia. Nessas condições há 
um regime estacionário. 
A distribuição de temperaturas no interior da tubulação tem a 
forma T(r) = a + br2, onde T está em graus Celsius e r em metros, 
enquanto a= 1000°C e b = 6,0 ×105 0C/m2. As propriedades do 
combustível são: 
k = 30 W/(m.K),  = 1200 kg/m3 e cP = 500 J/(kg·K). 
 
a) Qual é a taxa de transferência de calor, do combustível, em 
r = 0 (a linha central do combustível) e em r = 40 cm (a da 
superfície)? 
 
(b) Se o nível de potência do combustível for subitamente 
aumentando para qg = 10
8 W/m3, qual são as taxas iniciais da 
variação da temperatura com o tempo em r = 0 e r = 40 cm 
 
Considere que um reator esférico de 60 mm de 
diâmetro em condição operacional permanente tem 
variação de temperatura expressa na forma de 
T(r) = a + br2, onde a = 850 0C e b = 25 x 105 0C/m2. 
O reator é feito de material com cp = 600 J/kg.
0C, 
K = 40 W/m.K e  = 1000 kg/m3. 
Considerando que a geração de calor do reator de 
repente for definido como qg = 610
7 W/m3, 
determine a taxa de variação de temperatura no 
reator. 
 
Exercício 6