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Engenharia Civil
Física Geral e Experimental I
Notas de Aula
Prof: Eduardo Delmondes Silva
Cinemática Vetorial
Vetores naMecânica
1 Movimento em Três Dimensões
Para descrever a trajetória de uma partícula é necessário um referencial de tal modo que as equações vetoriais
dadas abaixo sejam válidas:
~r = xeˆi + y eˆ j + zeˆk , Vetor Posição (1)
~v =
d~r
dt
=
dx
dt
eˆi +
dy
dt
eˆ j +
dz
dt
eˆk , Vetor Velocidade (2)
~a =
d~v
dt
=
d2x
dt2
eˆi +
d2y
dt2
eˆ j +
d2z
dt2
eˆk , Vetor Aceleração (3)
~F = Xeˆi +Yeˆ j +Zeˆk , Vetor Força. (4)
1.1 Vetor Posição emCoordenadas Cartesianas Retangulares
Ao analisarmos o movimento de uma partícula no espaço devemos primeiro tomar um sistema de referência
e a sua posição em relação ao mesmo.
A posição da partícula é descrita por um vetor, tendo-se, para o movimento em três dimensões, o vetor posi-
ção~r , denotando um deslocamento em relação a uma determinada origem (nosso referencial). À medida que a
partícula se move, o vetor~r varia, ou seja,~r é uma função vetorial do tempo t ;~r =~r (t )
~r =~r (t )= xeˆi + y eˆ j + zeˆk (5)
Figura 1: Vetor~r em três dimensões.
2
Onde,
• xeˆi → é o vetor ao longo do eixo x na direção do vetor unitário eˆi ;
• y eˆ j → é o vetor ao longo do eixo y na direção do vetor unitário eˆ j ;
• zeˆk → é o vetor ao longo do eixo z na direção do vetor unitário eˆk
1.2 Função Derivada
Sendo y uma função definida em um intervalo aberto L e α0 um elemento deste intervalo. Denomina-se deri-
vada de y no ponto α0 o limite
lim
α→α0
y(α)− y(α0)
α−α0
ou lim
∆α→0
y(α0+∆α)− y(α0)
∆α
, (6)
se o limite existir e for contínuo.
Podemos encontrar notações da derivada de y no ponto α0, tais como:
• y ′(α0) - Notação de Lagrange;
• dy(α)
dα
∣∣∣
α=α0
=
dy
dα
∣∣∣
α=α0
- Notação de Leibniz;
• y˙ = y˙(α) - Notação de Newton1.
Portanto, temos
y ′(α)≡ y˙(α)≡ y˙ ≡
dy
dα
≡
dy(α)
dα
≡ lim
α→α0
y(α)− y(α0)
α−α0
≡ lim
∆α→0
y(α0+∆α)− y(α0)
∆α
. (7)
Sendo y uma função diferenciável no intervalo aberto L. Onde, para cada α0 pertencente a L existe e é único o
limite
d
dα
y(α0)= lim
∆α→0
y(α0+∆α)− y(α0)
∆α
= lim
∆α→0
∆y
∆α
, (8)
ou
y ′(α0)= lim
∆α→0
y(α0+∆α)− y(α0)
∆α
⇒ y ′(α)= lim
h→0
y(α+h)− y(α)
h
(9)
Logo, podemos definir uma função y′ : L→R que associa a cada α0 ∈ L a derivada de y no ponto α0. Esta função
é chamada função derivada de y ou, simplesmente, derivada de y. Por vezes também é chamada de derivada
primeira ou derivada de primeira ordem, para distinguir das chamadas derivadas de ordem superior.
Mas y é derivável ou diferenciável se y for derivável em cada ponto de seu domínio; nem sempre o limite irá
existir para qualquer função de y. Geralmente estaremos trabalhando com funções diferenciáveis.
1Isaac Newton e Wilhelm Leibniz descobriram, independentemente um do outro, o Cálculo Infinitesimal. Em particular, eles foram os
primeiros a introduzir símbolos convenientes para o conceito de derivada, o qual, convém dizê-lo, em princípio já era conhecidomuito tempo
antes
3
1.3 Diferenciação de Vetores
Suponhamos que a partícula descreva uma curva no espaço e que conheçamos sua posição em qualquer ins-
tante t . Omovimento da partícula é então representado pelas funções contínuas dentro do intervalo de t1≦ t ≦ t2,
x = f (t ), y = g (t ), z = h(t ). (10)
As equações (10), são chamadas equações paramétricas da curva descrita no espaço, tendo t como parâmetro.
Escolhendo um sistema de coordenadas no espaço, podemos escrever o vetor posição desta partícula como na
equação (5). Suas componentes são dependentes das três funções escalares dadas pelas equações (10) definidas
para t1≦ t ≦ t2, reescrevemos o vetor como
~r (t )= f (t )eˆi + g (t )eˆ j +h(t )eˆk . (11)
Temos ainda que a derivada de uma função vetorial é definida como sendo
d
dt
~r (t )= lim
∆t→0
~r (t +∆t )−~r (t )
∆t
= lim
∆t→0
∆~r
∆t
, (12)
contando que o limite exista. Sendo que~r é representado pelo vetor
−→
OP; e escrito como na (5)
−→
OP =~r = xeˆi + y eˆ j + zeˆk . (13)
O vetor
−→
PQ é por sua vez representado por
−→
PQ=~r (t +∆t )−~r (t )=∆~r . (14)
O vetor ∆~r /∆t é o vetor ∆~r multiplicado pelo escalar 1/∆t ; e seu limite é um vetor d
dt
~r . Escrevendo em função de
Figura 2: Vetor ∆~r .
4
componentes, temos:
~r (t ) = f (t )eˆi + g (t )eˆ j +h(t )eˆk
~r (t +∆t )−~r (t ) = [ f (t +∆t )− f (t )]eˆi + [g (t +∆t )− g (t )]eˆ j + [h(t +∆t )−h(t )]eˆk
lim
∆t→0
~r (t +∆t )−~r (t )
∆t
= lim
∆t→0
f (t +∆t )− f (t )
∆t
eˆi + lim
∆t→0
g (t +∆t )− g (t )
∆t
eˆ j +
+ lim
∆t→0
h(t +∆t )−h(t )
∆t
eˆk
lim
∆t→0
∆~r
∆t
= lim
∆t→0
∆x
∆t
eˆi + lim
∆t→0
∆y
∆t
eˆ j = lim
∆t→0
∆z
∆t
eˆk , (15)
mas da definição de derivada de uma função vetorial podemos escrever que:
d
dt
~r =
dx
dt
eˆi +
dy
dt
eˆ j +
dz
dt
eˆk . (16)
Ou seja, se derivarmos cada componente separadamente da função vetorial, estaremos calculando a derivada da
função.
2 Velocidade
2.1 Expressão Vetorial da VelocidadeMédia
Da figura imediatamente anterior, temos que a partícula varia em relação ao tempo, tem-se, vetorialmente que
∆~r =
−→
PQ
∆~r = ~r (t +∆t )−~r (t )
∆~r
∆t
=
~r (t +∆t )−~r (t )
∆t
= velocidade média vetorial.
~vm =
~r (t +∆t )−~r (t )
∆t
~vm =
∆~r
∆t
. (17)
A velocidade média depende apenas do deslocamento ∆~r , que ocorre durante o intervalo de tempo ∆t . A
velocidade média da partícula vm =
∆~r
∆t é a inclinação da reta PQ.
2.2 Expressão Vetorial da Velocidade Instantânea
A expressão vetorial para a velocidade instantânea é dada pela equação (15),
~v = lim
∆t→0
~r (t +∆t )−~v(t )
∆t
= lim
∆t→0
∆~r
∆t
=⇒ ~v =
d
dt
~r . (18)
logo, o vetor velocidade é a derivada do vetor posição num instante t , podemos ainda escrevê-la como
~v =
d
dt
~r (t )=
d
dt
x(t )eˆi +
d
dt
y(t )eˆ j +
d
dt
z(t )eˆk (19)
5
ou
~v =
d
dt
~r (t )=~˙r (t )=
d
dt
x˙(t )eˆi + y˙(t )eˆ j + z˙(t )eˆk (20)
• A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero; ela é
igual à taxa de variação da posição com o tempo.
• omódulo da velocidade instantânea é chamado de velocidade escalar instantânea e é, simplesmente o valor
absoluto de ~v , isto é,
v = ||~v || =
∣∣∣∣∣∣d~r
dt
∣∣∣∣∣∣=
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
(21)
• A velocidade escalar é a distância percorrida dividida pelo tempo, tanto no caso instatâneoquanto considerando-
se a média.
• Não confundir:
– A velocidade escalar instantânea indica se o movimento é rápido ou lento.
– O vetor velocidade instantânea indica se o movimento é rápido ou lento, e em qual direção e sentido
ele ocorre.
• As duas grandezas d
dt
||~v || e
∣∣∣∣∣∣ ddt~v∣∣∣∣∣∣ não são iguais:
– d
dt
||~v || é a taxa de variação da velocidade escalar, ela é igual a zero sempre que uma partícula se move
com velocidade escalar constante, mesmo quando sua direção varia.
–
∣∣∣∣∣∣ ddt~v∣∣∣∣∣∣ é o módulo do vetor aceleração; ele é igual a zero somente quando a aceleração for nula, ou
seja, no caso particular de ummovimento retilíneo com velocidade constante.
2.3 Interpretação Geométrica da Derivada
Em um gráfico da posição da partícula em função do tempo no movimento retilíneo, a velocidade instantânea
em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto.
Figura 3: Inclinação da tangente da curva no ponto P.
6
Vejamos a figura, à medida que ∆t → 0, P′ se aproxima de P e ∆x/∆t tende ao coeficiente angular da tangente
TT ′ à curva no ponto P. Logo, a velocidadeinstantânea v(t0) representa o coeficiente angular da tangente ao
gráfico x× t no ponto t0; é o que se chama de “declive” da curva neste ponto. Esta é também, de formamais geral,
a interpretação geométrica da derivada dx/dt ; ela mede a “taxa de variação” de x com t .
Figura 4: A velocidade instantânea d~r
dt
em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto.
2.3.1 Unidade no S.I. e Dimensão da Velocidade
Temos que no Sistema Internacional de Unidades a velocidade é dada porm/s.
Sendo que sua dimensão é dada por LT−1.
2.3.2 Exemplo
1. Calcular a derivada de x(t )= at2+bt + c, onde a, b e c são constantes, num ponto t qualquer.
x(t +∆t ) = a(t +∆t )2+b(t +∆t )+ c
x(t +∆t ) = a(t2+2t∆t +∆t2)+bt +b∆t + c
x(t +∆t ) = at2+2at∆t +a∆t2+bt +b∆t + c
x(t +∆t ) = at2+bt + c︸ ︷︷ ︸
x(t )
+2at∆t +a∆t2+b∆t
x(t +∆t ) = x(t )+2at∆t +a∆t2+b∆t
x(t +∆t )−x(t ) = 2at∆t +a∆t2+b∆t ,
mas como ∆x = x(t +∆t )−x(t ), temos
∆x = 2at∆t +a∆t2+b∆t ,
dividindo ambos os membros da equação por ∆t , vem
∆x
∆t
=
2at∆t +a∆t2+b∆t
∆t
∆x
∆t
=
2at��∆t +a∆t �
2+b��∆t
��∆t
⇒
∆x
∆t
= 2at +a∆t +b,
7
tomando o limite quando ∆t → 0, podemos escrever
lim
∆t→0
∆x
∆t
= lim
∆t→0
2at +a∆t +b = 2at +a ·0+b,
lim
∆t→0
∆x
∆t
= 2at +b,
portanto,
d
dt
x(t ) = 2at +b.
Então, conhecendo a função horária do movimento, ou seja, a função x = x(t ), é possível calcular a veloci-
dade instantânea v(t ) no decurso domovimento: Basta tomar a diferencial de x em relação a t (dx/dt). Este
exemplo também ilustra os seguintes resultados imediatos; a derivada de uma constante é nula; a derivada
de uma soma é a soma das derivadas.
3 Aceleração
3.1 Expressão Vetorial da AceleraçãoMédia
A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade varia como tempo. Seja~v1 a velocidade
Figura 5: Velocidade variando em relação ao tempo.
de uma partícula no ponto P e no instante t e~v2 a velocidade de uma partícula no ponto Q num instante posterior
t +∆t . Logo, podemos escrever que,
~am =
~v(t +∆t )−~v(t )
∆t
=⇒ ~am =
∆~v
∆t
. (22)
A equação (22), é o vetor aceleração média no intervalo de t −→ t +∆t .
• O vetor aceleração é pois caracterizado por
– módulo, dado pela expressão:||~a|| =
∣∣∣∣∣∣∆~v∆t ∣∣∣∣∣∣
– direção e sentido, sendo que sua direção e sentido são os do vetor ∆~v .
• O vetor ~am é chamado aceleração média por que?
– Ele não informa como a velocidade varia com o tempo, durante um intervalo de tempo ∆t , temos
apenas a variação total da velocidade durante um determinado intervalo ∆t .
8
• Se não há variação no quociente ∆~v∆t teremos um movimento com aceleração constante, significando que a
variação da velocidade com o tempo é uniforme emmódulo, direção e sentido (teremos umM.U.V.).
• Se o vetor velocidade não variar, ou seja, se ele permanecer constante emmódulo, direção e sentido, ∆~v =~0
e o vetor aceleração será nulo.
• Se uma partícula está se deslocando de tal maneira que sua aceleração média, tomada em diferentes inter-
valos de tempo, não se mantém constante, então a partícula possui aceleração variável.
– A aceleração poderá variar em módulo, direção ou em ambas. Neste caso, necessitamos determinar a
aceleração da partícula em cada instante, chamada aceleração instantânea.
3.2 Expressão Vetorial da Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea é igual a taxa de variação da velocidade instantânea com o tempo. Então
~a = lim
∆t−→0
~v(t +∆t )−~v(t )
∆t
= lim
∆t−→0
∆~v
∆t
=⇒ ~a =
d
dt
~v , (23)
ou seja, a aceleração é a derivada do vetor velocidade instantânea em relação ao tempo, podemos ainda escrevê-la
como
~a =
d
dt
~v(t )=
d2
dt2
x(t )eˆi +
d2
dt2
y(t )eˆ j +
d2
dt2
z(t )eˆk (24)
ou
~a =
d
dt
~v(t )= ~˙v(t )=~¨r (t )= x¨(t )eˆi + y¨(t )eˆ j + z¨(t )eˆk , (25)
a aceleração é a derivada de segunda ordem de x em relação ao tempo t .
O vetor velocidade ~v é tangente à trajetória da partícula. Porém, a construção da Figura(6) mostra que o vetor
aceleração instantânea ~a de uma partícula emmovimento sempre aponta para o lado côncavo de uma trajetória
curva - ou seja, para o lado interno de qualquer volta que a partícula esteja fazendo.
Figura 6: Aceleração instantânea ~a no ponto P. O vetor ~v é tangente à trajetória e o vetor ~a aponta para o lado côncavo da
trajetória.
9
• A equação (23) mostra que pode existir aceleração diferente de zero quando houver qualquer variação do
vetor velocidade:
– Variação do módulo da velocidade
Seja ummovimento ao longo de uma linha reta e com variação uniforme na velocidade escalar. Neste
caso, a velocidade não sofre variação de direção mas seu módulo varia uniformemente com o tempo.
Este é o caso em que a aceleração é constante
– Variação em sua direção
Seja um movimento circular com velocidade escalar constante. Aqui o velocidade muda constante-
mente de direção mas seu módulo permanece constante (independente do tempo). É ummovimento
uniformemente acelerado.
• Num gráfico v × t a aceleração instantânea em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva
nesse ponto.
Figura 7: A inclinação da tangente é igual a aceleração instantântea em p1.
•
{
A inclinação da linha p1p2 = aceleração média
Inclinação da tangente = aceleração instantântea em p1
• Quando uma partícula move-se ao longo de uma trajetória curva sua aceleração é sempre diferente de zero;
mesmo quando sua velocidade escalar for constante.
• A direção da aceleração instantânea ~a é a direção limite do vetor ∆~v .
• O módulo, ||~a||, da aceleração instantânea é dado por
a = ||~a|| =
√(
dvx
dt
)2
+
(
dvy
dt
)2
+
(
dvz
dt
)2
. (26)
• Quando a aceleração é constante, a aceleração instantânea é igual à aceleração média.
Comparando o sinal da velocidade com o da aceleração:
• Quando velocidade e aceleração possuem omesmo sinal, o movimento do corpo está sendo acelerado.
• Quando ambos forem positivos, o corpo estará se movendo no sentido positivo da velocidade com uma
velocidade crescente.
10
• Quando ambos forem negativos, o corpo estará se movendo no sentido negativo com uma velocidade que
se torna cada vez mais negativa, e novamente é crescente.
• Quando velocidade e aceleração possuem sinais opostos, o movimento do corpo é retardado.
• Quando a velocidade é positiva e a aceleração é negativa, o corpo se desloca no sentido positivo com velo-
cidade decrescente.
• Quando a velocidade é negativa e a aceleração é positiva, o corpo se desloca no sentido negativo com uma
velocidade que se torna menos negativa, e novamente o movimento do corpo é retardado.
3.3 Movimento com Aceleração Constante
Qualquer movimento quando a aceleração é constante (independente do tempo) chama-se uniformemente
acelerado, sendo que o mais simples é o movimento retilíneo com aceleração constante.
~a(t )=~a = constante.
Neste caso, a velocidade varia com a mesma taxa durante o movimento (isto implica em que o vetor aceleração é
constante em módulo, direção e sentido). É um caso especial, embora ocorra freqüentemente na natureza. Um
corpo em queda livre possui uma aceleração constante quando os efeitos da resistência são desprezados.
As equações na Tabela 1, formam o conjunto completo de equações2 para omovimento ao longo de uma linha
reta com aceleração constante, sob a forma escalar,
Tabela 1: Equações que descrevem omovimento retilíneo com aceleração constante
1. vx = vx0 +ax(t − t0)
2. x = x0+
1
2 (vx0 + vx)t
3. x = x0+ vx0 t +
1
2ax t
2
4. v2x = v
2
x0
+2ax(x−x0)
Umcaso particular demovimento comaceleração constante é aquele no qual a aceleração é nula, isto é, ax = 0.
Neste caso, as quatro equações apresentada da tabela reduzem-se a
vx = vx0 (o vetor velocidade não varia)e
x = x0+ vx0 t (o deslocamento varia linearmente com o tempo).
Como sabemos que a aceleração é a dada por d
2x
dt2
, e a derivada de segunda ordem de qualquer função está relaci-
onada com a concavidade do gráfico dessa função.
A curva da Figura (8) é o gráfico do deslocamento em função do tempo para o movimento acelerado com
aceleração constante; isto é, a figura é o gráfico da equação (3) da Tabela (1), na qual x0 = 0. A inclinação da
tangente à curva no instante t é a velocidade vx , neste instante. Observe que a inclinação cresce continuamente
com o tempo desde vx0 , no instante t = 0. A taxa de variação desta inclinação com o tempo deve fornecer-nos a
aceleração ax , que neste caso é constante.
2As equações que se seguem serão deduzidas mais a frente. O estudante não deve memorizar estas relações. O que é importante é que seja
capaz de seguir o raciocínio utilizado para obtê-las.
11
Figura 8: O deslocamento aumenta quadraticamente, de acordo com x = x0+ vx0 t +
1
2ax t
2. Sua inclinação aumenta unifor-
memente e em cada instante tem o valor vx , a velocidade.
A curva é uma parábola, uma vez que a equação (3) é a equação de uma parábola com um coeficiente angular
vx0 em t = 0. Por sucessiva diferenciação, da equação (3), obtemos
x = x0+ vx0 t +
1
2
ax t
2, com x0 = 0
x = vx0 t +
1
2
ax t
2
d
dt
x =
d
dt
(
vx0 t
)
+
d
dt
(
1
2
ax t
2
)
⇒
d
dt
x = vx0 +ax t ,
que nos dá a velocidade d
dt
x = vx no instante t (compare este resultado com a equação (1) da Tabela 1), e como a
aceleração é uma derivada de segunda ordem, então
d
dt
x = vx0 +ax t ou vx = vx0 +ax t
d
dt
(
d
dt
x
)
=
d
dt
vx0︸ ︷︷ ︸
0
+
d
dt
ax t ou
d
dt
vx =
d
dt
vx0︸ ︷︷ ︸
0
+
d
dt
ax t
d2
dt2
x = ax ou
d
dt
vx = ax ,
o que nos dá aceleração constante. O diagrama deslocamento-tempo para omovimento uniformemente acelerado
será, portanto, sempre parabólico.
12
4 Movimento de umProjétil
Trataremos a seguir do movimento unidimensional com aceleração constante, onde estaremos estudando o
movimento de um projétil.
O movimento de um projétil, é um movimento curvilíneo com aceleração constante (~a = −g ˆ), dirigida para
baixo, ou seja as componentes da aceleração
~a =
d
dt
~v = ax ıˆ+ay ˆ (27)
não variam⇒ ax = constante e ay = constante.
O que apresenta-se nessa situação é uma superposição de dois componentes que ocorrem simultaneamente,
com acelerações constantes, ao longo de duas direções perpendiculares. Como dissemos anteriormente, geral-
mente a partícula descreverá uma trajetória curvilínea no plano. Sendo verdadeiro, mesmo que um dos compo-
nentes da acereleração, ax , por exemplo, seja nulo, pois, então, o componente correspondente da velocidade, vx ,
por exemplo, poderá ter um valor constante e diferente de zero. Que é o caso do projétil.
Retomando as condições iniciais, temos ummovimento curvilíneo estando sujeito a uma aceleração constante
(~a = −g ˆ → o componente horizontal da aceleração é nulo), dirigida para baixo, considerando desprezíveis os
efeitos da resistência do ar.
Figura 9: Movimento de um projétil.
Temos como origem de nosso sistema de referência, o ponto de lançamento do projétil, como na Figura (9).
Se escolhermos um sistema de referência com o eixo Oy dirigido verticalmente para cima, podemos escrever
ay =−g e ax = 0. Tomando como origem o ponto x0y , isso acarreta que x0 = y0 = 0.
A velocidade no instante t = 0 (instante em que o projétil é lançado); é ~v0, que faz um ângulo θ0 com o sentido
positivo do eixo 0x . Os componentes de ~v0 segundo 0x e 0y são, então,
vx0 = v0 cosθ, e vy0 = v0 senθ (28)
13
Como o componente horizontal da aceleração é nulo, o componente horizontal da velocidade será constante.
Assim na equação
vx = vx0 +ax t
fazendo ax = 0 e vx0 = v0 cosθ0 teremos
vx = v0 cosθ0 (29)
isto é, o componente horizontal da velocidade conserva o seu valor inicial durante todo o movimento.
As variações no componente vertical da velocidade serão as mesmas que ocorrem em ummovimento vertical
com aceleração constante e dirigida para baixo.
Na equação
vy = vy0 +ay t
fazendo ay =−g e vy0 = v0 senθ0 teremos
vy = v0 senθ− g t . (30)
Assim, a expressão para a componente vertical da velocidade é idêntica à expressão para a velocidade do movi-
mento de queda livre.
O módulo do vetor velocidade resultante é, em qualquer instante,
v =
√
v2x + v
2
y . (31)
O ângulo θ que o vetor velocidade faz com a horizontal, naquele instante, é dado por
tanθ =
vy
vx
. (32)
O vetor velocidade é, em cada ponto, tangente à trajetória da partícula.
O componente segundo 0x da posição da partícula, em qualquer instante, obtida da equação
x = x0+ vx0 t +
1
2
ax t
2
onde x0 = 0, ax = 0 e vx0 = v0 cosθ0 é
x = v0 cosθ0 t (33)
O componente segundo 0y , obtido da equação
y = y0+ vy0 t +
1
2
ay t
2
onde y0 = 0, ay =−g e vy0 = v0 senθ0 é
y = v0 senθ0t −
1
2
g t2
14
As equações x = x0+vx0 t +
1
2ax t
2 e y = y0+vy0 t +
1
2ay t
2 nos fornecem x e y em função do parâmetro comum t , o
tempo decorrido desde o lançamento. Combinando-as e eliminando t entre elas obtemos
y = (tanθ0)x−
g
2(v0 cosθ0)2
·x2, (34)
que relaciona y a x e é a equação da trajetória do projétil. Como v0, θ0 e g são constantes, esta equação é da forma,
y = bx− cx2, (35)
que é a equação de uma parábola. Portanto, a trajetória de um projétil é parabólica.
E seu alcance horizontal será a distância horizontal percorrida pelo projétil quando ele retorna ao nível de
onde partiu. Para determiná-lo utilizaremos
x = x0+ vx0 t +
1
2
ax t
2 (36)
fazendo x−x0 =R, ax = 0 e vx0 = v0 cosθ0
R = v0(cosθ0)t = x−x0 (37)
e
y = y0+ vy0 t +
1
2
ay t
2 (38)
fazendo y − y0 =R, ay =−g e vy0 = v0 senθ0
y − y0 = v0(senθ0)t −
1
2
g t2 = 0 (39)
Das equações(37) e (39), eliminando t de ambas e utilizando a relação trigonométrica sen2a = 2sena ·cosa obte-
mos
R =
v20
g
· sen2θ0. (40)
4.0.1 Unidade no S.I. e Dimensão da Aceleração
Temos que no Sistema Internacional de Unidades a aceleração é dada porm/s2.
Sendo que sua dimensão é dada por LT−2.
15