LISTA_1_AL[1]

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS FLORIANÓPOLIS – DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE FORMAÇÃO GERAL
DISCIPLINA: MATEMÁTICA Semestre: 2014-2
PROFESSOR: LEONARDO MORAIS
NOME: DATA:
Lista 1 - Álgebra Linear
Questão 1: Nos exercícios de a a i, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de
multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
a) A = {(x, 2x, 3x);x ∈ R} com as operações usuais.
b) O conjunto de todos os vetores de R2 com as operações definidas por: (a, b)⊕(c, d) = (a, b) e α⊙(a, b) = (αa, αb).
c) O conjunto de todos os vetores de R2 com as operações definidas por: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e
α⊙ (a, b) = (α2a, α2b).
d) O conjunto de todos os vetores de R2 com as operações definidas por: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e
α⊙ (a, b) = (αa, 0).
e) A = {(x, y) ∈ R2|y = 5x} com as operações usuais.
f) A =
{(
0 a
b 0
)
∈M22|a, b ∈ R
}
com as operações usuais.
g) O conjunto de todas as matrizes 2× 2 da forma
(
a b
c d
)
, onde a · d = 0 com as operações usuais de adição
da matrizes e multiplicação por escalar.
h) O conjunto de todas as matrizes 2×2 triângulares superiores, com as operações usuais de adição e multiplicação.
i) Mostre que P2, conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a dois, é um espaço vetorial com as operações
usuais.
Questão 2: Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R2.
a) W = {(x, y);x+ y = 0}
b) W = {(x, y);x+ y = 1}
c) W = {(x, y);x2 = y}
d) W = {(x, y);−x+ 3y = 0}
Questão 3: Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R3.
a) W = {(x, y, z);x = 0}
b) W = {(x, y, z);x+ y + z = 0}
c) W = {(x, y, z);x ≥ 0}
d) W = {(x, y, z);xy = 0}
Questão 4: Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de M22.
a) w =
{[
a b
c d
]
; c = ab e d = 0
}
.
b) w =
{[
a a+ b
a− b b
]
; a, b ∈ R
}
.
c) W = {A|A é invertível}
1
Questão 5: Em cada item abaixo, determine se W é subespaço de V .
a) V = P2, W = {a+ bx+ cx2 : a+ b+ c = 0}.
b) V = P, W é o conjunto de todos os polinômios de grau 3.
c) V = F , W = {f em F : f(−x) = f(x)}
d) V = F , W = {f em F : f(−x) = −f(x)}
e) V = F , W = {f em F : f(0) = 1}
f) V = F , W = {f em F : f(0) = 0}
Questão 6: Determinar os subespaços do R3 gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2,−1, 3)}.
b) B = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
c) C = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2,−1, 1)}
d) D = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (0, 0, 2), (−2, 1, 0)}
Questão 7: Classificar os seguintes conjuntos do R3 em LI ou LD:
a) {(2,−1, 3)}.
b) {(1,−1, 1), (−1, 1, 1)}.
c) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}.
d) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)}.
e) {(1, 2,−1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3,−1, 2)}.
Questão 8: Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes a P2 são LD?
a) −x2 + x+ 2, 4x2 − x− 4, 2x2 + x.
b) 2x2 − x+ 1, −x2 + x, x2.
c) x2 + 3x+ 1, −x2 − x+ 2, −3x2 + 2x+ 1, 3x2 + x− 2.
d) x2 − x+ 1, x2 + 2x.
Questão 9: Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2× 3, verificar se {A,B,C} é LI ou LD, sendo:
A =
(
−1 2 1
3 −2 4
)
B =
(
0 −1 2
−2 1 0
)
C =
(
−1 0 5
3 0 3
)
Questão 10: Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto {(−1, 0, 2), (1, 1, 1), (k,−2, 0)}.
Questão 11: Determinar k para que
{(
1 0
1 0
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
2 −1
k 0
)}
seja LD.
Questão 12: Explique por que os seguintes conjuntos de vetores não são bases dos espaços vetoriais indicados.
a) u1 = (1, 2), u2 = (0, 3), u3 = (2, 7) de R2.
b) u1 = (−1, 3, 2), u2 = (6, 1, 1) de R3.
c) A =
(
1 1
2 3
)
, B =
(
6 0
−1 4
)
, C =
(
3 0
1 7
)
, D =
(
5 1
4 2
)
, E =
(
7 1
2 9
)
de M22.
Questão 13: Seja V = R3 e o conjunto B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)}.
a) Mostre que B não é uma base de R3.
b) Determinar uma base de R3 que possua dois elementos de B.
2
Questão 14: Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
a) {(x, y, z) ∈ R3 | y = 3x}.
b) {(x, y, z) ∈ R3 | y = 5x e z = 0}.
c) {(x, y) ∈ R2 | x+ y = 0}.
d) {(x, y, z) ∈ R3 | x = 3y e z = −y}.
e) {(x, y, z) ∈ R3 | 2x− y + 3z = 0}.
Questão 15: Ache uma base para o conjunto gerado pelos vetores dados.
a)
 1−1
0
,
 −10
1
,
 01
−1
. b)
 1−1
1
,
 12
0
,
 01
1
,
 21
2
. c) [ 2 −3 1 ] [ 1 −1 0 ] [ 4 −4 1 ].
Questão 16: Determine uma base para espaço nulo e a nulidade das matrizes em cada caso.
a) A =
 1 1 −1−2 −1 2
−1 0 1
 b) B = [ 3 1 1 15 −1 1 −1
]
c) C =

1 1 1
3 2 −2
4 3 −1
6 5 1

Questão 17: Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espaço gerado por estes vetores;
em seguida , expresse cada vetor que não está na base como combinação linear dos vetores da base.
a) v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (−3, 3, 7, 1), v3 = (−1, 3, 9, 3), v4 = (−5, 3, 5,−1)
b) v1 = (1,−2, 0, 3), v2 = (2,−4, 0, 6), v3 = (−1, 1, 2, 0), v4 = (0,−1, 2, 3)
c) v1 = (1,−1, 5, 2), v2 = (−2, 3, 1, 0), v3 = (4,−5, 9, 4), v4 = (0, 4, 2,−3), v5 = (−7, 18, 2,−8)
Questão 18: (a) seja a matriz A =
 0 1 01 0 0
0 0 0
 e considere um sistema de coordenadas retângulares xyz no
espaço tridimensional. Mostre que o espaço-nulo de A consiste de todos os pontos no eixo z e que o espaço coluna
de A consiste de todos os pontos no plano xy.
(b) Encontre uma matriz 3× 3 cujo o espaço nulo é o eixo x e cujo o espaço coluna é o plano yz.
Questão 19: Assinale falso ou verdadeiro para cada alternativa justificando sua resposta.
a) Os vetores linha de uma matriz A 3× 3 invertível formam uma base para R3.
b) O espaço-linha e o espaço-nulo de uma matriz invertível são iguais.
c) Se Ax = b não possui solução, então b não está no espaço-coluna de A.
d) Se A não é uma matriz quadrada, então os vetores-linha de A são linearmente dependentes.
e) Adicionando uma coluna a mais a uma matriz A, então o seu posto aumenta por um.
f) Se A é uma matriz 3× 5, então o número de pivôs na forma escalonada reduzida de A é no máximo 3.
g) Se A é uma matriz 3× 5, então o número de variáveis livres na solução geral de Ax = 0 é no máximo 5.
h) Se A é uma matriz 3× 5, então o posto de A é no máximo 5.
i) Se A é uma matriz 3× 5, então a nulidade de A é no máximo 3.
Questão 20: Verifique como o posto de A varia de acordo com t:
a) A =
 1 1 t1 t 1
t 1 1
 b) A =
 t 3 −13 6 −2
−1 −3 t

Questão 21: Existem valores de r e s para os quais o posto de

1 0 0
0 r − 2 2
0 s− 1 r + 2
0 0 3
 é um ou dois? Se existirem,
encontre esses valores.
3
Questão 22: Determinar o vetor coordenada de v = (6, 2) em relação às seguintes bases:
a) α = {(3, 0), (0, 2)} b) β = {(1, 2), (2, 1)} c) γ = {(1, 0), (0, 1)} d) δ = {(0, 1), (1, 0)}.
Questão 23: No espaço vetorial R3, consideremos a seguinte base: β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1,−1, 1)}. Determinar
o vetor coordenada de v ∈ R3 em relação à base β se:
a) v = (2,−3, 4) b) v = (3, 5, 6) c) v = (1,−1, 1)
Questão 24: Mostre que os polinômios p1 = 1 + 2x − 3x2, p2 = 1 − 3x + 2x2 e p3 = 2 − x + 5x2 formam uma
base para P2. Calcule o vetor coordenada de p = −2− 9x− 13x2 na base β = {p1, p2, p3}.
Questão 25: Seja α = {3, 2x,−x2} uma base de P2. Determinar o vetor coordenada de v = 6 − 4x + 3x2 em
relação à base α.
Questão 26: Seja V o espaço gerado por v1 = cos2(x), v2 = sen2(x) e v3 = cos(2x).
a) Mostre que β = {v1, v2, v3} não é uma base de V.
b) Encontre uma base de V.
GABARITO
Questão 1: a) Sim. b) Não, falham os axiomas A2, A3, A4 e M2. c) Não, falha o axioma M2. d) Não,
falha M4 e) Sim. f) Sim. g) Não. h) Sim.
Questão 2: a) Sim. b) Não. c) Não. d) Sim.
Questão 3: a) Sim. b) Sim. c) Não.d) Não.
Questão 4: a) Não. b) Sim. c) Não.
Questão 5: a) Sim. b) Não. c) Sim. d) Sim. e) Não. f) Sim.
Questão 7: a) LI. b) LI. c) LD. d) LD. e) LD.
Questão 8: a, c.
Questão 9: LI.
Questão 10: k ̸= −3.
Questão 11: k = 3.
Questão 14: a) dim:2 b) dim:1 c) dim:1 d) dim:1 e) dim:2. As bases ficarão a cargo do leitor.
Questão 17: a) {v1, v2} v3 = 2v1+ v2 v4 = −2v1+ v2 b){v1, v3} v2 = 2v1 v4 = v1+ v3 c) {v1, v2, v4} v3 =
2v1 − v2 v5 = −v1 + 3v2 + 2v4.
Questão 18: b)A =
 0 0 00 1 0
0 0 1

Questão 19: a) V b) F c) V d) F e) F f) V g) V h) F i) F
Questão 20: a) posto(A) = 1 se t = 1 ; posto(A) = 2 se t = −2 ; posto(A) = 3 se t ̸= 1 e t ̸= −2.
b) posto(A) = 2 se t = 1 ou t = 32 ; posto(A) = 3 se t ̸= 1 ou t ̸= 32 .
Questão 21: O posto é 2 se r = 2 e s = 1 ; o posto nunca poderá ser 1.
Questão 22: (v)α = (2, 1) (v)β = (−23 , 103 ) (v)γ = (6, 2) (v)δ = (2, 6)
Questão 23: a) (v)β = (−2, 1, 4) b) (v)β = (−3, 11, 6) c) (v)β = (0, 0, 1)
Questão 24: (v)β = (1, 5,−4) Questão 25: (v)α = (2,−2,−3)
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