Lista 13 Regressão Linear

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Engenharias da Mobilidade
Ca´lculo Nume´rico - EMB5016
Prof. Diogo Siebert
Lista 13 (Regressa˜o Linear)
1. Explique a diferenc¸a entre regressa˜o e interpolac¸a˜o. Cite exemplos de situac¸o˜es onde cada uma das
te´cnicas e´ aplicada.
2. Obtenha a expressa˜o para os coeficientes da reta ax+ b que ajusta um conjunto de n pontos.
3. Implemente um algoritmo que dado um conjunto de n pontos (x, y) calcule o coeficiente linear e
angular da reta que melhor se adequa aos pontos. Calcule tambe´m o coeficiente de determinac¸a˜o
r2.
4. Implemente um algoritmo que dado um conjunto de n pontos (x, y) calcule os m + 1 coeficientes
de um polinoˆmio de grau m que melhor se ajusta aos pontos. Calcule tambe´m o coeficiente de
determinac¸a˜o r2.
5. Use regressa˜o por mı´nimos quadrados para ajustar uma reta a
x 0 2 4 6 9 11 12 15 17 19
y 5 6 7 6 9 8 8 10 12 12
Junto com a inclinac¸a˜o e a intersec¸a˜o com o eixo y, calcule o erro-padra˜o da estimativa e o coeficiente
de correlac¸a˜o. Fac¸o o gra´fico dos dados e da reta de regressa˜o.
6. Os seguintes dados foram reunidos para determinar a relac¸a˜o entre a pressa˜o e a temperatura de
um volume fixo de 1 kg de nitrogeˆnio. O volume e´ 10 m3.
T (o C) -40 0 40 80 120 160
p (N/m2) 6900 8100 9350 10500 11700 12800
Use a lei dos gases ideais pV = nRT para determinar R com base nesses dados. Observe que para
a lei, a temperatura T deve ser expressa em kelvins.
7. Linearize o modelo
y = α4xe
β4x
e use-o para fazer uma estimativa de α4 e β4 com base nos dados a seguir. Fac¸a um gra´fico de seu
ajuste juntamente com os dados.
x 0,1 0,2 0,4 0,6 0,9 1,3 1,5 1,7 1,8
y 0,75 1,25 1,45 1,25 0,85 0,55 0,35 0,28 0,18
8. Um estudo de engenharia de transporte foi conduzido para determinar um projeto adequado de
faixas para bicicleta. Foram coletados dados sobre a largura das faixas para bicicletas e a distaˆncia
me´dia entre as bicicletas e os carros trafegando. Os dados de nove ruas sa˜o:
Distaˆnica (m) 2,4 1,5 2,4 1,8 1,8 2,9 1,2 3 1,2
Largura da faixa (m) 2,9 2,1 2,3 2,1 1,8 2,7 1,5 2,9 1,5
(a) Trace os dados
(b) Ajuste uma reta aos dados. Acrescente esta reta ao gra´fico.
(c) Se a distaˆncia me´dia de seguranc¸a mı´nima entre as bicicletas e os carros trafegando e´ considerada
1,8 m, determine a largura de faixa mı´nima correspondente.
9. O mastro de um barco a vela tem a´rea da sec¸a˜o transversal 10,65 cm2 e e´ contru´ıdo de uma liga de
alumı´nio experimental. Foram feitos testes para definir a relac¸a˜o entre a tensa˜o e a deformac¸a˜o. O
resultados do teste sa˜o
Deformac¸a˜o (cm/cm) 0,0032 0,0045 0,0055 0,0016 0,0085 0,0005
Tensa˜o (N/cm2) 4970 5170 5500 3590 6900 1240
A tensa˜o causada pelo vento pode ser calculada como F/Ac onde F e´ a forc¸a no mastro e Ac e´ a
a´rea da sec¸a˜o transversal do mastro. Esse valor pode enta˜o ser substitu´ıdo na lei de Hooke para
determinar a a deflexa˜o no mastro ∆L = deformac¸a˜o ×L, onde L e´ o comprimento do mastro. Se
a forc¸a do vento for 25.000 N, use os dados para fazer uma estimativa da deflexa˜o de um mastro de
9 m.
10. Ajuste um polinoˆmio cu´bico aos seguintes dados:
x 3 4 5 7 8 9 11 12
y 1,6 3,6 4,4 3,4 2,2 2,8 3,8 4,6
Juntamente com os coeficientes, determine r2.
11. A viscosidade dinaˆmica da a´gua µ (10−3 N.s/m2) esta´ relacionada com a temperatura T (oC) da
seguinte maneira:
T 0 5 10 20 30 40
µ 1,787 1,519 1,307 1,002 0,7975 0,6529
(a) Trace essa dados.
(b) Use a regressa˜o polinomial para ajustar uma para´bola aos dados e prever µ em T = 7, 5 oC.