Apostila UFSC Fenômenos de Transporte

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO TECNOLO´GICO
Notas de Aula para
EMC 5425
Fenoˆmenos de Transporte
Prof. Amir Antoˆnio Martins Oliveira Jr.
Departamento de Engenharia Mecaˆnica - EMC
Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Floriano´polis - SC
Versa˜o: Marc¸o/2017
2
I´ndice
1 Introduc¸a˜o 11
1.1 Dimenso˜es, magnitudes e escalas caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Teoria e empirismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Metodologia de soluc¸a˜o de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Escopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I Equil´ıbrio 23
2 A´tomos e mole´culas 27
2.1 Lei de Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Constante de Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Estrutura atoˆmica - Quantizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Forc¸as interatoˆmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Forc¸as intermoleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Na WEB: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Estados f´ısicos 39
3.1 Equil´ıbrio Termodinaˆmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 O estado gasoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Equac¸a˜o de estado dos gases ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Mistura de gases ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Comportamento de gases na˜o-ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 O estado l´ıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Equac¸a˜o de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 Equil´ıbrio l´ıquido-vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 O estado so´lido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 So´lidos cristalinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.2 So´lidos amorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7 Na WEB: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Equil´ıbrio esta´tico em fluidos 63
4.1 Distribuic¸a˜o de pressa˜o em fluidos em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1 Equac¸a˜o da esta´tica dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.2 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.3 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3
4 I´NDICE
4.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Forc¸as e momentos em superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Distribuic¸a˜o de pressa˜o em um fluido esta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Forc¸as em superf´ıcies submersas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.4 Momentos em superf´ıcies submersas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.5 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.6 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Flutuac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.1 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4 Fluido em movimento de corpo r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.1 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
II Dinaˆmica dos fluidos 107
5 Ana´lise integral de escoamentos 113
5.1 Conservac¸a˜o da massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.1 Campo de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.2 Vaza˜o ma´ssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.3 A conservac¸a˜o da massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.1.5 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 Conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.1 A quantidade de movimento linear para uma part´ıcula . . . . . . . . . . . . 137
5.2.2 Escoamento de quantidade de movimento linear . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.3 A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.2.5 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3 Conservac¸a˜o da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3.1 A conservac¸a˜o da energia para uma part´ıcula de fluido . . . . . . . . . . . . 162
5.3.2 A conservac¸a˜o da energia para um volume de controle . . . . . . . . . . . . 163
5.3.3 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3.4 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6 Ana´lise diferencial de escoamentos 175
6.1 Escoamento inv´ıscido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1.1 Presso˜es esta´tica e dinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.1.2 Tubo de Pitot-Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.1.3 Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2 Escoamento viscoso interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2.1 Conservac¸a˜o da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2.2 Conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear para o escoamento laminar
plenamente desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 186
6.2.3 Escoamento turbulento plenamente desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2.4 Perda de carga em acesso´rios de tubulac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
I´NDICE 5
6.3 Escoamento viscoso externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.3.1 A camada limite sobre uma placa plana em escoamento paralelo . . . . . . 193
6.3.2 Camada limite sobre superf´ıcies curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3.3 Arraste e sustentac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
III Transmissa˜o de calor 201
7 Conservac¸a˜o da energia te´rmica 205
7.1 O vetor fluxo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.2 Equac¸a˜o da conservac¸a˜o da energia te´rmica na forma integral . . . . . . . . . . . . 206
7.3 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.3.1 Divergente do fluxo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.3.2 Equac¸a˜o integral da conservac¸a˜o da energia te´rmica - O balanc¸o de calor
integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.3.3 Forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3.4 Equac¸a˜o diferencial da conservac¸a˜o da energia te´rmica - O balanc¸o de calor
diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.4 Metodologia de soluc¸a˜o de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8 Conversa˜o de energia te´rmica 217
8.1 Conversa˜o de energia eletromagne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.1.1 Efeito Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.1.2 Efeitos termele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.1.3 Absorc¸a˜o de microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.1.4 Absorc¸a˜o de radiac¸a˜o te´rmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.1.5 Emissa˜o de radiac¸a˜o te´rmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.2 Conversa˜o de energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.2.1 Ligac¸a˜o f´ısica - Mudanc¸a de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.2.2 Ligac¸a˜o qu´ımica - Reac¸a˜o qu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.3 Conversa˜o de energia mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.3.1 Compressa˜o e expansa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.3.2 Dissipac¸a˜o viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.3.3 Atrito mecaˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.3.4 Absorc¸a˜o de ultrassom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.4 Conversa˜o de energia por reac¸a˜o nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.4.1 Fissa˜o nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.4.2 Fusa˜o nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.4.3 Decaimento radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.6 Metodologia de soluc¸a˜o de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9 Conduc¸a˜o 229
9.1 A equac¸a˜o da conduc¸a˜o de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.1.1 Integrac¸a˜o da equac¸a˜o da conduc¸a˜o de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.1.2 Resisteˆncia te´rmica de conduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.1.3 Associac¸a˜o de resisteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2 Metodologia de soluc¸a˜o de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6 I´NDICE
10 Convecc¸a˜o superficial 239
10.1 Resisteˆncia te´rmica de convecc¸a˜o superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.2 Superf´ıcies estendidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.3 Previsa˜o do coeficiente de convecc¸a˜o superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.4 Transfereˆncia de calor por convecc¸a˜o transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.5 Generalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.5.1 A equac¸a˜o da energia para a convecc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.5.2 Convecc¸a˜o e conduc¸a˜o axiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11 Radiac¸a˜o 255
11.1 O espectro de radiac¸a˜o eletromagne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.2 Radiac¸a˜o te´rmica de corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.3 Propriedades de radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.3.1 Resisteˆncia superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.3.2 Resisteˆncia de fator de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.4 Transmissa˜o de calor entre duas superf´ıcies cinzas, difusas e opacas . . . . . . . . . 261
11.5 Modelagem por circuito te´rmico equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12 Transfereˆncia de Calor Multi-Mecanismo 267
12.1 Algumas questo˜es teo´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
IV Apeˆndices 273
13 Apeˆndice A: Derivac¸a˜o da Equac¸a˜o da Conservac¸a˜o da Energia 275
13.1 Equac¸a˜o da conservac¸a˜o da energia total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.2 A equac¸a˜o da energia mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.3 A equac¸a˜o da conservac¸a˜o da energia te´rmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
14 Apeˆndice B: Suma´rio de correlac¸o˜es 281
14.1 Nu´meros adimensionais: (comprimento de refereˆncia: x) . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.2 Fator de atrito de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.3 Coeficientes de arraste e sustentac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.4 Convec¸a˜o externa forc¸ada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
14.5 Convec¸a˜o externa livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
14.6 Escoamento interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
14.7 Trocadores de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15 Apeˆndice C: Propriedades Termof´ısicas 285
16 Histo´ria 303
17 Glossa´rio 305
18 Formula´rio 307
Prefa´cio
A soluc¸a˜o dos problemas que a engenharia enfrenta na atualidade, como por exemplo, em energia,
infraestrutura e mobilidade, exigem abordagens interdisciplinares1. Na busca de soluc¸o˜es, o en-
genheiro atua em etapas de desenvolvimento, ana´lise, projeto, manufatura, teste e industrializac¸a˜o
de dispositivos, equipamentos, sistemas e me´todos. Em cada disciplina, a aplicac¸a˜o dos conheci-
mentos e´ viabilizada pelo uso raional das ferramentas da matema´tica, simulac¸a˜o computacional,
observac¸a˜o e experimentac¸a˜o. Em outras circunstaˆncias, o engenheiro deve ser capaz de coordenar
ou avaliaros trabalhos de equipes multidisciplinares, eventualmente, fornecendo sugesto˜es te´cnicas
e contribuindo para a soluc¸a˜o do problema. Em qualquer dessas situac¸o˜es, o engenheiro integra
equipes de trabalho e deve ter as habilidades necessa´rias para uma comunicac¸a˜o efetiva. E´ nesse
contexto, da necessidade de competeˆncias e conhecimento amplo, que se insere este texto.
Nesse texto, os fenoˆmenos de transporte sa˜o apresentados com a mesma visa˜o multidisciplinar que a
engenharia exibe na atualidade. Historicamente, os fenoˆmenos de transporte tem sido entendidos
como uma reunia˜o, em um u´nico corpo, de conteu´dos de Mecaˆnica dos Fluidos, Transmissa˜o
de Calor e de Transporte de Massa. Os conteu´dos de Termodinaˆmica, sempre que necessa´rios,
sa˜o inseridos no corpo da disciplina, ou como apeˆndices complementares. Estes cursos tem sido
baseados exclusivamente na mecaˆnica do cont´ınuo e nas sua aplicac¸o˜es na ana´lise dos fenoˆmenos
de transfereˆncia de quantidade de movimento linear, energia e massa das espe´cies qu´ımicas. Isto
implicou em um trabalho de s´ıntese e de reformatac¸a˜o de conteu´dos, visto que os corpos das
disciplinas de mecaˆnica dos fluidos, transmissa˜o de calor e de transporte de massa sa˜o extensos,
historicamente formatados e existe um grande nu´mero de refereˆncias com excelente qualidade em
conteu´do e dida´tica. Uma outra vantagem deste procedimento foi a possibilidade de maior enfoque
em determinados conteu´dos, dependendo das necess´ıdades de cada a´rea da engenharia.
Um desvio deste padra˜o e´ o enfoque do livro de R. Bird, R. Stewart e E. Lightfoot. Nesse livro, os
fenoˆmenos de transporte sa˜o abordados com o enfoque em transporte, sendo complementado por
informac¸o˜es espec´ıficas, como te´cnicas de modelagem e matema´ticas, t´ıpicas das a´reas de mecaˆnica
dos fluidos, transmissa˜o de calor e transfereˆncia de massa. Bird, Stewart and Lightfoot baseaream-
se no pressuposto de que no ensino de Fenoˆmenos de Transporte e´ necessa´rio adotar uma visa˜o
mais unificadora da f´ısica e da engenharia e na˜o somente adotar uma visa˜o de s´ıntese de a´reas ta˜o
extensas e ta˜o bem estabelecidas como sa˜o as a´reas de mecaˆnica dos fluidos, transmissa˜o de calor
e transfereˆncia de massa. O livro de BSL traz a Teoria Cine´tica dos Gases como pano de fundo
unificador dos fenoˆmenos de transporte, pela qual os processos difusivos de transfereˆncia de calor,
quantidade de movimento e massa sa˜o explicados para a fase gasosa e estendidos, empregando a
Mecaˆnica Estat´ıstica, para as fases l´ıquida e so´lida. Logo a seguir, com a Mecaˆnica do Cont´ınuo,
esses conceitos sa˜o incorporados nas equac¸o˜es de transporte que permitem a soluc¸a˜o dos problemas
de interesse. Informac¸o˜es emp´ıricas completam o corpo de conhecimentos.
Embora os conceitos e a visa˜o de Bird, Stewart e Lightfoot permanec¸am uma importante refereˆncia,
este exemplo pode ser estendido incorporando conhecimentos adicionais que tem se tornado rele-
vantes a` pra´tica da engenharia. Tratam-se de conhecimentos da f´ısica e da qu´ımica, especialmente,
estado so´lido, mate´ria condensada e eletromagnetismo, cujos fundamentos hoje permeiam grande
parte da pra´tica da engenharia e sa˜o explorados nos laborato´rios de pesquisa. Da mesma forma
que um curso em fenoˆmenos de transporte na˜o deve se tornar um curso de mecaˆnica dos fluidos
ou de transmissa˜o de calor (sena˜o, melhor seria apresentar aquelas a´reas de forma isolada como
elas se desenvolveram tradicionalmente), este na˜o deve se tornar tambe´m um curso de f´ısica ou de
qu´ımica. Um curso de f´ısica do estado so´lido provavelmente partiria da mecaˆnica quaˆntica e este
na˜o e´ um pre´-requisito razoa´vel (ainda!) em um curso de engenharia. No entanto, sabe-se que os
modelos de estrutura da mate´ria que utilizamos atualmente sa˜o baseados na mecaˆnica quaˆntica e
explicam, a partir dos conceitos fundamentais, o comportamento da energia, das transic¸o˜es de fase,
das reac¸o˜es qu´ımicas e das propriedades de transporte. O desafio que se coloca enta˜o e´ como esten-
der os conteu´dos cla´ssicos de fenoˆmenos de transporte, sem penetrar excessivamente em detalhes
de mecaˆnica dos fluidos, transmissa˜o de calor, transporte de massa, termodinaˆmica, f´ısica e, mesmo
assim, fornecer uma visa˜o integrada da micro e macro engenharia de fenoˆmenos de transporte.
1Uma abordagem interdisciplinar articula as contribuic¸o˜es de diferentes disciplinas sob um mesmo referencial
metodolo´gico e integra as diferentes contribuic¸o˜es em uma u´nica soluc¸a˜o.
7
Neste texto, espera-se contribuir nesta direc¸a˜o, como uma tentativa preliminar de maior unificac¸a˜o
entre o macro e o micro, e entre as va´rias a´reas da engenharia de fenoˆmenos de transporte.
8
“ Alice: Would you tell me, please, which way I ought to go from here?
The Cheshire Cat: That depends a good deal on where you want to get to.
Alice: I don’t much care where.
The Cheshire Cat: Then it doesn’t much matter which way you go.
Alice: ...So long as I get somewhere.
The Cheshire Cat: Oh, you’re sure to do that, if only you walk long enough.“
Charles Lutwidge Dodgson, Alice in Wonderland, 1865.
9
10
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
“Science can amuse and fascinate us all, but it is engineering that changes the world.“
Isaac Asimov, Book of Science and Nature Quotations , 1988.
Fenoˆmenos de transporte enfoca nas transfereˆncia de massa, quantidade de movimento linear e
energia que esta˜o presentes na natureza e na engenharia. O transporte e´ sempre um resultado de
desequil´ıbrio e ocorre na direc¸a˜o de restaurar o equil´ıbrio. Durante a ocorreˆncia do transporte pode-
se movimentar substaˆncias, misturar, separar, aplicar forc¸a, extrair trabalho, aquecer, resfriar.
Essas ac¸o˜es podem ser desejadas e amplificadas ou podem ser indesejadas e sa˜o assim evitdas.
A ana´lises dessas possibilidades requer conteu´dos classicamente conhecidos como Termodinaˆmica,
Mecaˆnica dos Fluidos, Transmissa˜o de Calor e de Transporte de Massa. Os conteu´dos cla´ssicos
dessas disciplinas sa˜o complementados por informac¸o˜es espec´ıficas, como te´cnicas de modelagem
e matema´ticas e informac¸o˜es emp´ıricas. Entende-se que para a compreenc¸a˜o das possibilidades
atuais e ampliac¸a˜o da ac¸a˜o do engenheiro, tem sido necessa´rio um maior aprofundamento da f´ısica
e qu´ımica que determina as propriedades das substaˆncias e os mecanismos de transporte de massa,
quantidade de movimento e energia. Esse aprofundamento deve ser u´til, mas na˜o excessivamente
detalhado a ponto de ocupar todo o tempo dispon´ıvel para uma disciplina de engenharia.
A soluc¸a˜o desse desafio consiste em dedicar um maior enfoque aos fundamentos e me´todos, mais
do que aos detalhes de soluc¸o˜es. Observa-se que a formulac¸a˜o dos problemas na busca de soluc¸o˜es
depende do conhecimento de princ´ıpios e me´todos de ana´lise, mais do que da aplicac¸a˜o de con-
hecimento espec´ıfico. Em geral, os detalhes de modelos com base emp´ırica encontram-se farta-
mente documentados em muitas refereˆncias e sua apresentac¸a˜o pode se limitar a uma compilac¸a˜o
e demonstrac¸a˜o do uso daqueles mais utilizados. No entanto, os fundamentos das teorias devem
ser cuidadosamente explorados a fim de permitir o entendimento e domı´nio na sua aplicac¸a˜o como
me´todo de soluc¸a˜o de problemas.
Nesse cap´ıtulo, apresenta-se uma introduc¸a˜o aos problemas e me´todos utilizados em fenoˆmenos de
transporte, principalmente a`queles ligados a`s soluc¸o˜es de interesse do engenheiro.
1.1 Dimenso˜es, magnitudes e escalas caracter´ısticas
Os sistemas naturais e constru´ıdos pela engenharia apresentam grandes variac¸o˜es de escalas car-
acter´ısticas de comprimento, tempo, massa e temperatura. Os fenoˆmenos de transporte esta˜o
presentes em diversas escalas, dependem de fenoˆmenos f´ısicos e qu´ımicos que ocorrem nas menores
escalas e sa˜o descritos por modelosque relacionam os fenoˆmenos que ocorrem nas menores com
os fenoˆmenos que ocorrem nas maiores escalas. O reconhecimento destas escalas caracter´ısticas
permite uma apreciac¸a˜o da variedade de fenoˆmenos que podem ser descritos pelo mesmo conjunto
de princ´ıpios , da flexibilidade necessa´ria a`queles interessados em entender os fenoˆmenos de trans-
porte que ocorrem na natureza e na engenharia, e permite antever a necessidade do uso de modelos
concentuais e te´cnicas matema´ticas diferentes dependendo do objetivo do estudo.
11
12 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
Observe nas tabelas abaixo a grande variedade de escalas caracter´ısticas de comprimento, tempo,
massa e temperatura observadas na natureza e na engenharia. Nestas tabelas, sa˜o apresentados
os valores caracter´ısticos de va´rias grandezas nas unidades tradicionais ou de uso cotidiano e nas
unidades no Sistema Internacional de Unidades (SI). Observe como os sistemas geolo´gicos e do
meio-ambiente, como a atmosfera, os oceanos, rios e lagos podem ter dimenso˜es entre dezenas de
metros e milhares de quiloˆmetros. O estudo das correntes atmosfe´ricas ou oceaˆnicas, os escoamentos
no manto terrestre e nos rios exige a necessidade de observar os movimentos de grandes massas de
fluidos, sujeitas a grandes forc¸as motoras dos movimentos observados. Existem te´cnicas adequadas
para realizar essas observac¸o˜es, como a fotografia por aeornaves ou por sate´lites, a observac¸a˜o
por radar, ou por balo˜es e bo´ias de sondagem. No outro extremo dos sistemas naturais, nos
organismos biolo´gicos existem escoamentos com dimenso˜es caracter´ısticas de micrometros, t´ıpicas
de ce´lulas, vasos capilares e bronqu´ıolos pulmonares. Esses escoamentos esta˜o na fronteira entre os
escoamentos cont´ınuos que estudaremos aqui e os escoamentos moleculares, estudados em outras
disciplinas da f´ısica e da engenharia. Embora as te´cnicas de soluc¸a˜o dos modelos de fenoˆmenos
de transporte possam ser diferentes, dependendo da tradic¸a˜o e convenieˆncia da a´rea aplicada, os
modelos fundamentais sa˜o os mesmos. O mesmo grupo de 3 ou 4 equac¸o˜es fundamentais, ou
princ´ıpios de conservac¸a˜o, sa˜o os mesmos e sa˜o amplamente aplicados no estudo dos fenoˆmenos
citados. Algumas das aplicac¸o˜es dos modelos que desenvolveremos sa˜o citadas na pro´xima sec¸a˜o.
Comprimento:
Comprimento de Planck 10−35 m
A´tomo t´ıpico 1 A 10−10 m
Mole´cula pequena contendo carbono 10 nm 10−9 m
Part´ıcula de ful´ıgem de motor diesel 50 nm 5× 10−8 m
Caminho livre molecular me´dio do ar na superf´ıcie terrestre 6, 6× 10−8 m
Vı´rus 10−8 m
Bacte´rias 1 µm 10−6 m
Ce´lula animal, part´ıcula fina de poeira 10 µm 10−5 m
Vaso sangu´ıneo capilar 10−4 m
Sistemas micro-eletromecaˆnicos (MEMS) 10−4 m
Alve´olo pulmonar 3× 10−4 m
Componentes eletroˆnicos, mini-sensores 1 mm 10−3 m
Componentes de automo´veis, eletrodome´sticos 10 cm 10−1 m
Diaˆmetro de tubulac¸a˜o de a´gua dome´stica 1 polegada 2, 54× 10−2 m
Componentes de edificac¸o˜es, ve´ıculos 10 m
Baleia azul (maior animal) 50 m
Grandes embarcac¸o˜es, a´rvores mais altas 102 m
Florestas, montanhas 1 km 103 m
Espessura da crosta terrestre (continental) 40 - 70 km 4 a 7× 104 m
Ce´lulas clima´ticas 105 m
Raio da terra 6, 371× 106 m
Distaˆncia me´dia Terra-Lua 3, 8× 108 m
Diaˆmetro do sol 700.000 km 7× 108 m
Distaˆncia me´dia Terra-Sol 1, 5× 1011 m
Distaˆncia ate´ a estrela mais pro´xima (Alpha centauri) 4, 3 ano-luz 4, 04× 1016 m
Distaˆncia ate´ o centro da Via La´ctea 2, 2× 1020 m
Distaˆncia ate´ a borda do Universo 1026 m
1.1. DIMENSO˜ES, MAGNITUDES E ESCALAS CARACTERI´STICAS 13
Tempo:
Tempo de Planck 10−43 s
Luz percorre a distaˆncia de 1 nm 1 as 3, 3× 10−18 s
Per´ıodo de o´rbita de um ele´tron de Bohr ao redor do nu´cleo atoˆmico 3× 10−16 s
Relaxac¸a˜o de estruturas de transic¸a˜o em reac¸o˜es qu´ımicas 1 fs 10−15 s
Tempo me´dio entre coliso˜es de CH4 e O2 em uma chama 1 ps 10−12 s
Per´ıodo de impressa˜o de um ponto em impressora de jato de tinta 5 ms 5× 10−3 s
Per´ıodo de movimento do pista˜o em um motor de combusta˜o interna 20 ms 2× 10−2 s
Tempo de expansa˜o de uma bolsa de ar de seguranc¸a (”airbag”) 50 ms 5× 10−2 s
Per´ıodo da respirac¸a˜o de um adulto em repouso 2 s
Tempo para a luz emitida pelo sol atingir a terra 500 s
Per´ıodo de rotac¸a˜o da Terra 24 horas 8, 64× 104 s
Per´ıodo de mudanc¸a de estac¸o˜es 3 meses 7, 88× 106
Per´ıodo de translac¸a˜o da terra ao redor do sol 1 ano 3, 15× 107 s
Idade estimada da terra 4, 6× 109 anos 1, 45× 1017 s
Idade estimada do Universo 20× 109 anos 6× 1017 s
Massa:
Massa do ele´tron 9, 11× 10−31 kg
Massa do pro´ton 1, 67× 10−27 kg
Massa de a´gua em uma gota 500 mg 5× 10−4 kg
Massa de ar em um mol de ar 29 g 29× 10−3 kg
Massa de a´gua em 1 litro 1 kg
Massa me´dia de um ser humano adulto 70 kg
Carro pequeno 2 ton 2× 103 kg
Boeing 747 vazio 150 ton 1, 5× 105 kg
Petro´leo no tanque de um super-petroleiro 10 Gg 107 kg
Massa da Terra 5, 98× 1024 kg
Massa do sol 2× 1030 kg
Temperatura:
Zero absoluto 0 K
Mı´nima temperatura ja´ medida (ordem de) 10−5 K
Temperatura residual (de fundo) do universo 2,3 K
Ebulic¸a˜o do he´lio 4, 216 K
Ebulic¸a˜o do hidrogeˆnio 20, 28 K
Ebulic¸a˜o do nitrogeˆnio 77, 35 K
Fusa˜o do gelo 0oC 273, 15 K
Ebulic¸a˜o da a´gua 100oC 373, 15 K
Fusa˜o do alumı´nio 933, 52 K
Temperatura de uma chama adiaba´tica de metano e ar 2200 K
Centro da terra 4000 K
Superf´ıcie do sol 5780 K
Plasmas 104 a 107 K
Centro do sol 2× 107 K
Fissa˜o do uraˆnio 235 5× 107 K
Fusa˜o do deute´rio (iso´topo de hidrogeˆnio) 4× 108 K
Temperatura no momento do Big-Bang 1032 K
14 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
Nas tabelas anteriores, voceˆ percebeu que alguns valores sa˜o expressos de forma mais compacta
utilizando mu´ltiplos das respectivas varia´veis. Por exemplo, a massa da terra e´ 5, 98 × 1024 kg.
Esse valor corresponde ao nu´mero 5,98 acompanhado de 24 zeros. Uma forma alternativa e mais
compacta de apresentar-se esse valor e´ obtida quando se usa um mu´ltiplo da unidade kg, por
exemplo, atrave´s do prefixo zetta: 1 zetta = 1021. Assim, poderia-se expressar a massa da terra
como 5,98 Zg (leˆ-se ”zettagrama”). A Tabela (1.b) no Apeˆndice mostra os prefixos utilizados no
sistema internacional de unidades (SI).
Exemplo:
Segundo o Balanc¸o Energe´tico Nacional, uma edic¸a˜o anual da Empresa de Pesquisa Energe´tica
(EPE), do Ministe´rio de Minas e Energia do Brasil (MME), na sua edic¸a˜o de 2015, a oferta
de energia no Brasil foi de 305589 mil tep. A unidade tep significa Tonelada Equivalente de
Petro´leo e equivale grosseiramente a` energia contida em 1 tonelada (1000 kg) de petro´leo. A
unidade tep e´ bastante u´til para expressar os valores de energia utilizados pelos paises nas suas
diversas formas, permitindo uma comparac¸a˜o direta entre va´rias formas de produc¸a˜o e consumo. A
unidade equivalente internacional e´ o toe, ton of oil equivalent. Considerando a tabela de conversa˜o
fornecida abaixo, converta esse valor para o prefixo que permitiria uma expressa˜o mais compacta
nas unidades cal, J e W-h.
1 tep = 10 Gcal = 11,63 MWh = 41,87 GJ
Soluc¸a˜o:
Da tabela acima, 1 tep equivale a 41,87 GJ, ou seja, 41,87 ×109 J. Assim, a oferta interna de
energia no Brasil em 2014 na unidade J torna-se:
E[J] = E[tep]× 41, 87× 10
9
1
[J]
[tep]
= (305589× 1000) [tep]× 41, 87× 10
9
1
[J]
[tep]
= 12, 80× 1018 J
Portanto, a oferta interna de energia no Brasil no ano de 2014 equivaleu a 12,80 ×1018 J, ou seja,
12,80 EJ (leˆ-se ”exajoule”).
Para as outras unidades sugeridas, seguindo procedimento semelhante, a oferta interna de energia
no Brasil no ano de 2014 pode ser expressa como:
305589 mil tep = 3,06 Ecal = 3,55 PWh = 12,80 EJ
Leˆ-se ”petawatthora” para PWh e ”exacaloria” para Ecal.
Comenta´rio:
A unidade Wh expressa a energia gerada/consumida por uma ma´quina com poteˆncia de 1 W
operando continuamente por 1 hora. Assim, 1 Wh = 1 W ×3600 s = 1 J/s × 3600 s = 3600 J.
Exemplo:
Uma mole´cula de DNA (ou ADN, a´cido desoxirribonucleico) e´ um pol´ımero formado pela repetic¸a˜o
de monoˆmeros denominados nucleot´ıdeos. O nucleot´ıdeo e´ formado por uma base (adenina,
tiamina, guanina ou citosina), ligada a uma mole´cula de pentose (C5H8O5) e um radical fos-
fato (PO−34 ). Cada nucleot´ıdeo apresenta diaˆmetro aproximado de 3,3 angstroms (0,33 nm). As
ce´lulas humanas apresentam grande variac¸a˜o em tamanho e forma, dependendo da sua func¸a˜o.
As hema´cias presentes no sangue esta˜o entre as ce´lulas mais abundantes e apresentam dia˜metro
aproximado de 8 µm. Considere uma indiv´ıduo com estatura de 1,7 m. Estabelec¸a uma escala que
1.2. APLICAC¸O˜ES 15
facilite a compreenc¸a˜o das dimenso˜es mencionadas acima. Para isso, assuma que um nucleot´ıdeo
seja ampliado ate´ atingir o diaˆmetro de uma bola de teˆnis de mesa, ou seja, 40 mm. Quais seriam
os tamanhos da hema´cia e do indiv´ıduo humano?
Soluc¸a˜o:
Inicialmente, converteremos todas as dimenso˜es fornecidas para o m. Assim, tem-se
dnucelot´ıdeo [m] = 0, 33 [nm]×
1 [m]
109 [nm]
= 3, 3× 10−10 m
dhema´cia [m] = 8 [µm]×
1 [m]
106 [µm]
= 8× 10−6 m
Lindiv´ıduo [m] = 1, 70 m
Estabelecendo relac¸o˜es entre essas dimenso˜es, tem-se:
dhema´cia
dnucelot´ıdeo
=
8× 10−6
3, 3× 10−10 =
8
3, 3
× 104 = 2, 4× 104 = 24.000
Lindiv´ıduo
dnucelot´ıdeo
=
1, 7
3, 3× 10−10 =
1, 7
3, 3
× 1010 = 5, 2× 109 = 5.200.000.000
Aplicando as relac¸o˜es sobre o diaˆmetro da bola de teˆnis de mesa, tem-se:
dhema´cia,eq. = dnucelot´ıdeo,eq. × 2, 4× 104 = 40 mm× 2, 4× 104 = 96× 104 mm = 960 m
Lindiv´ıduo,eq. = dnucelot´ıdeo,eq × 5, 2× 109 = 40 mm× 5, 2× 109 = 208× 109 mm = 208.000 km
Portanto, se um nucleot´ıdeo for ampliado ate´ o tamanho de uma bola de teˆnis, a hema´cia seria
um disco com aproximadamente 960 m de diaˆmetro, ou seja, o equivalente a um pre´dio de 300
andares, e um indiv´ıduo teria a altura de 208.000 km, ou seja, a metade da distaˆncia entre a terra
e a lua.
Comenta´rio: Esse exemplo expressa a grande diferenc¸a entre as escalas geome´tricas t´ıpicas dos
problemas na nanotecnologia quando comparados com os problemas na escala da percepc¸a˜o hu-
mana.
1.2 Aplicac¸o˜es
Alguns exemplos de sistemas e processos onde fenoˆmenos de transporte ocorrem de forma deter-
minante dos seus comportamentos sa˜o:
Meio Ambiente Atmosfe´ricos
Geolo´gicos Terrestres
Marinhos
Subterraˆneos
Biolo´gicos Plantas
Animais
Extraterrestres Planeta´rios
Estelares
Espalhamento e remediac¸a˜o de poluentes
16 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
Conversa˜o de Energia Hidroeletricidade
Gerac¸a˜o a partir de de combust´ıvel fo´ssil Petro´leo
Ga´s natural
Carva˜o
Produc¸a˜o de combust´ıvel de biomassa Alcool
Gaseificac¸a˜o
Eletromagnetismo Termoeletricidade
Microondas
Induc¸a˜o
Mecaˆnica Ultrassom
Atrito
Solar
Eo´lica
Nuclear Fusa˜o
Fissa˜o
Sistemas Urbanos Edificac¸o˜es Condomı´nios
Saneamento e abastecimento A´gua, esgoto
Cidades e aglomerados urbanos
Climatizac¸a˜o de ambientes
Transporte Ve´ıculos rodovia´rios, ae´reos, navais
Rastreamento, navegac¸a˜o e controle de aeronaves e navios
Gerenciamento de vias pluviais
Alimentos Agricultura Solos
Irrigac¸a˜o
Processamento
Armazenamento
Processamento (cocc¸a˜o, desidratac¸a˜o etc.)
Sau´de Produc¸a˜o de medicamentos
Equipamentos e dispositivos Hospitalares
Ciru´rgicos
Tratamento intensivo
Te´cnicas de exames
Gene´tica e ana´lise de DNA
1.3. TEORIA E EMPIRISMO 17
Manufatura Mecaˆnica Soldagem
Usinagem
Conformac¸a˜o
Fundic¸a˜o
Materiais Plasma
Laser
Deposic¸a˜o
Sinterizac¸a˜o
Tratameno superficial
Piro´lise
Civil Produc¸a˜o de cimento
Cura de concreto
Reparos de danos
Impermeabilizac¸a˜o de solos
Canais
Tubulac¸o˜es
Comportas
Equipamentos Eletro-eletroˆnicos Eletroˆnica de poteˆncia Circuitos ele´tricos
Circuitos integrados
Dissipadores
Transmissa˜o Transformadores
Linhas
Subestac¸o˜es
Gerac¸a˜o Geradores
Motores-geradores
Eletroqu´ımica
Sensores Eletroqu´ımicos
Eletrof´ısicos
Eletroo´ticos
Atuadores Eletromecaˆnicos
Eletrofluidodinaˆmicos
Eletrote´rmicos
Magnetote´rmicos
Eletrodome´sticos
1.3 Teoria e empirismo
O projeto e otimizac¸a˜o de sistemas requer o entendimento dos fenoˆmenos atrave´s de modelos f´ısicos
e expresso˜es matema´ticas dessas descric¸o˜es f´ısicas. Os modelos matema´ticos permitem expressar
os conceitos f´ısicos de forma objetiva e, atrave´s de deduc¸o˜es lo´gicas, permitem a previsa˜o de
comportamentos. Enquanto a F´ısica exprime ide´ias e consequeˆncias, a Matema´tica fornece uma
linguagem e ferramentas convenientes para extrapolac¸o˜es lo´gicas. A descric¸a˜o f´ısica e´ estabelecida
atrave´s de modelos teo´ricos, ou teoria, os quais sa˜o um conjunto de afirmac¸o˜es que interpretam
as relac¸o˜es de causa e efeito para uma classe de fenoˆmenos. Os fatos quantificados a partir de
observac¸o˜es constituem-se na motivac¸a˜o e no teste dos modelos teo´ricos. As teorias sa˜o capazes
de reproduzir as relac¸o˜es de causa e efeito observadas, mesmo que estatisticamente, e permitem a
extrapolac¸a˜o para a previsa˜o, mesmo que estat´ıstica, de eventos futuros. O empirismo e´ baseado
na correlac¸a˜o entre causas e efeitos obtidas a partir de observac¸o˜es em experimentos controlados
ou em modelos e proto´tipos. Embora sejam profundamente beneficiados pela existeˆncia de um
modelo teo´rico, os modelos emp´ıricos podem ser desenvolvidos mesmo na auseˆncia de um modelo
f´ısico.
O desenvolvimento da cieˆncia e da engenharia na˜o foi um processo cont´ınuo, mas marcado de in-
18 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
sucessos, becos sem sa´ıda e per´ıodos de estagnac¸a˜o. Os avanc¸os emp´ıricos obtidos na antiguidade
na produc¸a˜o de alimentos, metais, abastecimento de a´gua, saneamento e construc¸a˜o permitiram
a fixac¸a˜o e crescimento das cidades. A cieˆncia nessa e´poca, quando existiu momentaneamente,
preocupava-se em determinar os mecanismos de funcinamento da vida e do universo sem se pre-
ocupar de fato em observar a pro´pria vida e o universo. No pensamento ocidental, uma grande
quebra desse modelo ocorreu quando Kepler, seguindo desenvolvimentos de Compe´rnico e Ticho
Brahe, documentou as primeiras observac¸o˜es quantitativas das trajeto´rias dos movimento dos plan-
etas. Nesse momento, a cieˆncia deixou de ser uma atividade intelectual e contemplativa, para se
basear na quantiicac¸a˜o de fenoˆmenos, como forma objetiva de observar o universo. Um segundo
momento marcante foi o trabalho de Galileu em correlacionar as medic¸o˜es das trajeto´rias dos plan-
etas e aquelas realizadas em experimentos com o movimento dos corpos na forma de leis naturais,
com o objetivo de ligar matematicamente causas e efeitos e permitir a previsa˜o de comportamen-
tos. Essa etapa se mostrou um divisor de a´guas, pois sugeria que o trabalho dedicado de medic¸a˜o
e correlac¸a˜o permitiria conhecer e prever os movimentos no universo. Pore´m, o maior desen-
volvimento ocorreu pioneiramente com Newton que, pela primeira vez, mostrou que, com alguns
poucos conceitos fundamentais sobre a natureza do movimento, seria poss´ıvel extrair concluso˜es
ainda mais amplas, a partir do estabelecimento de teorias. A revoluc¸a˜o industrial se beneficiou do
estabelecimento das bases da dinaˆmica e da termodinaˆmica cla´ssicas e alimentou essas cieˆncias ao
provoca´-las com as novas necessidades e realizac¸a˜os de ma´quinas te´rmicas, ele´tricas e mecaˆnicas, as
quais passaram a ser aplicadas em larga escala. O intenso desenvolvimento da f´ısica e da qu´ımica a
partir do se´culo 19 passou a favorecer o modelamento teo´rico fundamentado em ide´ias, observac¸o˜es
e medic¸o˜es quantitativas, como a base do desenvolvimento de novos conceitos, processos e produ-
tos. Atualmente, a construc¸a˜o e teste de proto´tipos desenvolve-se em paralelocom a aplicac¸a˜o da
teoria, baseia-se no estado atual de conhecimento teo´rico sobre o assunto e visa obter comprovac¸a˜o
qualitativa e quantitativa das previso˜es baseadas em modelos conceituais. A busca de inovac¸a˜o
na˜o admite mais a dissociac¸a˜o entre conhecimento te´cnico teo´rico e pra´tica de engenharia.
Historicamente, a necessidade de entendimento e modelamento de fenoˆmenos em diversas escalas
levou ao surgimento de descric¸o˜es f´ısicas desde as escalas atoˆmicas ate´ descric¸o˜es do comportamento
das substaˆncias como meios cont´ınuos. A descric¸a˜o formal em uma escala usualmente independe
dos argumentos usados em outras descric¸o˜es ou outras escalas. Pore´m, o entendimento f´ısico dos
processos na˜o corre nenhum risco ao se beneficiar de conceitos provenientes de diversas descric¸o˜es.
Esta disposic¸a˜o em mudar os pontos de vista e refereˆncias dinamicamente e´ uma atitude tecnica-
mente sauda´vel e incentivada. Para no´s, sera´ um ha´bito e uma ferramenta.
Devemos lembrar tambe´m que o avanc¸o te´cnico e cient´ıfico na˜o segue uma linha cont´ınua de
descobertas e melhorias em antigas teorias. Na realidade, os modelos que utilizamos atualmente
foram desenvolvidos algumas vezes em paralelo. Informac¸o˜es obtidas nas ana´lises e experimentos
serviram de inspirac¸a˜o, sustentac¸a˜o ou refutac¸a˜o que deu origem a outras ana´lises, que por sua
vez puderam modificar ou confirmar os conceitos nos quais foram baseadas. Assim, em alguns
casos e´ normalmente dif´ıcil estabelecer uma ordem de precedeˆncia nos conceitos f´ısicos e e´ quase
sempre imposs´ıvel dissociar o conceito f´ısico da observac¸a˜o objetiva da natureza. Por exemplo,
a relac¸a˜o entre temperatura de um ga´s e a sua energia interna nasceu da observac¸a˜o, mas foi
somente explicada de maneira satisfato´ria com o desenvolvimento de um modelo molecular para
o ga´s. Em face da aparente falta de continuidade linear entre conceitos, o que realmente importa
e´ a capacidade de entender as relac¸o˜es e limitac¸o˜es dos va´rios modelos e conceitos e da´ı extrair o
conhecimento necessa´rio.
1.4 Metodologia de soluc¸a˜o de problemas
A soluc¸a˜o de um problema comec¸a na formulac¸a˜o de uma pergunta adequada. A pergunta adequada
deve possuir uma descric¸a˜o adequada do problema a ser resolvido, deve apontar com precisa˜o para
o aspecto a ser elucidado, as caracter´ısticas esperadas e as limitac¸o˜es na aplicac¸a˜o desta soluc¸a˜o.
Portanto, a soluc¸a˜o comec¸a com a interpretac¸a˜o e formulac¸a˜o correta do que se tem e se deseja obter.
Apo´s entender-se o problema, busca-se um modelo f´ısico que represente adequadamente a situac¸a˜o
1.5. ESCOPO 19
de interesse e seja capaz de fornecer o que se espera a partir daquilo que se conhece ou se pode intuir.
Este modelo f´ısico e´, no princ´ıpio, apenas uma ide´ia que pode ser expressa verbalmente. A partir
da clareza do entendimento do problema f´ısico, esta ide´ia e´ expressa em termos de teorias f´ısicas.
Esta enfoca apenas nos apectos relevantes ao problema e busca-se simplificar ou eliminar aspectos
acesso´rios atrave´s de hipo´teses simplificativas . Em fenoˆmenos de transporte, este modelo f´ısico
normalmente se baseia em uma teoria de conservac¸a˜o e transporte de alguma propriedade f´ısica e
em relac¸o˜es para o comportamento das substaˆncias. A seguir, o modelo f´ısico e´ expresso atrave´s de
um modelo matema´tico, ou seja, o princ´ıpio f´ısico e´ expresso pela linguagem da matema´tica. Esta
linguagem traduz o modelo f´ısico em expresso˜es sinte´ticas e com um significado exato, desenvolvidas
de forma lo´gica e cujas soluc¸o˜es e implicac¸o˜es fornecem os comportamentos para as diferentes
faces do fenoˆmeno. A atividade de escrever um modelo matema´tico e´ equivalente a traduzir-
se uma histo´ria expressa na sua l´ıngua natal para outra l´ıngua, mais sinte´tica, pore´m lo´gica e
organizada segundo regras que permitem avanc¸ar em deduc¸o˜es e consequeˆncias, temporariamente
esquecendo-se o texto inicial. Ao final do processo, volta-se a` histo´ria original e verifica-se se
as concluso˜es obtidas sa˜o realmente pertinentes a` natureza do problema. Esta e´ a atividade de
verificar se a soluc¸a˜o obtida esta´ correta e satisfaz os objetivos iniciais. Inicia-se por conferir se os
ca´lculos esta˜o matematicamente corretos, se as unidades obtidas esta˜o coerentes e se os resultados
possuem ordem de magnitude correspondente a`s nossas espectativas sobre a resposta. Caso estas
espectativas na˜o sejam satisfeitas, e´ hora de rever o me´todo de soluc¸a˜o, ou enta˜o, rever as pro´prias
espectativas com base no novo conhecimento adquirido. Frequentemente, perguntamos se o modelo
f´ısico foi adequado ou se as hipo´teses simplificativas foram adequadas. Se tudo parece correto, falta
conferir se a soluc¸a˜o pode ser aceita como realidade. Na pra´tica, a teoria deve permanecer correta,
ou precisaremos revisar a pra´tica, a teoria, ou ambas! Neste momento, projetos de produtos
ou processos usualmente requerem testes experimentais ou testes com modelos , em escala real,
ou modificada (reduzida ou ampliada). Os testes experimentais podem tanto verificar aspectos
espec´ıficos do problema, ou o pro´prio sistema analisado na sua integridade. Testes com modelos
sa˜o utilizados quando a construc¸a˜o de um proto´tipo apresenta custos proibitivos ou envolve um
risco inaceita´vel, financeiro, te´cnico ou de seguranc¸a. Por exemplo, testes com modelos sa˜o comuns
na indu´stria da mobilidade (automobil´ıstica, naval e aero-espacial). Caso os testes confirmem as
predic¸o˜es anteriores, o modelo e´ aceita´vel. Sena˜o, nova iterac¸a˜o e´ iniciada ate´ atingir-se o objetivo
formulado no in´ıcio (ou rever-se o pro´prio objetivo!). Em algum momento, os riscos tornam-se
aceita´veis e a tomada de decisa˜o e´ poss´ıvel. O trabalho do engenheiro na˜o se encerra ainda, pois
seguem-se as etapas de planejamento da manufatura, manufatura, acompanhamento, diagno´stico,
formulac¸a˜o de melhorias, venda, po´s-venda etc., completando a cadeia de lanc¸amento e consolidac¸a˜o
de um produto. A menos de projetos com um escopo reduzido, dificilmente o mesmo engenheiro
atuara´ de forma significativa em todas estas etapas.
Neste texto, enfoca-se os primeiros momentos do processo da engenharia: a definic¸a˜o do problema
e a ana´lise na busca de soluc¸o˜es. Alguns poucos exerc´ıcios de s´ıntese sera˜o poss´ıveis, mas dentro de
um escopo limitado. Outras disciplinas utilizara˜o os conceitos desenvolvidos na s´ıntese de sistemas
mecaˆnicos mais complexos.
1.5 Escopo
O objetivo dessas notas de aula e´ fornecer uma introduc¸a˜o a` Mecaˆnica dos Fluidos, com eˆnfase nas
aplicac¸o˜es e na interac¸a˜o com as diversas a´reas da engenharia. Para este fim, sera˜o explorados os
conceitos f´ısicos e matema´ticos da disciplina, sua aplicac¸a˜o na soluc¸a˜o de problemas de engenharia,
os fundamentos da utilizac¸a˜o de aproximac¸o˜es e empiricismo e o uso inovativo destes conceitos e
ferramentas na busca de soluc¸o˜es de problemas.
Os cap´ıtulos a seguir visam cobrir os conteu´dos e conceitos de uma forma construtiva e indutiva.
Embora a apresentac¸a˜o dos cap´ıtulos siga uma sequeˆncia construtiva de teorias e modelos, cada
cap´ıtulo e´ escrito em uma forma que visa minimizar sua dependeˆncia dos anteriores. As con-
struc¸o˜es matema´ticas mais elaboradas sa˜o acrescentadas para maior complitude e formalismo, mas
podem ser suprimidas sem preju´ızo ao entendimento f´ısico dos fenoˆmenos e soluc¸a˜o dos exemplos
20 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
de aplicac¸o˜es. Exemplos resolvidos e exerc´ıcios com resposta sa˜o inclu´ıdos para encorajar o apren-
dizado independente e possibilitar a utilizac¸a˜o deste material como fonte de consulta para estudo
dirigido.
Na parte introduto´ria das notas de aula, conceitos de termodinaˆmica e termof´ısica sa˜o aborda-
dos a fim de lembrar as propriedades que definem o estado f´ısico das substaˆncias. Conceitos deTermodinaˆmica Cla´ssica e Termodinaˆmica Estat´ıstica sa˜o utilizados livremente para permitir o
desenvolvimento de equac¸o˜es de estado e noc¸o˜es de mudanc¸a de fase.
A seguir, aborda-se os princ´ıpios relacionados aos fluidos em repouso e em movimento, enfocando
as aplicac¸o˜es em engenharia. Os princ´ıpios gerais da mecaˆnica newtoniana sa˜o aplicados para
obter-se as equac¸o˜es governantes da esta´tica e dinaˆmica dos fluidos. Os princ´ıpios fundamentais
de conservac¸a˜o da massa, energia e quantidade de movimento sa˜o empregados para descrever
escoamentos e quantificar a interac¸a˜o do fluido com as superf´ıcies e ambiente que os envolvem. O
objetivo e´ desenvolver uma apreciac¸a˜o pelos fenoˆmenos relacionados aos fluidos em repouso ou em
movimento utilizando as formulac¸o˜es matema´ticas para obter soluc¸o˜es de problemas representativos
da pra´tica de engenharia.
As pricipais refereˆncias, dispon´ıveis em l´ıngua portuguesa e adequados para o ensino de graduac¸a˜o,
utilizadas na preparac¸a˜o deste material esta˜o indicadas abaixo. Encoraja-se a leitura de trechos
extra´ıdos destas refereˆncias para complementar o material aqui apresentado e permitir o contato
com os textos mais utilizados na a´rea de fenoˆmenos de transporte em geral. Acredita-se que esta
pra´tica estimulara´ o desenvolvimento de uma atitude de aprendizado independente e cont´ınuo.
1.6 Refereˆncias
Termof´ısica
1. Atkins, P., F´ısico-Qu´ımica - Fundamentos , 3a. Edic¸a˜o, LTC Editora, 2003.
2. Kaviany, M., Fundamentals of Heat Transfer Physics, Cambridge, 2008.
3. Kittel, C., Thermal Physics , Wiley, 1989.
Cieˆncias Te´rmicas:
1. Schmidt, F. W., Henderson, R. E. e Wolgemuth, C. H., Introduc¸a˜o a`s Cieˆncias Te´rmicas ,
Editora Edgard Blu¨cher, 1996.
Termodinaˆmica:
1. Van Wyllen, G., Sonntag, R. E Borgnakke, C., Fundamentos da Termodinaˆmica Cla´ssica,
4a. Edic¸a˜o, Editora Edgard Blu¨cher Ltda, 1995.
2. Kondepudi, D. e Prigogine, I., Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative
Structures , Wiley, 1998.
3. Sandler, S. I., Chemical Engineering Thermodynamics , John Wiley, 1998.
Mecaˆnica dos Fluidos:
1. Fox, R. W. e McDonald, A. T., Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica dos Fluidos , 7a. Edic¸a˜o, Editora
LTC, 2010.
2. Sabersky, R. H., Acosta, A. J. e Hauptmann, E. G., Fluid Flow: A First Course in Fluid
Mechanics , 3a. edic¸a˜o, McMillan, 1989.
Transmissa˜o de Calor:
1. Incropera, F. P. e De Witt, D. P., Fundamentos da Transfereˆncia de Calor , 5a. Edic¸a˜o,
Livros Te´cnicos e Cient´ıficos Editora, 2003.
1.7. EXERCI´CIOS 21
2. Kaviany, M., Principles of Heat Transfer , Wiley, 2001.
Transporte de massa e reac¸a˜o qu´ımica:
1. Robert B. Bird, Edwin N. Lightfoot e Warren E. Stewart, Transport Phenomena, John-Wiley
& Sons, 1960.
2. H. Scott Fogler, Elements of Chemical Reaction Engineering, Prentice-Hall, 1999.
3. Stephen R. Turns, Introduc¸a˜o a` Combusta˜o: Conceitos e Aplicac¸o˜es, McGraw Hill, 2013.
4. Chung K. Law, Combustion Physics, Cambridge University Press, 2006.
1.7 Exerc´ıcios
Problema 1: Unidades
Realize a conversa˜o das unidades abaixo:
1000 cm3 m3
20 ft2 m2
80 km/h m/s
1 g/cm3 kg/m3
0,1 MPa Pa
25 atm Pa
Problema 2: Escalas
Dados da safra de cana de ac¸u´car de 2015 mostram que:
A´rea plantada 8995,5 mil hectares
Produc¸a˜o de cana de ac¸u´car 658,7 milho˜es de toneladas
Produc¸a˜o de ac¸u´car 34,6 milho˜es de toneladas
Produc¸a˜o de etanol 29 bilho˜es de litros
A energia contida em cada kg de etanol (o poder calor´ıfico) e´ 26, 95 MJ/kg e a sua densidade e´
789 kg/m3.
(a) Determine a energia total gerada em etanol no Brasil em mil tep no ano de 2014.
(b) Considerando que o consumo total de energia no setor de transporte em 2014 foi de 83312 mil
tep (Balanc¸o Energe´tico Nacional, 2015), determine a frac¸a˜o desse valor que foi consumida
como etanol.
(c) Considere que o restante da energia consumida nos transportes deva ser gerada com etanol.
Assuma que exista uma paridade de eficieˆncia energe´tica dos sistemas utilizados em trans-
porte, seja com combust´ıvel fo´ssil ou com etanol, e que o balanc¸o energe´tico de produc¸a˜o dos
combust´ıveis seja igual. Assuma que quando a cana de ac¸ucar e´ utilizada integralmente para
produzir etanol seja poss´ıvel obter 80 litros de etanol por ton de cana de ac¸u´car. Determine
a quantidade de a´rea adicional em km2 que seria necessa´rio para o plantio de cana de ac¸u´car.
Mostre a dimensa˜o desse valor em relac¸a˜o a` a´rea do territo´rio do estado de Santa Catarina.
22 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
Use: 1 hectare = 10000 m2; 1 tep = 41,87 GJ; 1 milha˜o = 106; 1bilha˜o = 109.
Respostas: (a) 14728 mil tep, (b) 18 % do total consumido em transporte.
Problema 3: Mecaˆnica, integrac¸a˜o e unidades
Em um modelo de um corpo que se move em linha reta, assume-se que o corpo parte da posic¸a˜o
x = 0 no tempo t = 0 com uma velocidade inicial Vo = 1 m/s e que a sua velocidade seja
proporcional a` distaˆncia instantaˆnea em relac¸a˜o a` linha de chegada que se situa na posic¸a˜o L = 1
m. Vamos denotar a posic¸a˜o do corpo por X (m). A velocidade do corpo e´ dada por v = dX/dt
(m/s). Como a velocidade e´ proporcional a L−X , podemos escrever:
dX
dt
= Vo
(
1− X
L
)
Essa e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria, de primeira ordem, com coeficientes constantes. Assuma
que o corpo tem massa m = 1 kg.
1. Integre a equac¸a˜o da velocidade e encontre uma func¸a˜o para X(t), ou seja, a func¸a˜o que
descreve como a posic¸a˜o do corpo varia com o tempo. Represente graficamente como se
comporta a func¸a˜o X(t) (m). Em que instante de tempo o corpo atingira´ a posic¸a˜o X = 1
m?
2. A acelerac¸a˜o do corpo e´ dada por a = dv/dt = d2X/dt2, ou seja, a derivada segunda da
posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo. Obtenha uma equac¸a˜o para a acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo
a(t). Represente graficamente como se comporta a func¸a˜o a(t). Qual a unidade de acelerac¸a˜o?
3. Conforme descrito pela Segunda Lei de Newton, a reduc¸a˜o de velocidade observada ocorre
devido ao somato´rio de forc¸as aplicadas sobre o corpo. Considere que a forc¸a resultante
aplicada sobre o corpo seja F = ma onde m (kg) e´ a massa do corpo. Obtenha uma equac¸a˜o
para a forc¸a aplicada sobre o corpo em func¸a˜o do tempo F (t). Qual e´ a direc¸a˜o e sentido
dessa forc¸a? Represente graficamente como se comporta a func¸a˜o F (t). Qual a unidade de
forc¸a?
4. O trabalho executado sobre o corpo para ele realizar esse movimento entre x1 = 0 e x2 = X
e´ dado por
W =
∫ x2
x1
F dx. (1.1)
Obtenha uma equac¸a˜o para o trabalho aplicado sobre o corpo em func¸a˜o do tempo W (t).
Represente graficamente como se comporta a func¸a˜o W (t). Qual a unidade de trabalho?
5. A poteˆncia gasta durante esse movimento e´ dada por P = dW/dt. Obtenha uma equac¸a˜o
para a poteˆncia em func¸a˜o do tempo P (t). Represente graficamente como se comporta a
func¸a˜o P (t). Qual a unidade de poteˆncia?
6. Realize a seguinte operac¸a˜o:
I =
∫ 0.9
0
F v dt
O que representa o valor de I? Represente graficamente essa integral.
Problema 4:
Assista na internet o video ”slow motion: crater formation by drop impact on sand” no enderec¸o:
https://www.youtube.com/watch?v=6swY05e2iT4
Discuta: Qual a diferenc¸a fundamental que distingue um fluido de um so´lido?
Parte I
Equil´ıbrio
23
25
”A theory is the more impressive the greater the simplicity of its premises, the more different
kinds of things it relates, and the more extended its area of applicability. Therefore the deep
impression that classical thermodynamics made upon me. It is the only physical theory of
universal content which I am convinced will never be overthrown, within the framework of
applicability of its basic concepts.”
Albert Einstein
(Citado por: Don Howard, John Stachel, Einstein: The Formative Years, 1879-1909, EinsteinStudies, vol. 8, Birkha¨user Boston, 2000)
26
Cap´ıtulo 2
A´tomos e mole´culas
”Duro e´ o que e´ denso e mole e´ o que e´ rarefeito. Duro e mole, assim como pesado e leve, sa˜o
diferenciados pela posic¸a˜o e arranjo dos espac¸os vazios.”
Demo´crito (460-370 AC)
Antes de avanc¸armos no tratamento dos fenoˆmenos de transporte, revisaremos o que se entende
por massa e energia e quais as manifestac¸o˜es macrosco´picas destas grandezas.
As substaˆncias sa˜o formadas por a´tomos e mole´culas cujas propriedades e arranjos fornecem a massa
e a energia. As mole´culas podem variar muito em tamanho, dependendo da natureza da substaˆncia,
desde pequenas mole´culas de gases inorgaˆnicos, como o ga´s hidrogeˆnio (H2), ate´ macromole´culas
orgaˆnicas, como a sacarose (C12H22O11). Durante muito tempo buscou-se caracterizar a dimensa˜o
da unidade fundamental da mate´ria. Em um trabalho pioneiro, Lord Rayleigh (1899) mediu
a variac¸a˜o da tensa˜o superficial da a´gua com o espalhamento de mole´culas de uma substaˆncia
orgaˆnica na sua superf´ıcie livre. Observou uma variac¸a˜o abrupta quando a quantidade de orgaˆnico
adicionada atingia um certo valor. Atrave´s da massa de substaˆncia adicionada, da a´rea da superf´ıcie
livre e admitindo que a camada de orgaˆnico tinha espessura de apenas 1 mole´cula, deduziu que
o tamanho me´dio das mole´culas era de cerca de 10−9 m, ou seja, 10 A˚ (angstro¨m). Atualmente,
entendemos que esta na˜o e´ a dimensa˜o da menor unidade discreta que forma a mate´ria, pore´m a
maioria dos fenoˆmenos de transporte tem origem em interac¸o˜es moleculares. Note a relac¸a˜o entre
esta dimensa˜o e a dimensa˜o dos objetos f´ısicos macrosco´picos que utilizamos no nosso cotidiano.
Por exemplo, o diaˆmetro de uma esfera de uma caneta esferogra´fica e´ cerca de 1 mm e esta´ no
limiar da percepc¸a˜o do olho humano. Se ampliarmos uma mole´cula ate´ o tamanho de uma bola de
tenis, e desta forma passamos a ver a mole´cula com clareza, a esfera da caneta esferogra´fica teria
sido proporcionalmente ampliada para cerca de 80 km de diaˆmetro.
Neste cap´ıtulo, descreve-se aspectos da estrutura atoˆmica e molecular e das forc¸as que existem
entre a´tomos e mole´culas e que formam a estrutura das substaˆncias que conhecemos. O objetivo
e´ descrever como e´ formada a estrutura da mate´ria para permitir a identificac¸a˜o das diferenc¸as
ba´sicas entre a mate´ria nos estados gasoso, l´ıquido e so´lido. Estes princ´ıpios, complementados
pelas definic¸o˜es das propriedades termodinaˆmicas macrosco´picas, permitem descrever a relac¸a˜o
existente entre propriedades atoˆmicas e moleculares e propriedades macrosco´picas termodinaˆmicas,
principalmente enfocando as equac¸o˜es de estado e a mudanc¸a de fase.
2.1 Lei de Avogadro
A Lei de Avogadro estabelece que a uma dada pressa˜o e temperatura, um volume fixo de qualquer
ga´s contera´ o mesmo nu´mero de unidades elementares. As unidades elementares podem representar
a´tomos, como por exemplo o a´tomo de hidrogeˆnio H, ou mole´culas, como por exemplo a mole´cula
de hidrogeˆnio H2.
Defini-se a unidade mol como:
27
28 CAPI´TULO 2. A´TOMOS E MOLE´CULAS
1 mol = massa de substaˆncia que conte´m a mesma quantidade de unidades elementares
(a´tomos ou mole´culas) quanto o nu´mero de a´tomos que existe em 12 g do iso´topo
12 de carbono.
Para um ga´s denominado de ideal, 1 mol a` pressa˜o de 101325 Pa (1 atmosfera) e temperatura de
273,15 K (0oC) ocupa um volume de 0,0224 m3 (22,4 litros), ou seja, um pouco mais que o volume
de um cubo de 28 cm de lado. A unidade equivalente no Sistema Internacional de Unidades (SI)
e´ 1 kmol = 103 mol. Esta observac¸a˜o, que havia sido avanc¸ada como hipo´tese, hoje em dia, dado
a` extensa documentac¸a˜o teo´rica e emp´ırica existente, assume um cara´ter de lei f´ısica. Deve-se
lembrar, pore´m, que muitos modelos f´ısicos, plaus´ıveis sob muitos aspectos, na˜o sobreviveram a
testes posteriores.
2.2 Constante de Avogadro
Embora a ide´ia da existeˆncia de a´tomos tenha sido atribu´ıda aos gregos (Demo´crito, 460 a 370
AC), foi somento no se´culo 18 que um modelo f´ısico para a estrutura da mate´ria comec¸ou a se
cristalizar. O desenvolvimento do molelo em uma teoria preditiva teve que esperar, pore´m, a
realizac¸a˜o dos primeiros experimentos com medic¸o˜es precisas de massa e volume. Uma das ide´ias
iniciais, a Lei das Mu´ltiplas Proporc¸o˜es, baseada principalmente nos trabalhos de Dalton (1766-
1844), previa que duas substaˆncias elementares (os reagentes) quando combinadas quimicamente
para formar uma terceira e quarta substaˆncias (os produtos) so´ podem se combinar em mu´ltiplos
da massa elementar dos reagentes. A teoria atoˆmica de Dalton (1808) previa por exemplo que 1
massa unita´ria de hidrogeˆnio combina-se com 8 massas unita´rias de oxigeˆnio para formar 9 massas
unita´rias de a´gua. Medic¸o˜es de volume permitiram verificar que na reac¸a˜o de formac¸a˜o da a´gua
no estado vapor as seguintes proporc¸o˜es em volume sa˜o envolvidas:
2 volumes de
hidrogeˆnio
+
1 volume de
oxigeˆnio
→ 2 volumes de
a´gua vapor
Avogadro (1811) sugeriu a hipo´tese que na mesma temperatura e pressa˜o o mesmo volume de gases
diferentes possui o mesmo nu´mero de mole´culas. Essa hipo´tese permitiu escrever que:
2 massas unita´rias de
hidrogeˆnio
+
1 massa unita´ria de
oxigeˆnio
→ 2 massas unita´rias de
a´gua vapor
Assim, observou-se que esta afirmac¸a˜o so´ poderia fornecer concluso˜es consistentes com as medic¸o˜es
de volume quando 1 massa unita´ria de oxigeˆnio pudesse ser dividida em duas, para formar as 2
massas unita´rias de a´gua vapor. Assim, 1 massa unita´ria de ga´s oxigeˆnio deve ser formada por 2
massas unita´rias do elemento que o forma, que sera˜o distribu´ıdas para cada uma das 2 massas de
a´gua formadas.
Argumentos desta natureza conduziram a` noc¸a˜o de que a reac¸a˜o qu´ımica de formac¸a˜o da a´gua a
partir de oxigeˆnio e hidrogeˆnio pode ser representada por
2H2 +O2 → 2H2O
onde H2, O2 e H2O representam, respectivamente, massas unita´rias de ga´s hidrogeˆnio, ga´s oxigeˆnio
e a´gua vapor.
Nesta representac¸a˜o, a massa unita´ria de hidrogeˆnio gasoso e´ a mole´cula H2, formada por duas
massas unita´rias (a´tomos) de hidrogeˆnio atoˆmico H, o qual e´ a menor unidade reconhecida como
hidrogeˆnio que pode participar de uma reac¸a˜o qu´ımica. A constante de Avogadro e´ enta˜o definido
como o nu´mero de unidades elementares existentes em 1 mol de uma substaˆncia.
Existem va´rias maneiras indiretas de determinac¸a˜o da constante de Avogadro. Dentre os pioneiros,
esta˜o Rutherford (1909), examinando a desintegrac¸a˜o radiativa do ra´dio, Milikan (1909), medindo
a carga de um capacitor de placas paralelas separadas por um meio eletrol´ıtico, e Von Laue (1912),
medindo a difrac¸a˜o de raios X em um cristal. Observe como a mesma informac¸a˜o foi obtida de
experimentos aparentemente ta˜o diferentes! O valor medido da constante de Avogadro nestes dois
2.3. ESTRUTURA ATOˆMICA - QUANTIZAC¸A˜O 29
u´ltimos testes foi de 6, 03× 1023 unidades. Atualmente, o valor estabelecido para a constante de
Avogadro e´ NA = 6, 0221367× 1023 part´ıculas/mol. Por exemplo, 1 mol de hidrogeˆnio gasoso H2
possui massa equivalente a 2 g. Esta massa de hidrogeˆnio e´ formada por 6, 022× 1023 mole´culas
de hidrogeˆnio H2. Por outro lado, uma amostra de cobre que contenha N = 12, 04× 1023 a´tomos
de cobre, possuira´ n = N/NA = (12, 04× 1023)/(6, 022× 1023) ≃ 2 moles de cobre. Podemos enta˜o
escrever que
Nu´mero de part´ıculas = nu´mero de moles × constante de Avogadro
(part´ıculas) (mol) (part´ıcula por mol)
ou,
N = n NA (2.1)
A massa molar M de uma subtstaˆncia e´ a massa contida em 1 mol da substaˆncia. Quando nos
referimos a` massa molar de um elemento qu´ımico, estamos nos referindo a` massa de 1 mol de
a´tomos do elemento qu´ımico. Por exemplo, a massa molar do iso´topo 12 do carbono (carbono 12)e´ 12,01 g/mol, ou, 12,01 kg/kmol. A massa molar da a´gua e´ 18,02 kg/kmol. Os termos massa
molecular e peso molecular sa˜o usados como sinoˆnimo de massa molar. A massa de uma espe´cie
qu´ımica pode enta˜o ser expressa como
Massa da espe´cie qu´ımica = nu´mero de moles × massa molar
(kg) (kmol) (kg/kmol)
ou,
m = n M (2.2)
As a´tomos formam mole´culas ou redes cristalinas, os quais formam as substaˆncias nos estados
so´lido, l´ıquido ou gasoso. As forc¸as interatoˆmicas mante´m os a´tomos coesos formando as mole´culas
e as substaˆncias cristalinas e as forc¸as intermoleculares mante´m as substaˆncias moleculares coesas.
Todas as forc¸as interatoˆmicas e intermoleculares sa˜o de origem eletrosta´tica, ou seja, forc¸as de
Coulomb. O estado das substaˆncias e´ uma consequeˆncia da magnitude das forc¸as de coesa˜o in-
teratoˆmicas e intermolecular quando comparadas com a energia te´rmica kBT . Estes conceitos sa˜o
explorados a seguir.
2.3 Estrutura atoˆmica - Quantizac¸a˜o
Desde os trabalhos de William Thomson (Lord Kelvin) e outros no final do se´culo XIX o a´tomo
tem sido admitido como formado por um nu´cleo carregado positivamente e circundado por uma
nu´ven de ele´trons carregada negativamente. A ide´ia de quantizac¸a˜o da energia atoˆmica, pore´m,
surgiu a partir do se´culo XX com Planck (descrevendo de forma quantizada o espectro de radiac¸a˜o
de corpo negro em 1900), Einstein (descrevendo o efeito fotoele´trico em 1905), Bohr (com a teoria
atoˆmica de 1913), de Broglie (com a teoria de onda da part´ıcula em 1924), Schro¨dinger (com a
equac¸a˜o de onda, 1926) e outros. Pode-se ilustrar o modelo de quantizac¸a˜o da energia para explicar
fenoˆmenos atoˆmicos da seguinte forma.
Considere inicialmente um sistema dinaˆmico formado por dois corpos, um central com massa
m1(kg) e o outro com massa m2(kg), muito menor que o primeiro, orbitando ao redor do maior
com velocidade tangencial w(m/s), como se fosse um planeta e seu sate´lite. O conjunto de duas
massas apresenta ainda uma velocidade de translac¸a˜o v(m/s) (Figura 2.3).
Imaginemos que este sistema na˜o esteja sob a ac¸a˜o de nenhum campo potencial, possua temper-
atura1 constante e que os corpos possam ser considerados como part´ıculas pontuais. A energia
cine´tica total do sistema e´ dada pela soma das energias cine´ticas de translac¸a˜o e rotac¸a˜o:
Ec =
1
2
(m1 +m2)v
2 +
1
2
m2w
2 (2.3)
1A temperatura sera´ definida posteriormente.
30 CAPI´TULO 2. A´TOMOS E MOLE´CULAS
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Figura 2.1: Sistema dinaˆmico com dois corpos.
Note que, para massas constantes, a energia pode ser aumentada tanto amentando v como aumen-
tando w. Explicando de outra forma, quando entrega-se energia ao sistema (por exemplo, atrave´s
de um choque com outro corpo) tanto v quanto w podem sofrer alterac¸a˜o em relac¸a˜o aos seus val-
ores iniciais. Assim, a energia pode ser armazenada de forma cont´ınua na forma de energia cine´tica
de translac¸a˜o e de energia cine´tica de rotac¸a˜o. Ainda, para determinadas posic¸o˜es e velocidades
iniciais das part´ıculas, a posic¸a˜o (portanto, a trajeto´ria) e a velocidade de cada part´ıcula em qual-
quer instante de tempo seguinte sa˜o determin´ısticas e podem ser calculadas com bastante precisa˜o
pelas equac¸o˜es da dinaˆmica. Esta descric¸a˜o do movimento de dois corpos e´ t´ıpica da mecaˆnica
cla´ssica. Esta descric¸a˜o e´ bastante adequada para os corpos ”grandes”, mas falha quando tratamos
do comportamento de mole´culas, a´tomos e ele´trons.
Agora, passaremos a uma descric¸a˜o atoˆmica, tomando o ga´s neoˆnio como exemplo. A mole´cula de
ga´s neoˆnio (Ne) e´ monoatoˆmica. Este a´tomo possui 10 ele´trons interagindo com 10 pro´tons e 10
neˆutrons no nu´cleo atoˆmico. Medic¸o˜es cuidadosas da variac¸a˜o da energia do neoˆnio com o aumento
de temperatura mostram que esta comporta-se de maneira linear segundo:
Ec =
3
2
kBT (2.4)
onde kB = 1, 38066× 10−23 J/K e´ a constante de Boltzmann.
Utilizando-se uma descric¸a˜o estat´ıstica da movimentac¸a˜o das mole´culas de neoˆnio (a teoria cine´tica
dos gases), obte´m-se que a energia cine´tica me´dia das mole´culas e´ tambe´m (3/2)kBT . Nota-se
enta˜o que um acre´scimo de temperatura de 1 K causa uma variac¸a˜o de energia de (3/2)kB que e´
inteiramente devido a` variac¸a˜o de energia cine´tica do a´tomo. Nenhuma parcela da energia te´rmica
absorvida causa variac¸a˜o de energia dos ele´trons orbitando ao redor do nu´cleo. Assim, deve haver
um certo valor mı´nimo de energia necessa´rio para que a energia dos ele´trons seja alterada de alguma
forma, ou seja, a energia dos ele´trons varia de maneira quaˆntica.
Atrave´s de medic¸o˜es em altas energias e de previso˜es da mecaˆnica quaˆntica, sabe-se que este valor
de energia quaˆntica para a primeira transic¸a˜o eletroˆnica do a´tomo de neoˆnio e´ cerca de 5 eV
(1 ele´tron-volt = 1, 602177 × 10−19 J), a qual e´ muito maior que (3/2)kB (cerca de 8.000 vezes
maior!). Uma energia te´rmica relativamente alta e´ necessa´ria para provocar esta transic¸a˜o. A
energia necessa´ria para arrancar um ele´tron do orbital mais externo no a´tomo de neoˆnio, chamada
de primeira energia de ionizac¸a˜o e´ 21,56 eV muito pro´xima da ma´xima energia de inonizac¸a˜o que
corresponde ao a´tomo de he´lio e vale 24,59 eV (observa-se que a primeira energia de ionizac¸a˜o do
hidrogeˆnio e´ 13,60 eV). Tais quantidades de energia esta˜o presentes nos plasmas quentes.
Embora a mecaˆnica cla´ssica seja capaz de prever o comportamento dos corpos nas escalas de
comprimento a que estamos acostumados na nossa vida cotidiana, ela e´ limitada na previsa˜o de
comportamentos nas escalas atoˆmica e molecular. Nestas escalas, a mecaˆnica quaˆntica fornece os
modelos, por exemplo, para previsa˜o da probabilidade de encontrar-se os ele´trons distribu´ıdos em
determinadas o´rbitas ao redor do nu´cleo. Esta probabilidade e´ descrita pela soluc¸a˜o da equac¸a˜o
de onda de Schro¨dinger , que e´ chamada de func¸a˜o de onda do ele´tron. O princ´ıpio de exclusa˜o
de Pauli preveˆ que os orbitais sejam preenchidos por um nu´mero limitado de ele´trons. A soluc¸a˜o
da equac¸a˜o de Schro¨dinger fornece os valores de energia relacionados a cada o´rbita dos ele´trons e
2.4. FORC¸AS INTERATOˆMICAS 31
a cada estado do nu´cleo dos a´tomos, os quais formam a energia interna do a´tomo. Este modelo
permite prever, entre outros aspectos f´ısicos, a radiac¸a˜o te´rmica emitida por um corpo negro, o
calor espec´ıfico das substaˆncias, o efeito fotoele´trico, a difrac¸a˜o de ele´trons, os espectros de absorc¸a˜o
e emissa˜o atoˆmicos, etc..
A energia interna de uma mole´cula e´ igual a` soma das energias internas dos a´tomos, no estado
associado, que a formam. A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger, ale´m de prever a estrutra atoˆmica,
preveˆ tambe´m a formac¸a˜o de ligac¸o˜es f´ısicas e qu´ımicas entre a´tomos, como resultado de forc¸as
interatoˆmicas , e mole´culas, como resultado de forc¸as intermoleculares.
2.4 Forc¸as interatoˆmicas
As forc¸as interatoˆmicas sa˜o aquelas que mante´m unidos, em equil´ıbrio, os a´tomos que compo˜e
uma mole´cula. Existem dois enfoques principais para a descric¸a˜o da estrutura molecular: a teoria
de ligac¸a˜o da valeˆncia e a teoria do orbital molecular . Quase todos os trabalhos computacionais
na atualidade utilizam a teoria do orbital molecular. No entanto, a teoria de ligac¸a˜o da valeˆncia
deixou grande parte da nomenclatura existente. Nesta teoria, as forc¸as que promovem as ligac¸o˜es
atoˆmicas em uma mole´cula podem ser de origem ioˆnica ou de origem covalente.
As ligac¸o˜es ioˆnicas caracterizam-se pela doac¸a˜o de ele´trons de a´tomos com maior valeˆncia para
a´tomos com menor valeˆncia, como por exemplo, no fluoreto de so´dio NaF. So´dio apresenta carga
nuclear +11 com 1 dos ele´trons na camada mais externa (camada M). Flu´or apresenta carga nuclear
+9 com 7 dos ele´trons na camada mais externa (camadaL). O ele´tron da camada mais externa do
so´dio passa facilmente para a camada mais externa do flu´or. O so´dio adquire carga ele´trica total
+1 e o flu´or carga ele´trica total -1. Os dois ı´ons formados a partir da transfereˆncia de ele´trons sa˜o
enta˜o atra´ıdos por uma forc¸a eletrosta´tica que varia com 1/x2, sendo x a distaˆncia linear entre o
centro dos dois a´tomos.
As ligac¸o˜es covalentes sa˜o caracterizadas pelo compatilhamento de ele´trons. Na mole´cula de
hidrogeˆnio, por exemplo, ambos a´tomos compartilham seus ele´trons. Cada a´tomo comporta-se
na mole´cula como se tivesse a camada K completamente preenchida com 2 ele´trons, adquirindo
assim uma configurac¸a˜o mais esta´vel (a configurac¸a˜o do a´tomo de he´lio). A concentrac¸a˜o dos
ele´trons no espac¸o entre os dois nu´cleos mante´m os a´tomos ligados. O cara´ter deste tipo de ligac¸a˜o
e algumas de suas propriedades foram identificado por G. N. Lewis (em 1916) antes que a mecaˆnica
quaˆntica pudesse fornecer uma descric¸a˜o mais completa. As ligac¸o˜es ioˆnica e covalente sa˜o os dois
extremos de um tipo comum de ligac¸a˜o qu´ımica.
Nos so´lidos cristalinos meta´licos , os a´tomos sa˜o unidos por forc¸as de ligac¸a˜o eletrosta´ticas que
tem origem entre os nu´cleos positivos e os ele´trons que movem-se livremente entre os nu´cleos. No
modelo de ele´trons livres para um metal condutor, os ele´trons na˜o se encontram presos a um u´nico
a´tomo, mas circulam livremente entre os nu´cleos atoˆmicos, com alta mobilidade. Isto resulta em
alta condutividade ele´trica e te´rmica caracter´ısticas dos metais condutores. As va´rias camadas
de nu´cleos atoˆmicos sa˜o mantidas unidas pelos ele´trons livres. Estas camadas podem deslizar
livremente uma sobre as outras quando o metal e´ submetido a um esforc¸o cisalhante. Isto implica
na capacidade dos metais em se deformar sob a ac¸a˜o de uma forc¸a.
Como resultado das forc¸as de interac¸a˜o entre os a´tomos que formam a mole´cula, esta adquirira´ uma
configurac¸a˜o geome´trica esta´vel (observa-se que a teoria de Lewis na˜o e´ capaz de prever a forma
da mole´cula). Em part´ıculas ligadas ionicamente, forc¸as de atrac¸a˜o aparecem como resultado da
atrac¸a˜o eletrosta´tica entre o nu´cleo caregado positivamente e a nuvem eletroˆnica carregada nega-
tivamente. Forc¸as de repulsa˜o aparecem como resultado da repulsa˜o entre as camadas eletroˆnicas
a medida que as duas part´ıculas sa˜o aproximadas. Esta repulsa˜o tem origem eletrosta´tica e no
princ´ıpio de exclusa˜o de Pauli a medida que os ele´trons tendem a ocupar regio˜es semelhantes do
espac¸o. Em ligac¸o˜es covalentes, as forc¸as repulsivas tem a mesma origem que as forc¸as atrativas e
ocorrem simultaneamente.
Embora os efeitos de atrac¸a˜o e repulsa˜o ocorram de forma interligada, um modelo simples assume
que estes dois efeitos ocorrem de forma independente e podem ser adicionados para determinar a
forc¸a total entre dois a´tomos. Um dos modelos mais simples, aplicado a pares de a´tomos simples
32 CAPI´TULO 2. A´TOMOS E MOLE´CULAS
com simetria esfe´rica, consiste em modelar a forc¸a de atrac¸a˜o como A/xm e a forc¸a de repulsa˜o
como B/xn, onde A, B, n e m sa˜o constantes positivas. Assim, a forc¸a resultante (atrac¸a˜o menos
repulsa˜o) e´
F =
A
xm
− B
xn
(2.5)
O comprimento de ligac¸a˜o de equil´ıbrio entre os dois a´tomos xo ocorre quando F = 0 e e´ dado por
B = Axn−mo . Assim, pode-se reescrever a forc¸a resultante como
F = A
(
1
xm
− x
n−m
o
xn
)
(2.6)
Na figura 2.4, mostra-se as forc¸as de atrac¸a˜o, repulsa˜o e total para um par atoˆmico (arbitra´rio)
com m = 2, n = 8, A = 10−30 (N.mm) e xo = 2 × 10−11 m. Observa-se que a forc¸a e´ pro´xima
de zero, mas atrativa, quando os a´tomos esta˜o afastados. A medida que estes sa˜o aproximados, a
forc¸a resultante permanece atrativa e cresce ate´ atingir um ma´ximo. A partir deste ponto, a forc¸a
de repulsa˜o passa a dominar e a forc¸a resultante torna-se negativa, indicando que ha´ repulsa˜o entre
os a´tomos.
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Figura 2.2: Forc¸as de atrac¸a˜o, repulsa˜o e total para um par atoˆmico com m = 2, n = 8, A = 10−30
N-m8 e xo = 2× 10−11 m.
A energia potencial Ep entre duas part´ıculas e´ definida como
F =
∂Ep
∂x
(2.7)
A energia necessa´ria para aproximar uma part´ıcula de uma distaˆncia muito grande (infinita) ate´
uma distaˆnica x, e´ enta˜o dada por
Ep,x = −
∫
∞
x
F dx (2.8)
Da Eq. (2.5), obte´m-se
Ep,x = A
[
−
(
1
m− 1
)
1
xm−1
+
(
1
n− 1
)
xn−mo
xn−1
]
(2.9)
Na figura 2.4, mostra a curva de energia potencial para o par de a´tomos da figura 2.4. Nota-se que
no ponto de equil´ıbrio (F = 0) a energia potencial e´ mı´nima.
2.4. FORC¸AS INTERATOˆMICAS 33
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Figura 2.3: Energia potencial para um par atoˆmico com n = 2, m = 8, A = 10−30 N.m8 e
xo = 2.10−11 m.
A mecaˆnica quaˆntica fornece um modelo que permite o ca´lculo da curva de energia potencial
para um par atoˆmico. A aproximac¸a˜o de Bohr-Oppenheimer supo˜e que o nu´cleo dos a´tomos e´
muito mais pesado que um ele´tron e se move mais lentamente que os ele´trons (cerca de 1000 vezes
menos para um a´tomo de hidrogeˆnio). Assim, o nu´cleo pode ser considerado estaciona´rio quando
comparado com o ele´tron. A energia potencial mostrada na figura ??, portanto, na˜o inclui a
energia de translac¸a˜o da mole´cula. Podemos pensar que os a´tomos esta˜o estaciona´rios em algum
ponto arbitra´rio e calcular a energia relacionada aos ele´trons somente. A equac¸a˜o de Schro¨dinger
e´ resolvida para a func¸a˜o de onda dos ele´trons do par atoˆmico considerando uma determinada
distaˆncia intermolecular x. Este ca´lculo fornece a energia da mole´cula para aquele determinado
espac¸amento. Assume-se enta˜o uma outra distaˆncia intermolecular e repete-se o ca´lculo. Isto
e´ feito para va´rias distaˆncias moleculares ate´ se obter a curva de energia potencial molecular
completa (figura 2.4). Este ca´lculo pode ser estendido para um nu´mero maior de a´tomos formando
uma mole´cula, e pode-se enta˜o falar de uma superf´ıcie de energia potencial . No espac¸amento
de equil´ıbrio, os ions participantes da ligac¸a˜o tocam-se mutuamente. Para os compostos ioˆnicos,
os ions positivos encontram-se cercados por ions negativos (e vice versa). Para os compostos
covalentes, os a´tomos esta˜o ligados de forma covalente, na configurac¸a˜o espacial de menor energia
potencial. No caso da mole´cula de a´gua, por exemplo, o aˆngulo formado entre os a´tomos de
hidrogeˆnio e oxigeˆnio e´ 104o e a distaˆncia entre eles e´ dada pelo ponto de mı´nimo da superf´ıcie de
energia potencial.
O valor da energia potencial no ponto de equil´ıbrio representa a diferenc¸a entre a energia dos a´tomos
combinados na forma de mole´cula e a energia dos a´tomos infinitamente afastados. A largura do
poc¸o de energia no diagrama e´ representativo da rigidez da ligac¸a˜o. O valor da energia potencial
correspondente ao comprimento de ligac¸a˜o de equil´ıbrio e´
Ep,xo = −A
[
n−m
(m− 1)(n− 1)
]
x−m+1o (2.10)
Este modelo simples de ligac¸a˜o molecular permite estimar o valor da energia necessa´ria para provo-
car a dissociac¸a˜o de uma mole´cula diatoˆmica. A Tabela 2.1 apresenta uma estimativa da ordem
de magnitude das forc¸as interatoˆmicas t´ıpicas em mole´culas.
Para que uma mole´cula seja quebrada, ou seja, para afastarmos dois a´tomos compondo uma
mole´cula ate´ uma distaˆncia infinita, os valores de energia mostrados na Tabela 2.1 devem ser
excedidos. Isto e´ o que se chama de dissociac¸a˜o da mole´cula e os valores listados na Tabela 2.1
34 CAPI´TULO 2. A´TOMOS E MOLE´CULAS