Apostila UFSC Séries e Equações Diferenciais

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SEQUEˆNCIAS, SE´RIES E EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS
Autores:
Ce´sar Augusto Bortot
Rafael Machado Casali
Ro´mulo Alberto Castillo Cardenas
Thales Maier de Souza
Joinville-SC
2017
Suma´rio
1 SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 2
1.1 Sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Representac¸a˜o Gra´fica de uma Sequeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Convergeˆncia e Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Se´ries Nume´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Se´ries Geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Teste da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Os Testes de Comparac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Se´ries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.5 Convergeˆncia Absoluta e os Testes da Raza˜o e da Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.6 Estrate´gia para Testar as Se´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.7 Se´ries de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.8 Representac¸a˜o de Func¸o˜es como Se´ries de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Se´ries de Taylor e Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4 Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.1 Convergeˆncia da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.2 Se´ries de Fourier e as Func¸o˜es Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS 51
2.1 Passos para Construc¸o˜es de Modelos Matema´ticos usando Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . 53
2.2 Classificac¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1 Equac¸o˜es Separa´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.2 EDO’s de 1a Ordem Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3 Equac¸o˜es Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.4 Equac¸o˜es Lineares de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.5 Equac¸o˜es Na˜o Lineares de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5 Equac¸o˜es Lineares de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.1 Construindo uma Segunda Soluc¸a˜o a partir da uma Soluc¸a˜o Conhecida . . . . . . . . 71
2.5.2 Equac¸o˜es Lineares de 2a Ordem Homogeˆneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . 72
2.5.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6 Equac¸o˜es Lineares Homogeˆneas e Na˜o Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
ii
SUMA´RIO 1
2.6.1 Teoria Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6.2 Equac¸o˜es Lineares Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6.3 Equac¸o˜es Lineares Na˜o Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.4 Equac¸a˜o de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7.1 Teorema de Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7.2 Sistemas Lineares Homogeˆneos com Coeficientestes Constantes . . . . . . . . . . . . . 89
2.7.3 Soluc¸o˜es na Forma de Se´ries para Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.8 Transforma da Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.8.1 Soluc¸a˜o de problemas de valores iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.8.2 Func¸a˜o degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.8.3 Func¸a˜o impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.8.4 Integral de convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.8.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS PARCIAIS 110
3.1 Conceitos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2 Equac¸a˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.1 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o do Calor - Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis . . . . . . . . . . . 113
3.3 Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.1 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o da Onda - Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis . . . . . . . . . . . 116
3.4 Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Cap´ıtulo 1
SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS
Introduc¸a˜o
Embora todos saibam como somar dois ou mais nu´meros, a soma infinita de nu´meros na˜o e´ uma operac¸a˜o
trivial. Esta operac¸a˜o e´ o tema principal da teoria das se´ries infinitas. Algumas vezes uma soma infinita de
termos resulta em um nu´mero.
Por exemplo, a soma 12 +
1
4 +
1
8 + ... tem como resultado o valor 1.
No entanto outras vezes e´ imposs´ıvel chegar ao resultado de uma soma infinita, por exemplo, 1 + 2 + 3 + ....
Conforme desenvolvemos uma teoria sobre sequeˆncias e se´ries infinitas, uma aplicac¸a˜o importante nos
fornece um me´todo de representar uma func¸a˜o deriva´vel f(x) como somato´rio infinito de poteˆncias de x.
1.1 Sequeˆncias
Intuitivamente, uma sequeˆncia e´ uma lista de nu´meros escritos em uma ordem definida:
a1, a2, a3, ..., an, ...
Cada ai, representa um nu´mero denominado termo ou elemento da sequeˆncia.
Definic¸a˜o 1.1. (Sequeˆncia Infinita) Uma sequeˆncia nume´rica e´ uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ o conjunto
dos nu´meros inteiros positivos (Naturais), isto e´,
f : N → R
n 7→ f(n) = an.
Notac¸a˜o:
• a1, a2, a3, . . .
• {an}n∈N
• {an}∞n=n0
• (an)n∈N
2
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 3
Exemplo 1.1.
1.
{
1
n
}
n∈N
=
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . . ,
1
n
,. . .
}
2. (
√
n)n∈N =
(√
1,
√
2,
√
3, . . . ,
√
n, . . .
)
3. bn = (−1)n+1
1
n
ou {bn} =
{
1,−12 , 13 ,−14 , . . . , (−1)n+1 1n , . . .
}
4. cn =
n− 1
n
ou {cn} =
{
0, 12 ,
2
3 ,
3
4 , . . . ,
n−1
n , . . .
}
5. dn = (−1)n+1 ou {dn} = {1,−1, 1,−1, . . .}
6. {an} = {
√
n}∞n=1
7.
{√
n− 3}∞
n=3
ou an =
√
n− 3, n ≥ 3 ou {an} =
{
0, 1,
√
2,
√
3, . . . ,
√
n− 3, . . .}
Observac¸a˜o 1.1. Nas sequeˆncias onde e´ poss´ıvel determinar uma expressa˜o que caracterize a sequeˆncia,
dizemos que tal expressa˜o e´ o termo geral da sequeˆncia.
Exemplo 1.2. A sequeˆncia {an} =
{
1, 12 ,
1
3 ,
1
4 , ...
}
possui termo geral an =
1
n .
Observac¸a˜o 1.2. Para muitas sequeˆncias e´ imposs´ıvel determinar uma expressa˜o que caracterize o termo
geral.
Exemplo 1.3. A sequeˆncia {an} = {1, 3, 5, 7, 11, ...} na˜o possui termo geral definido.
Observac¸a˜o 1.3. Algumas sequeˆncias sa˜o definidas recursivamente.
Exemplo 1.4. A sequeˆncia de Fibonacci e´ definida por
a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2 n ≥ 3.
Cada termo e´ a soma dos dois termos precedentes.
1.1.1 Representac¸a˜o Gra´fica de uma Sequeˆncia
Podemos representar graficamente as sequeˆncias.
1o Me´todo: Podemos marcar os pontos iniciais a1, a2, a3, ..., an, ... no eixo real.
2o Me´todo: Podemos representar o gra´fico da func¸a˜o que define a sequeˆncia, isto e´, pontos da forma
(n, an).
Exemplo 1.5. {an} = { nn+1}.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 4
1.1.2 Convergeˆncia e Divergeˆncia
Algumas vezes, os nu´meros da sequeˆncia se aproximam de um u´nico valor a medida que o ı´ndice n
aumenta.
Exemplo 1.6. Na sequeˆncia {
1
n
}∞
n=1
=
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . . ,
1
n
, . . .
}
os termos se aproximam de 0 conforme n aumenta.
Exemplo 1.7. Na sequeˆncia {
n− 1
n
}∞
n=1
=
{
0,
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, . . . ,
n− 1
n
, . . .
}
os termos se aproximam de 1.
Por outro lado, existem sequeˆncias que a medida que n aumenta e na˜o se aproximam de um valor real, por
exemplo
{√n} =
{√
1,
√
2,
√
3, . . . ,
√
n, . . .
}
.
Observac¸a˜o 1.4. Existem ainda sequeˆncias que ficam oscilando e nunca convergem para um u´nico valor,
por exemplo, os termos da sequeˆncia{
1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n+1, . . .}
oscilam entre −1 e 1 e nunca convergem para um u´nico valor.
Definic¸a˜o 1.2. (Limite de uma sequeˆncia) A sequeˆncia {an} converge para o nu´mero L se para todo nu´mero
positivo ε > 0 existe um ı´ndice natural N0 tal que, para todo n > N0 ⇒ |an − L| < ε.
Se {an} converge dizemos que {an} e´ convergente.
Se o nu´mero L naa˜o existe, dizemos que {an} diverge (ou e´ divergente).
Se {an} converge para L, escrevemos
lim
n→∞ an = L ou an −→ L quando n→∞. (1.1)
Exemplo 1.8. Seja an =
1
n , vamos mostrar que limn→∞ an = 0.
Com efeito, seja ε > 0. Devemos mostrar que existe N0 tal que ∀ n > N0 segue que∣∣∣∣ 1n − 0
∣∣∣∣ < ε.
De fato, note que a desigualdade | 1n − 0| < ε nos da´ o ’caminho’ para encontrar N0. Isto e´,∣∣∣∣ 1n
∣∣∣∣ < ε⇔ n > 1ε .
Logo, para cada ε > 0 dado considere N0 =
1
ε . Desta forma se n > N0 temos∣∣∣∣ 1n − 0
∣∣∣∣ = 1n < 1N0 = ε,
provando o desejado.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 5
Exemplo 1.9. Mostre que a sequeˆncia {an} =
{
n−1
n
}
converge para 1, isto e´,
lim
n→∞ an = 1.
Soluc¸a˜o:
Temos que mostrar que ∀ ε > 0, existe N0 ∈ N, tal que se n > N0 ⇒
∣∣n−1
n − 1
∣∣ < ε.
De fato, manipulando a desigualdade
∣∣n−1
n − 1
∣∣ < ε obtemos∣∣∣∣n− 1n − 1
∣∣∣∣ < ε⇔ ∣∣∣∣n− 1− nn
∣∣∣∣ < ε⇔ ∣∣∣∣−1n
∣∣∣∣ < ε⇔ n > 1ε︸︷︷︸
N0
.
Logo para cada ε > 0 dado considere N0 =
1
ε . Enta˜o se n > N0 segue que∣∣∣∣n− 1n − 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−1n
∣∣∣∣ = 1n < 1N0 = ε.
Exemplo 1.10. (Uma sequeˆncia divergente) Mostre que a sequeˆncia
{
(−1)n+1} diverge.
Soluc¸a˜o:
Suponha por absurdo que lim
n→∞ an = L. Enta˜o dado ε =
1
2 , pela definic¸a˜o, existe N0 tal que se n > N0
temos |an − L| < 12 , isto e´,
−1
2
< an − L < 1
2
⇒ −1
2
+ an < L <
1
2
+ an.
Se N1 > N0 for ı´mpar temos que aN1 = 1 ⇒ 12 < L < 32 .
Se N2 > N0 for par temos que aN2 = −1 ⇒ −32 < L < −12 .
Mas L na˜o pertence ao mesmo tempo aos intervalos
(−32 ,−12) e (12 , 32) , donde segue o absurdo.
Observac¸a˜o 1.5. A sequeˆncia (
√
n)n∈N tambe´m diverge, mas por raza˜o diferente, ou seja,
√
n −→ +∞ quando n→∞.
A observac¸a˜o 1.5 nos leva a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.3. (Divergeˆncia para o infinito) A sequeˆncia (an) diverge para o infinito se para todo M > 0,
existe N0 ∈ N, tal que se
n > N0 ⇒ an > M.
Se tal condic¸a˜o e´ satisfeita temos
lim
n→∞ an = +∞ ou an −→ +∞.
Analogamente, se para todo nu´mero m < 0 , existe N0 ∈ N, tal que se
n > N0 ⇒ an < m,
dizemos que (an) diverge para menos infinito e escrevemos
lim
n→∞ an = −∞ ou an −→ −∞.
Teorema 1.1. Se lim
n→∞ an existe enta˜o ele e´ u´nico.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 6
Demonstrac¸a˜o. Suponha que an −→ L1 e an −→ L2. Por definic¸a˜o temos que, para cada ε > 0 dado:
• existe N1 tal que |an − L1| < ε2 para n > N1.
• existe N2 tal que |an − L2| < ε2 para n > N2.
Seja N0 = max{N1, N2}. Logo para n > N0, temos
|L1 − L2| = |an − an + L1 − L2| ≤ |an − L2|+ |L1 − an| < ε.
Ou seja, |L1 − L2| < ε para todo ε > 0. Mas isso so´ e´ poss´ıvel se |L1 − L2| = 0, isto e´, L1 = L2.
Observac¸a˜o 1.6. Sabemos que as sequeˆncias sa˜o func¸o˜es cujo domı´nio esta´ restrito ao conjunto dos nu´meros
naturais, logo os teoremas va´lidos para limites de func¸o˜es possuem verso˜es para sequeˆncias.
Teorema 1.2. Se lim
x→+∞ f(x) = L e an := f(n), n ∈ N. Enta˜o limn→∞ an = L.
Demonstrac¸a˜o. Deixamos a demonstrac¸a˜o a cargo do leitor.
Exemplo 1.11. Seja f(x) =
1
xr
quando r > 0. Sabemos que lim
x→+∞
1
xr
= 0.
Como f(n) =
1
nr
:= an, segue pelo Teorema 1.2 que lim
n→∞ f(n) = limn→∞
1
nr
= 0, r > 0.
Exemplo 1.12. Seja f(x) = e−x. Temos que lim
x→+∞ e
−x = 0. Logo se an := f(n) = e−n, segue que
lim
n→∞ e
−n = 0.
Exemplo 1.13. Calcular lim
n→∞
lnn
n
.
Soluc¸a˜o: Na˜o podemos empregar a Regra de L’Hospital diretamente, pois ela na˜o se aplica a sequeˆncias e
sim a func¸o˜es reais.
Enta˜o, considere f(x) =
lnx
x
; x > 0.
Por L’Hospital
lim
x→+∞
lnx
x
= lim
x→+∞
1
x
= 0.
Portanto lim
n→∞
lnn
n
= 0.
Teorema 1.3. Sejam (an) e (bn) sequeˆncias de nu´meros reais, A,B,C ∈ R. Se lim
n→∞ an = A e limn→∞ bn = B,
enta˜o:
1. (Regra da soma) lim
n→∞(an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn = A+B.
2. (Regra da diferenc¸a) lim
n→∞(an − bn) = limn→∞ an − limn→∞ bn = A−B.
3. (Regra do produto) lim
n→∞ an · bn = A ·B.
4. (Multiplicac¸a˜o por constante) lim
n→∞Can = C limn→∞ an = C ·A.
5. (Regra do quociente) lim
n→∞
an
bn
=
A
B
se B 6= 0.
6. lim
n→∞ |an| = |A|.
7. Se k e´ ı´mpar, enta˜o lim
n→∞
k
√
an =
k
√
A.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 7
8. Se k e´ par e an ≥ 0 para n suficientemente grande, enta˜o lim
n→∞
k
√
an =
k
√
A.
Exemplo 1.14.
1. lim
n→∞
(
− 1
n
)
= (−1) lim
n→∞
1
n
= (−1) · 0 = 0
2. lim
n→∞
n− 1
n
= lim
n→∞
(
1− 1
n
)
= lim
n→∞ 1− limn→∞
1
n
= 1− 0 = 1
3. lim
n→∞
5
n2
= 5 lim
n→∞
1
n
1
n
= 5 lim
n→∞
1
n
lim
n→∞
1
n
= 5 · 0 · 0 = 0
4. lim
n→∞
4− 7n6
n6 + 3
= lim
n→∞
4
n6
− 7
1 + 3
n6
=
0− 7
1 + 0
= −7
5. lim
n→∞
n2 + 5
n6 − 1 = limn→∞
n6
(
1
n4
+ 5
n6
)
n6
(
1− 1
n6
) = lim
n→∞
(
1
n4
+ 5
n6
)(
1− 1
n6
) = 0
6. Calcule lim
n→∞n
√3 + 1
n
−
√
3
 .
Soluc¸a˜o: Como lim
n→∞n = +∞ e limn→∞
√3 + 1
n
−
√3
 = 0 na˜o podemos aplicar a regra do produto.
No entanto note que se
f(x) = x
√3 + 1
x
−
√
3
 =
√3 + 1
x
−√3

(
1
x
)
segue, usando a Regra de L’Hospital, que
lim
x→+∞
√3 + 1
x
−√3

(
1
x
) = lim
x→+∞
1
2
(
3 + 1x
)− 1
2
(
1
x
)′
(
1
x
)′ = limx→+∞ 12 1√
3 +
1
x
=
1
2
1√
3
=
√
3
6
.
Portanto lim
n→∞n
√3 + 1
n
−
√
3
 = √3
6
.
Observac¸a˜o 1.7. O Teorema 1.3 na˜o afirma nada sobre o limite de cada uma das sequeˆncias (an) e (bn)
caso a sequeˆncia soma (an + bn) tenha um limite.
Veja, por exemplo, que se (an) = (1, 2, 3, ...) e (bn) = (−1,−2,−3, ...), temos que (an + bn) = (0, 0, 0, ...),
logo (an + bn) −→ 0 pore´m an −→ +∞ e bn −→ −∞.
Teorema 1.4. (Teorema do Confronto para sequeˆncias) Sejam (an), (bn) e (cn) sequeˆncias nume´ricas. Se
an ≤ bn ≤ cn, para todo n > N0, para algum N0 ∈ N, e lim
n→∞ an = L = limn→∞ cn. Enta˜o
lim
n→∞ bn = L.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 8
Exemplo 1.15. A sequeˆncia
(
1
n!
)
converge?
Soluc¸a˜o: Como n! ≥ n temos que
0 <
1
n!
≤ 1
n
; ∀ n ≥ 1.
Logo lim
n→∞
1
n!
= 0 uma vez que lim
n→∞
1
n
= lim
n→∞ 0 = 0.
Exemplo 1.16. A sequeˆncia
(
|sen(n)|
n
)
converge?
Soluc¸a˜o: Note que
−1 ≤ sen(n) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ |sen(n)| ≤ 1 ⇒ 0 ≤ |sen(n)|
n
≤ 1
n
.
Portanto lim
n→∞
|sen(n)|
n
= 0.
Teorema 1.5. (Teorema da func¸a˜o cont´ınua para sequeˆncias) Seja (an) uma sequeˆncia de nu´meros reais.
Se an −→ L e se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em L, enta˜o f(an) −→ f(L).
Exemplo 1.17. Considere a sequeˆncia
(
2
1
n
)
.
Como
1
n
−→ 0 e f(x) = 2x e´ uma func¸a˜o cont´ınua segue lim
n→∞ 2
1
n = lim
n→∞ f
(
1
n
)
= f(0) = 1, isto e´,
2
1
n −→ 1.
Teorema 1.6. Se lim
n→∞ |an| = 0, enta˜o limn→∞ an = 0.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que lim
n→∞ |an| = 0. Enta˜o para todo ε > 0 existe N0 ∈ N tal que ||an| − 0| < ε,
sempre que n > N0. Logo
|an − 0| = |an| = ||an| − 0| < ε,
sempre que n > N0. Provando o desejado.
Exemplo 1.18. Analise a poss´ıvel convergeˆncia da sequeˆncia
(
(−1)n
n
)
.
Soluc¸a˜o: De fato,
lim
n→∞
∣∣∣∣(−1)nn
∣∣∣∣ = limn→∞ 1n = 0 =⇒ limn→∞ (−1)nn = 0.
Teorema 1.7. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras:
1. lim
n→∞
(
ln(n)
n
)
= 0.
2. lim
n→∞
n
√
n = 1.
3. lim
n→∞x
1
n = 1; x > 0.
4. lim
n→∞x
n = 0; |x| < 1.
5. lim
n→∞
(
1 +
x
n
)n
= e; ∀ x ∈ R.
6. lim
n→∞
xn
n!
= 0; ∀ x ∈ R.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 9
Sequeˆncias Mono´tonas
Definic¸a˜o 1.4. Uma sequeˆncia (an) e´ denomindada:
(i) Mono´tona crescente se an < an+1, ∀n.
(ii) Mono´tona na˜o-decrescente se an ≤ an+1, ∀n.
(iii) Mono´tona decrescente se an > an+1, ∀n.
(iv) Mono´tona na˜o-crescente se an ≥ an+1, ∀n.
Exemplo 1.19.
1. {1, 2, 3, 4, . . . , n, . . .} e´ mono´tona crescente.
2.
{
1
2 ,
2
3 ,
3
4 ,
4
5 , . . .
}
e´ mono´tona crescente.
3. {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, . . .} e´ mono´tona na˜o-decrescente.
4.
{
1
n
}
e´ mono´tona descrente.
5.
{
1, 1, 12 ,
1
2 ,
1
3 ,
1
3
}
e´ mono´tona na˜o-crescente.
6.
{
3
n+5
}
e´ descrescente, pois an =
3
n+5 e an+1 =
3
(n+1)+5 =
3
n+6 .
Como
an+1 − an = 3
n+ 6
− 3
n+ 5
=
3(n+ 5)− 3(n+ 6)
(n+ 6)(n+ 5)
=
−3
(n+ 6)(n+ 5)
< 0,
segue que an+1 < an.
Definic¸a˜o 1.5. Uma sequeˆncia {an} e´ dita limitada superiormente se existir um nu´mero M tal que
an ≤M, ∀n ≥ 1.
E e´ dita limitada inferiormente se existir um nu´mero m tal que
m ≤ an, ∀n ≥ 1.
Se ela for limitada superiormente e inferiormente, enta˜o {an} e´ uma sequeˆncia limitada.
Exemplo 1.20.
1. A sequeˆncia (n) e´ limitada inferiormente por 0, pois an > 0, ∀ n ≥ 1.
2. A sequeˆncia
(
n
n+1
)
e´ limitada, pois 0 < an < 1, ∀ n ≥ 1.
3. A sequeˆncia (−n+ 1) e´ limitada superiormente por 0, pois −n+ 1 ≤ 0, ∀ n ≥ 1.
Teorema 1.8. Toda sequeˆncia mono´tona e limitada e´ convergente.
Exemplo 1.21. Seja a sequeˆncia
(
3n+1
2n−1
)
. Esta sequeˆncia e´ convergente?
Soluc¸a˜o: Vamos verificar se (an) e´ mono´tona e limitada. De fato,
an =
3n+ 1
2n− 1; an+1 =
3(n+ 1) + 1
2(n+ 1)− 1 =
3n+ 4
2n+ 1
.
Note que
an+1 − an = 3n+ 4
2n+ 1
− 3n+ 1
2n− 1 =
−5
(2n+ 1)(2n− 1) < 0 ∀ n ≥ 1.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 10
Logo an+1 − an < 0 ⇒ an+1 < an, ou seja, (an) e´ decrescente.
Em seguida vamos verificar a limitac¸a˜o.
Como n ≥ 1 segue que
(
3n+1
2n−1
)
> 0, ∀ n ≥ 1. Ale´m disso como (an) e´ descrescente, temos que
a1 > a2 > a3 > ... > an > an+1 > ...
E a1 = 4, enta˜o an ≤ 4. Provando assim que (an) e´ limitada.
Portanto (an) e´ convergente.
Observac¸a˜o 1.8. Para mostrar que uma sequeˆncia (an) e´ limitada podemos mostrar que existe uma cons-
tante k > 0 tal que |an| ≤ k; ∀ n, pois se |an| ≤ k ⇒ −k ≤ an ≤ k, e assim fazendo M = k e m = −k
temos a definic¸a˜o de (an) se limitada satisfeita.
1.1.3 Exerc´ıcios
1. Liste os cinco primeiros termos das sequeˆncias abaixo:
a) an =
1− n
n2
b) an =
1
n!
c) an =
2n
2n+1
d) a1 = 1 , an+1 = an + (1/2)
n
e) a1 = 2 , an+1 = (−1)n+1an
2
f) a1 = a2 = 1 , an+2 = an+1 + an
2. Encontra fo´rmula para o termo geral da sequeˆncias abaixo:
a) {1,−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . . }
b) {2, 7, 12, 17, . . . }
c) {1,−4, 9,−16, 25, . . . }
d)
{
1
25
,
8
125
,
27
625
,
64
3125
, . . .
}
3. Determine se as sequeˆncias convergem ou divergem. Caso a sequeˆncia convirja calcule o limite.
a) an = 2 + (0, 1)
n
b) an =
1− 2n
1 + 2n
c) an =
1− 5n4
n4 + 8n3
d) an =
n2 − 2n+ 1
n− 1
e) an = 1 + (−1)n
f) an =
n
2n
g) an =
ln(n+ 1)√
n
h) an =
sen2(n)
2n
i) an =
lnn
ln(2n)
j) an =
(
n+ 1
2n
)(
1− 1
n
)
k) an = sen
(
pi
2
+
1
n
)
l) an =
n
√
32n+1
m) an =
n!
nn
n) an = n
(
1− cos 1
n
)
o) an =
n!
2n3n
p) an = lnn− ln(n+ 1)
q) an = sinh(lnn)
r) an =
1
n
∫ n
1
dx
xp
, p > 1
s) an =
senn
n
4. Assuma que cada sequeˆncia convirja e encontre o limite:
a) a1 = 2 , an+1 =
72
1 + an
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 11
b) a1 = −4 , an+1 =
√
8 + 2an
c) a1 = 5 , an+1 =
√
5an
d)
2, 2 + 12 , 2 + 12 + 12 , 2 + 12 + 12+ 1
2
, . . .

e)
{
√
1,
√
1 +
√
1,
√
1 +
√
1 +
√
1,
√
1 +
√
1 +
√
1 +
√
1, . . .
}
5. Determine se a sequeˆncia e´ crescente, decrescente ou na˜o monotonica. A sequeˆncia e´ limitada?
a) an =
1
5n
b) an =
1
2n+ 3
c) an = cos(npi/2)
d) an = ne
−n
e) an = n+
1
n
1.2 Se´ries Nume´ricas
A expressa˜o
6∑
n=1
an = a1 + a2 + ...+ a6
representa a soma finita de nu´meros reais.
E a expressa˜o
+∞∑
n=1
an
o que significa?
Essa expressa˜o representa uma soma infinita, assim surge a seguinte questa˜o: Como calcula´-la?
Definic¸a˜o 1.6. Uma se´rie nume´rica real e´ uma expressa˜o do tipo
a1 + a2 + a3 + a4 + . . .
ou, simplesmente
∞∑
n=1
an ou
∑
an.
Definic¸a˜o 1.7. (Somas parciais) Seja
∑
an uma se´rie nume´rica. Definimos a sequeˆncia das somas parciais
de
∑
an como sendo a sequeˆncia (sn) dada por:
s1 = a1
s2 = a1 + a2 = s1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3 = s2 + a3
...
sn = a1 + a2 + · · ·+ an = sn−1 + an
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 12
Definic¸a˜o 1.8. (Convergeˆncia) Dizemos que a se´rie
∞∑
n=1
an converge para um nu´mero s se a sequeˆncia das
somas parciais (sn) tem limite igual a s. Neste caso, s e´ a soma da se´rie
∞∑
n=1
an, isto e´,
s = lim
n→∞ sn = limn→∞
n∑
i=1
ai =
∞∑
i=1
ai =
∞∑n=1
an.
Se (sn) na˜o tem limite, dizemos que a se´rie
∞∑
n=1
an diverge.
Observac¸a˜o 1.9. Quando escrevemos
∞∑
n=1
an = s queremos dizer que, adicionando um nu´mero suficiente
de termos da se´rie, podemos chegar ta˜o pro´ximo quanto quisermos do nu´mero s.
1.2.1 Se´ries Geome´tricas
Definic¸a˜o 1.9. Uma se´rie geome´trica e´ uma se´rie da forma
a+ ar + ar2 + ...+ arn−1 + ... =
∞∑
n=1
arn−1,
onde a e r sa˜o nu´meros reais fixados e a 6= 0. A se´rie tambe´m pode ser reescrita como
∞∑
n=0
arn.
Se |r| 6= 1, podemos determinar a convergeˆncia ou dirvegeˆncia da se´rie geome´trica.
De fato,
sn = a+ ar + ar
2 + ...+ arn−1
rsn = ar + ar
2 + ar3 + ...+ arn−1 + arn
sn − rsn = a− arn ⇒ sn(1− r) = a− arn ⇒ sn = a(1− r
n)
1− r ; r 6= 1.
Casos:
(1o) Se |r| < 1, enta˜o rn −→ 0 quando n→∞, enta˜o sn = a(1−r
n)
1−r −→ a1−r , ou seja, a se´rie converge.
(2o) Se |r| > 1, enta˜o rn −→ ±∞ quando n→∞, dependendo do sinal de r. Logo a se´rie diverge.
(3o) Se r = 1, enta˜o
∞∑
n=0
a = a+ a+ a... = +∞. Portanto a se´rie diverge.
(4o) Se r = −1, enta˜o
∞∑
n=0
a(−1)n = a− a+ a− a... que tambe´m diverge. De fato,
s0 = a; s1 = a− a; s2 = a− a+ a = a, ... ,
isto e´, se n e´ par sn = a e se n e´ ı´mpar sn = 0, logo temos a sequeˆncia {sn} = {0, a, 0, a, ...} que e´
divergente pois a 6= 0.
Exemplo 1.22. Seja a se´rie
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
. Verificar sua convergeˆncia.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 13
Soluc¸a˜o: Para facilitar a obtenc¸a˜o do termo geral da sequeˆncia (sn), e´ conveniente escrevermos:
1
n(n+ 1)
=
1
n
− 1
n+ 1
.
Assim,
s1 = 1− 1
2
s2 =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
= 1− 1
3
s3 =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
= 1− 1
4
...
sn = 1− 1
n+ 1
Como lim
n→∞
(
1− 1
n+ 1
)
= 1 segue que a se´rie
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
converge e tem limite 1.
Exemplo 1.23. A se´rie
∞∑
n=1
22n31−n e´ convergente ou divergente?
Soluc¸a˜o: Note que
∞∑
n=1
22n31−n =
∞∑
n=1
4n
3n−1
=
∞∑
n=1
4n
3n · 3−1 =
∞∑
n=1
3
(
4
3
)n
.
Logo temos uma se´rie geome´trica de raza˜o r = 43 > 1. Portanto a se´rie diverge.
Teorema 1.9. Se a se´rie
∑
an e´ convergente, enta˜o lim
n→∞ an = 0.
Observac¸a˜o 1.10. O teorema anterior na˜o garante que se lim
n→∞ an = 0 enta˜o a se´rie
∑
an e´ convergente.
Por exemplo a se´rie harmoˆnica
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · ·
e´ divergente no entanto 1n −→ 0.
Em geral o teorema anterior e´ usado para verificar uma poss´ıvel divergeˆncia da se´rie, como e´ descrito pelo
teorema a seguir.
Teorema 1.10. (Teste da Divergeˆncia) Seja a se´rie
∑
an. Se lim
n→∞ an na˜o existir ou limn→∞ an 6= 0, enta˜o a
se´rie
∑
an e´ divergente.
Exemplo 1.24.
1. A se´rie
∞∑
n=1
n+ 1
n
diverge, pois lim
n→∞
n+ 1
n
= 1 6= 0.
2. Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
n2
5n2 + 4
diverge.
De fato,
lim
n→∞
n2
5n2 + 4
= lim
n→∞
1
5 + 4
n2
=
1
5
6= 0.
Logo, pelo Teste da Divergeˆncia,
∞∑
n=1
n2
5n2 + 4
diverge.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 14
Teorema 1.11. Se
∑
an = A e
∑
bn = B sa˜o convergentes, enta˜o
1. (Regra da Multiplicac¸a˜o por uma constante)
∑
kan = k
∑
an = kA; ∀ k ∈ R.
2. (Regra da soma)
∑
(an + bn) =
∑
an +
∑
bn = A+B.
3. (Regra da diferenc¸a)
∑
(an − bn) =
∑
an −
∑
bn = A−B.
Cuidado! Lembre-se que
∑
(an + bn) pode ser convergente quando ambas as se´ries
∑
an e
∑
bn divergem.
Por exemplo se an = 1 e bn = −1 para todo n.
Exemplo 1.25. Calcule a soma da se´rie
∞∑
n=1
(
3
n(n+ 1)
+
1
2n
)
.
Soluc¸a˜o: Ja´ vimos anteriormente que
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
= 1. Logo
∞∑
n=1
3
n(n+ 1)
= 3
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
= 3.
Ale´m disso
∞∑
n=1
1
2n
=
∞∑
n=1
(
1
2
)n
, isto e´, temos uma se´rie geome´trica com |r| = 12 < 1.
Tambe´m sabemos que para o caso de uma se´rie geome´trica
∞∑
n=0
arn com |r| < 1, esta converge para a1−r .
Em nosso caso temos a = 1 e r = 12 , portanto
∞∑
n=0
(
1
2
)n
=
1
1− 12
= 2.
Note que nossa se´rie comec¸a em n = 1. Assim
2 =
∞∑
n=0
(
1
2
)n
= 1 +
∞∑
n=1
(
1
2
)n
⇒
∞∑
n=1
(
1
2
)n
= 1.
Portanto,
∞∑
n=1
(
3
n(n+ 1)
+
1
2n
)
= 3
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
+
∞∑
n=1
1
2n
= 3 · 1 + 1 = 4.
Observac¸a˜o 1.11. Seja
∞∑
n=n0
arn uma se´rie geome´trica com |r| < 1 e n0 ≥ 1. Enta˜o
∞∑
n=n0
arn =
arn0
1− r .
De fato, a convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=n0
arn e´ garantida pois |r| < 1. Sabemos que
∞∑
n=0
arn =
a
1− r . Como
a
1− r =
∞∑
n=0
arn = a+ ar + ar2 + ...+ arn0−1 +
∞∑
n=n0
arn.
Assim,
∞∑
n=n0
arn =
a
1− r − a− ar − ar
2 − ...− arn0−1 = ar
n0
1− r .
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 15
1.2.2 Teste da Integral
Dada uma se´rie
∑
an, surgem duas perguntas:
1. A se´rie converge?
2. Se ela converge, qual sua soma?
Em geral e´ dif´ıcil encontrar a soma exata de uma se´rie. Nos casos anteriores, onde conseguimos calcular,
encontramos uma fo´mula simples para a n−e´sima soma parcial sn. Nem sempre e´ fa´cil calcular lim
n→∞ sn. Por
esses motivos nos concentraremos em responder a primeira questa˜o.
Motivac¸a˜o: Seja a se´rie
∞∑
n=1
1
n2
= 1 +
1
24
+
1
32
+ ...
Na˜o conseguimos determinar facilmente a regra geral para a sequeˆncia (sn) das somas parciais.
A figura mostra a curva y = 1
x2
, x > 0, e retaˆngulos que esta˜o abaixo da curva. A base de cada retaˆngulo
e´ um intervalo de comprimento 1, a altura e´ igual ao valor da func¸a˜o y = 1
x2
aplicada no extremo direito do
intervalo.
Se excluirmos o primeiro retaˆngulo, a a´rea total dos retaˆngulos remanescentes sera´ menor que a a´rea sob
a curva y = 1
x2
, x ≥ 1, que e´ dada pela integral impro´pria
∫ ∞
1
1
x2
dx.
Sabemos que ∫ ∞
1
1
x2
dx = lim
b→∞
(∫ b
1
1
x2
dx
)
= lim
b→∞
(
−1
x
∣∣∣∣b
1
)
= lim
b→∞
1− 1
b
= 1.
Logo a figura mostra que todas as somas parciais sa˜o menores que 1
12
+
∫ ∞
1
1
x2
dx = 2.
Enta˜o as somas parciais sa˜o limitadas e tambe´m sabemos que as somas parciais sa˜o crescentes (estamos
adicionando termos positivos em cada termo da sequeˆncia).
Portanto, pelo Teorema da sequeˆncia mono´tona limitada, a sequeˆncia das somas parciais converge e desta
maneira a se´rie e´ convergente. Neste caso sabe-se, devido a Euler, que
∞∑
1
1
n2
=
pi2
6
.
Teorema 1.12. (O Teste da Integral) Suponha que f seja uma func¸a˜o cont´ınua, positiva e decrescente
em [1,+∞) e seja an = f(n). Enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
an e´ convergente se, e somente se, a integral impro´pria∫ ∞
1
f(x) dx for convergente. Em outra palavras:
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 16
1. Se
∫ ∞
1
f(x)dx for convergente, enta˜o
∞∑
n=1
an e´ convergente.
2. Se
∫ ∞
1
f(x)dx for divergente, enta˜o
∞∑
n=1
an e´ divergente.
Observac¸a˜o 1.12. Para usar o Teste d Integral na˜o e´ necessa´rio comec¸ar a contagem da se´rie ou a integral
em n = 1. Basta que f seja decrescente para x maior que algum nu´mero N . Por exemplo se consideramos
a se´rie
∞∑
n=4
1
(n− 3)2 usamos a integral
∫∞
4
1
(n−3)2dx.
Exemplo 1.26. Teste a se´rie
∞∑
n=1
1
n2 + 1
para convergeˆncia ou divergeˆncia.
Soluc¸a˜o: Como f(x) = 1
x2+1
e´ uma func¸a˜o cont´ınua, positiva e decrescente em [1,+∞) podemos aplicar o
Teste da Integral. Note que∫ ∞
1
1
x2 + 1
dx = lim
t→∞
∫ t
1
1
x2 + 1
dx
= lim
t→∞
[
arctg(x)|t1
]
=
pi
2
− pi4
=
pi
4
.
Assim,
∫ ∞
1
1
x2 + 1
dx e´ convergente. Portanto,
∞∑
n=1
1
n2 + 1
e´ convergente.
Exemplo 1.27. (Se´rie Harmoˆnica de ordem p ou p-se´rie)
Testar a convergeˆncia ou divergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
1
np
.
Soluc¸a˜o:
• Se p < 0, enta˜o lim
n→∞
1
np
= +∞.
Logo, pelo Teste da Divergeˆncia,
∑ 1
np diverge.
• Se p = 0, temos
∞∑
n=1
1, e como lim
n→∞
1
np
= lim
n→∞ 1 = 1 6= 0 segue, pelo Teste da Divergeˆncia que
∑ 1
np
diverge.
• Se p > 0, enta˜o podemos usar o Teste da Integral uma vez que a func¸a˜o f(x) = 1xp e´ cont´ınua, positiva
e decrescente em [1,+∞).
Observe que, se p > 1, temos:
∫ ∞
1
1
xp
dx = lim
t→∞
∫ t
1
x−p dx = lim
t→∞
 t1−p1− p︸ ︷︷ ︸
→0
− 1
1− p
 = 1p− 1 ,
pois t1−p = 1
tp−1 com p− 1 > 0 ⇒ t
1−p
1−p −→ 0 quando t→ +∞.
Logo,
∞∑
1
1
np
converge para p > 1.
Se 0 < p < 1, enta˜o 1− p > 0 e
∫ ∞
1
1
xp
dx = lim
t→∞
 t1−p1− p︸ ︷︷ ︸
→+∞
− 1
1− p
 = +∞,
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 17
pois t1−p = 1
tp−1 com 1− p > 0 ⇒ t
1−p
1−p −→ +∞ quando t→ +∞.
Logo, pelo Teste da Integral,
∞∑
n=1
1
np
diverge para 0 < p < 1.
Se p = 1 temos
∑ 1
n e como a integral∫ ∞
1
1
x
dx = lim
t→∞
∫ t
1
1
x
dx = lim
t→∞ ln t = +∞,
conclu´ımos que
∑ 1
n diverge.
Conclusa˜o: A p-se´rie
∞∑
n=1
1
np
e´ convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1.
Exemplo 1.28. 1. A se´rie
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ · · · e´ uma p-se´rie com p = 1. Portanto diverge.
2. A se´rie
∞∑
n=1
1
n3
= 1 +
1
23
+
1
33
+
1
43
+ · · · e´ uma p-se´rie com p = 3 > 1. Portanto converge.
3. A se´rie
∞∑
n=1
1
3
√
n
= 1 +
1
3
√
2
+
1
3
√
3
+
1
3
√
4
+ · · · e´ uma p-se´rie com p = 13 < 1. Portanto diverge.
4. A se´rie
∞∑
n=1
1
n2
= 1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+ · · · e´ uma p-se´rie com p = 2 > 1. Portanto converge.
Observac¸a˜o 1.13. Na˜o devemos inferir a partir do Teste da Integral que a soma da se´rie e´ igual ao valor
da integral. Por exemplo, vimos que
∞∑
n=1
1
n2
=
pi2
6
, enquanto que
∫ ∞
1
1
x2
dx = 1.
Exemplo 1.29. Verificar convergeˆncia ou divergeˆncia de
∞∑
n=1
ne−n.
Soluc¸a˜o: Seja f(x) = xe−x, para x ≥ 1.
• f e´ cont´ınua e positiva.
• f e´ decrescente, pois f ′(x) = −xe−x + e−x = (1 − x)e−x. Como x ≥ 1, 1 − x ≤ 0. Logo f ′(x) =
(1− x)e−x ≤ 0 ∀ x ∈ [1,∞).
Assim, podemos usar o Teste da Integral:∫ ∞
1
xe−x dx = lim
t→∞
∫ t
1
xe−x dx = lim
t→∞
[−xe−x − e−x|t1] = lim
t→∞
[−te−t − e−t + e−1 + e−1]
= 2e−1 + lim
t→∞
−t
et
= 2e−1 + lim
t→∞
−1
et
= 2e−1.
Como
∫ ∞
1
xe−x dx = 2e−1 converge, enta˜o pelo Teste da Integral,
∞∑
n=1
ne−n tambe´m converge.
Exemplo 1.30. Verificar convergeˆncia ou divergeˆncia de
∞∑
n=1
lnn
n
.
Soluc¸a˜o: Seja f(x) = lnxx , para x > 1.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 18
• f e´ positiva e cont´ınua.
• Na˜o e´ o´bvio que f e´ decrescente, assim calculando sua derivada temos:
f ′(x) =
(
1
x
)
x− lnx
x2
=
1− lnx
x2
.
Enta˜o, f ′(x) < 0 quando 1−lnx < 0, ou seja, x > e. Logo f e´ decrescente em [e,∞). Como ja´ observamos,
podemos aplicar o Teste da Integral considerando o decrescimento de f em [e,∞), isto e´,∫ ∞
e
lnx
x
dx = lim
t→∞
∫ t
e
lnx
x
dx = lim
t→∞
[
(ln t)2
2
− 1
2
]
= +∞.
Como a integral impro´pria e´ divergente, a se´rie
∞∑
n=1
lnn
n
tambe´m e´ divergente.
Exemplo 1.31. Verificar convergeˆncia ou divergeˆncia da se´rie
∞∑
n=2
1
n lnn
.
Soluc¸a˜o:
• Seja f(x) = 1x lnx para x ≥ 2.
• f e´ continua e positiva.
• f e´ decrescente, pois
f ′(x) = −(1 + lnx)
(x lnx)2
< 0⇔ − lnx− 1 < 0⇔ x > 1
e
.
Como x ≥ 2, segue que f ′(x) < 0 em [2,∞), ou seja, f e´ decrescente em [2,∞).
Observe que ∫ ∞
2
dx
x lnx
= lim
t→∞ ln (lnx)|
t
2 = limt→∞ ln(ln t)− ln(ln 2) = +∞.
Portanto, pelo Teste da Integral, a se´rie
∞∑
n=2
1
n lnn
diverge.
1.2.3 Os Testes de Comparac¸a˜o
Nos testes de comparac¸a˜o, a ideia e´ comparar uma se´rie dada com uma se´rie que sabemos ser convergente
ou divergente. Por exemplo, a se´rie
∑ 1
n2+1
nos remete a se´rie
∑ 1
2n que e´ uma se´rie geome´trica com a = 1
e r = 12 e portanto convergente.
Note que temos a seguinte desigualdade
1
n2 + 1
<
1
n2
.
Tal desigualdade mostra que a se´rie
∑ 1
n2+1
possui termos menores que aqueles da se´rie geome´trica e dessa
forma todas as somas parciais sa˜o tambe´m menores que 1 (valor da soma da geome´trica). Isto e´,∑ 1
n2 + 1
< 1.
Isto mostra que
∑ 1
n2+1
e´ convergente uma vez que a sequeˆncia das somas parciais (sn) sera´ crescente
(adicionamos sempre termos positivos) e limitada, donde segue que (sn) e´ convergente.
Argumentac¸a˜o semelhante pode ser usada para demonstrar o teste a seguir, que se aplica apenas a se´ries
cujos termos sa˜o positivos.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 19
Teorema 1.13. (Teste da Comparac¸a˜o) Sejam
∑
an e
∑
bn se´ries de termos positivos. Suponhamos que
existe N0 ≥ 0 tal que an ≤ bn, ∀n ≥ N0. Enta˜o:
1. Se
∑
bn converge, enta˜o
∑
an converge.
2. Se
∑
an diverge, enta˜o
∑
bn diverge.
Demonstrac¸a˜o. 1. Seja sn =
n∑
i=1
ai, tn =
n∑
i=1
bi e t =
∞∑
n=1
bn. Como ambas a se´ries possuem apenas
termos positivos, as sequeˆncias (sn) e (tn) sa˜o crescentes. Tambe´m tn −→ t, pois por hipo´tese
∞∑
n=1
bn
e´ convergente. Logo tn ≤ t, ∀ n. Como ai ≤ bi, temos que sn ≤ tn ≤ t, ∀ n.
Isto significa que (sn) e´ uma sequeˆncia mono´tona crescente e limitada superiormentee portanto pelo
Teorema da sequeˆncia mono´tona, temos que (sn) converge, isto e´,
∞∑
n=1
an converge.
2. Se
∞∑
n=1
an e´ divergente enta˜o sn −→ +∞, pois (sn) e´ crescente. Mas bi ≤ ai, assim tn ≤ sn, ou seja,
tn −→ +∞ e consequentemente
∞∑
n=1
bn diverge.
Exemplo 1.32. Determine se a se´rie
∞∑
n=1
5
2n2 + 4n+ 3
converge ou diverge.
Soluc¸a˜o: Note que para n ≥ 1, temos
2n2 ≤ 2n2 + 4n+ 3 ⇒ 1
2n2 + 4n+ 3
≤ 1
2n2
⇒ 5
2n2 + 4n+ 3
≤ 5
2n2
Assim, an =
5
2n2+4n+3
e bn =
5
2n2
com an ≤ bn, ∀n ≥ 1. Note que
∑ 5
2n2
= 52
∑ 1
n2
e´ convergente, pois e´
uma 2-se´rie. Portanto, pelo Teste da Comparac¸a˜o a se´rie
∞∑
n=1
5
2n2 + 4n+ 3
converge.
Exemplo 1.33. Verifique a convergeˆncia ou divergeˆncia da se´rie
∑
n=1
lnn
n
.
Soluc¸a˜o: Como ln e = 1 e lnn > 1 para n ≥ 3. Temos, lnnn > 1n ∀n ≥ 3.
Como a se´rie harmoˆnica
∑ 1
n diverge (p-se´rie com p = 1), enta˜o
∑
n=1
lnn
n
e´ divergente pelo Teste da
Comparac¸a˜o.
Observac¸a˜o 1.14. Os termos de uma se´rie testada devem ser menores que os termos de uma se´rie conver-
gente ou maiores que os de uma se´rie divergente para que possamos obter uma conclusa˜o atrave´s do Teste
da Comparac¸a˜o.
Teorema 1.14. (Teste de Comparac¸a˜o do Limite) Suponha que
∑
an e
∑
bn sejam se´ries com termos
positivos. Se lim
n→∞
an
bn
= L onde L e´ um nu´mero positivo, enta˜o ambas as se´ries convergem ou ambas
divergem.
Exemplo 1.34. Determine se a se´rie
∞∑
n=1
2n2 + 3n√
5 + n5
converge ou diverge.
Soluc¸a˜o: O termo dominante do numerador e´ 2n2 e do denominador e´ n
2
5 . Isso sugere considerar an =
2n2 + 3n√
5 + n5
e bn =
2n2
n
5
2
=
2√
n
.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 20
Assim,
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
2n
5
2 + 3n
3
2
2
√
5 + n5
= lim
n→∞
2 + 3n
2
√
5
n5
+ 1
= 1.
Como
∑
bn e´ divergente (p-se´rie com p =
1
2), segue, pelo Teste da Comparac¸a˜odo Limite, que a se´rie
∑
an
diverge
Observac¸a˜o 1.15. Os Testes da Integral, da Comparac¸a˜o e da Comparac¸a˜o do Limite exigem que os termos
da se´rie sejam positivos. Os crite´rios que veremos a seguir na˜o exigira˜o tal fato.
1.2.4 Se´ries Alternadas
Definic¸a˜o 1.10. Uma se´rie alternada e´ aquela cujos os termos sa˜o alternadamente positivos e negativos.
Exemplo 1.35. 1. 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− 1
6
+ · · · =
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
2. −1
2
+
2
3
− 3
4
+
4
5
− 5
6
+
6
7
− · · · =
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
n+ 1
Teorema 1.15. (Crite´rio de Leibnitz ou Crite´rio das Se´ries Alternadas) Seja (an) uma sequeˆncia de termos
positivos. Se (an) e´ decrescente e lim
n→∞ an = 0, enta˜o a se´rie alternada
∑
(−1)nan ou
∑
(−1)n+1an converge.
Exemplo 1.36. A se´rie harmoˆnica alternada
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
= 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ . . . converge ou diverge?
Soluc¸a˜o: Considerando an =
1
n , enta˜o (an) e´ decrescente e limn→∞ an = 0. Portanto, pelo Crite´rio de Leibnitz
a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
converge.
Exemplo 1.37. A se´rie alternada
∑ (−1)n3n
4n− 1 converge ou diverge?
Soluc¸a˜o: Note que lim
n→∞
3n
4n− 1 =
3
4
, logo na˜o podemos aplicar o Teste da Se´rie Alternada.
No entanto lim
n→∞
(−1)n3n
4n− 1 na˜o existe, desse modo, a se´rie diverge pelo Teste da Divergeˆncia.
1.2.5 Convergeˆncia Absoluta e os Testes da Raza˜o e da Raiz
Dada uma se´rie qualquer
∑
an, podemos considerar a se´rie correspondente
∞∑
n=1
|an| = |a1|+ |a2|+ ...+ |an|+ ...
cujos termos sa˜o os valores absolutos dos termos da se´rie original.
Definic¸a˜o 1.11. Uma se´rie
∑
an e´ dita absolutamente convergente se a se´rie dos valores absolutos∑ |an| for convergente.
Observac¸a˜o 1.16. Note que se
∑
an e´ uma se´rie de termos positivos, enta˜o |an| = an e assim a con-
vergeˆncia absoluta se confunde com a convergeˆncia simples.
Definic¸a˜o 1.12. Uma se´rie
∑
an e´ chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas
na˜o for absolutamente convergente.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 21
Exemplo 1.38. A se´rie
∑ (−1)n
n e´ condicionalmente convergente.
De fato, como a se´rie
∑ (−1)n
n converge pelo Crite´rio das Se´ries Alternadas, mas a se´rie
∑∣∣∣ (−1)nn ∣∣∣ = ∑ 1n
e´ divergente(uma p-se´rie com p = 1), conclu´ımos enta˜o que a se´rie
∑ (−1)n
n e´ condicionalmente convergente.
Teorema 1.16. Se uma se´rie
∑
an for absolutamente convergente, enta˜o ela e´ convergente.
Demonstrac¸a˜o. Observer que an ≤ |an|, ∀ n. Assim
0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|, ∀ n.
Se
∑ |an| converge enta˜o ∑ 2|an| converge. Logo pelo Teste da Comparac¸a˜o a se´rie ∑ an + |an| converge.
Como ∑
an =
∑
an + |an| − |an| =
∑
an + |an| −
∑
|an|,
segue que
∑
an e´ convergente pois e´ a diferenc¸a de duas se´ries convergentes.
Exemplo 1.39. Determine se a se´rie
∞∑
n=1
cosn
n2
=
cos 1
12
+
cos 2
22
+
cos 3
32
+ . . . e´ convergente ou divergente.
Soluc¸a˜o: Esta se´rie possui termos positivos e negativos pore´m na˜o e´ uma se´rie alternada uma vez que a
mudanc¸a de sinal acontece irregularmente. Vamos analisar a se´rie
∞∑
n=1
∣∣∣cosn
n2
∣∣∣.
Note que
| cos (n)| ≤ 1 ∀n ⇒
∣∣∣∣cos (n)n2
∣∣∣∣ ≤ 1n2 .
Como a se´rie
∑ 1
n2
e´ convergente, segue pelo Crite´rio da Comparac¸a˜o que
∑ | cos (n)|
n2
tambe´m e´ convergente.
Enta˜o, pelo Teorema 1.16 conclu´ımos que
∞∑
n=1
cosn
n2
e´ convergente.
Teorema 1.17. (Teste da Raza˜o) Seja
∑
an uma se´rie de termos na˜o-nulos. Enta˜o:
1. Se lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L < 1 ⇒ ∑ an e´ absolutamente convergente.
2. Se lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L > 1 ou limn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = +∞ ⇒ ∑ an e´ divergente.
3. Se lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1, nada podemos afirmar.
Observac¸a˜o 1.17. Para a se´rie convergente
∑ 1
n2
, temos:
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1(n+1)21
n2
=
n2
(n+ 1)2
=
(
n
n+ 1
)2
=
(
1
1 + 1n
)2
n→∞−−−→ 1.
Logo pelo Teste da Raza˜o na˜o poderiamos afirmar nada sobre a convergeˆncia ou divergeˆncia da se´rie
∑ 1
n2
.
Observe ainda que para o caso da se´rie divergente
∑ 1
n temos∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1(n+1)1
n
=
n
n+ 1
n→∞−−−→ 1,
ou seja, tambe´m na˜o poder´ıamos tirar concluso˜es sobre esta se´rie usando o Teste da Raza˜o.
Exemplo 1.40. Verifique a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries:
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 22
1.
∑ n
2n
.
Note que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣2n(n+ 1)2n+1n
∣∣∣∣ = limn→∞ n+ 12n = 12 < 1
.
Logo pelo Teste da raza˜o, a se´rie converge.
2.
∑ n!
2n
.
Note que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞ (n+ 1)n!2nn!2n+1 = limn→∞ n+ 12 = +∞.
Logo pelo Teste da Raza˜o, a se´rie diverge.
3.
∑ nn
n!
.
Note que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞ (n+ 1)n+1n!n!(n+ 1)nn = limn→∞
(
n+ 1
n
)n
= e > 1.
Logo, pelo Teste da Raza˜o, a se´rie diverge.
4.
∑ (−1)nn3
3n
.
Note que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞ (n+ 1)33n3n+1n3 = limn→∞ 13
(
n+ 1
n
)3
=
1
3
< 1.
Portanto, pelo Teste da Raza˜o, a se´rie converge.
Teorema 1.18. (Teste da Raiz) Seja
∑
an uma se´rie e L = lim
n→∞
n
√
|an|.
1. Se L < 1, enta˜oo a se´rie converge.
2. Se L > 1 ou L = +∞ a se´rie diverge.
3. Se L = 1 nada podemos afirmar.
Observac¸a˜o 1.18. Se L = 1 no Teste da Raza˜o, na˜o tente o Teste da Raiz, porque L sera´ novamente 1.
O contra´rio tambe´m e´ verdadeiro.
Exemplo 1.41. Examine a convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
(
2n+ 3
3n+ 2
)n
.
Soluc¸a˜o: Seja an =
(
2n+ 3
3n+ 2
)n
. Enta˜o
n
√
|an| = 2n+ 3
3n+ 2
=
2 + 3n
3 + 2n
n→∞−−−→ 2
3
< 1.
Logo, pelo Teste da Raiz, a se´rie e´ convergente.
Exemplo 1.42. Para quais valores de a ∈ R a se´rie ∑nan converge ou diverge.
Soluc¸a˜o: Temos que
L = lim
n→∞
n
√
|nan| = lim
n→∞
n
√
n n
√
|a|n = |a|.
Portanto pelo Teste da Raiz, se |a| < 1 a se´rie converge. E se |a| > 1 a se´rie diverge.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 23
Note que lim
n→∞
n
√
n = 1. De fato, suponha que lim
n→∞
n
√
n = M . Enta˜o
ln
(
lim
n→∞
n
√
n
)
= lnM ⇒ lim
n→∞ ln(
n
√
n) = lnM ⇒ lim
n→∞
1
n
lnn = lnM.
Seja f(x) = lnxx , enta˜o
lim
x→+∞
1
x
lnx = lim
x→+∞
1
x
1
= 0
Logo lim
n→∞
1
n
lnn = lnM = 0 ⇒ M = 1.
1.2.6 Estrate´gia para Testar as Se´ries
Vimos va´rios testes para determinar se uma se´rie e´ convergente ou divergente, o problema que surge e´:
Qual teste usar em qual se´rie?
Neste aspecto, testar se´ries e´ similar a integrar func¸o˜es. Mais uma vez, na˜o existem regras certeiras e ra´pidas
para determinar qual teste aplicar em cada se´rie, no entanto as sugesto˜es a seguir podem ser proveitosas.
A principal estrate´gia e´ classificar a se´rie de acordo com sua forma:
1.
∑ 1
np , esta e´ uma p-se´rie, que sabemos ser convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1.
2. Se a se´rie tem a forma
∑
arn−1 ou
∑
arn, ela e´ uma se´rie geome´trica, que converge se |r| < 1 e diverge
se |r| ≥ 1. Algumas manipulac¸o˜es alge´bricas podem ser necessa´rias para deixar a se´rie dessa forma.
3. Se a se´rie for similar a uma p-se´rie ou a uma se´rie geome´trica, enta˜o um dos testes de comparac¸a˜o
deve ser considerado. O teste da comparac¸a˜o se aplica apenas a se´ries com termos positivos, mas, se∑
an tiver alguns termos negativos, enta˜o poderemos aplicar o teste da comparac¸a˜o a
∑ |an| e testar
a convergeˆncia absoluta. Em particular se an e´ uma func¸a˜o racional ou uma func¸a˜o alge´brica em n
(envolvendo ra´ızes de polinoˆmios) devemos tentar compara´-la a uma p-se´rie.
4. Se observar que lim
n→∞ an 6= 0, use o Teste da Divergeˆncia.5. Se a se´rie for da forma
∑
(−1)n−1an ou
∑
(−1)nan, use o Crite´rio de Leibnitz.
6. Se´ries que envolvem fatoriais e/ou outros produtos (incluindo uma constante elevada a n-e´sima poteˆncia)
sa˜o frequentemente testadas com o Teste da Raza˜o.
7. Se tivermos uma se´rie do tipo
∑
(an)
n, o Teste da Raiz pode ser u´til.
8. Se an = f(n), onde
∫ ∞
1
f(x) dx e´ facilmente avaliada, com f(x) ≥ 0, cont´ınua e descrescente enta˜o o
Teste da Integral e´ eficaz.
Nos exemplos a seguir na˜o faremos ca´lculos, apenas indicaremos os testes mais indicados a serem usados.
Exemplo 1.43. 1.
∑ n−1
2n+1 .
Como an −→ 12 6= 0, quando n→∞, devemos usar o Teste da Divergeˆncia.
2.
∑ √n3+1
3n3+4n2+2
.
Como (an) e´ uma func¸a˜o alge´brica em n, comparamos a se´rie dada com uma p-se´rie. A se´rie para o
Teste de Comparac¸a˜o do Limite e´
∑
bn onde bn =
√
n3
3n3
= 1
3n
3
2
.
3.
∑
ne−n2.
Como a integral
∫∞
1 xe
−x2 dx e´ facilmente calculada, uma indicac¸a˜o e´ tentar o Teste da Integral. Neste
exemplo o Teste da Raza˜o tambe´m funciona.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 24
4.
∑
(−1)n n3
n4+1
.
Como a se´rie e´ alternada, usamos o Crite´rio de Leibnitz ou Teste da Se´rie Alternada.
5.
∑ 2n
n! .
Como a se´rie envolve fatorial, usamos o Teste da Raza˜o.
6.
∑ 1
2+3n .
Como a se´rie esta´ intimamente relacionada com a se´rie geome´trica
∑(1
3
)3
, usamos o Teste da Com-
parac¸a˜o.
1.2.7 Se´ries de Poteˆncias
Definic¸a˜o 1.13. Uma se´rie de poteˆncias e´ uma se´rie da forma
∞∑
n=0
cn (x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + ...
onde
• x e´ uma varia´vel.
• cn sa˜o constantes chamadas de coeficientes da se´rie.
• a e´ o centro da se´rie.
Observac¸a˜o 1.19.
1. Para cada x fixo, a se´rie de poteˆncias e´ uma se´rie nume´rica e, enta˜o, podemos usar os testes de
convergeˆncia ou divergeˆncia.
2. Uma se´rie de poteˆncias pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros.
3. A se´rie e´ uma func¸a˜o
f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + c4(x− a)4 + ...
cujo domı´nio e´ o conjunto de todos os x para os quais a se´rie converge.
Note ainda que f se assemelha a um polinoˆmio, com a diferenc¸a de possuir infinitos termos.
Convenc¸a˜o: (x− a)0 = 1 mesmo se x = a.
Exemplo 1.44. Se cn = 1, ∀n e a = 0, enta˜o, a se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 + ...
se a torna a se´rie geome´trica que converge quando |x| < 1, isto e´,
f(x) =
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + ... ∀ |x| < 1.
Exemplo 1.45. Examine a convergeˆncia da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(−1)nxn
n4n
.
Soluc¸a˜o: Note que neste caso a = 0 e cn =
(−1)n
n4n .
Se x = 0, temos
∞∑
n=1
0 logo a se´rie converge.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 25
Se x 6= 0 aplicamos o Teste da Raza˜o. De fato, temos que
an =
(−1)nxn
n4n
e an+1 =
(−1)n+1xn+1
(n+ 1)4n+1
logo ∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(−1)n+1xn+1(n+ 1)4n+1 n4n(−1)nxn
∣∣∣∣ = |x| n4(n+ 1) .
Calculando
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞ |x| n4(n+ 1) = |x|4 ,
obtemos
• Se |x|4 < 1, isto e´, se |x| < 4 a se´rie converge.
• Se |x|4 > 1, isto e´, se |x| > 4 a se´rie diverge.
• Se |x|4 = 1, isto e´, |x| = 4 nada podemos afirmar.
Vamos analizar enta˜o quando x = 4 e x = −4.
Se x = 4 temos
∞∑
n=1
(−1)n4n
n4n
=
∞∑
n=1
(−1)n
n
que sabemos que converge.
Se x = −4, temos
∞∑
n=1
(−1)n(−1)n4n
n4n
=
∞∑
n=1
1
n
que sabemos que diverge.
Conclusa˜o: A se´rie converge se e somente se −4 < x ≤ 4 e podemos escrever
f(x) =
∞∑
n=1
(−1)nxn
n4n
para x ∈ (−4, 4].
Observac¸a˜o 1.20.
Pergunta: Existe alguma se´rie de poteˆncias que diverge para todo valor de x ?
Resposta: Na˜o!
Dada qualquer se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
cn (x− a)n, temos que para x = a a se´rie converge, pois neste caso,
a se´rie se resume a ∞∑
n=0
cn (x− a)n =
∞∑
n=0
cn0
n = c0 + 0 + 0 + ... = c0.
Teorema 1.19. Seja a se´rie de poteˆncias
∑
cn(x− a)n, enta˜o existem apenas treˆs possibilidades:
1. A se´rie converge apenas para x = a.
2. a se´rie converge para todo x ∈ R.
3. Existe um nu´mero positivo R tal que a se´rie converge se |x− a| < R e diverge se |x− a| > R.
Observac¸a˜o 1.21.
1. O nu´mero R e´ chamado raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias.
Por convenc¸a˜o, o raio de convergeˆncia e´ R = 0 quando a se´r´ıe converge apenas para x = a e R = +∞
no caso em que a se´rie converge para todo x ∈ R.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 26
2. Note que |x − a| < R ⇐⇒ x ∈ (a − R, a + R) que e´ dito intervalo de convergeˆncia d a se´rie de
poteˆncias.
Quando x = a±R, isto e´, um extremo do intervalo, a se´rie pode convergir ou divergir por isso nestes
casos, os extremos devem ser analisados separadamente.
Exemplo 1.46. Encontrar o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da seˆrie
∞∑
n=0
(−3)nxn√
n+ 1
.
Soluc¸a˜o: Vamos utilizar o Teste da Raza˜o. Note que
an =
(−3)nxn√
n+ 1
an+1 =
(−3)n+1xn+1√
n+ 2
.
Assim ∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(−3)n+1xn+1√n+ 2
√
n+ 1
(−3)nxn
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣−3x
√
n+ 1
n+ 2
∣∣∣∣∣
= 3|x|
√
1 + 1n
1 + 2n
n→∞−−−→ 3|x|
Logo a se´rie converge se 3|x| < 1⇔ |x| < 13 e diverge se |x| > 13 . Portanto o raio de convergeˆncia e´ R = 13 .
Agora vamos analizar os extremos do intervalo.
Se x = −13 temos ∞∑
n=0
(−3)n (−13)n√
n+ 1
=
∞∑
n=0
1√
n+ 1
que diverge, pois
∞∑
n=0
1√
n+ 1
=
1√
1
+
1√
2
+
1√
3
+ ... =
∞∑
n=1
1√
n
,
que e´ uma p-se´rie com p = 12 < 1.
Se x = 13 ∞∑
n=0
(−3)n (13)n√
n+ 1
=
∑ (−1)n√
n+ 1
que converge pelo Teste das Se´ries Alternadas uma vez que
(
1√
n+1
)
e´ decrescente e converge para zero
quando n tende ao infinito.
Portanto, o intervelo de convergeˆncia e´
(−13 , 13].
Exemplo 1.47. Encontre o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=0
n(x+ 2)n
3n+1
.
Soluc¸a˜o: Note que temos uma se´rie de poteˆcias com centro em a = −2. Vamos aplicar o Teste da Raza˜o.∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(n+ 1)(x+ 2)n+13n+2 3n+1n(x+ 2)n
∣∣∣∣ = (1 + 1n
) |x+ 2|
3
.
Assim,
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = |x+ 2|3 .
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 27
Enta˜o a se´rie converve se |x+ 2|
3
< 1⇔ |x+ 2| < 3,
e diverge se |x+ 2| > 3. Logo, o raio de convergeˆncia e´ R = 3.
Agora vamos analisar o intervalo de convergeˆncia.
Como |x+ 2| < 3⇔ −3 < x+ 2 < 3⇔ −5 < x < 1, temos que analisar os extremos x = −5 e x = 1.
• Se x = −5 ∑ n(−3)n
3n+1
=
1
3
∑
(−1)nn,
que diverge pelo Teste da Divergeˆncia.
• Se x = 1 ∑ n3n
3n+1
=
1
3
∑
n,
que tambe´m diverge pelo Teste da divergeˆncia.
Logo, a se´rie
∞∑
n=0
n(x+ 2)n
3n+1
converge para x ∈ (−5, 1) (Intervalo de convergeˆncia).
Exemplo 1.48. Encontre o raio e o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=0
nxn
(2n)!
Soluc¸a˜o: Observe que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣(n+ 1)xn+1(2n)!(2n+ 2)!nxn
∣∣∣∣ = limn→∞ |x|
(
1 + 1n
4n2 + 6n+ 2
)
= |x|.0 = 0 < 1,
para qualquer valor de x. Logo pelo Teste da Raza˜o a se´rie converge para qualquer valor de x. E portanto,
o raio de convergeˆcia e´ R =∞, e seu intervalo de convergeˆncia e´ (−∞,+∞).
Exemplo 1.49. Encontre o raio e o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=0
n!(x+ 6)n
2n
Soluc¸a˜o:
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣(n+ 1)!|x+ 6|n+12n+1 · 2nn!|x+ 6|n
∣∣∣∣ = limn→∞ (n+ 1)|x+ 6|2 =∞
Portanto, R = 0 pois a se´rie converge apenas para x = −6.
1.2.8 Representac¸a˜o de Func¸o˜es como Se´ries de Poteˆncias
Estudaremos como representar certos tipos de func¸o˜es como soma de se´ries de poteˆncias. Mas para que
queremos expressar uma func¸a˜o conhecida como uma soma infinita de termos?
Veremosmais tarde que a estrate´gia e´ u´til para integrar func¸o˜es que na˜o possuem antiderivadas elementares,
para resolver equac¸o˜es diferenciais e para aproximar func¸o˜es por polinoˆmios.
Inicialmente, vejamos que ja foi estudada:
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + ... =
∞∑
n=0
xn; se |x| < 1.
Nos referimos a se´rie acima como uma expressa˜o da func¸a˜o f(x) = 11−x como a se´rie de poteˆncias.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 28
Exemplo 1.50. Expresse a func¸a˜o f(x) =
1
1 + x2
como uma soma de uma se´rie de poteˆncias e encontre o
intervalo de convergeˆncia.
Soluc¸a˜o: Observe que
1
1 + x2
=
1
1− (−x2) =
1
1− y =
∞∑
n=0
yn, se |y| < 1,
onde y = −x2. Assim
1
1 + x2
=
∞∑
n=0
(−x2)n , se |x2| < 1 ⇒ 1
1 + x2
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n, se |x| < 1.
Portanto,
1
1 + x2
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n = 1− x2 + x4 − x6 + ..., para |x| < 1, e o raio de convergeˆncia e´ R = 1.
Ale´m disso o intervalo de convergeˆncia e´ (−1, 1) uma vez que se x = ±1 temos a se´rie
∞∑
n=0
(−1)n que diverge.
Exemplo 1.51. Expresse f(x) =
1
x+ 2
como uma se´rie de poteˆncias.
Soluc¸a˜o: Temos que
1
x+ 2
=
1
2 + x
=
1
2
(
1 + x2
) = 1
2
[
1− (−x2)] =
=
1
2
∞∑
n=0
(
−x
2
)n
, se
∣∣∣x
2
∣∣∣ < 1
=
∞∑
n=0
(−x)n
2n+1
, se |x| < 2.
Enta˜o o raio de convergeˆncia e´ R = 2 e o intervalo de convergeˆncia e´ I = (−2, 2).
Note que para x = 2 temos a se´rie
∞∑
n=0
(−2)n
2n+1
=
∞∑
n=0
(−1)n
2
que diverge, e para x = −2 temos
∞∑
n=0
2n
2n+1
=
∞∑
n=0
1
2
que tambe´m diverge.
Exemplo 1.52. Expresse f(x) =
x3
x+ 2
como uma se´rie de poteˆncias.
Soluc¸a˜o:
x3
x+ 2
= x3
1
x+ 2
= x3
∞∑
n=0
(−1)nxn
2n+1
, se |x| < 2 (1.2)
=
∞∑
n=0
(−1)nxn+3
2n+1
, se |x| < 2 (1.3)
Logo R = 2 e o intervalo de convergeˆncia e´ I = (−2, 2), pois se x = 2 temos a se´rie
∞∑
n=0
(−1)n22 que diverge
e se x = −2 temos a se´rie
∞∑
n=0
22 que tambe´m diverge.
Observac¸a˜o 1.22. A soma de uma se´rie de poteˆncias e´ uma func¸a˜o f(x) =
∞∑
n=0
cn(x − a)n, cujo domı´nio
e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 29
Teorema 1.20. (Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o de Se´ries de Poteˆncias) Se a se´rie de poteˆncias
∑
cn(x− a)n
tiver um raio de convergeˆncia R > 0, enta˜o a func¸a˜o f definida por
f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(xa)2 + ... =
∞∑
n=0
cn(x− a)n
e´ deriva´vel (e portanto cont´ınua) no intervalo (a−R, a+R) e:
(i) f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + ... =
∞∑
n=1
ncn(x− a)n−1;
(ii)
∫
f(x) dx = C + c0(x− a) + c1 (x−a)
2
2 + ... = C +
∞∑
n=0
cn
(x− a)n+1
n+ 1
.
Os raios de convergeˆncia de (i) e (ii) sa˜o ambos R.
Observac¸a˜o 1.23.
1. As equac¸o˜es apresentadas (i) e (ii) podem ser reescritas como:
d
dx
[ ∞∑
n=0
cn(x− a)n
]
=
∞∑
b=0
d
dx
[cn(x− a)n]
∫ ( ∞∑
n=0
cn(x− a)n
)
dx =
∞∑
n=0
∫
cn(x− a)n dx
2. O teorema garante que o raio de convergeˆncia permanece o mesmo quando uma se´rie de poteˆncias e´
diferenciada ou integrada, isso na˜o significa que o intervalo de convergeˆncia permanece o mesmo.
Pode acontecer de a se´rie original convergir em um extremo enquanto a se´rie diferenciada diverge
neste ponto.
Exemplo 1.53. Expressar
1
(1− x)2 como uma se´rie de poteˆncias e encontrar o raio de convergeˆncia.
Soluc¸a˜o: Sabemos que 11−x =
∞∑
n=0
xn, para |x| < 1. Derivando, temos
d
dx
(
1
1− x
)
=
(1− x)0 + 1
(1− x)2 =
1
(1− x)2
Portanto,
1
(1− x)2 =
d
dx
(
1
1− x
)
=
d
dx
[ ∞∑
n=0
xn
]
=
∞∑
n=0
d
dx
(xn) =
∞∑
n=1
nxn−1 =
∞∑
n=0
(n+ 1)xn.
Portanto
1
(1− x)2 =
∞∑
n=0
(n+ 1)xn, para |x| < 1.
Logo o raio de convergeˆncia e´ R = 1.
Exemplo 1.54. Encontrar uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para ln(x + 1) e seu raio de con-
vergeˆncia.
Soluc¸a˜o: Note que
d
dx
[ln(1 + x)] =
1
1 + x
=
1
1− (−x) =
∞∑
n=0
(−1)nxn, para |x| < 1.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 30
Logo
ln(1 + x) =
∫ ( ∞∑
n=0
(−1)nxn
)
dx =
∞∑
n=0
∫
(−1)nxn dx =
( ∞∑
n=0
(−1)n x
n+1
n+ 1
)
+ C, para |x| < 1.
Assim o raio de convergeˆncia e´ R = 1.
Para encontrar C fazemos x = 0, donde obtemos ln 1 = C, ou seja, C = 0.
Portanto
ln(1 + x) =
∞∑
n=0
(−1)nxn+1
n+ 1
.
Exemplo 1.55. Encontrar uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para ln (1− x).
Soluc¸a˜o: Note que
− ln (1− x) =
∫
1
1− xdx =
∫ ( ∞∑
n=0
xn
)
dx =
∞∑
n=0
∫
xn dx
=
∞∑
n=0
xn+1
n+ 1
+ C
Logo,
ln (1− x) = −
∞∑
n=0
xn+1
n+ 1
+ C, para |x| < 1.
Novamente para encontrar o valor de C, substitu´ımos x = 0 na equac¸a˜o obtendo ln(1) = C ⇒ C = 0.
Portanto,
ln (1− x) = −
∞∑
n=0
xn+1
n+ 1
= −
∞∑
n=1
xn
n
, para |x| < 1.
Observac¸a˜o 1.24. De posse da se´rie de poteˆncias de uma func¸a˜o conseguimos avaliar o valor dessa func¸a˜o
em pontos espec´ıficos.
Por exemplo, temos que
ln (1− x) = −
∞∑
n=1
xn
n
, para |x| < 1
Assim se x = 12 , enta˜o
ln
(
1
2
)
= −
∞∑
n=1
(
1
2
)n 1
n
⇒ ln (2) = − ln
(
1
2
)
=
∞∑
n=1
1
n2n
Exemplo 1.56. Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para f(x) = arctg(x).
Soluc¸a˜o: Temos que
arctg(x) =
∫
1
1 + x2
dx =
∫ ( ∞∑
n=0
(−1)nx2n
)
dx
=
∞∑
n=0
(−1)
∫
x2n dx =
( ∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
2n+ 1
)
+ C, para |x| < 1.
Se x = 0, temos arctg(0) = C ⇒ tg(C) = 0 ⇒ C = 0. Logo,
arctg(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
2n+ 1
, para |x| < 1.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 31
1.2.9 Exerc´ıcios
Se´ries
1. Demonstre que a soma da se´rie geome´trica
∑∞
n=1 ar
n−1 e´ dada por a1−r .
2. Demonstre que a soma da se´rie telesco´pica
∑∞
n=1
1
n(n+1) converge para o valor 1.
3. Demonstre que a se´rie harmoˆnica
∑∞
n=1
1
n diverge.
4. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma.
a)
∞∑
n=1
5
(
2
3
)n−1
b)
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
c)
∞∑
n=1
pin
3n+1
d)
∞∑
n=1
3
n
e)
∞∑
n=1
n
n+ 5
f)
∞∑
n=2
2
n2 − 1
g)
∞∑
k=2
k2
k2 − 1 h)
∞∑
n=1
3n + 2n
6n
i)
∞∑
n=1
n
√
2 j)
∞∑
n=1
ln
(
n
2n+ 5
)
l)
∞∑
n=1
arctan(n) m)
∞∑
n=1
(
3
5n
+
1
n
)
5. Expresse o nu´mero decimal como uma raza˜o entre inteiros.
a) 0.2¯ = 0.22222222 . . . b) 0.7¯3 = 0.73737373737373 . . .
6. Encontre os valores de x para qual a se´rie converge e calcule a soma da se´rie para esses valores.
a)
∞∑
n=1
xn
3n
b)
∞∑
n=0
cosn x
2n
7. Mostre que apesar dos termos da se´rie abaixo tenderem a zero, a se´rie abaixo diverge.
∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
8. Dada a n-e´sima soma parcial da se´rie
∑∞
n=1 an, encontre a soma da se´rie e o valor de an.
a) sn =
n− 1
n+ 1
b) sn = 3− n2−n
Teste da integral e da comparac¸a˜o
1. Demonstre o ı´tem (i) do Teorema 1 (Teste da integral).
2. Demonstre o ı´tem (i) do Teorema 2 (Teste da comparac¸a˜o).
3. Determine a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries abaixo, utilizando o teste da integral.
a)
∞∑
n=1
1
n4
b)
∞∑
n=1
ne−n
c) 1 +
1
8
+
1
27
+
1
64
+
1
125
+ . . . d)
∞∑
n=1
1
n2 + 4
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 32
e)
∞∑
n=2
1
n lnn
f)
∞∑
n=1
1
n3 + n
g)
∞∑
n=3
1
n lnn ln(lnn)
4. A func¸a˜o zeta ζ de Riemann e´ definida por
ζ(x) =
∞∑
n=1
1
nx
e e´ usada em teoria de nu´meros para estudar a distribuic¸a˜o de nu´meros primos. Qual e´ o domı´nio de
ζ?
5. Utilizando oteste da comparac¸a˜o, determine a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries abaixo.
a)
∞∑
n=1
sen2n
2n
b)
∞∑
n=3
1
ln(lnn)
c)
∞∑
n=1
(
n
3n+ 1
)n
d)
∞∑
n=2
1
n
√
n2 − 1 e)
∞∑
n=1
1
n2n
f)
∞∑
n=1
1
3n−1 + 1
g)
∞∑
n=1
10n+ 1
n(n+ 1)(n+ 2)
h)
∞∑
n=1
arctann
n1,1
i)
∞∑
n=1
cothn
n2
6. Utilizando o teste da comparac¸a˜o do limite, determine a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries abaixo.
a)
∞∑
n=1
1
2
√
n+ 3
√
n
b)
∞∑
n=1
(lnn)2
n3
c)
∑
n=2
1√
n lnn
d)
∑
n=1
1
1 + lnn
f)
∞∑
n=1
1
n n
√
n
g)
∞∑
n=1
1
1 + 2 + 3 + . . . n
7. Se
∞∑
n=1
an e´ uma se´rie convergente de termos na˜o negativos, pode-se dizer algo sobre
∞∑
n=1
an/n? Expli-
que.
8. Determine a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries abaixo. Lembre-se que pode existir mais de uma
maneira de determinar a convergeˆncia ou divergeˆncia de uma se´rie.
a)
∞∑
n=1
1
10n
b)
∞∑
n=1
e−n c)
∞∑
n=1
n
n+ 1
d)
∞∑
n=1
5
n+ 1
e)
∞∑
n=1
−2
n
√
n
f)
∞∑
n=2
lnn
n
g)
∞∑
n=1
2n
n+ 1
h)
∞∑
n=2
√
n
lnn
i)
∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)n
j)
∞∑
n=1
1
(ln 2)n
l)
∞∑
n=1
2n
3n− 1 l)
∞∑
n=1
ne−n
2
Se´ries Alternadas / Teste da raza˜o e raiz
1. Demonstre o teste da convergeˆncia absoluta.
2. Teste a se´rie para convergeˆncia ou divergeˆncia.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 33
a)
1
ln 2
− 1
ln 3
+
1
ln 4
− 1
ln 5
+
1
ln 6
− . . . b)
∞∑
n=1
(−1)n−1√n
c)
∞∑
n=1
(−1)n 3n− 1
2n+ 1
d)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
n3 + 4
e)
∞∑
n=2
(−1)n n
lnn
f)
∞∑
n=1
(−1)n−1 lnn
n
g)
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
1 + 2
√
n
h)
∞∑
n=1
(−1)nsen
(pi
n
)
i)
∞∑
n=1
sen(npi/2)
n!
j)
∞∑
n=1
(−1)nn
n
n!
3. Para quais valores de p cada se´rie e´ convergente?
a)
∞∑
n=1
(−1)n−1
np
b)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n+ p
4. Seja a se´rie
∑
(−1)n−1bn, onde
bn =
{
1
n se n for ı´mpar
1
n2
se n for par
Mostre que tal se´rie e´ divergente. Por que o teste da Se´rie Alternada na˜o se aplica?
5. Determine se a se´rie e´ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a)
∞∑
n=1
n2
2n
b)
∞∑
n=1
(−10)n
n!
c)
∞∑
n=1
(−1)n−1 2
n
n4
d)
∞∑
n=1
(−1)n n
5 + n
e)
∞∑
n=1
(−1)n−1
4
√
n
f)
∞∑
n=1
(−1)n−1 n
n2 + 1
g)
∞∑
n=1
e−nn! h)
∞∑
n=1
sen(4n)
4n
i)
∞∑
n=1
n(−3)n
4n−1
j)
∞∑
n=1
10n
(n+ 1)42n+1
l)
∞∑
n=2
(−1)n
lnn
m)
∞∑
n=1
cos(npi/3)
n!
n)
∞∑
n=2
(−1)n
(lnn)n
o)
∞∑
n=2
(−1)n
n lnn
p)
∞∑
n=1
(
n2 + 1
2n2 + 1
)n
q) 1− 1 · 3
3!
+
1 · 3 · 5
5!
− 1 · 3 · 5 · 7
7!
+ · · ·+ (−1)n−1 1 · 3 · 5 · · · · · (2n− 1)
(2n− 1)! + . . .
r)
∞∑
n=1
2 · 4 · 6 · · · · · (2n)
n!
6. Os termos de uma se´rie sa˜o definidos recursivamente pelas equac¸o˜es
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 34
a1 = 2 an−1 =
5n+ 1
4n+ 3
an
Determine se
∑
an converge ou diverge.
7. Para quais inteiros positivos k a se´rie
∞∑
n=1
(n!)2
(kn)!
e´ convergente?
8. Mostre que
∑∞
n=0 x
n/n! connverge para todo x.
Se´rie de Poteˆncias
1. O fato de
∑∞
n=0 cn4
n ser convergente implica que as se´ries a seguir sa˜o convergentes?
a)
∞∑
n=0
cn(−2)n b)
∞∑
n=0
cn(−4)n
2. E´ poss´ıvel encontrar uma se´rie de poteˆncia cujo intervalo de convergeˆncia seja [0,∞)?. Explique
3. Demonstre que se uma se´rie de poteˆncia
∑∞
n=0 cnx
n converge para x = R, onde R e´ positivo, enta˜o
ela tambe´m convergira´ no intervalo −R ≤ x ≤ R.
4. Encontre o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie.
a)
∞∑
n=1
xn√
n
b)
∞∑
n=1
(−1)n−1xn
n3
c)
∞∑
n=0
xn
n!
d)
∞∑
n=1
(−1)nn4nxn
e)
∞∑
n=1
(−2)nxn
4
√
n
f)
∞∑
n=2
(−1)n x
n
4n lnn
g)
∞∑
n=0
(x− 2)n
n2 + 1
h)
∞∑
n=1
3n(x+ 4)n√
n
i)
∞∑
n=1
(x− 2)n
nn
j)
∞∑
n=1
n
bn
(x− a)n , b > 0
l)
∞∑
n=1
n!(2x− 1)n m)
∞∑
n=1
x2n
n(lnn)2
n)
∞∑
n=1
xn
1 · 3 · 5 · 7 . . . (2n− 1)
5. Se k for um inteiro encontre o raio de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=0
(n!)k
(kn)!
xn
6. A func¸a˜o J1 definida por
J1(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
n!(n+ 1)!22n+1
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 35
e´ denominado func¸a˜o de Bessel de ordem I. Determine o domı´nio desta func¸a˜o e encontre a sua derivida.
E´ necessa´rio refazer a ana´lise para encontrar o domı´nio da derivada?
7. A func¸a˜o A definida por
A(x) = 1 +
x3
2 · 3 +
x6
2 · 3 · 5 · 6 +
x9
2 · 3 · 5 · 6 · 8 · 9 + . . .
e´ chamada func¸a˜o de Airy, em homenagem ao matema´tico e astroˆnomo ingleˆs sir Geroge Airy (1801-
1892). Encontre o domı´nio da func¸a˜o de Airy.
8. Demonstre que se uma func¸a˜o f(x) tiver expansa˜o em se´rie de poteˆncias na forma
∑
n=0 cnx
n, os
coeficientes da se´rie sera˜o dados por cn = f
(n)(0)/n!.
1.3 Se´ries de Taylor e Maclaurin
Ate´ agora encontramos representac¸o˜es em se´ries de poteˆncias para uma classe restrita de func¸o˜es, a saber,
aquelas que esta˜o relacionadas com as se´ries geome´tricas.
Agora o objetivo e´ responder as seguintes questo˜es:
(i) Quais func¸o˜es possuem representac¸o˜es em se´ries de poteˆncias?
(ii) Como encontrar tais representac¸o˜es?
Suponha que f seja uma func¸a˜o qualquer, que pode ser representada por uma se´rie de poteˆncias, isto e´,
f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + ... para |x− a| < R. (1.4)
Vamos determinar quais devem ser os coeficientes cn em termos da func¸a˜o f dada.
1. Se x = a em (1.4) temos que c0 = f(a).
2. Derivando (1.4) termo a termo obtemos
f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3c3(x− a)2 + ... para |x− a| < R. (1.5)
Fazendo x = a em (1.5) obtemos f ′(a) = c1.
3. Derivando a equac¸a˜o (1.5) obtemos
f ′′(x) = 2c2 + 6c3(x− a) + 12c4(x− a)3 + ... para |x− a| < R.
E aplicando f ′′ em x = a obtemos f
′′(a)
2 = c2.
Repetindo o procedimento mais uma vez percebemos que c3 =
f ′′′(a)
6 =
f ′′′(a)
3! .
Seguindo o processo para o n-e´simo coeficiente obtemos que
cn =
f (n)(a)
n!
.
Adotando a convenc¸a˜o 0! = 1 e f (0) = f a fo´rmula e´ va´lida para n = 0 tambe´m.
Assim, podemos enunciar o seguinte teorema:
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 36
Teorema 1.21. Se f tem uma representac¸a˜o (expansa˜o) em se´rie de poteˆncias em a, isto e´, se
f(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n, para |x− a| < R,
enta˜o seus coeficientes sa˜o dados pela fo´rmula
cn =
f (n)(a)
n!
.
Logo, se f tiver uma expansa˜o em se´rie de poteˆncias em a enta˜o ela deve ser da forma
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
(x− a)n.
Esta equac¸a˜o e´ chamada Se´rie de Taylor da func¸a˜o f em a (ou ao redor de a ou centrada em a).
Para o caso especial a = 0, a se´rie de Taylor torna-se
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
xn.
Neste caso chamamos a se´rie de Se´rie de Maclaurin.
Nota: Mostramos que se f puder ser representada em se´rie de poteˆncias em torno de a, enta˜o f e´ igual a
soma de sua se´rie de Taylor.
Exemplo 1.57. A se´rie de Taylor de f(x) = 11−x no ponto a = 0 (Se´rie de Maclaurin) e´∑
xn para |x| < 1.
Isto significa que
f (n)(0)
n!
= 1 ∀ n.
Pergunta: A se´rie de Taylor de uma func¸a˜o f sempre converge para f no seu intervalo de convergeˆncia?
Resposta: Na˜o! Um exemplo cla´ssico e´ o da func¸a˜o
f(x) =
{
e−
1
x2 se x 6= 0
0 se x = 0
Observe que
f ′(0) = lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0
f(h)
h
= lim
h→0
e−
1
h2
h
= 0.
Vamos mostrar que a u´ltima igualdade acontece. De fato, seja y(h) = e
− 1
h2
h , queremos mostrarque
y(h) −→ 0 quando h→ 0.
Se h > 0 enta˜o
ln y = ln
(
e−
1
h2
h
)
= − 1
h2
− lnh = −1− h
2 lnh
h2
.
Por L’Hospital, verifica-se que
−1− h2 lnh −→ −1 quando h→ 0+,
logo
−1− h2 lnh
h2
−→ −∞ quando h→ 0+.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 37
Assim
ln[y(h)] −→ −∞ quando h→ 0+.
Portanto y(h) −→ 0 quando h→ 0+, isto e´
lim
h→0−
y(h) = lim
h→0+
e−
1
h2
h
= 0.
Agora, se h < 0, consideramos
ln(−y) = ln
(
e−
1
h2
−h
)
=
−1 + h2 lnh
h2
.
Pelo mesmo racioc´ınio mostra-se que
ln[−y(h)] −→ −∞ quando h→ 0−.
Portanto −y(h) −→ 0 quando h→ 0−, isto e´
lim
h→0+
y(h) = lim
h→0−
e−
1
h2
h
= 0.
Donde obtemos que Portanto
lim
h→0
e−
1
h2
h
= 0.
E´ poss´ıvel mostrar que
f ′′(0) = f ′′′(0) = ... = f (n)(0) = 0,
Enta˜o, a se´rie de Taylor de f em a = 0 e´
∑
0, que converge para zero qualquer que seja x ∈ R.
Pore´m, f(x) 6= 0 para todo x 6= 0.
Pergunta: Quando, enta˜o, de fato a se´rie de Taylor de uma func¸a˜o representa enta func¸a˜o?
Teorema 1.22. Seja f uma func¸a˜o que possui as derivadas de todas as ordens no intervalo (a−R, a+R),
R > 0. Enta˜o, a se´rie de Taylor de f em a converge para f neste intervalo se, e somente se,
lim
n→∞
f (n)(z)
n!
(x− a)n = 0,
onde z um nu´mero entre x e a.
Observac¸a˜o 1.25.
1. Para uma classe especial de func¸o˜es se´rie de Taylor da func¸a˜o converge para a pro´pria func¸a˜o no
seu intervalo de convergeˆncia. Por exemplo: func¸o˜es polinomiais, trigonome´tricas, exponenciais, lo-
gar´ıtmicas.
2. Em geral na˜o e´ simples mostrar que lim
n→∞
f (n)(z)
n!
(x − a)n = 0 para z entre x e a, pore´m temos um
teorema, apresentado na sequeˆncia, que facilita um pouco essa ana´lise.
Teorema 1.23. Se existe uma constante positiva M tal que |f (n)(t)| ≤M para todo t entre a e x, enta˜o∣∣∣∣∣f (n)(z)n! (x− a)n
∣∣∣∣∣ ≤M |x− a|nn! −→ 0,
quando n→∞. Ou seja,
lim
n→∞
f (n)(z)
n!
(x− a)n = 0.
Eventualmente a constante M = M(a, x) pode depender de a e x.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 38
Exemplo 1.58. Encontrar a se´rie de Maclaurin de f(x) = ex e seu raio de convergeˆncia.
Soluc¸a˜o: Sabemos que f (n)(x) = ex ∀ n ≥ 0 e com isso f (n)(0) = e0 = 1 ∀ n ≥ 0.
Portanto, a se´rie de Taylor para f em 0 (se´rie de Maclaurin) e´:
∞∑
n=0
f (n)(0)
n!
xn =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
Para encontrar o raio de convergeˆncia usamos o Teste da Raza˜o,∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ xn+1(n+ 1)! n!xn
∣∣∣∣ = |x|n+ 1 n→∞−−−→ 0 < 1
Assim, R =∞. Para que possamos escrever
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
, ∀ x ∈ R.
precisamos mostrar que lim
n→∞
f (n)xn
n!
= 0 para z entre x e 0.
Sabemos que f(x) = ex e´ uma func¸a˜o crescente. Seja t um valor entre 0 e x.
Se x > 0 enta˜o et < ex = M para todo t ∈ (0, x).
Como f (n)(t) = et segue que |f (n)(t)| ≤M para todo t ∈ (0, x).
Pelo Teorema 1.23 segue que
lim
n→∞
f (n)xn
n!
= 0 para z ∈ (0, x).
Se x < 0 enta˜o et < e0 = 1 = M para todo t ∈ (x, 0).
Novamente pelo Teorema 1.23 segue que
lim
n→∞
f (n)xn
n!
= 0 para z ∈ (x, 0).
Portanto lim
n→∞
f (n)xn
n!
= 0 para z entre x e 0 e consequentemente
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
, ∀ x ∈ R.
Note que se x = 1 temos que e =
∞∑
n=0
1
n!
.
Exemplo 1.59. Encontre a se´rie de Taylor de f(x) = ex centrada em a = 2.
Soluc¸a˜o: Temos que f (n)(2) = e2 ∀ n.
Assim a se´rie de Taylor e´ dada por
∞∑
n=0
f (n)(2)
n!
(x− 2)n =
∞∑
n=0
e2
n!
(x− 2)n.
Novamente, pelo teste da raza˜o, podemos notar que R =∞, pois∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣e2(x− 2)n+1(n+ 1)! n!e2(x− 2)n
∣∣∣∣ = |x− 2|n+ 1 n→∞−−−→ 0 < 1.
Novamente, para que possamos escrever
ex =
∞∑
n=0
e2
n!
(x− 2)n, para todo x ∈ R,
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 39
precisamos mostrar que lim
n→∞
f (n)(x− 2)n
n!
= 0 para z entre x e 2. Iremos usar o Teorema 1.23.
Suponha que x > 2, e´ um nu´mero arbitra´rio pore´m fixado. Como f(x) = ex e´ uma func¸a˜o crescente
obtemos
∣∣f (n)(t)∣∣ = et ≤ ex = M para todo t ∈ (2, x). Pelo Teorema 1.23 segue que
lim
n→∞
f (n)(x− 2)n
n!
= 0 para z ∈ (2, x).
Se x < 2 enta˜o et < e2 = M para todo t ∈ (x, 2).
Novamente pelo Teorema 1.23 segue que
lim
n→∞
f (n)(x− 2)n
n!
= 0 para z ∈ (x, 2).
Portanto podemos escrever que
ex =
∞∑
n=0
e2
n!
(x− 2)n, para todo x ∈ R.
Exemplo 1.60. Encontre a se´rie de Maclaurin para f(x) = sen(x).
Soluc¸a˜o: Note que
f(x) = senx f(0) = 0
f ′(x) = cos(x) f ′(0) = 1
f ′′(x) = −sen(x) f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = −cos(x) f ′′′(0) = −1
f (4)(x) = sen(x) f (4)(0) = 0
Como as derivadas se repetem a cada intervalo de quatro derivadas, a se´rie de Maclaurin e´
∞∑
n=0
f (n)(0)xn
n!
= f(0) +
f ′(0)
1!
x+
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 +
f (4)(0)
4!
x4 + · · ·
= x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ ... =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
Ale´m disso, pelo Teste da Raza˜o obtemos
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣(−1)nx2n+3(2n+ 3)! (2n+ 1)!(−1)nx2n+1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ x2nx3(2n+ 3)(2n+ 2)(2n+ 1)! (2n+ 1)!x2nx
∣∣∣∣
=
|x|2
(2n+ 3)(2n+ 2)
n→∞−−−→ 0 < 1,
independente de x ∈ R. Isto e´ R = +∞.
Observe ainda que
∣∣f (n)(t)∣∣ ≤ 1 para todo t, uma vez que as derivadas sa˜o sempre senos e cossenos, logo
pelo Teorema 1.23 segue que lim
n→∞
f (n)(z)xn
n!
= 0 para z entre 0 e x.
E enta˜o podemos escrever
sen(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
, ∀ x ∈ R.
Exemplo 1.61. Encontre a se´rie de Maclaurin para f(x) = cos(x).
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 40
Soluc¸a˜o: Temos que
cos(x) =
d
dx
(sen(x)) =
d
dx
( ∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
)
=
∞∑
n=0
d
dx
(
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!
)
=
∞∑
n=0
(−1)n(2n+ 1)x2n
(2n+ 1)!
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
, ∀ x ∈ R.
Exemplo 1.62. Encontre a se´rie de Maclaurin para a func¸a˜o f(x) = xcos(x).
Soluc¸a˜o: Note que
xcos(x) = x
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n)!
.
Exemplo 1.63. Encontre a se´rie de Maclaurin para f(x) = e−x2 e fac¸a um ca´lculo aproximado de∫ 1
2
0
e−x
2
dx.
Soluc¸a˜o: E´ poss´ıvel encontrar a se´rie de Maclaurin de e−x2 usando o me´todo direto, no entanto vamos
facilitar nossos ca´lculos usando a func¸a˜o
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
∀ x ∈ R.
Substituindo x por −x2, obtemos
e−x
2
=
∞∑
n=0
(−x2)n
n!
=
∞∑
n=0
(−1)nx2n
n!
= 1− x
2
1!
+
x4
2!
− x
6
3!
+ ...
Assim, integrando termo a termo, segue que∫
e−x
2
dx =
∫ ( ∞∑
n=0
(−1)nx2n
n!
)
dx =
∞∑
n=0
(−1)n
n!
(∫
x2n dx
)
=
∞∑
n=0
(−1)n
n!
x2n+1
2n+ 1
+ C,
esta se´rie converge para todo x uma vez que a se´rie inicial converge para todo x.
Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo nos temos
∫ 1
2
0
e−x
2
dx =
[ ∞∑
n=0
(−1)n
n!
x2n+1
2n+ 1
]∣∣∣∣∣
x= 1
2
x=0
=
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)n!
1
22n+1
.
Somando os 5 primeiros termos
1
2
− 1
24
+
1
320
− 1
5376
+
1
110592
≈ 0, 46128
temos uma aproximac¸a˜o da integral acima.
Exemplo 1.64. Calcule lim
x→0
ex − 1− x
x2
usando as se´ries de Maclaurin.
Soluc¸a˜o: Temos que
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
∀ x ∈ R.
CAPI´TULO 1. SEQUEˆNCIAS E SE´RIES NUME´RICAS 41
Logo
lim
x→0
ex − 1− x
x2
= lim
x→0
(∑∞
n=0
xn
n!
)− 1− x
x2
= lim
x→0
(
1 + x+ x
2
2! +
x3
3! + ...
)
− 1− x
x2
= lim
x→0
(
x2
2! +
x3
3! +
x4
4! + ...
)
x2
= lim
x→0
(
1
2
+
x
3!
+
x2
4!
+
x3
5!
+ ...
)
= lim
x→0
( ∞∑
n=0
xn
(n+ 2)!
)
Seja
f(x) =
∞∑
n=0
xn
(n+ 2)!
.
Sabemos que toda se´rie de poteˆncias e´ deriva´vel em seu intervalo de convergeˆncia,