ENG1503 Lista Exercícios Cadeias Markov ATUAL GABARITO

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Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 
ENG1503 – Turma 3VB/3VC – Departamento de Engenharia Industrial 
Lista de Exercícios – Cadeias de Markov 
Prof. Fernando Luiz Cyrino Oliveira 
 
 
1) 
a)   
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
033,067,0
334,0333,0333,0
5,05,00
P 
 
b)   0,5 
c)   0,314815 
d)   π = (0,32, 0,39, 0,29) 
e)   µ BH = 2,67; µ HH = 3,3 
 
2) 
 
0.651 / 0.258 / 0.091 
 
31.5% 
 
3) 
 
Estados: nível do estoque no início do dia = {0, 1, 2,...4} 
P00 = 0 (estoque voltou ao nível máximo, como a demanda máxima é de 2 unid., não é 
possível que no início do tinha não haja mercadoria em estoque) 
P21 = 1/3 (o dia começou com 2 unid. em estoque, não ocorrendo, portanto, 
reposição de mercadoria. A prob. de demanda de uma unidade é 1/3) 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3/13/13/100
03/13/13/10
003/13/13/1
3/13/13/100
3/13/13/100
 
 
 
4) i) Cadeia de Markov com estados i = 0, 1, 2, 3, 4 onde o jogador possui 10*i reais em 
cada estado 
ii) 0 
iii) 2*p*(1-p) 
 
 
5) 
a)   4. 
b)   1, 2, 3, 5, 6. 
c)   Não. 
 
6) P1:Ergódica (todos os estados são apenas recorrentes); P2: Não ergódica (1, 2 e 3 são 
transientes, 4 é absorvente) 
 
7) Para cada uma das cadeias de Markov a seguir, calcule a fração de tempo que cada estado 
estará ocupado e os tempos de primeira passagem. 
 
i.   60% (3/5) , 40% (2/5) 
ii.   64% (16/25) , 20% (1/5) , 16% (4/25) 
iii.   µ11 = 1,65; µ22 = 2,51 (primeiro processo) 
µ11 = 1,56; µ22 = 5 e µ33 = 6,25 (segundo processo) 
 
8) Ação 1 (valores médios são 16.67 e 16.00) 
 
9) π = (0,346; 0,384; 0,269) 
 
10) 
 
a)   
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
7,01,002,0
06,004,0
0001
P 
 
b)   
A = (I – Q )-1R = 
 Elim Superv 
T 0,533 0,466 
P 0,23 0,77 
 
11) a) 0.705 b) 0.3 
 
12) 
Cada estado pode ser representado pelo par (x, y), onde x é o nº de componentes em 
condição de operar no fim de cada período e y assumirá os valores 1, se faltar 1 período 
para completar o conserto, ou 0, se irá começar o conserto. 
ex: E1 = (2, 0) significa que os dois componentes estão em funcionamento e 0 períodos de 
conserto. E2 = (1, 0) significa que um componente está em funcionamento e o quebrado vai 
começar a ser consertado. E3 = (0,1) significa que não temos componente em funcionamento 
e o que está em reparo já está com um período de serviço. E4 = um componente está em 
ordem e um período de conserto no outro. 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
001
0010
100
001
qq
qq
qq
P 
 
13) 2 
 
14) 
 
a)   Estados: 1 semana, 2 semanas, 3 semanas, Biblioteca 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
1000
9,01,000
7,003,00
P 
 
b)  
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=− −
100
01,010
03,03,01
)( 1QI 
 
 
Logo, o livro permanece com o aluno 1,33 semanas, em média.