ENG1503 Lista Exercícios Cadeias Markov - Enunciado

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Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 
ENG1503 – Departamento de Engenharia Industrial 
Lista de Exercícios – Cadeias de Markov 
Prof. Fernando Luiz Cyrino Oliveira 
 
1) Em Salvador um taxista opera entre o aeroporto, a cidade baixa e um grupo de hotéis na 
orla. Em cada corrida o táxi aceita um passageiro (ou um grupo de passageiros viajando juntos) 
e transporta-o a um dos 3 destinos. Fica depois nesse local à espera de um novo cliente. 
Estudos realizados conduziram às seguintes conclusões: metade dos passageiros que 
apanham o táxi no aeroporto dirige-se à baixa e a outra metade aos hotéis; os passageiros que 
apanham o táxi na baixa distribuem-se igualmente pelos 3 destinos; dois terços dos 
passageiros que apanham o táxi nos hotéis vão para o aeroporto e os restantes vão para a 
baixa. Construa um modelo que “siga” as viagens do táxi. 
a) Represente o diagrama de transições e determine a matriz de transições. 
b) Calcule a matriz de transições de 2ª ordem. Qual a probabilidade de o táxi estar de 
volta ao aeroporto ao fim da 2ª viagem após ter saído do aeroporto? 
c) Se o táxi tiver igual probabilidade de partir dos 3 locais, qual a probabilidade de 
estar no aeroporto ao fim da 2ª viagem ? 
d) Calcule as probabilidades estacionárias. Qual a probabilidade de o táxi estar nos 
hotéis no fim do dia de trabalho (após um longo nº de viagens)? 
e) Qual o nº médio de viagens até o táxi alcançar os hotéis, tendo começado na baixa? Se 
o táxi começou nos hotéis, qual o nº médio de viagens até o táxi alcançar de novo os hotéis? 
 
2) Cada família americana mora ou na zona urbana ou na rural ou na suburbana. Durante 
cada ano, 15% das famílias urbanas mudam-se para o subúrbio e 5% para a zona rural. Já 
para as famílias suburbanas, 6% mudam-se para a zona urbana e 4% para a zona rural. 
Finalmente, 4% das famílias da zona rural mudam-se para a cidade e 6% para o subúrbio. 
Se atualmente uma família mora na cidade, qual a probabilidade de que em dois anos ela 
continue morando na cidade? Que vá para o subúrbio? E para o campo? 
Atualmente, 40% das famílias americanas vivem na zona urbana, 35% na suburbana e 25% 
na área rural. Daqui a dois anos qual será a porcentagem de famílias americanas a viver na 
área urbana? 
 
3) Considere um sistema de estoque cuja sequência de eventos durante o dia é a seguinte: 
Observa-se o nível do estoque no início do dia (estado i). Se i ≤ 1, encomenda-se (4-i) 
unidades. Cada pedido tem entrega imediata (por exemplo: se você imaginar que seja uma 
loja, suponha que a reposição é feita antes do horário comercial). Em relação à demanda 
diária do produto, a probabilidade de venda é: 1/3 de não vender nada; 1/3 de vender uma 
unidade e 1/3 de vender duas unidades. 
Observa-se o nível de estoque no início do dia seguinte. Considerando que o nível de 
estoque no início de cada dia é a principal característica a observar, determine a matriz de 
transição que pode ser usada para representar o sistema como uma cadeia de Markov. 
 
4) Um jogador aposta R$ 10,00 em cada partida de um jogo de azar. Em cada partida, ele tem 
probabilidade p de ganhar e 1-p de perder. O objetivo do jogador é ganhar R$ 40,00 e sabe-se 
que no início ele possui R$ 20,00. Que processo estocástico poderia representar este 
problema? Após apostar duas vezes qual a probabilidade dele possuir R$ 30,00? E R$ 20,00? 
 
5) Considere a seguinte matriz de transição: 
 





















3/20003/10
000001
002/104/14/1
010000
100000
000100
P
 
 
 
a) Quais estados são transientes? 
b) Quais estados são recorrentes? 
c) A cadeia é ergódica? 
 
6) Determine se as cadeias de Markov a seguir são ergódicas. Determine para cada uma delas, 
o conjunto de estados recorrentes, transientes e absorventes. 
 











1,05,04,0
07,03,0
2,08,00
1P
 













1000
01,05,04,0
1,09,000
008,02,0
2P 
 
7) Para cada uma das cadeias de Markov a seguir, calcule a fração de tempo que cada estado 
estará ocupado e os tempos de primeira passagem. 
 







2/12/1
3/13/2
1P
 











02,08,0
8,02,00
02,08,0
2P
 
 
8) Considere duas ações. A ação 1 é sempre vendida por R$ 10 ou R$ 20 . Se a ação 1 for 
vendida por R$ 10 hoje, terá 80% de chance de ser vendida por R$ 10 amanhã. Se for 
vendida por 20 hoje, terá 90% de chance de ser vendida por R$ 20 amanhã. A ação 2 é 
sempre vendida por 10 ou 25 . Se a ação 2 for vendida por 10 hoje, terá 90% de chance de ser 
vendida por R$ 10 amanhã. Se for vendida por 25 hoje, terá 85% de chance de ser vendida 
por R$ 25 amanhã. Em média qual das duas será vendida pelo preço mais alto? 
 
09) Uma fábrica de cerveja (A) pretende analisar a sua posição no mercado e está 
particularmente preocupada com a sua concorrente (B). Os técnicos da companhia (A) 
pensam que a mudança de marca de cerveja por parte dos consumidores pode ser modelada 
como uma cadeia de Markov usando 3 estados. Os estados A e B representam os 
consumidores que preferem a cerveja das companhias (A) e (B), respectivamente, enquanto o 
estado C representa os consumidores que preferem todas as outras marcas. Com base em 
registros foi construída a matriz de transições: 
 A B C 
A 0.7 0.2 0.1 
B 0.2 0.75 0.05 
C 0.1 0.1 0.8 
 
Quais são as quotas de mercado de cada companhia em regime estacionário? 
10) O programa de formação de supervisores de produção de uma empresa consiste em 2 
fases. A fase 1, que envolve 3 semanas de aulas teóricas, é seguida da fase 2, que envolve 3 
semanas de aulas práticas. Pelas experiências anteriores, a companhia espera que apenas 
60% dos candidatos da fase teórica passem à fase prática, com os restantes 40% completando 
aí todo o seu programa de formação (ou seja, sendo eliminados). Dos que frequentam a fase 
prática, 70% são graduados como supervisores, 10% devem repetir esta fase e 20% são 
eliminados. 
 
a) Represente o diagrama de transição de estados. 
b) Quantos supervisores pode a companhia esperar formar no seu programa se 
inicialmente houver 45 pessoas na fase teórica e 21 na fase prática ? 
 
11) Cadeias Markov com estados Absorventes são usadas para modelar a probabilidade que 
uma pessoa que foi abordada pelo serviço de Telemarketing tornar a ser uma eventual 
compradora do produto. 
Considere um cliente potencial que nunca tenha recebido uma ligação sobre a venda do 
produto. Após uma ligação, 60% dos clientes mostram um baixo interesse pela compra do 
produto, 30% um alto interesse e 10% deixarão de fazer parte do cadastro de clientes 
futuros. 
Considere o cliente que apresenta atualmente um baixo interesse na compra do produto. Após 
uma outra ligação, existe 30 % de chance do cliente realizar a compra, 30 % dos clientes 
continuarão com um baixo interessa pela compra do produto, 20% um alto interesse e 20% 
deixarão de fazer parte da lista de clientes futuros. Considere o cliente que expressa um alto 
interesse pela compra do produto. Após um novo telefonema, há 50 % de chance de ele 
fechar o negócio, 40 % de manter o alto interesse pela compra e 10% de apresentar um baixo 
interesse. 
a) Qual a probabilidade que um novo cliente em potencial eventualmente compre o 
produto? 
b) Qual a probabilidade de que um cliente pouco interessado seja eliminado da 
lista? 
 
12) Uma importante unidade consiste de dois componentes colocados em paralelo. A 
unidade trabalha com apenas um dos dois componentes. Um componente quebra numdado 
período com probabilidade q (supor que as quebras são sempre no fim do período). Quando 
isso ocorre, o componente em paralelo entra em ação (caso esteja disponível) começando a 
funcionar no próximo período. Um único operário qualificado cumpre o serviço de reparo e 
leva dois períodos para completar o mesmo. Formule um processo estocástico para 
representar a situação. 
 
13) Uma pequena cobaia e um enorme pedaço de queijo são colocados em um labirinto, 
embora não necessariamente no mesmo compartimento. As seguintes suposições são feitas: 
a) Os compartimentos 1 e 3 têm duas saídas, o compartimento 2 apenas uma e o 4 não têm 
saída. O rato não pode sair do quarto 4 após ter entrado no mesmo. 
b) O rato muda de compartimento a cada minuto, desde que não esteja no 
4. 
c) O rato escolhe uma das saídas de um quarto no qual ele está com mesma probabilidade. 
d) O rato recebe um pedaço de queijo toda vez que entra no compartimento que tem queijo. 
 
Quantos pedaços de queijo o rato pode esperar ganhar se está no compartimento 1 e o 
queijo está no 2 sob a suposição de que o processo continue indefinidamente? Veja uma das 
possibilidades do labirinto: 
 
 
 
14) Análises de dados passados mostram que quando um aluno pega um livro emprestado na 
biblioteca, em média, o devolve uma semana depois. Dependendo do livro e do tempo livre do 
aluno, há 30% de chance de conservá-lo por mais uma semana. Caso o aluno fique com
o livro por duas semanas, há 10% de chance de conservá-lo por mais uma semana. Foi 
considerado desprezível o número de alunos que fica com um livro por mais de três 
semanas. 
a) Expresse a situação com uma Cadeia de Markov. 
b) Determine o número médio de semanas que um aluno permanece com o livro antes de 
devolvê-lo à biblioteca.