Caítulo de Exercícios 1 - sr

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Química Quântica - Exercícios 1 1 
Química Quântica 
Exercícios - 1 
PARANÁ
13/08/2013 
Química Quântica - Capítulo 1 2 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.1a) Qual a velocidade que o elétron precisa ser acelerado para ter um comprimento 
de onda de 3,0 cm? 
m10x0,3cm0,3
kg10x11,9m
mvp
s.J10x626,6h
?v
2
31
34









12
sm10x42,2v

Química Quântica - Capítulo 1 3 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.1b) Qual a velocidade que o próton precisa ser acelerado para ter um comprimento 
de onda de 3,0 cm? 
m10x0,3cm0,3
kg10x675,1m
mvp
s.J10x626,6h
?v
2
27
34









15
sm10x3,1v

2132
1111
  smkgmJmNPa
Química Quântica - Capítulo 1 4 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.2a) A constante de estrutura fina, a, tem um papel especial na teoria da estrutura da 
matéria. O seu valor aproximado é 1/137. Qual o comprimento de onda de um elétron com 
a velocidade ac, sendo c a velocidade da luz? 
s/m10x998,2c
kg10x11,9m
mvp
s.J10x626,6h
?
8
31
34








m10x324,3
10
Química Quântica - Capítulo 1 5 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.2b) Calcule o momento linear de um fóton de comprimento de onda igual a 350 nm. 
A que velocidade a molécula de hidrogênio precisa se deslocar para ter o mesmo momento 
linear? 
mxnm
molkgxxm
mvp
sJxh
v
9
3
34
10350350
/100078,12
.10626,6
?









1
565,0
 smv
Química Quântica - Capítulo 1 6 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.4a) Calcule a energia para o fóton e para um mol de fótons para radiação de 
comprimento de onda (a) 600 nm (vermelho), (b) 550 nm (amarelo) (c) 400 nm (azul). 
nmnmnm
molxN
smxc
sJxh
fótondemolE
fótonE
A
400,550,600
10022,6
/10998,2
.10626,6
?)(
?)(
123
8
34









Química Quântica - Capítulo 1 7 
Exercícios 
13/08/2013 
 JxxxhcE 191919 1097,4,1061,3,1031,3  
  1299,218,199  kJmol
hc
NEN AA 
Química Quântica - Capítulo 1 8 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.4b) Calcule a energia para o fóton e para um mol de fótons para radiação de 
comprimento de onda (a) 200 nm (ultravioleta), (b) 150 pm (Raios-X) (c) 1,00 cm 
(microondas). 
cmpmnm
molxN
smxc
sJxh
fótondemolE
fótonE
A
00,1,150,200
10022,6
/10998,2
.10626,6
?)(
?)(
123
8
34









Química Quântica - Capítulo 1 9 
Exercícios 
13/08/2013 
 J10x99,1,10x32,1,10x93,9hcE 231519 


  15 012,0,1098,7,598  kJmolxhcNEN AA 
Química Quântica - Capítulo 1 10 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.5a) Calcule a velocidade para o qual um átomo de hidrogênio estacionário seria 
acelerado se ele absorvesse cada um dos fótons usados no exercício 8.4a. 
s/m10x998,2c
kg10x675,1m
?v
8
27




 JxxxhcE 191919 1097,4,1061,3,1031,3  
 
s
m99,0;72,0;66,0v 
Química Quântica - Capítulo 1 11 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.5b) Calcule a velocidade para o qual um átomo de 4He estacionário (massa igual a 
4,0026 u) seria acelerado se ele absorvesse cada um dos fótons abaixo relacionados. 
kg10x6605,1u
s/m10x998,2c
?v
27
8



 JxxxE 231519 1099,1,1032,1,1093,9 
 
s
mx
6
1098,9;665;499,0v


hc

Química Quântica - Capítulo 1 12 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.7a) Uma lâmpada de sódio emite luz amarela (550 nm). Quantos fótons ela emite 
cada segundo se sua potência for (a) 1,0 W; (b) 100 W? 
18
34
s.m10x998,2c
s/JW1
W100P
W0,1P
nm550
sJ10x626,6h








1181077,2  sxN 1201077,2  sxN
Química Quântica - Capítulo 1 13 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.7b) Um laser usado para ler CDs emite luz vermelha de comprimento de onda igual 
a 700 nm. Quantos fótons ela emite cada segundo se sua potência for (a) 0,10 W; (b) 1,0 W? 
s/JW1
W0,1P
W10,0P
nm700
sJ10x626,6h 34




 

1171052,3  sxN 1181052,3  sxN
Química Quântica - Capítulo 1 14 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.8a) A função trabalho para o césio metálico é 2,14 eV. Calcule a energia cinética e a 
velocidade dos elétrons emitidos pela luz de comprimento de onda (a) 700 nm, (b) 300 nm. 
J10x602,1eV1
sJ10x626,6h
s/m10x998,2c
nm300
nm700
eV14,2
19
34
8











J10x43,3J10x602,1x14,2
1919  
Química Quântica - Capítulo 1 15 
Exercícios 
13/08/2013 
J10x62,6
m10x300
s/m10x998,2xsJ10x626,6c
h
19
9
834




J10x19,3J10x43,3J10x62,6hvE 191919k
 
1
31
19
skm837
kg10x109,9
J10x19,3x2
v 



Química Quântica - Capítulo 1 16 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.8b) A função trabalho para o rubídio metálico é 2,09 eV. Calcule a energia cinética e 
a velocidade dos elétrons emitidos pela luz de comprimento de onda (a) 650 nm, (b) 195 
nm. 
J10x602,1eV1
sJ10x626,6h
s/m10x998,2c
nm195
nm650
eV09,2
19
34
8











J10x35,3J10x602,1x09,2
1919  
Química Quântica - Capítulo 1 17 
Exercícios 
13/08/2013 
J10x84,6J10x35,3J10x02,1
hc
E
191918
k
 


16
31
19
sm10x23,1
kg10x109,9
J10x84,6x2
v 



J10x9206,E 20k

Química Quântica - Capítulo 1 18 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.9a) Calcule o valor do quantum envolvido na excitação de (a) uma oscilação 
eletrônica de período igual a 1,0 fs; (b) uma vibração molecular de período igual a 10 fs; (c) 
um pêndulo de período igual a 1,0 s. Dê os resultados em Joule e em kJoule/mol. 
s1
s10fs10
s10fs1
sJ10x626,6h
14
15
34










mol/kJ10x4;mol/kJ40;mol/kJ400E
13
Química Quântica - Capítulo 1 19 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.9b) Calcule o valor do quantum envolvido na excitação de (a) uma oscilação 
eletrônica de período igual a 2,50 fs; (b) uma vibração molecular de período igual a 2,21 fs; 
(c) um pêndulo de período igual a 1,0 ms. Dê os resultados em Joule e em kJoul/mol. 
s10ms1
s10x21,2fs21,2
s10x5,2fs5,2
sJ10x626,6h
3
15
15
34








mol/kJ10x4;mol/kJ181;mol/kJ160E
10
Química Quântica - Exercícios 1 20 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.10a) Calcule o comprimento de onda de de Broglie de uma (a) massa de 1,0 g, 
viajando a 1,0 cm/s; (b) massa de 1,0 g, viajando a 100 km/s; (c) um átomo de He viajando 
a 1000 m/s (uma típica velocidade a temperatura ambiente) 
sJ10x626,6h
s/m1000v
s/m10x100v
s/m10x0,1v
kg10x6605,1x003,4m
kg10x0,1m
?v
?
34
c
3
b
2
a
27
c
3
b,a












Química Quântica - Exercícios 1 21 
Exercícios 
13/08/2013 
mx 29106,6 
mx 36106,6 
mx 12107,99 
Química Quântica - Exercícios 1 22 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.10b) Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um elétron acelerado do 
repouso a uma diferença de potencial de (a) 100V; (b) 1,0 kV; (c) 100kV. 
J10x60,1eV1V1
sJ10x626,6h
V100000v
V1000E
V100E
kg10x11,9m
?
19
34
c
k
k
31
c,b,a










Energia cinética de um 
elétron acelerado em um 
potencial de 1V 
Química Quântica - Exercícios 1 23 
Exercícios13/08/2013 
mx 101023,1 
mx 11109,3 
mx 121088,3 
Química Quântica - Exercícios 1 24 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.11a) Prove que o operador ao lado é hermitiano. 


d
d
i
h
z ˆ
É um ângulo: de 0 a 2p 
Química Quântica - Exercícios 1 25 
Exercícios 
13/08/2013 
Química Quântica - Exercícios 1 26 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.11b) Mostre que as combinações lineares abaixo não são hermitianas. Os 
operadores, independentemente, são hermitianos. 
BˆiAˆeBˆiAˆ 
Não é hermitiano 
Química Quântica - Exercícios 1 27 
Exercícios 
13/08/2013 
BˆiAˆ
Não é hermitiano 
Química Quântica - Exercícios 1 28 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.12a) Calcule a incerteza mínima na velocidade de uma bola de massa de 500 g que 
está a uma distância de no mínimo 1,0 mm de um certo ponto. Qual a incerteza mínima na 
posição de um projétil de 5,0 g cuja velocidade está entre 350,000.001 m/s e 350,000.000 
m/s? 
s/m10x056,1v
28 Js10x055,1h
s/m000000,350v
s/m000001,350v
kg10x5g0,5m
?q
m10x000,1q
kg500,0g500m
?v
34
2
1
3
min
6
min














Química Quântica - Exercícios 1 29 
Exercícios 
13/08/2013 
m10x055,1q 27min

 Tanto a bola quanto o projétil são partículas clássicas, porque as incertezas são muito 
pequenas. 
Química Quântica - Exercícios 1 30 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.12b) Um elétron está confinado em uma região linear do espaço que tem o 
comprimento da mesma ordem que o diâmetro de um átomo (cerca de 100 pm). Calcule as 
incertezas mínimas na posição e na velocidade. 
Js10x055,1h
?p
m10x100q
kg10x11,9m
?v
34
12
31











smxv /1079,5 5
Química Quântica - Exercícios 1 31 
Exercícios 
13/08/2013 
m10x055,1q 27min

Química Quântica - Exercícios 1 32 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.13a) Em um experimento com fotoeétrons excitados por raios X, um fóton de 
comprimento de onda igual a 150 pm provoca a emissão de um elétron da camada interna 
de um átomo, que é ejetado com a velocidade de 21,4 Mm s-1 . Calcule a energia de ligação 
do elétron. 
16
12
18
34
31
ms10x4,21v
m10x150
ms10x998,2c
sJ10x626,6h
kg10x11,9m
?I













A função trabalho é a energia de 
ionização do elétron 
Química Quântica - Exercícios 1 33 
Exercícios 
13/08/2013 
J10x12,1
15
Química Quântica - Exercícios 1 34 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.13b) Em um experimento com fotoeétrons excitados por raios X, um fóton de 
comprimento de onda igual a 121 pm provoca a emissão de um elétron da camada interna 
de um átomo, que é ejetado com a velocidade de 56,9 Mm s-1 . Calcule a energia de ligação 
do elétron. 
16
12
18
34
31
ms10x9,56v
m10x121
ms10x998,2c
sJ10x626,6h
kg10x11,9m
?I













A função trabalho é a energia de 
ionização do elétron 
Química Quântica - Exercícios 1 35 
Exercícios 
13/08/2013 
J10x67,1
16
Química Quântica - Exercícios 1 36 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.8) Uma partícula está num estado descrito pela função de onda abaixo, onde a é 
uma constante. Determine o valor esperado do comutador dos operadores posição e 
momento. 
dx
d
i
h
px ˆ
.xxˆ 
ax
eax
 2
1
)2()(  x0
Química Quântica - Exercícios 1 37 
Exercícios 
13/08/2013 
Química Quântica - Exercícios 1 38 
Exercícios 
13/08/2013 
  hipx ˆ,ˆ
Química Quântica - Exercícios 1 39 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.15) Identifique quais das funções abaixo são autofunções do operador d/dx. Quais 
são os respectivos autovalores para as autofunções encontradas? 
ikx
xfa e)()( 
kxcos)()( xfb
kxfc )()(
x)()( kxfd 
2
)()(
ax
exfe

Autovalores 
Química Quântica - Exercícios 1 40 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.16) Determine quais funções são autofunções do operador inversão (que 
transforma x em –x): (a) x3 –kx; (b) cos kx; (c) x2+3x-1. Informe o autovalor do operador. 
iˆ
kxx)()(
3 xfa
kxcos)(b
1-3xx)()(
2 xfc
Não é autofunção do operador 
Autovalores 
Química Quântica - Exercícios 1 41 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.17) Identifique quais das funções abaixo são autofunções do operador d2/dx2. Quais 
são os respectivos autovalores para as autofunções encontradas? 
ikx
xfa e)()( 
kxcos)()( xfb
kxfc )()(
x)()( kxfd 
2
)()(
ax
exfe

Autovalores 
Química Quântica - Exercícios 1 42 
Exercícios 
13/08/2013 
 8.18) Uma partícula encontra-se descrita pela função de onda abaixo. Qual é a 
probabilidade de encontrar a partícula com um momento linear (a) +kh; (b) –kh? 
dx
d
i
h
pˆx 
ikx
Ae
    ikxikxikxikx ececesene   21cos 
Parâmetro 
Química Quântica - Exercícios 1 43 
Exercícios 
13/08/2013 
 12) Determine os comutadores dos operadores abaixo... 
x
e
dx
d
a
1
)(
2
)( xe
dx
d
b
  122121 ˆˆˆˆˆ,ˆ  
Química Quântica - Exercícios 1 44 
Exercícios 
13/08/2013 
 13) Determine os comutadores dos operadores abaixo... 
 
2
1
2
pˆixˆ
aˆ1


 
2
1
2
pˆixˆ
aˆ2


  122121 ˆˆˆˆˆ,ˆ  
dx
d
i
h
pˆx 
.xxˆ 
Química Quântica - Exercícios 1 45 
Exercícios 
13/08/2013 
   
h
2
pˆixˆ
,
2
pˆixˆ
2
1
2
1





 
Química Quântica - Exercícios 1 46 
Exercícios 
13/08/2013 
 15) Uma partícula está num estado descrito pela função de onda abaixo, onde a é uma 
constante. Verifique que o valor do produto px é consistente com o previsto pelo 
princípio da incerteza. . 
dx
d
i
h
px ˆ
.xxˆ 
2
4
1
2
)(
ax
e
a
x








p

 x
h
2
1
qp 
Incerteza no momento 
linear paralelo ao eixo q 
Incerteza na posição sobre 
esse eixo x. 
  2
1
22 ppp 
  2
1
22 qqq 
   dˆ*
Química Quântica - Exercícios 1 47 
Exercícios 
13/08/2013 
Química Quântica - Exercícios 1 48 
Exercícios 
13/08/2013 
Química Quântica - Exercícios 1 49 
Exercícios 
13/08/2013 
h
a
haqp
2
1
2
1
2
1
2
1

Química Quântica - Exercícios 1 50 
Exercícios 
13/08/2013 
 16) Calcule o momento linear médio de uma partícula descrita pelas seguintes 
funções de onda abaixo. 






d
dˆ
*
*
ikx
e)a( 
kxcos)b( 
2ax
e)c(






d
dx
dx
d
i
h
p
*
*
x
dx
d
i
h
pˆx  x
ikx
e)a( 
kxcos)b( 
2ax
e)c(

Química Quântica - Exercícios 1 51 
Exercícios 
13/08/2013 
hk
dx
dxhk
p
*
*
x 











 0kxdxsenkxcosk
i
h
px
0dxxea2
i
h
p
2ax2
x  



Química Quântica - Exercícios 1 52 
Exercícios 
13/08/2013 
 19) Qual é a probabilidade, P, de localizar o elétron em um polieno conjugado entre x 
= 0 e x = 0,2 nm em seu estado de mais baixa energia em uma molécula conjugado de 
comprimento 1,0 nm? 
14,3
nm0,1L
nm2,0lx
0x
?P





p
Química Quântica - Exercícios 1 53 
Exercícios 
13/08/2013 
20
1
05,0P 
 Uma chance em 20 para encontrar o elétron na região.