Capítulo 2

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Química Quântica - Capítulo 2 1 
Química Quântica 
Capítulo 2 
Dinâmica de Sistemas 
Microscópicos 
PARANÁ
06/08/2013 
Química Quântica - Capítulo 2 2 
2.1 Introdução 
06/08/2013 
 A mecânica quântica reconhece a dualidade partícula-onda da matéria - ao invés de 
percorrer um caminho definido, uma partícula é distribuída no espaço como uma onda. A 
representação matemática da onda, que em mecânica quântica substitui o conceito clássico de 
trajetória, é denominado uma função de onda, y (psi). 
 Trajetórias de um oscilador harmônico na mecânica 
clássica (A,B) e mecânica quântica (C-H). Na mecânica 
quântica o objeto tem uma função de onda com uma parte 
real em azul e uma parte imaginária em vermelho. De C-F 
são exemplos de ondas padrão (estados estacionários). 
Química Quântica - Capítulo 2 3 
2.2 A Equação de Schrödinger 
06/08/2013 
 Erwin Schrödinger (1926) apresentou uma equação para encontrar a função de onda 
de qualquer sistema. A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula 
de massa m, movendo em uma dimensão com energia E é: 
yyy E)x(V
dx
d
m2
h
2
22

Energia potencial da 
partícula no ponto x 
Relacionado a energia 
cinética da partícula 
Energia total 
Js10x05457,1
2
h
h 34 
yyy EV
m2
h 2
2

yy EHˆ 
V
m2
h
Hˆ 2
2

Química Quântica - Capítulo 2 4 
2.3 Relação de de Broglie por meio da Equação de Schrödinger 
06/08/2013 
 A relação de de Broglie para uma partícula movendo-se livremente em uma região 
com energia potencial constante V pode ser encontrada através da equação de Schrödinger. 
yyy E)x(V
dx
d
m2
h
2
22

V)x(V 
yyy EV
dx
d
m2
h
2
22

yyy VE
dx
d
m2
h
2
22
  yy VE
h
m2
dx
d
22
2

ikxey
2
1
2h
)VE(m2
k 




 

Química Quântica - Capítulo 2 5 
Relação de de Broglie 
06/08/2013 
 Em mecânica quântica, uma função de onda complexa descreve a distribuição 
espacial de uma partícula se a partícula que ela descreve tem um movimento resultante. 
kxsenikxcoseikx y
 Números complexos têm a forma z = x + 
iy, onde i = (-1)1/2 e os numeros reais x e y são as 
partes real e imaginária de z, denominada Re(z) e 
Im(z), respectivamente. Uma função complexa 
tem a forma f = g + ih, onde g e h são funções. 
Química Quântica - Capítulo 2 6 
Relação de de Broglie 
06/08/2013 
 A função cos kx (sen kx), quando comparanda com a forma padrão de uma onda 
harmônica, cos 2x/l, é uma onda de comprimento de onda l = 2/k. 
 A quantidade E-V é igual a energia cinética da partícula, Ek, assim: 
2
1
2h
)VE(m2
k 




 

2
1
2
k
h
mE2
k 






m2
hk
E
22
k 
2
k mv
2
1
E 
 Como: 
22
k vm
m2
1
E 
m2
p
E
2
k 
Química Quântica - Capítulo 2 7 
Relação de de Broglie 
06/08/2013 
k/2l 
2/hh 
l
h
p 
Relação de de Broglie 
m2
hk
E
22
k 
m2
p
E
2
k 
m2
p
m2
hk 222

hkp 
Química Quântica - Capítulo 2 8 
2.4 Interpretação de Born da Função de Onda 
06/08/2013 
 A função de onda contém toda a informação dinânica 
sobre o sistema que ela descreve. Max Born fez uma 
analogia com a teoria da onda da luz, no qual o quadrado da 
amplitude de uma onda eletromagnética numa região é 
interpretado como sua intensidade e assim, com a medida da 
probabilidade de encontrar um fóton nesta região. 
yyy *2 
Densidade de 
probabilidade 
Conjugado complexo 
Para formar o conjugado 
complexo de uma função 
complexa, basta subtituir i 
por –i. Assim, o conjugado 
complexo de 
ikxikx eée 
22realéSe yyy 
Química Quântica - Capítulo 2 9 
Interpretação de Born da Função de Onda 
06/08/2013 
 Para uma partícula movendo-se em 3 
dimensões, a função de onda tem o valor y 
em algum ponto r, assim, a probabilidade de 
encontrar a partícula em um volume 
infinitesimal dt é proporcional a ... 
ty d
2 dxdydzd t
Química Quântica - Capítulo 2 10 
Interpretação de Born da Função de Onda 
06/08/2013 
 Para Born, valores negativos ou complexos de 
y não importa, porque seu módulo será sempre real 
e positivo. A existência de região positiva ou 
negativa, na verdade, leva a interpretação da 
interferência construtiva ou destrutiva entre 
diferentes funções de onda. 
Química Quântica - Capítulo 2 11 
2.4.1 Normalização 
06/08/2013 
 Uma característica matemática da equação de Schrödinger é a normalização. Se y é 
uma solução, então Ny N é uma constante) também o é. Isto significa que é sempre 
possível encontrar uma constante de normalização N, tal que a proporcionalidade da 
interpretação de Born torna-se uma igualdade. 
 Para uma função de onda normalizada Ny, a probabilidade de encontrar uma 
partícula na região dx é igual a e a soma sobre todo o espaço dessas 
probabilidades individuais é: 
  dxN*N yy
   1dxN*N 


yy
2/1
dx*
1
N









yy
Química Quântica - Capítulo 2 12 
Normalização 
06/08/2013 
 Avaliando a integral pode-se encontrar o valor de N e assim normalizar a função de 
onda. Dessa forma, a partir de agora a função de onda normalizada será sempre usada para 
assegurar a igualdade abaixo, ou seja y já estará acompanhada do fator que assegura a 
igualdade para uma dimensão ou para 3 dimensões… 
1dx* 


yy   






 1dxdydz*yy
t
1d*  tyy
Química Quântica - Capítulo 2 13 
Normalização 
06/08/2013 
 Em coordenadas polares esféricas a 
integral anterior torna-se: 
  


0 0
2
0
2 1dddrsenr*
  yy
 cosrsenx 
senrseny 
cosrz 
td
r
 
Química Quântica - Capítulo 2 14 
2.4.2 Quantização 
06/08/2013 
 A função de onda deve ser unívoca, ou seja, ter um só valor em cada ponto 
do espaço. Essa condição é proveniente da interpretação de Born que impõe 
restrições às funções de onda aceitáveis. 
 A função de onda y precisa ser finita. 
 Uma solução para a equação de Schrödinger que leva a mais de um valor 
para |y|2 , num mesmo ponto também deve ser excluída. Seria impossível que a 
partícula apresentasse mais de uma probabilidade para estar nas vizinhanças de um 
mesmo ponto. 
 
Química Quântica - Capítulo 2 15 
Quantização 
06/08/2013 
 Outra restrição relacionada a equação de Schrödinger é que a 
função y deve ser contínua. 
 Essas condições levam a necessidade da existência de valores 
definidos para energia, ou seja, a energia da partícula é quantizada. 
Química Quântica - Capítulo 2 16 
Quantização 
06/08/2013 
 A equação de Schrödinger impõe restrições 
matemáticas as suas soluções, ou seja, por ser 
uma equação diferencial de segunda ordem, as 
derivadas segundas de y devem ser bem definidas 
para que a equação tenha validade em qualquer 
ponto do espaço. 
 A derivada segunda de uma função só exite 
se a função for contínua e se a derivada primeira, o 
coenficiente angular, for contínua.