Módulo 2

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 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
 CELSO SUCKOW DA FONSECA 
 
CURSO DE ENGENHARIA PRODUÇÃO / AMBIENTAL / ELÉTRICA 
 
DISCIPLINA: Resistência dos Materiais III 
 
PROFESSOR: Humberto Farneze 
 
 
MÓDULO 2 
 
 
 
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I – TENSÃO 
Considere agora que a seção da área seja subdividida em pequenas áreas, como ∆A: 
 
 
∆F pode ser descrita em termos de componentes ∆Fx, 
∆Fy e ∆Fz, tangentes e normal à área. 
Quando reduzimos ∆A a tamanhos cada vez 
menores, devem-se supor 2 hipóteses em relação 
ao material: 
1) Ele é contínuo, i.e., possui distribuição uniforme 
de matéria, sem vazios. 
2) coeso, i.e., todas as partes estão bem unidas. 
Quando escrevemos a razão ∆F / ∆A e fazemos 
∆A → 0, o mesmo ocorrerá com ∆F, ou seja, ∆F → 0. 
O quociente entre a força e a área tenderá a um 
limite finito. Essa relação é chamada tensão e 
descreve a intensidade da força interna sobre uma 
área. 
 
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I – TENSÃO 
 Tensão Normal 
A intensidade de força que atua no sentido 
perpendicular à ∆A é definida como tensão normal: 
 
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I – TENSÃO 
Tensão de Cisalhamento 
A intensidade da força por unidade de área, que é 
tangente a ∆A, é denominada tensão de 
cisalhamento, τ (tau). 
A notação do índice z em σz é 
usada para indicar a direção da 
reta normal dirigida para fora, 
que especifica a orientação da 
área ∆A. São usados dois 
índices para as componentes 
da tensão de cisalhamento, τZX 
e τZY. O eixo z especifica a 
orientação da área e x e y 
referem-se às retas que 
indicam a direção das tensões 
de cisalhamento. 
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I – TENSÃO 
 Estado Geral de Tensão 
Cortando o corpo em um pedaço e tomando um 
elemento crítico, teremos o chamado estado de 
tensão que atua em torno do ponto escolhido 
do corpo. 
 Unidades: No Sistema Internacional de Unidades de Medidas, ou Sistema SI, os valores da 
tensão normal e da tensão de cisalhamento são especificadas nas unidades básicas de newtons 
por metro quadrado (N/m2). Essa unidade, denominada 1 pascal (1 Pa = 1N/m2), é muito pequena, 
e, em trabalhos de engenharia, são usados prefixos como quilo (103), simbolizado por k, mega 
(106), simbolizado por M, ou giga (109), simbolizado por G, para representar valores de tensão 
maiores, mais realistas. 
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I – TENSÃO 
 Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial 
 
Os elementos estruturais mecânicos são frequentemente esbeltos submetidos, geralmente, a 
carregamentos axiais em suas extremidades. 
 
Vamos agora determinar a tensão média que atua na seção 
transversal da barra: 
Antes de determinar a tensão média, devemos consideram as 
seguintes hipóteses: 
1) A barra permanecerá reta após o carregamento e a seção 
plana. 
2) A fim de que a barra se deforme uniformemente, P deve ser 
aplicado no centróide da seção e o material deverá ser 
homogêneo e isotrópico. 
- Homogêneo: mesmas propriedades físicas e mecânicas em 
todo seu volume. 
- Isotrópico: possui as mesmas propriedades em todas as 
direções. Os chamados anisotrópicos possuem propriedades 
diferentes em direções diferentes, como uma aço laminado ou 
fibras. 
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I – TENSÃO 
Fazendo um “zoom” na figura anterior: 
→ σ = tensão normal 
 
→ Estado uniaxial de tensão. 
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A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como mostra a Figura. Se AB tiver 
diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão normal média em cada haste. 
I – TENSÃO 
Exemplo 1: 
 
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 I – TENSÃO 
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 I – TENSÃO 
Exemplo 2: 
 
A barra na Figura tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determine a 
tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à carga mostrada. 
Cortando entre A e B: Cortando entre B e C: 
Cortando entre C e D: 
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 I – TENSÃO 
 Tensão de Cisalhamento Média 
 
Como definimos, a tensão de cisalhamento atua no plano da área secionada. 
Se F for suficiente grande, ela provocará 
deformação ou falha nos planos AB e CD. 
Fazendo o diagrama de corpo livre: 
ΣFY = 0 
2V – F = 0 → V = F / 2 
A tensão de cisalhamento média sobre cada área é definida: 
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 I – TENSÃO 
Esse chamado cisalhamento direto ocorre principalmente em parafusos, pinos, soldas. 
Cisalhamento 
Simples 
Duplo 
 Simples 
Desprezando o atrito entre as 
superfícies, podemos dizer que a 
superfície transversal do parafuso está 
submetida a uma força de 
cisalhamento simples V = F. 
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 I – TENSÃO 
 Duplo 
Isolando o elemento central 
 
2V = F 
 
V = F / 2 → atua em cada área 
 seccionada. 
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 I – TENSÃO 
Exemplo 3: 
 
Determine as tensões atuantes no parafuso do sistema apresentado na figura abaixo, 
considerando que a área da seção do parafuso mede 20 mm2 . 
 
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 I – TENSÃO 
ΣFx = 0 → AX + BX = 0 
 
ΣFY = 0 → BY – 1000 = 0 → BY = 1000N 
 
ΣMB = 0 → - 1000 . 0,8 + AX . 0,5 = 0 
 AX = 800 / 0,5 = 1600 N 
Logo: 
BX = - AX → BX = - 1600 N 
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 I – TENSÃO 
 Equilíbrio 
Considerando um elemento de volume sobre o qual atue uma tensão de cisalhamento. 
Lados ∆x, ∆y e ∆z: 
 
ΣFy = 0 
τzy . (∆x.∆y) - τ’zy.(∆x.∆y) = 0 
τzy = τ’zy 
Deforma similar: 
τyz = τ’yz 
 
ΣMx = 0 
- τzy (∆x.∆y) . ∆z + τyz (∆x.∆z) . ∆y = 0 
τzy = τyz 
Assim, temos que: τzy = τ’zy = τyz = τ’yz 
 
Daí concluímos que as 4 tensões de cisalhamento devem ter intensidades iguais e em 
sentido contrário nas bordas opostas do elemento. Este é o chamado cisalhamento puro. 
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 I – TENSÃO 
Exemplo 4: 
A escora de madeira mostrada na Figura abaixo está suspensa por uma haste de aço de 10 mm de 
diâmetro que está presa na parede. Considerando que a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, 
calcule a tensão de cisalhamento média na haste na parede e ao longo dos dois planos sombreados 
da escora, um dos quais é indicado como abcd. 
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 I – TENSÃO 
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 I – TENSÃO 
 Tensão Admissível 
Quando fazemos um projeto, queremos que a estrutura não falhe. A avaliação é feita fazendo-se 
uma comparação do estado de tensão da estrutura com a tensão máxima que o material suporta. 
Os metais normalmente apresentam a seguinte característica: 
 
σ 
ε 
σr 
σy 
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 I – TENSÃO 
 Tensão Admissível 
Devido a incertezas, variações que podem ocorrer na composição da estrutura, corrosão, 
deterioração, esses materiais podem ter variação dessas propriedades mecânicas. 
Assim, é comum a utilização de um chamado fator de segurança (FS), onde: 
 
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