Op1 Armin Franz Isenmann

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ARMIN FRANZ ISENMANN 
 
 
 
 
OPERAÇÕES UNITÁRIAS 
 
NA INDÚSTRIA QUÍMICA 
 
 
 
 
2a edição 
 
 
 
 
 
Timóteo, MG 
Edição do Autor 
2012 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
2 
 
 
 Os direitos neste texto são exclusivamente com o autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isenmann, Armin Franz 
Operações unitárias na indústria química / Armin Franz Isenmann - 
Timóteo, MG : 
2013. 2a Edição 
2012. 1a Edição 
 
Bibliografia 
ISBN 978-85-913050-2-5 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
3 
 
 
 
 
 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS 
GERAIS 
CAMPUS TIMÓTEO 
 
 
Disciplina: Operações Unitárias 
Turma: QUI 3 
Prof. Armin Isenmann 
Traduzido com permissão e completado, 
de uma apostila de Prof. Peter Hugo, Universidade Técnica de Berlim 
 
1 O que são Operações Unitárias?......................................................................................... 7 
2 Fluxo de matéria................................................................................................................. 8 
2.1 Dados dos materiais, grandezas e unidades ............................................................... 9 
2.2 Propriedades dos Fluidos ......................................................................................... 10 
2.3 A viscosidade ........................................................................................................... 11 
2.3.1 Viscosidade em gases....................................................................................... 15 
2.3.2 Viscosidade de líquidos.................................................................................... 16 
2.4 Fluxo tubular e perda de pressão em peças .............................................................. 17 
2.4.1 Fluxo laminar em tubos.................................................................................... 17 
2.4.2 Perda de pressão e números adimensionais...................................................... 23 
2.4.3 Fluxo turbulento dentro do tubo....................................................................... 25 
2.4.4 Perda de pressão em peças e sistemas tubulares .............................................. 30 
2.5 Balanço do transporte do fluido ............................................................................... 32 
2.5.1 Equações de balanço ........................................................................................ 32 
2.5.2 Medição da vazão............................................................................................. 35 
2.5.3 Transporte de líquidos via bombas................................................................... 45 
2.6 Bombas..................................................................................................................... 48 
2.6.1 Bombas de deslocamento ................................................................................. 49 
2.6.2 Bombas centrífugas .......................................................................................... 51 
2.7 Transporte de gases .................................................................................................. 53 
2.8 Fluxo em leitos fixos ................................................................................................ 57 
2.8.1 Exemplos e definições...................................................................................... 57 
2.8.2 Cálculo da perda de pressão em leitos fixos - considerações gerais ................ 60 
2.8.3 Perda de pressão em leitos fixos - o caminho. ................................................. 61 
2.9 Fluxo em leitos fluidizados ...................................................................................... 62 
A. Isenmann Operações Unitárias 
5 
2.10 Agitação mecânica ................................................................................................... 68 
2.10.1 Apresentação dos tipos de agitadores............................................................... 69 
2.11 Métodos mecânicos de separação ............................................................................ 81 
2.11.1 Sedimentação e centrifugação .......................................................................... 82 
2.11.2 Centrifugação ................................................................................................... 86 
2.11.3 Filtração............................................................................................................ 91 
2.11.4 Princípios da filtração....................................................................................... 91 
3 Números adimensionais, semelhança geométrica e os critérios de scale-up ................... 99 
3.1 Objetivo dos cálculos e balanços em processos industriais ..................................... 99 
3.2 Teoria do modelo e semelhança física ................................................................... 100 
3.3 Análise dimensional - método de elaborar números adimensionais ...................... 102 
4 Fluxo de calor................................................................................................................. 106 
4.1 Importância técnica ................................................................................................ 106 
4.2 Unidades, valores específicos, equações de transporte .......................................... 108 
4.2.1 Condução de calor .......................................................................................... 109 
4.2.2 Transporte de calor por convecção................................................................. 111 
4.2.3 Transporte de calor por radiação .................................................................... 112 
4.3 Transferência de calor e transmissão de calor........................................................ 115 
4.3.1 Convecção livre e forçada .............................................................................. 115 
4.3.2 Definições de transferência e transmissão de calor........................................ 117 
4.3.3 Análise dimensional e números adimensionais da transição de calor............ 120 
4.3.4 Transição de calor envolvendo os processos de evaporação e condensação . 125 
4.4 Trocadores de calor ................................................................................................ 129 
4.5 Transição de calor e Scale-up de bateladas com temperatura controlada .............. 136 
5 Métodos térmicos de separação...................................................................................... 140 
5.1 Destilação e retificação, no contexto dos métodos térmicos de separação ............ 140 
5.2 Fundamentos da termodinâmica............................................................................. 141 
5.2.1 Dependência da temperatura de ebulição da pressão externa ........................ 141 
5.2.2 Misturas binárias ideais .................................................................................. 143 
5.2.3 Misturas binárias não ideais ........................................................................... 148 
5.3 Destilação simples.................................................................................................. 151 
5.4 Retificação.............................................................................................................. 152 
5.5 Balanço de uma coluna de retificação em operação contínua................................154 
5.5.1 Determinação do número de pratos teóricos, segundo o método de McCabe-
Thiele 160 
5.5.2 Número mínimo de pratos e taxa mínima de refluxo..................................... 161 
A. Isenmann Operações Unitárias 
6 
5.5.3 Pratos reais e o fator de eficácia..................................................................... 164 
5.6 Equipamentos de retificação .................................................................................. 165 
5.7 Operações destilativas especiais............................................................................. 167 
5.7.1 Separação de misturas multi-componentes .................................................... 167 
5.7.2 Método de duas pressões................................................................................ 167 
5.7.3 Retificação extrativa....................................................................................... 168 
5.7.4 Destilação azeotrópica.................................................................................... 169 
5.8 Lavagem de gases em colunas de corpos de recheio ............................................. 170 
5.9 Transferência e transmissão de massa.................................................................... 171 
5.9.1 Transferência de massa .................................................................................. 171 
5.9.2 Transferência de massa .................................................................................. 173 
5.10 Lavagem de gases................................................................................................... 177 
5.10.1 Princípio e pontos comuns na lavagem de gases............................................ 177 
5.10.2 Velocidade da transferência de massa............................................................ 179 
5.10.3 Balanceamento de uma coluna de absorção com troca de massa contínua.... 181 
5.10.4 Cálculo do NTU (lei de distribuição uniforme) ............................................. 184 
5.11 Outras operações unitárias térmicas ....................................................................... 189 
5.11.1 Adsorção (= secagem).................................................................................... 189 
5.11.2 Equipamento de adsorção............................................................................... 192 
5.11.3 Secagem ......................................................................................................... 193 
5.11.4 Extração.......................................................................................................... 195 
5.11.5 Cristalização ................................................................................................... 200 
5.11.6 Técnicas com membranas .............................................................................. 203 
6 Sistemas de medição, controle e regulagem (MCR) ...................................................... 208 
6.1 As grandezas medidas ............................................................................................ 210 
6.2 Tratamento do sinal medido e sua transmissão ao regulador................................. 213 
6.3 Dispositivos de regulagem ..................................................................................... 213 
6.3.1 Prinípios de acionamento de reguladores contínuos ...................................... 215 
7 Representações das operações unitárias ......................................................................... 217 
7.1.1 Diagrama de operações básicas...................................................................... 217 
7.1.2 Diagrama de fluxo de processo ...................................................................... 217 
7.1.3 Diagrama de tubulação e instrumentação (P&ID) ......................................... 221 
7.1.4 Interpretação do sistema MCR no diagrama P&ID ....................................... 225 
8 Anexos............................................................................................................................ 226 
8.1.1 Vista geral sobre os números adimensionais mais importantes na engenharia 
química 226 
A. Isenmann Operações Unitárias 
7 
8.1.2 Números adimensionais, organizados por campo de aplicação: .................... 228 
8.1.3 Tabela de pressão de vapor sobre os líquidos, em função da temperatura..... 230 
8.2 Índice dos símbolos usados neste texto e suas unidades (onde se aplicam) .......... 232 
 
 
1 O que são Operações Unitárias? 
Antigamente, as diferentes indústrias químicas eram consideradas diferentes processos 
industriais e com princípios diferentes. Em 1915, o engenheiro químico americano Arthur 
Dehon Little, empresário e professor universitário do MIT, estabeleceu o conceito de 
"operação unitária", segundo o qual um processo químico seria dividido em uma série de 
etapas básicas que podem incluir: transferência de massa, transporte de sólidos e líquidos, 
destilação, filtração, cristalização, evaporação, secagem, etc. Cada uma das etapas seqüenciais 
numa linha de produção industrial é, portanto, uma operação unitária. O conjunto de todas as 
etapas, compõem um processo unitário. Portanto, Operações Unitárias são seqüências de 
operações físicas necessárias à viabilização econômica de um processo químico. 
Vamos fixar isso num exemplo: o processamento de leite inclui as operações unitárias de 
homogenização, pasteurização, resfriamento, e empacotamento. A linha de produção integral, 
necessária para obter-se o produto comercializável a partir da matéria prima, se dá pelo 
sequenciamento e interligação destas operações. 
"Os Princípios da Engenharia Química" de W. H Walker, W.K. Lewis e W.H. McAdams, 
(título no original: "The Principles of Chemical Engineering", do ano 1923) é considerada por 
muitos engenheiros sendo a monografia pioneira do abordamento da química industrial. Nesta 
são tratadas as indústrias químicas de maneira uniforme e generalizada, seguindo as mesmas 
leis da física, independente do insumo a ser produzido. Cada operação unitária por si pode ser 
calculada e dimensionada - a base deste cálculo são as leis estabelecidas da física e o caminho 
do cálculo geralmente são equações diferenciais. Este procedimento então tem caráter 
universal e pode ser aplicado em qualquer indústria. Sendo assim, as operações unitárias 
certamente formam os pilares da Engenharia Química. 
As técnicas de projeto de operações unitárias são baseadas em princípios, teóricos e 
empíricos, de: 
� Transferência de massa, 
� Transferência de calor, 
� Transferência de quantidade de movimento, 
� Termodinâmica, 
� Biotecnologia e 
� Cinética química. 
Desta forma, os processos podem ser estudados de maneira unificada. Uma operação unitária 
sempre tem o mesmo objetivo, independente da natureza química dos componentes 
envolvidos. Por exemplo, a transferência de calor é a mesma operação, quer em um processo 
petroquímico, quer em uma indústria de alimentos. 
As operações unitárias dividem-se em 5 classes: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
8 
1. Processos de Escoamento de Fluidos, como transporte de fluido, filtração, fluidização 
sólida 
2. Transferência de Calor, como evaporação, condensação. 
3. Transferência de Massa, como o transporte em tubos, mas também absorção gasosa, 
destilação, extração, adsorção, secagem. 
4. Processos Termodinâmicos, como liquefação gasosa, refrigeração. 
5. Processos Mecânicos, como transporte de sólidos, triturar, peneiramento e separação. 
As operações unitárias aplicadas especialmente na Engenharia Químicatambém se encaixam 
nas seguintes categorias: 
• Combinação (misturar) 
• Separação (destilação) 
• Reacão (reação química) 
O dimensionamento das operações unitárias é a base para as técnicas e os equipamentos 
utilizados; mais do que isso: também determina os fluxos dentro da fábrica e até o design de 
inteiras plantas químicas! 
 
2 Fluxo de matéria 
Na indústria química o transporte e o processamento de reagentes, produtos e materiais de 
modo geral se dá principalmente em meios fluidos (gases, líquidos, géis, pastas, etc), 
enquanto o uso de sólidos geralmente é evitado onde for possível, devido ao atrito durante o 
transporte. Este capítulo trata então de problemas acerca do transporte que o engenheiro 
químico tem que resolver para assegurar uma produção contínua. 
A base do cálculo de tarefas de transporte e o dimensionamento de bombas é a teoria do 
fluxo. Essa teoria é apresentada de forma resumida, tratando do essencial para o entendimento 
das aplicações mais importantes na química técnica. Não é o objetivo a derivação exata das 
equações que deve ser reservada à literatura especial 1. 
Os focos aqui são: 
� Conhecimento dos caminhos e das formulações de equações que resolvem problemas 
acerca das operações unitárias - inclusive o uso de números adimensionais, 
características para o fluxo da matéria. 
� Aplicação das leis em exemplos concretos e o cálculo do resultado. 
 
 
1
 Disponíveis nas bibliotecas do CEFET-MG: 
W.L. McCabe, Unit Operation of Chemical Engineering, McGraw Hill 1967; No. de chamada: 660 M121u. 
A.S. Foust, Princípios das operações unitárias, LTC 1982; No. de chamada: 66.021 F782p. 
D.A. Blackadder, Manual das operações unitárias, Ed. Hemus 2004; No. de chamada: 660 B628m. 
Disponível em CD: 
J.H. Perry, Chemical Engineer´s Handbook, McGraw Hill 2002. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
9 
2.1 Dados dos materiais, grandezas e unidades 
Na teoria do fluxo se destacam as seguintes grandezas e características de matéria: 
 
Tab. 1. Grandezas e unidades importantes na teoria do fluxo 
Grandeza Unidade SI e suas conversões 
Pressão: p, ∆p Pa = N . m-2 = Kg . m-1 . s-2 
1 MPa = 106 Pa = 10 bar 
Velocidade linear: u m . s-1 
Velocidade do volume: V� m³ . s-1 
Velocidade da massa: m� Kg . s-1 
Energia: E, ∆E N . m = J = W . s = Kg . m² . s-2 
Aceleração gravitacional: g g = 9,81 m . s-2, ao nível do mar. 
Densidade: ρ Kg . m-3 
Viscosidade dinâmica: η Pa . s = N . s . m² = Kg . m-1 . s-1 
Nas tabelas antigas ainda Poise: 
1 Poise = 0,1 Pa . s 
Viscosidade cinemática: ν = η . ρ−1 
(= "Momento da difusividade") 
m² . s-1 
Nas tabelas antigas ainda Stokes: 
1 Stokes = 10-4 m² . s-1 
 
Note: As grandezas expressas como X� , representam a derivada temporal da variável X 
(dX/dt). 
As grandezas físicas devem então ser indicadas através das unidades do Sistema Internacional 
(SI), conforme nas tabelas a seguir: 
Tab. 2. Grandezas fundamentais e suas unidades (definidas pela sociedade científica) 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma Kg, também kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura 
termodinâmica 
Kelvin K 
Quantidade de matéria mol mol 
Clareza da luz Candela cd 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
10 
Tab. 3. Grandezas derivadas e suas unidades 
Grandeza Expressão básica Unidade Símbolo 
Força umamF �⋅=⋅= Newton N 
Pressão 
dA
dFp = Pascal Pa 
Energia (energia química, 
trabalho mecânico ou calor) 
dWdQdE −= 
 dTcmdQ p ⋅⋅= 
 dLFdW ⋅= 
Joule J 
Potência (= desempenho) EP �= Watt W 
Viscosidade dinâmica 
ϕ
τη = Pascalsegundo Pa s 
Frequência 
T
1
=ω 
Hertz Hz ou s-1 
Tensão elétrica (= potencial) dIRdU ⋅= Volt V 
Resistência elétrica 
A
LR ⋅= ρ Ohm Ω 
Carga elétrica dtIdQ ⋅= Coulomb C 
Condutividade elétrica 1−
=
⋅
= R
L
Ak
ρ
 
Siemens S 
 
Tab. 4. Relação entre as unidades derivadas e as unidades fundamentais: 
1 Pa = 1 N m-2 = 1 Kg m-1 s-2 1 N = 1 Kg m s-2 
1 Pa s = 1 N s m-2 = 1 Kg m-1 s-1 1 Ω = 1 V A-1 = 1 N m A-2 s-1 
1 J = 1 W s = 1 N m = 1 Kg m2 s-2 1 C = 1 A s 
1 W = 1 J s-1 = 1 N m s-1 = 1 Kg m2 s-3 1 S = 1 Ω-1 
1 V = 1 W A-1 = 1 J A-1 s-1 = 1 J C-1= 1 Ω A 
= 1 N m A-1 s-1 = 1 kg m2 A-1 s-3 
1 bar = 105 N m-2 
 
 
2.2 Propriedades dos Fluidos 
Fluidos são substâncias que se deformam constantemente quando submetidas a uma força 
tangencial, não importando o quão pequena seja esta. Já os sólidos, quando submetidos a uma 
força, geralmente são deslocados da sua posição inicial, podendo também ser fragmentados, 
em função do ponto de aplicação da força, da intensidade e do centro de massa do material. 
Esta força tangencial que atua ao longo de uma superfície, é denominada tensão de 
cisalhamento: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
11 
//A
F
=τ 
Onde o termo A// significa área paralela à força aplicada, diferente da área perpendicular Axy = 
A⊥ usada no cálculo de pressão: 
⊥
=
A
FP . 
Consideremos um fluido escoando em uma tubulação de comprimento L e raio r. Após a 
aplicação de uma força externa F, por exemplo, por meio de uma bomba, a massa desse fluido 
exerce força na área perpendicular A⊥, gerando uma pressão global, também conhecida como 
pressão de bombeamento. A maneira como acontece o escoamento do fluido será apresentada 
mais adiante (ver perfil de velocidade, Fig. 4, na p. 21). 
Líquido
A// = 2pirL
A =
 pir2
F τ = F/Α//
P = F/Α
r
r
L
 
Fig. 1. Diferenciação entre a pressão e a tensão de cisalhamento. 
 
2.3 A viscosidade 
Nas seções a seguir serão tratados os fenômenos de fluxo com fricção 2. A medida da fricção 
interna de um fluido é a viscosidade. Além de definir a viscosidade, esta seção indica os 
métodos do seu cálculo e alguns dados de viscosidades típicas. 
Dentro de um meio em fluxo ocorre uma perpétua troca de momento linear (= impulso; um ⋅ ) 
entre as partículas. Nas paredes imóveis o momento é entregue; neste local a velocidade do 
fluxo é zero, u = 0 (condição de adesão). A partir do local com u = 0 a velocidade aumenta 
junto à distância da parede e pode-se observar um perfil linear de velocidade dentro do fluido 
(ver Fig. 2). Entre as zonas de diferentes velocidades ocorre a transmissão de momento, ττττyx 
(em cima chamada de tensão de cisalhamento), através da fricção interna. Esta grandeza 
também é conhecida como tensão de cisalhamento (ver p. 10), tensão tangencial ou força 
tangencial por área unitária. 
Visualizamos o acontecimento em nível molecular com um modelo macroscópico. Vamos 
supor dois trêns andam em dois trilhos paralelos, na mesma direção porém em velocidades 
diferentes. Daí os passageiros começam pular do trêm mais rápido para o trêm mais lento. Ao 
chegar no outro trêm, cada uma destas pessoas entrega um momento mais alto, provocado 
pela sua alta velocidade e seu próprio peso. Isso irá acelerar o trêm mais lento. Num outro 
 
2
 Fricção e atrito são sinônimos. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
12 
momento as pessoas pulam do trêm mais lento para o mais rápido, o que terá o efeito de frear 
o trêm de destino. 
 
Fig. 2. Perfil da velocidade tangencial, a partir de uma parede imóvel. 
 
Voltando para o fluido, podemos então comparar as camadas em direção ao fluxo sendo trêns 
de diferentes velocidades,o número de pessoas que pulam seja a viscosidade ηηηη e a diferença 
em velocidade entre trêns vizinhos seja o gradiente ϕϕϕϕ. 
Chegamos aasim numa forma da lei de Newton na seguinte forma: 
 
ϕηητ ⋅−=⋅−=
dy
du x
yx . Lei de Newton, aplicada ao fluido. 
 
com η = viscosidade dinâmica (ou fricção interna), 
 
dy
du x
=ϕ = perfil de velocidade perpendicular ao fluxo; também razão, taxa ou 
frequência de cisalhamento. O sinal negativo nesta equação é convenção internacional. 
 
Admitimos que a lei de Newton é menos conhecida nesta forma do que amF ⋅= . Portanto, 
seja mostrada a seguir a analogia destas formulações. 
Dividindo ambos os lados por //A , temos: 
//// A
am
A
F ⋅
= . 
Escrevemos para τ=/// AF e para a aceleração dt
du
ua xx == � . A geometria dentro de um 
tubo fornece a área paralela ao fluxo, rLA pi2// = , portanto: 
 
ϕ
pipipi
τ ⋅
⋅⋅
=⋅
⋅⋅
=⋅
⋅⋅
=
dtL
m
dr
du
dtL
m
dt
du
drL
m xx
222
. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
13 
O termo 
dtL
m
⋅⋅pi2
 tem a dimensão massa por comprimento e por tempo, então as unidades 
são Kg.m-1.s-1 ou seja, Pa.s. Esta grandeza é definida matematicamente como viscosidade. 
Genericamente, podemos escrever para qualquer sistema de fluido, independente da simetria 
do recipiente: 
F = m . a
τ = η . ϕ
 
Nessas equações, os termos: 
F e τ expressam forças externas atuando no sistema, 
a e ϕ expressam movimento, 
m e η expressam inércia, fator de proporção entre a força externa e o movimento. 
 
A lei de Newton torna-se mais universal quando escrita na forma diferencial: 
 
ϕητ dd yx ⋅−= . 
 
Através desta equação a viscosidade dinâmica η (também chamada de tenacidade dinâmica) é 
definida. Em tabelas mais antigas encontram-se os valores da tenacidade dinâmica em centi-
Poise: 1 cP = 0,01 P; isto equivale a 0,1 Pa.s. 
A viscosidade dinâmica é então a variação na tensão tangencial ao variar o gradente de 
velocidade. Podemos, portanto, interpretar a viscosidade sendo a inclinação da curva do 
cisalhamento, em função ao gradiente. Conforme a lei de Newton essa curva deve ser uma 
reta. A maioria dos fluidos está obedecendo essa lei, mas temos que lidar também com 
desvios, como mostrado na figura a seguir: 
 
 ou 
Fig. 3. Comparação de fluidos Newtoneanos, viscosos-estruturais e dilatantos. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
14 
 
Nos gases e na maioria dos líquidos a viscosidade é constante e independente da razão de 
cisalhamento dux/dy (curva no meio dos gráficos da Fig. 3). Nestes casos se fala de 
comportamento Newtoneano, ou seja, são fluidos Newtoneanos. Exceções têm-se com 
pastas, líquidos gelificados e polímeros em solução. Na maioria destes casos observa-se uma 
diminuição da viscosidade, com aumento da razão de cisalhamento, chamado de viscosidade 
estrutural (ou pseudoplasticidade). Menos frequente é o comportamento oposto, conhecido 
como dilatância. 
Existe um terceiro caso que desvia do comportamento ideal, conhecido como corpo de 
Bingham: o material se comporta conforme predito por Newton, mas somente após 
ultrapassar uma tensão limite; abaixo deste limite o corpo fica sólido elástico e não mostra 
fluência, mas reverte à sua posição original quando relaxar a tensão. Exemplos para materiais 
deste comportamento são ketchup, pasta de dente, massa de pão, certas tintas de parede, mas 
também o sangue. Muitas suspensões de alta concentração (isto é, partículas sólidas em pouco 
solvente líquido; exemplo: areia fina e molhada na praia) mostram este comportamento. Daí a 
lei de Newton deve ser modificada conforme 
limτϕητ +⋅−= dd yx , onde τlim é o limite de fluidez. 
Um bonito exemplo de um comportamento não-Newtoneano que pode ser mostrado em sala 
de aula, é a mistura de maizena em (pouca) água. Na relação certa dos componentes esta 
massa mostra elevada resistência contra transformações mecânicas rápidas, enquanto sua 
resistência contra deformações demoradas requerem forças muito baixas (fluidez lenta). Daí a 
pergunta: que comportamento se evidenciou: dilatância, viscosidade estrutural ou corpo de 
Bingham? 
Esses fenômenos não devem ser confundidos com a tixotropia (oposto da reopexia) que é o 
fenômeno da diminuição (aumento) da viscosidade aparente com o tempo de cisalhamento, à 
uma taxa de cisalhamento constante. Como na viscosidade estrutural e no corpo de Bingham, 
a diminuição da viscosidade aparente com o tempo se deve também à quebra de uma supra-
estrutura organizada no fluido que podemos identificar com um gel. Se deixarmos o sistema 
tixotrópico em repouso durante algum tempo, a viscosidade aparente aumentará novamente e 
a supra-estrutura que “imobiliza” o líquido entre as partículas se reforma. Se, a seguir, 
submetermos o sistema a cisalhamento, a uma velocidade de agitação constante, a viscosidade 
aparente decrescerá com o tempo até atingirmos uma viscosidade limite, isto é, o equilíbrio 
entre quebra e reconstrução da estrutura. A tixotropia é facilmente observada quando 
mexemos (cisalhamos) com uma espátula uma tinta latex para pintar parede. Inicialmente a 
tinta parece muito viscosa, mas, com o tempo de mexer, ela vai se tornando mais fluida. 
Soluções de polímeros de massa molar elevada são, em geral, tixotrópicas. Suspensões 
coloidais de óxido de ferro III, de alumina e algumas argilas, que formam sistemas fracamente 
gelificados, também apresentam tixotropia. A diferença entre tixotropia, viscosidade estrutral 
e o corpo de Bingham é simplesmente a facilidade da formação do gel: no primeiro caso a 
formação do gel é imediata, no segundo caso o gel quebra de maneira catastrófica acima de 
um limite de stress e no último caso o gel se degrada aos poucos. 
O oposto da tixotropia é chamada de reopexia, então o fenômeno do aumento da viscosidade 
aparente com o tempo de cisalhamento a uma taxa de cisalhamento constante. Fluidos 
reopexos têm menos aplicações que os tixotrópicos. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
15 
 
Em muitas situações é conveniente usar a viscosidade cinemática νννν (também: tenacidade 
cinemática, ou ainda: momento da difusividade). A relação entre as grandezas η e ν é 
simples: 
 
ρ
η
ν = , 
 
com a densidade ρ (em Kg.m-3). 
Em tabelas antigas ainda encontra-se a unidade Stokes para essa grandeza. Vale a relação: 1 
Stokes = 10-4 m2 s-1. 
 
2.3.1 Viscosidade em gases 
O que determina a viscosidade em gases é o número das colisões entre as partículas, também 
podemos afirmar que é inversamente proporcional à média do caminho de voo livre, Λ, que 
existe entre duas partículas. Também influencia o momento, u⋅ρ , que é transmitido entre as 
partículas (ρ = densidade; u = velocidade média das partículas). 
As seguintes expressões são resultados de um modelo cinético bastante simples, porém 
confirmados por cálculos quânticos ab initio: 
 
2
122
1
σpi ⋅⋅⋅
=Λ
N
 e 
M
RT
u
⋅
=
pi
8
, 
 
com N = densidade média em termos de número de partículas por volume 
2
12σ = média dos raios efetivos onde ocorre colisão. 
M = média da massa molar das partículas. 
 
Sob condições normais (0,1 MPa) esperamos caminhos livres entre 100 nm < Λ < 1 µm. Já 
com uma pressão de 1 MPa os caminhos se reduzem a 10 nm < Λ < 100 nm, ou seja, 
aproximadamente 5 a 50 vezes o comprimento da própria molécula. 
Para gases ideais o modelo cinético das patículas fornece para a viscosidade: 
 
2
123
28
3
2
3
2σpi
pi
pipi
ρ
pi
ρ
pi
η
⋅
⋅⋅
⋅=Λ⋅
⋅
⋅⋅=Λ⋅⋅⋅= RTM
M
RT
u . 
 
Embora essas relações valem rigorosamente só para gases ideais, elas podem também ser 
aplicadas ao gás real, até pressões moderadas. Anotamos que a viscosidade deve ser 
independente da pressão nestes gases, mas deve aumentar junto à temperatura. Já que o 
A. Isenmann Operações Unitárias 
16 
raio médio de colisão diminui um pouco ao aumentar a temperatura, então essa dependência 
térmica fica ligeiramente maior do que T : 
 
n
T
T






⋅=
0
0ηη , com T0 = 273 K e =0η viscosidade dinâmica a 273 K. 
 
A viscosidade de todos os gases fica na ordem de grandeza de sPa ⋅≈ −510η . O expoente n 
desta última equação é um valor empírico, indicado para alguns gases comuns na Tab. 5. 
 
2.3.2 Viscosidade de líquidos 
Entre ponto de fusão e ponto de ebulição comum, a viscosidade dos líquidos depende muito 
pouco da pressão. Mas a viscosidade geralmente depende fortemente da temperatura. Fato é 
que ela diminui junto à temperatura. A dependência fenomenológica pode ser descrita por: 
 
T
A
eB ⋅=η , 
 
enquanto o cálculo das constantes A e B a partir dos dados moleculares requer um alto esforço 
matemático é contém diversas aproximações (R.C. Reid, T.K. Sherwood, The properties of 
gases and liquids, McGraw-Hill 1966). Portanto, essa equação é usada, principalmente para 
interpolações entre os dados experimentais. 
A viscosidade é de aproximadamente 2 ordens de grandeza maior do que a dos gases. Valores 
típicos nas seguintes tabelas. 
Tab. 5. Viscosidades de alguns gases de importância industrial, calculadas por 
n
T
T






⋅=
0
0ηη . 
Gás H2 ar CH4 CO2 Cl2 
0η em 10-5 Pa s 0,85 1,74 1,06 1,44 1,32 
n 0,65 0,67 0,72 0,77 0,81 
 
Tab. 6. Viscosidade de líquidos que têm importância em processos químicos e 
alimentícios,calculadas por T
A
eB ⋅=η . 
Líquido A em K B em 10-5 Pa s 
Acetona 780 2,2 
Etanol 1710 0,35 
Benzeno 1250 0,9 
A. Isenmann Operações Unitárias 
17 
Cicloexano 1460 0,66 
Dioxano 1460 0,85 
Ácido acético 1340 1,25 
Nitrobenzeno 1440 1,45 
Octano 1070 1,4 
Azeite de oliva 3350 0,082 
Fenol 3460 0,008 
Tricloroetileno 800 3,8 
 
Tab. 7. Viscosidade da água e do benzeno 
T (em °C) 0 20 40 60 80 100 
águaη em 10-3 Pa s 1,792 1,002 0,653 0,467 0,353 0,282 
benzenoη em 10-3 Pa s 0,906 0,647 0,489 0,386 0,314 0,262 
 
2.4 Fluxo tubular e perda de pressão em peças 
Em plantas da indústria química o transporte de meios fluidos ocorre quase exclusivamente 
em tubos. As máquinas de propulsão são bombas (em caso de líquidos) e densificadores (em 
casos de gases). Ocasionalmente, os líquidos são transportados sob o efeito da força 
gravitacional, de um reservatório de posição alta para um recipiente de posição mais baixa 
("transporte hidrostático"). Em geral, os fluidos não apenas passam por tubos, mas também 
por peças, tais como joelhos, arcos, válvulas, ferrolhos, torneiras, manilhas e outras conexões. 
Tanto nos tubos, quanto nas peças, o fluido está sofrendo perda de pressão. Para o 
dimensionamento da bomba é necessário conhecer o grau de perda de pressão, ∆p. A 
experiência nos mostra que ∆p depende sensivelmente do diâmetro do tubo: mais largo o 
tubo, menor será ∆p. Por outro lado, os tubos de diâmetros maiores são muito mais caros. 
Também tenta-se evitar fluido parado dentro da tubulação. Aquela parte do fluido que não 
chega ao recipiente-alvo, mas permanece dentro do tubo, é conhecido como volume morto. 
Portanto, os aspectos econômico e de segurança estão pedindo um dimensionamento justo do 
sistema de tubulação. 
Em primeiro lugar olhamos então no fluxo em tubos retos, em seguida será considerada a 
perda de pressão nas peças. 
 
2.4.1 Fluxo laminar em tubos 
Um fluxo bastante lento estabiliza um perfil parabólico de velocidade dentro do tubo. Neste 
caso se fala de fluxo laminar. A relação entre a velocidade média do fluxo, u , e a perda de 
pressão ∆p está dada pela famosa lei de Hagen-Poiseulle: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
18 
L
pd
u
∆
⋅
⋅
=
η32
2
, Hagen-Poiseulle 
 
onde d = diâmetro do tubo; L = comprimento do tubo; η = viscosidade dinâmica. 
Esta lei somente vale para o fluxo laminar! Ela é muito aplicada, não só em cálculos de 
problemas de transporte, mas também na medição da viscosidade usando viscosímetros (do 
tipo Ostwald ou Ubbelohde). Aumentamos o fluxo gradativamente, observamos uma 
mudança repentina, do laminar para turbulento (ver seção 2.4.3). 
Devido à grande importância desta lei para o fluxo, tentamos derivá-la de forma resumida. 
Consideremos um tubo de comprimento L, com a pressão p1 no início e p2 no final, com p1 > 
p2. O fluido atravesse esse tubo com a velocidade u, unicamente em direção x. A situação é 
esboçada abaixo. 
 
A perda em pressão é então ∆p= p1 - p2. E a velocidade u depende evidentemente desta 
diferença propulsora ∆p que está sendo provocada pela bomba. 
Em primeiro lugar deve-se procurar o balanço dos momentos. Como já dito acima, o fluido 
transfere momento à parede do tubo, e isso é em resumo a causa para a perda de pressão 
dentro do tubo. O balanço de momento pode ser formulado, tanto em coordenadas cartesianas 
quanto em coordenadas cilíndricas. No sistema cartesiano aplicam-se as três coordenadas do 
espaço: 
 
ux = velocidade do fluxo em direção x; x = direção do fluxo; y e z = direções perpendiculares 
ao fluxo = ortogonais à parede fixa. 
Nestas coordenadas o balanço do caso unidirecional é: 
 
yxyx
p
τ⋅
∂
∂
−=
∂
∂
. 
 
Devido à simetria do tubo, porém, seja mais útil usar coordenadas cilíndricas: 
r = raio do tubo; φ = ângulo radiano; z = direção única do fluxo. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
19 
 
Nestas coordenadas o balanço se formula da seguinte forma 3: 
 
)(1 rzr
rrz
p
τ⋅
∂
∂
⋅−=
∂
∂
. 
 
Junto à lei de Newton, 
dr
du
rz ⋅−= ητ obtemos: 
 
.





∂
∂
⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
r
u
r
rrz
p η
 
Isso é uma equação diferencial parcial com duas coordenadas do espaço (r, z). Podemos 
transformá-la em uma equação diferencial comum quando fizermos a restrição de se ter um 
fluido incompressível (isto é, praticamente todos os líquidos). Neste caso a perda em pressão 
em direção z fica linear. 
Para o fluxo laminar se obtém (isso vale grosseiramente para os gases, também): 
 
L
p
z
p ∆
−=
∂
∂
. 
 
O sinal negativo reflete o fato que, ao prosseguir a direção +z, a pressão p diminui; ∆p tem, 
nesta consideração, um valor positivo. 
Com essa aproximação chegamos a uma equação diferencial comum que pode ser resolvida 
sem problemas: 
 
L
pr
dr
du
r
dr
d ∆
⋅−=





⋅⋅
η
. 
 
Sua integração com margens abertas fornece: 
 
3
 Essa transformação pode ser melhor entendida, com as explicações dadas no apêndice matemático D do livro 
G. Wedler, Manual da Química Física, Calouste Gulbenkian 2001; disponível em nossa biblioteca. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
20 
 
C
L
pr
dr
du
r +
∆
⋅−=⋅
η2
2
, com a constante de integração C a ser determinada pelas condições 
marginais. Lembramos-nosque essa relação vale para todos os raios r, então vamos 
considerar o local exatamente no miolo do tubo (r = 0) e obtemos diretamente: 
C = 0. 
 
Temos então 
L
pr
dr
du ∆
⋅−=
η2
. Na verdade estamos interessados na velocidade u, ou melhor 
falado, na relação entre a velocidade do fluxo e a perda em pressão ∆p, portanto temos que 
integrar mais uma vez. Isso leva à relação: 
 
´
4
)(
2
C
L
pr
ru +
∆
⋅−=
η
. 
Para determinar a constante C´ aproveitamos da situação imóvel, diretamente na parede do 
tubo (r = R e u(R) = 0) 4: 
 
L
pRC ∆⋅=
η4
´
2
. 
 
Inserimos a constante de integração e obtemos, em outras variáveis, a lei de Hagen-Poiseulle: 
 
( )
L
prR
ru
∆
⋅
−
=
η4
)(
22
. 
 
Essa é a lei na forma que está apresentada na maioria dos livros da física. Ela fala que a 
velocidade u(r) é diretamente proporcional à perda em pressão ∆p e indiretamente 
proporcional ao comprimento do tubo, L. Além destas, a velocidade depende de maneira 
quadrática do raio r. Isso implica que se estabelece um perfil parabólico de velocidade dentro 
do tubo: 
 
4
 Único caso onde a condição da imobilidade do fluido na parede não está obedecida, é no fluxo de gases do alto 
vácuo. Mas os casos técnicos geralmente são longe deste caso excepcional. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
21 
 
Fig. 4. Perfil do escoamento laminar dentro do tubo 
 
A velocidade máxima, umax, se observe no miolo do tubo (r = 0). A lei de Hagen-Poiseulle 
fornece para este local: 
 
L
pR
u
∆
⋅=
η4
2
max . 
 
Podemos inserir esse valor na equação geral e obtemos: 
 














−⋅=
2
max 1)( R
r
uru . 
 
O engenheiro se interessa menos para a velocidade máxima, mas sim, para a velocidade 
média, u . Este valor tem importância para o cálculo da corrente de volume ou de massa. Ele 
se calcula da seguinte maneira: 
 
dFru
F
u
Ftotal
⋅⋅= ∫ )(
1
, onde Ftotal é a seção transversal do tubo (circular!): 2RFtotal ⋅= pi . 
 
Então: 
 
2)( R
dF
ruu
F ⋅
⋅= ∫ pi
. 
 
A derivada da área transversal em geral, 2rF ⋅= pi , é r
dr
dF
⋅= pi2 . Ela tem o significado 
físico da circunferência do tubo. Com isso obtemos: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
22 
drrdF ⋅⋅= pi2 ⇒ ∫∫ 





⋅





⋅=⋅⋅=
R
rr
R
rd
R
r
rudr
R
r
ruu )(22)( 2 . 
Resolvemos essa integral com uma variável auxiliar, 
R
r
=ξ , com 10 ≤≤ ξ . A integral se 
formula como: 
 
∫ ⋅⋅=
1
0
ξξ duu . 
 
Aproveitamos do resultado ( )2max
2
max 11 ξ−⋅=












−⋅= u
R
r
uu . Daí obtemos: 
 
( )
4
12
42
212 max
1
0
42
max
1
0
2
max ⋅=





−⋅=⋅⋅−⋅= ∫ uuduu
ξξξξξ . 
 
O resultado para a velocidade média do fluxo é então: 
 
2
maxuu = . 
 
Com 
L
pR
u
∆
⋅=
η4
2
max podemos obter a lei de Hagen-Poiseuille também na seguinte forma: 
 
p
L
R
u ∆⋅=
η8
2
. 
 
Para o fluxo de volume, V� [m³/s], e o fluxo de massa, m� [Kg/s], obtemos assim: 
 
p
L
RFuV ∆⋅
⋅⋅
⋅
=⋅=
η
pi
8
4
�
 
 
p
L
RVm ∆⋅
⋅⋅
⋅⋅
=⋅=
η
ρpiρ
8
4
�� , 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
23 
com F = seção transversal do tubo, e ρ = densidade do fluido. 
 
2.4.2 Perda de pressão e números adimensionais 
Nesta seção vamos introduzir os números adimensionais - sem descrição mais aprofundada - 
que vai seguir no capítulo 3 (p. 99). Com sua ajuda é possível achar equações de aplicação 
mais em geral, especialmente úteis quando temos o objetivo de aumentar o tamanho do 
sistema ("scale-up"). 
Em primeiro lugar vamos considerar a energia cinética, 2
2
1
umEcin ⋅⋅= . Na teoria do fluxo 
usaremos, por conveniência, a energia cinética relacionada à unidade de volume. Então: 
 
2
2
1
u
V
mEVcin ⋅⋅= . 
 
Aproveitamos da densidade, 
V
m
=ρ , daí obtemos a energia na forma de: 
 
2
2
1
uEVcin ⋅⋅= ρ , com as unidades Pa
m
N
sm
Kg
==
⋅
22 . 
 
A consideração das unidades revela um fato interessante: VcinE tem a mesma unidade que a 
pressão! Podemos concluir que a divisão desta energia pela pressão fornece um número 
adimensional. Um número que tenha então uma aplicação mais universal, pois não é mais 
acoplado nas unidades ou nos valores absolutos as quais a gente escolha. Chegamos ao 
famoso número de Euler: 
 
Definição: 
2
2
1
u
pEu
⋅⋅
∆
=
ρ
. Número de Euler. 
 
O número de Euler indica qual a queda em pressão, ocasionada pela introdução de uma 
quantidade de energia cinética, a cada unidade de volume. Pela nossa surpresa, essa relação 
vale para todos os processos de fluxo, quer para condição laminar quer para turbulenta. 
Podemos exprimir a queda em pressão ∆p nesta relação, pela lei de Hagen-Poiseuille (por sua 
vez somente para o fluxo laminar): 
 
u
d
L
u
R
Lp ⋅=⋅=∆ 22
328 ηη
 , com o diâmetro d = 2R. 
 
Vamos para frente simplificar com uu ≡ , e obtemos para o número de Euler: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
24 
 
η
ρρ
η
udd
L
u
u
d
L
Eu 64
2
1
32
2
2
⋅





=
⋅
⋅
= . 
 
Esta relação já foi organizada de tal maneira que resultem dois novos termos adimensionais, 
isto são 
d
L
 e 
η
ρud
. O primeiro é conhecido como aspecto do tubo e o último representa outro 
número característico da engenharia de processos chamado de número de Reynolds: 
 
Definição: 
η
ρud
=Re Número de Reynolds 
 
De todos os números adimensionais (existem muitos deles! Ver cap. 8.1.1, no anexo desta 
apostila), provavelmente esses dois são os mais utilizados, na engenharia química. 
Re e Eu podem ser interpretados da seguinte maneira: 
 
tocisalhamen de força
volumeimpulso
d
u
=
⋅
=
η
ρRe 
 
cinética Energia
pressão em perda
u
pEu =∆= 221 ρ
. 
 
Usando essas duas expressões a gente pode escrever a lei de Hagen-Poiseuille na seguinte 
forma: 
 
Re
64
⋅=
d
LEu lei de Hagen-Poiseuille. 
 
Em certas situações será mais útil usar o número de fricção, λ(Re), em vez do próprio número 
de Reynolds. Através deste truque a gente amplia a relação, para o fluxo turbulento, também. 
Em caso de fluxo laminar, os dois têm a seguinte relação inversa: 
 
Re
64(Re) =λ ; número de fricção (ou coeficiente de fricção). 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
25 
É importante lembrar-se que essa relação entre o número de fricção e Re somente vale para o 
fluxo laminar, então somente para a região onde a lei de Hagen-Poiseuille está válida; ver 
também cap. 2.4.3. 
Ao usarmos o número de fricção λ(Re) a lei de Hagen-Poiseuille torna-se aplicável a todos os 
tipos de fluxo: 
 
(Re)λ⋅=
d
LEu . 
 
Mais uma vez: ao deixarmos aberta a dependência de λ(Re) do número de Reynolds, a 
equação acima torna-se mais flexível, ou seja, ganha validade universal: ela descreve fluxos, 
tanto laminaresquanto turbulentos. O λ(Re) usado na expressão a seguir deve ser determinado 
no experimento ou, para sistemas de tubulação mais simples, lido da Fig. 7 (p. 29). Note que a 
perda de pressão num tubo pode ser calculada para qualquer velocidade de fluxo u, com essa 
equação: 
 
2
2
1(Re) u
d
Lp ⋅⋅⋅=∆ ρλ . 
 
2.4.3 Fluxo turbulento dentro do tubo 
Ao aumentar a velocidade do fluido em tubos compridos e lisos, chegamos a um ponto onde a 
lei de Hagen-Poiseuille da correnteza laminar não vale mais. O perfil parabólico que 
constatamos para o fluxo laminar, fica cada vez mais achatado, mais rápido o fluido passa 
pelo tubo. Isso é causado por processos irregulares de mistura, ou seja, pequenos 
redemoinhos: 
 
 
A medida para o tipo de correnteza é o número de Reynolds. Ao tiver um valor baixo, o efeito 
da viscosidade do fluido sobre o transporte de momento perpendicular à direção do fluxo é 
uma pura característica do próprio fluido. Aumentando o número de Reynolds, percorremos 
uma região estreita de transição, acima da qual se adiciona ao transporte de momento do fluxo 
laminar, um outro transporte de momento devido à mistura em redemoinhos. Até podemos 
afirmar que a contribuição dos redemoinhos ao transporte do momento é dominante. Em 
processos de fluxo através de tubos compridos e lisos a transição laminar para turbulento 
ocorre repentinamente, num número de Reynolds Recrit.=2300. Em outros sistemas (tubos 
ásperos, peças e conexões) se acham outros números críticos de Reynolds. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
26 
A lei de Hagen-Poiseuille não prediz a transição laminar/turbulento. Essa deficiência deve-se 
às simplificações que foram feitas, no início da derivação desta lei, isto é, um fluxo 
rigorosamente unidimensional. Ponto de partida foi: 
 






∂
∂
⋅
∂
∂
⋅=⋅
∂
∂
⋅−=
∂
∂
r
u
r
rr
r
rrz
p
rz
η
τ )(1 , 
 
com uz constante e uφ = ur = 0. No fluxo turbulento, por outro lado, os movimentos não são 
constantes ao longo do tempo, além disso uφ e ur têm valores diferentes de zero (ver último 
esboço). Significa que as equações diferenciais dos movimentos completos devem ser 
resolvidas 5. Isso foi possível, por enquanto, somente com altíssimo investimento de 
computação e ainda somente para casos especiais. Mesmo se fosse possível certo dia, com 
ajuda de supercalculadoras vetoriais etc. resolver uma equação geral, mesmo assim o 
engenheiro prático sempre procurará a solução de um problema de fluxo dentro das fórmulas 
aproximadas e simplificadas - simplesmente por que o tempo de cálculo custará muito caro. 
 
 
5
 Disponível da Biblioteca do Campus I do CEFET-MG: 
R.R. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Fenômenos de Transporte, 2a Ed. LTC Rio de Janeiro 2004. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
27 
 
Fig. 5. As equações de movimento completas, em coordenadas cilíndricas. São 
conhecidas como equações de Navier-Stokes (Fonte: R.R.Bird, W.E. Stewart, E.N. 
Lightfoot, Transport phenomena, Wiley NY 1960, p. 85) 
 
Vamos tentar entender a transição do fluxo laminar para turbulento, a partir dos fenômenos 
observados em uma mistura de líquidos coloridos. Em fluxos bastante lentos se estabelece um 
perfil de velocidade parabólico, conforme mostrado acima. Ao aumentar a velocidade, essa 
parábola é esticada cada vez mais, de forma que o miolo avança muito, enquanto as zonas 
marginais estão cada vez mais retidas, em relação ao miolo. Nesta situação as camadas mais 
avançadas têm a tendência de escaparam radialmente para fora, então em direção à parede do 
tubo. Quando isso realmente acontece, então há formação de diversos centros de turbulência, 
afinal formam-se muitos redemoinhos ao mesmo tempo que misturam as camadas de forma 
aleatória, ou seja, a transição de laminar para turbulento ocorreu bruscamente. Os diâmetros 
A. Isenmann Operações Unitárias 
28 
típicos destes redemoinhos: 
30
1
≈ do diâmetro do tubo. O movimento principal em direção z 
fica sobreposto por movimentos aleatórios de mistura. A velocidade máxima, umax, continua 
sendo no miolo do eixo, mas a velocidade do fluxo é quase a mesma, ao longo das camadas 
internas. O perfil parabólico fica fortemente achatado. Por outro lado, continua a condição da 
estacionaridade diretamente na parede do tubo. Isso implica que, em uma estreita camada 
limite o gradiente de velocidade é muito elevado. Essa camada se conhece com camada limite 
de Prandtl. 
Provou-se na prática que a velocidade média do fluxo turbulento é: 
 
max)9,0......8,0( uu ⋅= . 
 
Embora a camada limite de Prandtl ser bastante estreita (maior a velocidade, mais estreita ela 
é), mesmo assim podemos afirmar que dentro dessa camada o caráter do fluxo continua 
laminar. 
 
Fig. 6. Representação do perfil de velocidade do fluxo turbulento 
 
Quando os tufos de turbulência batem na camada limite, eles ficam grudados nesta camada e 
entregam seu momento. 
Na prática se tem, na maioria dos casos, fluxo turbulento. Ele acarreta uma queda em pressão, 
maior do que no fluxo laminar. A equação usada para estimar ∆p é, em analogia ao cap. 2.4.2, 
2
2
1(Re) u
d
Lp ⋅⋅⋅=∆ ρλ , pois o caráter desta equação é universal (laminar e turbulento!). 
Como os movimentos no fluxo turbulento são muito mais complexos, é preciso usar um 
coeficiente λ(Re) que foi experimentalmente determinado. Na região turbulenta o coeficiente 
de fricção λ(Re) é menos dependente do número de Reynolds. Além disso, a asperidade do 
tubo torna-se um fator cada vez mais importante. Ela provoca um aumento da espessura da 
camada limite, sobre o qual o miolo turbulento é transportado com baixa fricção. 
Na próxima figura podemos ver a dependência do número de fricção, do número de Reynolds. 
Fica evidente que a asperidade da parede, em caso de turbulência, tem uma influência notável 
sobre o λ. Em casos de turbulência total em tubos ásperos o λ fica quase independente do Re, 
com valores entre 0,02 e 0,04. Nesta situação o modelo do fluxo "sem fricção" é bastante útil 
e vale como simplificação. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
29 
 
 
Fig. 7. Dependência do coeficiente de fricção, λ, do número de Reynolds, Re, com a 
asperidade relativa, n = k/d, como parâmetro. 
 
Na literatura se encontram várias relações empíricas que foram propostas para determinar 
λ(Re). Nenhuma delas, porém, tem caráter universal, mas vale somente para um caso 
específico. Sendo mencionada como exemplo apenas a relação de Blasius: 
 
25,0Re
316,0
=λ , 
 
que vale para 510Re ≤ e somente para tubos hidraulicamente lisos. 
 
O caminho do cálculo da perda em pressão em tubos pode ser resumido em três etapas: 
1. O cálculo de Re. Deste resultado a gente sabe que tipo de fluxo podemos esperar, ou 
laminar ou turbulento. Daí sabemos quais relações devemos aplicar a seguir. 
2. Cálculo (ou determinação gráfica a partir da Fig. 7) do valor do coeficiente de fricção, 
λ(Re). 
3. Cálculo da perda de pressão usando 2
2
1(Re) u
d
Lp ⋅⋅⋅=∆ ρλ 
 
O fluxo da massa (= vazão de massa; ver também cap. 2.5.2), m� , na maioria das vezes é 
estabelecido pela fábrica. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
30 
Aplicamos a transformação da densidade do fluido, conforme: 
2
2
2
444
du
m
d
dt
dL
dt
dmdL
m
V
m
⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅⋅
==
pipipi
ρ � 
 
Daí, o número de Reynolds para um tubo se obtém através da fórmula: 
 
ηpiη
ρ
⋅⋅
=
⋅⋅
=
d
mdu �4Re . 
 
E para o cálculo da perda de pressão usaremos: 
 
42
8(Re)
d
m
d
Lp
⋅⋅
⋅
⋅⋅=∆
ρpi
λ � . 
 
2.4.4 Perda de pressão em peças e sistemas tubulares 
Quando o fluido passa por peças dentro da tubulação, ele sofre uma queda em pressão extra. 
Essas resistências não se estendem ao longo do caminho, mas são localizadas. Portanto se fala 
de quedas localizadas da pressão. 
Enquanto no fluxo pelo tubo aparece o fator (L/d).λ(Re), as quedas de pressão localizadas 
podem ser descritas por um simples coeficiente ζ: 
 
2
2
1
up ⋅⋅⋅=∆ ρζ , 
 
com ζ = coeficiente de resistência localizada. 
Ao contrário do transporte no tubo, a perda em pressão localizada provocada por uma peça 
depende muito pouco do número Re, quer dizer, o fluxo nas peças sempre é turbulento. Um 
resumo das peças mais utilizadas e seus coeficientes ζ, se encontram na próxima tabela. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
31 
Tab. 8. Coeficientes z das resistências localizadas, para diversas peças dentro de uma 
tubulação (Fonte: K.F. Pawlow, P.C. Romankow, A.A. Noskow, Beispiele und 
Übungsaufgaben zur Chemischen Verfahrenstechnik, VEB Deutscher Verlag für 
Grundstoffindustrie 1979) 
 
 
A perda total dentro da tubulação se dá da soma, do próprio tubo e das peças localizadas. Para 
tubulações com diâmetro único vale: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
32 
 
2
2
1(Re) u
d
Lp
i
i ⋅⋅⋅






+⋅=∆ ∑ ρζλ . 
 tubo peças 
 
Caso a secção transversal do caminho não seja exatamente circular, deve-se usar, em vez de d, 
o diâmetro hidráulico, dh: 
 
U
Fd h ⋅= 4 , 
 
com F = área da secção transversal e U = circunferência. Como se pode facilmente verificar, 
essa expressão se reduz a dh = d, caso a passagem realmente seja circular (com 4
2dF ⋅= pi e 
dU ⋅= pi ). 
 
No cálculo de problemas de transporte muitas vezes se resume todas as resistências, inclusive 
a do tubo reto: 
 
Σ≡






+⋅ ∑
i
id
L ζλ(Re) . 
 
A queda em pressão na tubulação devido à fricção é assim: 
 
2
2
1
up ⋅⋅⋅Σ=∆ ρ . 
 
2.5 Balanço do transporte do fluido 
Para resolver problemas de transporte, a engenharia precisa de expressões matemáticas 
manejáveis que unem as grandezas físicas de importância no transporte. Problemas mais 
complexos de transporte podem ser resolvidos com a técnica da análise dimensional (a ser 
apresentada no cap. 3.3, na p. 102). As relações fundamentais da teoria do transporte são a 
condição de continuidade e equação de Bernoulli. Elas podem ser aplicadas, de maneira 
segura, através de um balanço simples, como será mostrado a seguir. 
 
2.5.1 Equações de balanço 
Os balanços podem ser divididos em expressões integrais e diferenciais. No caso do balanço 
integral (mais fácil) a grandeza a ser determinada se refere a um trecho macroscópico da 
tubulação, enquanto o balanço diferencial se refere a um elemento de volume infinitamente 
A. Isenmann Operações Unitárias 
33 
pequeno. O balanço diferencial leva a várias equações diferenciais que devem ser 
devidamente integradas, sobre todo o trecho do transporte. Isso geralmente é possível, 
somente com um alto desempenho de cálculo. Por outro lado, com um balanço integral se 
obtém rapidamente uma equação simples que leva ao resultado desejado. A desvantagem do 
último, porém, é a falta inerente de detalhes sobre as particularidades da tubulação. 
a) Condição da continuidade (= constância da massa) 
Consideremos uma tubulação onde o diâmetro se aumente: 
 
Em um fluxo contínuo e constante a velocidade na parte mais larga é menor que na parte mais 
estreita. Através da lei da manutenção das massas podemos calcular os fluxos de massa, nos 
dois pontos de controle 1 e 2: 
 
21 mm �� = . 
 
Inserimos a definição do fluxo da massa, 
 
uFm ⋅⋅= ρ� ; 
4
2dF ⋅= pi , 
 
obtemos diretamente a equação de continuidade: 
 
222111 uFuF ⋅⋅=⋅⋅ ρρ ou, em outras palavras: .constuF =⋅⋅ ρ 
 
Para fluidos incompressíveis (líquidos) a expressão fica mais simples ainda, pois 
ρρρ == 21 : 
2211 uFuF ⋅=⋅ . 
 
b) Equação de Bernoulli (balanço da energia por unidade de volume) 
Primeiro um modelo bastante simples: um fluido idealizado que não mostre fricção interna, 
então o modelo do fluxo sem fricção. Esse fluido se move de um reservatório mais alto 
(estado 1) através da tubulação para um reservatório mais baixo (estado 2). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
34 
 
Os dois estados sejam caracterizados pela velocidade do fluxo, também chamada de vazão, u, 
pela altura h e pela pressão p. Em caso de fluxo sem fricção (isto é, não há perdas de energia 
para fora) vale a lei da manutenção da energia (sempre relacionada ao volume, mostrado pelo 
índice sobrescrito, v ): 
 
.constpEE vpot
v
cin =++ , 
 
onde 2
2
1
uE vcin ⋅⋅= ρ e hgE vpot ⋅⋅= ρ . 
 
Obtemos diretamente a equação de Bernoulli para o caso sem fricção (com g = aceleração 
gravitacional): 
 
.
2
1 2 constphgu =+⋅⋅+⋅⋅ ρρ 
 
Sua aplicação nos estados 1 e 2 fornece: 
 
22
2
211
2
1 2
1
2
1 phguphgu +⋅⋅+⋅⋅=+⋅⋅+⋅⋅ ρρρρ . 
 
Escrito como diferença: 
 
( ) 0
2
1 2
2
2
1 =∆+∆⋅⋅+−⋅⋅ phguu ρρ , 
 
com 21 hhh −=∆ e 21 ppp −=∆ . 
 
Exemplo da sua aplicação: escoamento de um tanque de reservatório (simplificação: o nível 
do fluido dentro do reservatório seja constante ao longo do processo). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
35 
 
 
Para o escoamento sem fricção obtemos diretamente: 
 
phgu ∆+∆⋅⋅=⋅⋅ ρρ 2
2
1
. 
 
Desta equação segue, para a velocidade do escoamento, u: 
 
( )
ρ
ρ hgp
u
∆⋅⋅+∆
=
2
. 
 
Isso vale tanto para o transporte sob pressão externa quanto para o transporte hidrostático. 
Em casos reais, porém, temos que levar em consideração a fricção, pois os fluidos geralmente 
são retidos dentro da tubulação. Por isso, adicionamos o termo da queda em pressão devido à 
fricção, 2
2
1
up ⋅⋅⋅Σ=∆ ρ , ao lado esquerdo da equação: 
 
phguu ∆+∆⋅⋅=⋅⋅⋅Σ+⋅⋅ ρρρ 22
2
1
2
1
. 
 
( ) phgu ∆+∆⋅⋅=Σ+⋅⋅⋅ ρρ 1
2
1 2
. 
 
Essa relação formará mais adiante a base para o dimensionamento de bombas. 
Para a velocidade do fluxo sob fricção obtemos então: 
 
( )
( )Σ+⋅
∆⋅⋅+∆
=
1
2
ρ
ρ hgp
u . 
 
2.5.2 Medição da vazão 
Para o regulamento e o controle de processos químicos é preciso fazer medições diretas da 
vazão, seja do fluxo de massa ou do fluxo de volume. A vazão é a terceira mais importante 
A. Isenmann Operações Unitárias 
36 
grandeza a ser medida na engenharia química. A vazão, ou quantidade em fluxo, se mede e se 
calcula através da velocidade média da corrente, u (a seguir simplesmente: u). Uma vez 
obtida a velocidade u de um fluido da densidade ρ, fluindo em um tubo da área transversal F, 
daí podemos indicar as quantidades em fluxo: 
 
uFV ⋅=� Fluxo de volume = vazão de volume 
e 
uFm ⋅⋅= ρ� Fluxo de massa = vazão de massa. 
 
Como já dito acima, a maioriados fluxos aplicados é bastante rápida e turbulenta. O 
equipamento para sua medição é geralmente uma sonda que é fixada centralizada dentro do 
tubo 6: 
 
 
a) Medição direta do fluxo 
O medidor de vazão tipo turbina 7 possui hoje uma tecnologia consagrada nas diversas 
aplicações para medição de vazão para líquidos e gases, principalmente onde são requeridos 
precisão, confiabilidade e robustez, como também a melhor relação custo-benefício. 
As características principais são: 
• Utilização em processos industriais, laboratórios, contabilização e transferência de 
custódia. 
• Exatidão melhor do que 0,5% para líquidos e 1% para gases. 
• Vazões de 0,08 a 2.800 m³/h para líquidos e de 0,5 a 20.000 m³/h para gases. 
• Conexões para processo tipo flangeadas, rosqueadas ou sanitárias. 
• Tempo de resposta baixo, ideal para processos de bateladas. 
 
Princípio de funcionamento: 
O medidor de vazão tipo turbina consiste basicamente de um rotor, montado entre buchas em 
um eixo, que gira a uma velocidade proporcional à velocidade do fluido dentro do corpo do 
medidor. Um sensor eletromagnético (pick-up) detecta a velocidade de giro do rotor gerando 
um trem de pulsos que serão transmitidos para um indicador eletrônico que fornecerá uma 
leitura em vazão instantânea e totalização nas unidades de engenharia ou transmitindo um 
sinal analógico de 4 a 20 mA. 
 
 
6
 Medidores avançados aproveitam da vibração sinoidal do tubo, um efeito que considera conceitos avançados da 
hidrodinâmica. Site de partida recomendado: http://www3.emersonprocess.com/micromotion/tutor/portuguese 
7
 http://www.hdtechsolucoes.com.br/auxiliar/catalogoturbina.pdf 
A. Isenmann Operações Unitárias 
37 
 
 
Fig. 8. Medição da vazão por turbina (em cima): modelo com leitor digital (esquerda) 
e mecânico (direita). Em baixo: medidor a palhetas (com eixo perpendicular à vazão). 
 
Aplicações típicas 
O medidor de vazão tipo turbina é bastante versátil. Hoje, ele é aplicado em medição de 
consumo de combustíveis, nas indústrias químicas, petroquímicas, farmacêuticas, refinarias, 
papeleiras, saneamento básico, tratamento e distribuição de água, alimentícia, geradoras de 
energia elétrica, distribuidoras de gasolina, postos de abastecimentos de gás veicular, etc. 
Os processos industriais controlados por turbinas são: 
• Venda, contabilização ou apropriação de matéria-prima ou produto final. 
• Transferência de custódia. 
• Bateladas em processos industriais. 
• Processos de mistura de líquidos ou gases. 
• Automatização em processos e envasamento. 
• Medição de consumo de combustíveis líquidos ou gasosos. 
 
O medidor à turbina se destaca dos demais medidores, a serem apresentados a seguir, porque 
registra um valor integral do volume, Vdt
dt
dVV
t
== ∫∫ � . Desde o início da medição o aparelho 
conta o volume percorrido pela tubulação e caso haver uma parada do fluxo, o contador 
guarda seu último valor. 
Ao invés deste, os equipamentos descritos a seguir registram um volume diferencial, quer 
dizer, a vazão momentânea, 
dt
dVV =� . Quando o fluxo pára, o mostrador destes aparelhos 
ficará em zero. A informação sobre a vazão antigamente medida se perdeu. 
A base da medição da vazão pelos aparelhos apresentados a seguir, é a equação de Bernoulli, 
sem a contribuição geodésica (situação horizontal) e sem os termos de fricção: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
38 
2
2
21
2
1 2
1
2
1 pupu +⋅⋅=+⋅⋅ ρρ . 
 
Devemos tomar providência que em dois pontos de controle, 1 e 2, se têm diferentes 
velocidades de fluxo, u1 e u2. Daí se mede como resposta a queda em pressão, ∆p. 
 
b) Registrador de velocidade via pressão dinâmica 
É um método bastante simples, mas hoje menos usado. Baseia-se no fato de que um corpo, 
quando introduzido numa corrente, é envolto pelo fluido e em pelo menos um ponto a 
velocidade do fluido se torna zero. Este ponto é chamado de ponto de remanso ou de 
estagnação. 
A partir da equação de Bernoulli obtemos com esse ponto (u2 = 0): 
 
21
2
12
1 ppu =+⋅⋅ ρ . 
 
O termo 212
1
u⋅⋅ ρ é denominado de pressão dinâmica. 
 
 
Mede-se então a diferença, ∆p, e desta se calcula a velocidade do fluxo, u1. 
Com o tubo de pressão dinâmica de Prandtl (esquema abaixo) pode-se medir diretamente a 
diferença em pressão, ∆p, que aqui se dá da diferença entre a pressão p2 (= pressão total = 
pressão de estagnação = pressão dinâmica + pressão estática) e p1 (pressão estática): 
 
2
12
1
up ⋅⋅=∆ ρ . 
 
Calculamos a velocidade do fluxo por: 
 
ρ
p
u
∆⋅
=
2
, 
A. Isenmann Operações Unitárias 
39 
 
com ( ) hgp M ∆⋅⋅−=∆ ρρ , onde ρM = densidade do líquido dentro do tubo U manométrico. 
 
 
Fig. 9. Tubo de pressão dinâmica segundo Prandtl, também conhecido como tubo de 
Pitot, aplicável em fluidos gasosos e líquidos em fluxo laminar. 
 
É importante que o tubo de Prandtl (também conhecido como tubo de Pitot) seja exatamente 
alinhado à corrente de escoamento, caso contrário se esperam grandes desvios, tanto na 
medição da pressão estática (na lateral do tubo) quanto da pressão total (na ponta do tubo). 
Mesmo se o tubo for perfeitamente alinhado, a medição da pressão estática geralmente é 
afetada com desvios positivos, pois a sua tomada de medição está sujeita aos componentes 
transversais do escoamento turbilhonado. Os vetores não direcionados do fluxo provocam, ao 
mesmo tempo, um desvio negativo na medição da pressão de estagnação. O tubo fornece 
então os melhores resultados, com fluxos rigorosamente laminares. Como é difícil garantir 
isso na prática, a escala no tubo U (manômetro) deve ser aferida, especialmente para as 
correntezas de maior velocidade. 
Aplicação principal do tubo de Prandtl: 
� Monitoramento de fluxos contínuos (e constantes), 
� Controle de fluidos de refrigeração/aquecimento em trocadores de calor 
� Geradores de vapor e turbinas de energia hídrica. 
Ele tem também uma famosa aplicação fora da produção industrial: o "Pitot" é o clássico 
velocímetro dos aviões. 
 
c) Passagem em estreitamento 
Dentro de um estreitamento a velocidade do fluxo u aumenta (ver equação de continuidade). 
A pressão estática p, porém, diminui neste trecho - isso é o resultado da equação de Bernoulli 
8
. 
 
8
 Esse fato, aliás, explica também o efeito da sustentação numa asa de avião, pois o extradorso é mais curvado, 
portanto o fluxo do ar fica mais rápido e a pressão fica reduzida. Essa diferença em pressão, no extradorso e no 
intradorso, afinal causa a força sustentadora e faz o avião voar. 
A. Isenmann Operações Unitárias 
40 
 
 3
2
32
2
21
2
1 2
1
2
1
2
1 pupupu +⋅⋅=+⋅⋅=+⋅⋅ ρρρ 
 
No caso de fluxo sem fricção temos então as mesmas condições, nos pontos de controle 1 e 3, 
já que o diâmetro do tubo é idêntico nestes locais. 
Os perfis de velocidade e da pressão têm então a seguinte forma: 
 
 
Fig. 10. Perfil de velocidade e perfil de pressão 
 
Agora olhamos nos pontos de balanço 1 e 2. No caso ideal, onde não tiver fricção, obtemos: 
 
( )21222
1
uup −⋅⋅=∆ ρ . 
 
Com a equação de continuidade, 2211 uFuF ⋅=⋅ , obtemos: 
 








−





⋅⋅⋅=∆ 1
2
1
2
2
12
1 F
F
up ρ , 
 
ou seja: 
 








−




⋅
∆⋅
=
1
2
2
2
1
1
F
F
p
u
ρ
. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
41 
Conhecem-se os diâmetros do tubo, F1 e F2, também a densidade ρ do fluido. A velocidade do 
fluxo u1 se dá então da queda em pressão medida, ∆p. Devido à "contração de jato" e à fricção 
real, porém, precisamos de correções na prática. A contração de jato é um fenômeno que se 
observa durante a passagem rápida de um fluido através de um estreitamento: o perfil de fluxo 
mais estreito não se mede exatamente no ponto mais estreito da passagem, mas um pouco 
depois (ver Fig. 11b). 
Na prática se aprovaram especialmente as medições pelo tubo de Venturi 9 e dispositivos de 
blendas. 
 
 
Fig. 11. Dispositivos de estreitamento: 
 a) Tubo de Venturi b) Blenda c) Bocal 
 
Vantagem do tubo de Venturi: oferece pequena resistência adicional ao fluxo, então a queda 
de pressão causada pelo próprio instrumento é pequena. 
Vantagem de blendas: são muito robustas e baratas. 
 
d) Aparelhos com bóia (= rotâmetro) 
Esses instrumentos servem para medir pequenas quantidades de fluxo (= fluxo lento). Trata-se 
de um tubo transparente, de paredes retas e cônicas, na posição vertical, dentro do qual se 
encontra uma bóia pontiaguda. O fluido que vem de baixo passa no anel no espaço aberto, 
entre a parede fixa do tubo e a beirada superior da bóia. Mais alta a velocidade do fluido, mais 
alta a posição da bóia na qual ela entra em flutuação (posição estável). Ao contrário dos 
dispositivos de jato e blenda, a passagem mais estreita deste aparelho não está fixa, mas varia 
junto à quantidade de matéria que passa por ela em determinado período, V� ou m� . 
 
 
9
 O tubo de Venturi também é o dispositivo usado como velocímetro na aviação (isto é, mede a velocidade que o 
avião tem em relação ao vento natural). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
42 
 
Importantes são as áreas circulares nos pontos de balanço 1 e 2, que se abrem entre o tubo 
fixo e a bóia. Nestas temos sempre: 21 FF >> ; isso levará a alguma simplificação adiante. 
 
Fig. 12. Os pontos de balanço na bóia. ////// = área entre bóia e parede. 
À esquerda: fundo da bóia (fluido numa passagem larga;) 
À direita: topo da bóia (fluido numa passagem estreita). 
 
Devido à forma cônica do tubo a área F2 depende da posição da bóia: 
 
hCF ⋅=2 , com C = constante do aparelho e h = altura relativa da bóia. 
 
A leitura da altura relativa h é possível quando se estabeleceu um estado de flutuação (= bóia 
parada). Nesta situação se estabeleceu um equilíbrio das forças: 
• a força da pressão Kp, com direção para cima e 
• a forças gravitacional Kg, reduzida pela força de sustentação Ka. 
 
agp KKK −= , 
 
onde pFK Sp ∆⋅= , gmK Sg ⋅= e gVK Sa ⋅⋅= ρ . 
A. Isenmann Operações Unitárias 
43 
 
Fig. 13. Esboço da bóia, com os marcos construtivos e as variáveis usadas no cálculo. 
Neste esboço a área grifada ////// represente a área ocupada pelo topo da bóia. 
 
gVgmpF SSS ⋅⋅−⋅=∆⋅ ρ . 
 
FS = área da bóia que desloca o fluido, ∆p = diferença de pressão entre os dois pontos de 
balanço, mS = massa da bóia, VS = volume da bóia, ρS = densidade da bóia, ρ = densidade do 
fluido, g = aceleração gravitacional. 
Com 
 
S
S
S
mV
ρ
= e reorganizar obtemos a última equação de balanço na seguinte forma: 
 






−
⋅
=∆
SS
S
F
gm
p
ρ
ρ1 . 
 
Como somente entram valores constantes (para um dado fluido), então podemos afirmar que a 
diferença em pressão também é uma constante do aparelho. 
A equação de Bernoulli nos dois pontos de balanço fornece uma relação entre a diferença em 
pressão e as velocidades do fluxo: 
 
( )212221 2
1
uuppp −=−=∆ ρ . 
 
Com a condição de continuidade, 2211 uFuF ⋅=⋅ , podemos escrever para a velocidade do 
fluxo u2 (isto é, no anel estreito): 
 
A. Isenmann Operações Unitárias 
44 














−⋅
∆⋅
=
2
1
2
2
1
2
F
F
p
u
ρ
. 
 
Devido a 21 FF >> podemos escrever isso, com boa aproximação: 
 
ρ
p
u
∆⋅
≈
2
2 . 
 
Conforme a essa equação a velocidade do fluxo também é praticamente uma constante. 
Mesmo assim, conseguimos medir a quantidade do fluido, pelo fato que não medimos u2, mas 
sim, a vazão de volume, V� . 
 
22 uFV ⋅=� . 
 
Nesta inserimos as expressões que achamos para u2, F2 e ∆p e obtemos: 
 






−
⋅
⋅⋅
⋅⋅=
SS
S
F
gmhCV
ρ
ρ
ρ
1.2� 
 






⋅
−⋅⋅
⋅⋅=
ρρ
ρρ
S
S
S
S
F
gmhCV .2� . 
 
E a vazão de massa, m� se dá como: 
 
( )ρρ
ρ
ρρ −
⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅= S
SS
S
F
gmhCVm .2�� . 
 
e) Outros medidores do fluxo 
Ainda mencionamos outros medidores de fluxo e suas aplicações típocas. Cada um requer de 
uma tecnologia avançada. 
• Medidor vórtex (para gases e líquidos) 
• Medidor magnético (para líquidos cuja condutividade < 0,1 µS.m-1) 
• Medidor Coriolis (medição direta da vazão mássica de líquidos). 
A. Isenmann Operações Unitárias 
45 
 
2.5.3 Transporte de líquidos via bombas 
Em geral, entende-se por transporte o deslocamento de fluidos de um estado de baixa energia 
potencial (= baixa altura ou baixa pressão), a um nível de energia mais alto. Neste capítulo 
vamos fazer a restrição de fluidos líquidos, enquanto o transporte de gases, devido às suas 
particularidades, será tratado aparte, no cap. 2.7. 
O líquido é transportado de um recipiente de estoque 1 (u1 = 0, quer dizer, nos 
desconsideramos o abaixamento do nível durante a vazão), via uma tubulação com perdas por 
fricção, até o local do consumidor 2 (geralmente um reator químico ou um outro recipiente). 
Isso aconteça com a velocidade u2 = u, tudo conforme o esboço a seguir. 
 
Fig. 14. Esquema de uma tarefa de transporte 
 
Para a finalidade de transporte usa-se geralmente uma bomba que proporciona ao sistema a 
energia externa/unidade de volume, VBE . Somente em casos especiais se aproveita neste da 
energia potencial hidrostática (= diferença em altura ou aplicação de ar pressurizado sobre o 
reservatório 1). 
No transporte contínuo a energia fornecida pela bomba é do mesmo módulo que a diferença 
em energia potencial entre partida e destino, mais a energia perdida por fricção, mais a 
energia que se precisa para a aceleração à velocidade u. Sendo assim, podemos escrever o 
balanço da energia: 
 
V
cin
V
fric
V
pot
V
B EEEE ∆+∆+∆= . 
 
Neste balanço significam: 
hgpEVpot ∆⋅⋅+∆=∆ ρ Energia potencial/Volume 
Σ⋅⋅=∆ 2
2
1
uEVfric ρ 
Perda de energia por fricção/Volume 
2
2
1
uEVcin ⋅=∆ ρ 
Energia cinética/Volume 
 
Inserimos essas expressões: 
A. Isenmann Operações Unitárias 
46 
 
( )Σ+⋅⋅+∆⋅⋅+∆= 1
2
1 2uhgpEVB ρρ 
 
Essa é a equação-base para o cálculo da energia necessária, a ser entregue para o sistema. 
Lembramos que o símbolo "∆" represente a diferença entre o nível do destino 2 (= 
consumidor) e o nível de origem 1 (reservatório). 
Muito usada na técnica é a "equação de nivelamento", isto é, o balanço acima dividido por