Lista 2 gabarito

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Indique por P = (x, y) um ponto gene´rico de R2, por P0 = (0, 0) a origem e considere
o problema de determinar os valores de α > 0 para os quais a func¸a˜o f(x, y) = |xy|α e´
diferencia´vel em P0. Se necessa´rio use a estimativa |xy| ≤
1
2
(x2+y2). A figura abaixo ilustra
o gra´fico de f para um valor espec´ıfico de α.
C E a) Dado uma margem de toleraˆncia ǫ > 0, basta escolher a margem de seguranc¸a
δ = (2ǫ1/α)1/2 para se ter que |f(P )− f(P0)| < ǫ sempre que ‖P − P0‖ < δ.
C E b) Para α > 0, a func¸a˜o f na˜o possuir as derivadas
parciais em P0.
C E c) Para 0 < α < 1, as derivadas parciais de f na˜o sa˜o
cont´ınuas em P0.
C E d) Para 0 < α < 1/2, na˜o existe o lim
P→P0
f(P )/‖P‖.
C E e) Para α > 1/2, a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em P0.
2) Suponha que a temperatura da chapa D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 < 1 e y > 0} seja dada
pela func¸a˜o T (x, y) = 20
pi
arctan
(
2 y
1−x2−y2
)
, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo. Neste caso, as
curvas de n´ıvel da func¸a˜o T sa˜o as isotermas da chapa.
x
y
T = 5
a) Verifique que as isotermas sa˜o arcos de c´ırculos com centros no
eixo Oy e passam pelos pontos (−1, 0) e (1, 0).
Resposta:
no n´ıvel k, a curva e´ x2 + (y + 1/K)2 = 1 + 1/K2,
com K = tan(pik/20)
b) Esboce, na figura ao lado, a isoterma de temperatura igual a 5.
c) Use o item a) para verificar que na˜o existe limP→(1,0) T (P ).
Resposta: considere isotermas em temperaturas distintas
d) Use as propriedades do limite para decidir quando a` existeˆncia do limite limP→P0 T (P )
no caso em que P0 = (x0, y0) e´ tal que x
2
0 + y
2
0 = 1 e y0 > 0.
Resposta: o limite existe e e´ igual a 10
e) Da mesma forma, estude a existeˆncia do limite limP→P0 T (P ) no caso em que
P0 = (x0, 0) e |x0| < 1.
Resposta: o limite existe e e´ igual a 0
Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2017 – 1/2
3) Considere um sistema de eixosOxyz de origemO no centro da Terra. Nesse sistema, se um
sate´lite esta´ no ponto P , a forc¸a F (P ) com que a Terra atrai o sate´lite tem direc¸a˜o e sentido
dados pelo vetor unita´rio U = −P/‖P‖. Ale´m disso, se as massas da Terra e do sate´lite
sa˜o M e m, a intensidade da forc¸a e´ diretamente proporcional dessas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia ‖P‖, com constante de proporcionalidade G. Segundo
os itens abaixo, a func¸a˜o f(P ) = a/‖P‖ esta´ estreitamente relacionada com a forc¸a F .
a) Obtenha a expressa˜o da forc¸a F (P ).
Resposta: F (P ) = −GMm‖P‖2
P
‖P‖ .
b) Calcule a derivada fx, e obtenha fy e fz por simetria.
Resposta: fx(x, y, z) =
−ax
(x2+y2+z2)3/2
, e analogamente para fy e fz.
c) Verifique que, escolhendo a apropriadamente, tem-se
F (P ) = (fx(P ), fy(P ), fz(P )). Nesse caso, f e´ dita uma
func¸a˜o potencial para a forc¸a F .
Resposta: a = GMm.
F
m
d) Calcule a derivada segunda fxx, e obtenha as outras derivadas fyy e fzz por simetria.
Resposta: fxx(x, y, x) = a(2x
2 − y2 − z2)/(x2 + y2 + z2)5/2, e analogamente para fyy e fzz.
e) Verifique que f satisfaz a` equac¸a˜o de Laplace fxx + fyy + fzz = 0.
Resposta: basta somar as treˆs derivadas.
4) Suponha que a chapa infinita D = {(x, y) ∈ R2; x > 0 e y > 0} tenha temperatura
f(x, y) = y2−x2. As linhas de fluxo da chapa sa˜o aquelas por onde o calor flui, e sa˜o curvas
ortogonais a`s curvas de n´ıvel de f . O surpreendente e´ que as linhas de fluxo sa˜o as curvas de
n´ıvel de uma outra func¸a˜o g(x, y), dita a func¸a˜o conjugada de f(x, y). A menos de constante
aditiva, essa nova func¸a˜o e´ definida pelas igualdades gx = fy e gy = −fx.
x
y
z a) Esboce e identifique as curvas de n´ıvel de f nos n´ıveis
k = −1, k = 0 e k = 1.
Resposta: veja a figura abaixo
b) Integre a igualdade gx = fy na varia´vel x, notando que
a constante de integrac¸a˜o d = d(y) pode depender de y.
Resposta: g(x, y) =
∫
fy(x, y) dx =
∫
2y dx = 2xy + d(y)
c) Derive o resultado do item anterior na varia´vel y, compare com a igualdade gy = −fx
e determine a func¸a˜o d(y) a menos de constante.
Resposta: 2x+ d′(y) = gy(x, y) = −fx(x, y) = 2y ⇒ d
′(y) = 0⇒ d(y) = d0
d) Esboce e identifique a curva de n´ıvel de g no n´ıvel c = 1
supondo a constante nula.
Resposta: veja a figura ao lado
e) Justifique o fato de que as linhas de fluxo da chapa sa˜o
as curvas de n´ıvel de g(x, y).
Resposta: notar que 〈∇g,∇f〉 = gxfx + gyfy = fyfx − fxfy = 0
x
y
1
1
c = 1
k
=
−
1k
=
0
k
=
1
Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2017 – 2/2