NA 7 C3 UnB

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 07∗
Diferenciabilidade
Ja´ se conhece a importaˆncia de estudar a reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o de
uma varia´vel. O ana´logo dessa reta para func¸o˜es de duas varia´veis e´ o plano tangente. Para
compreender o que significa o plano tangente, e como obter a sua equac¸a˜o, vale voltar ao
caso de uma varia´vel e fazer uma leitura apropriada de como a reta tangente e´ obtida.
Lembrando: Infinite´simos
Uma observac¸a˜o simples, mas importante, e´ que o quociente p/q e´ uma comparac¸a˜o de
tamanho entre o nu´mero p relativamente ao nu´mero q. Por exemplo, os nu´meros p = 2×10−2
e q = 10−2 sa˜o ambos pequenos se comparados com a unidade 1, e no entanto o quociente
e´ p/q = 2 na˜o e´ pequeno, isto e´, p na˜o e´ pequeno se comparado a q. Como outro exemplo,
os nu´meros p = 2 × 10−5 e q = 10−2 sa˜o pequenos se comparados com a unidade 1 e, ale´m
disso, p e´ muito menor do que q, uma vez que o quociente p/q = 2× 10−3 e´ pequeno.
Esta observac¸a˜o sugere uma definic¸a˜o interessante. Suponha que se queira comparar o
tamanho de duas func¸o˜es p(t) e q(t), onde q(t) e´ conhecida e se torna cada vez menor a`
medida que t→ t0, isto e´, limt→t0 q(t) = 0. Suponha ainda que exista o limite
lim
t→t0
p(t)
q(t)
= l
Nesse caso, se l 6= 0, enta˜o p(t) ≈ lq(t) para valores de t ≈ t0. Assim, p(t) e q(t) sa˜o pequenos
e compara´veis, uma vez que um e´ mu´ltiplo do outro. Mas, se l = 0, ale´m de p(t) ser pequeno,
ele e´ muito, muito menor do que q(t): e´ infinitamente menor do que q(t)! Isso justifica a
Definic¸a˜o 1. Suponha que lim
t→t0
q(t) = 0. Se p(t) e´ tal que
lim
t→t0
p(t)
q(t)
= 0
enta˜o p(t) e´ dito um infinite´simo em relac¸a˜o a q(t) quando t→ t0.
E´ uma definic¸a˜o simples, de fa´cil entendimento. E, no entanto, ela e´ a chave para se
compreender o significado de diferenciabilidade, tanto em uma como em va´rias varia´veis.
∗Texto digitado e diagramado por Yuri Santos a partir de suas anotac¸o˜es de sala
Exemplo 1. Suponha t0 6= 0 um nu´mero dado e seja q(t) = t− t0. Verifique se as func¸o˜es
p1(t) = (t− t0)
2 e p2(t) = t
2 − t20 sa˜o infinite´simos em relac¸a˜o a q(t) quanto t→ t0.
Soluc¸a˜o. Comec¸ando com a func¸a˜o p1(t), tem-se que
lim
t→t0
p1(t)
q(t)
= lim
t→t0
(t− t0)
2
t− t0
= lim
t→t0
t− t0 = 0
e portanto p1(t) e´ um infinite´simo em relac¸a˜o a q(t) quanto t → t0. Ja´ em relac¸a˜o a p2(t),
usando a decomposic¸a˜o t2 − t20 = (t+ t0)(t− t0) obte´m-se que
lim
t→t0
p2(t)
q(t)
= lim
t→t0
t2 − t20
t− t0
= lim
t→t0
t + t0 = 2t0 6= 0
e da´ı segue-se que p2(t) na˜o e´ um infinite´simo em relac¸a˜o a q(t)
quanto t→ t0.
A diferenc¸a entre as duas func¸o˜es pode ser percebida por
meio da figura ao lado, que ilustra os gra´ficos dessas func¸o˜es
para valores de t pro´ximos a t0. Apesar de p2 ser pequeno, o
seu tamanho e´ quase o dobro de q. Por outro lado, p1 e´ tambe´m
pequeno, mas e´ infinitamente menor do que q. �
t0 t
p1(t)
q(t)
p2(t)
Aprecie a importaˆncia dos infinite´simos na noc¸a˜o de diferenciabilidade dada a seguir!
Lembrando: Diferenciabilidade em Uma Varia´vel
t0 t
g(t)
y(t)
η(t − t0)
Sejam I ⊂ R um intervalo e g : I → R uma func¸a˜o dada.
Sejam ainda t0 ∈ I um ponto interior e y(t) = g(t0)+m(t− t0) a
equac¸a˜o da reta por (t0, g(t0)) de inclinac¸a˜om, conforme a figura.
Caso a func¸a˜o g(t) seja aproximada pela reta y(t), enta˜o
η(t− t0) = g(t)− y(t)
= g(t)− [g(t0) +m(t− t0)]
e´ o erro nesta aproximac¸a˜o.
E´ claro que o erro depende da escolha da inclinac¸a˜o m, e uma forma de estima´-lo e´
comparar com a distaˆncia |t− t0| entre t e t0. Comparando obte´m-se que
η(t− t0)
t− t0
=
g(t)− [g(t0) +m(t− t0)]
t− t0
=
g(t)− g(t0)
t− t0
−m
de onde segue-se que
|η(t− t0)|
|t− t0|
=
∣∣∣∣η(t− t0)t− t0
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣g(t)− g(t0)t− t0 −m
∣∣∣∣
Suponha agora que g(t) seja deriva´vel em t0 e que y(t) seja a reta tangente ao gra´fico de
g(t) no ponto (t0, g(t0)), isto e´, que m = g
′(t0). Nesse caso, usando a definic¸a˜o de derivada,
o erro η(t− t0) e´ tal que
lim
t→t0
|η(t− t0)|
|t− t0|
= lim
t→t0
∣∣∣∣g(t)− g(t0)t− t0 − g′(t0)
∣∣∣∣ = 0 (1)
Surpresa! Se for escolhida a reta tangente para aproximar a func¸a˜o, enta˜o o erro η(t− t0)
e´ um infinite´simo em relac¸a˜o a` distaˆncia t− t0 quanto t→ t0.
Ca´lculo III Notas da Aula 07 2/6
Ale´m disso, o que e´ mais surpreendente, vale tambe´m a volta, no seguinte sentido: supo-
nha que a reta y(t) = g(t0)+m(t−t0) seja escolhida de modo que o erro η(t−t0) = g(t)−y(t)
seja um infinite´simo em relac¸a˜o a t−t0 quanto t→ t0. Enta˜o, dos ca´lculos acima, tem-se que
lim
t→t0
∣∣∣∣g(t)− g(t0)t− t0 −m
∣∣∣∣ = limt→t0 |η(t− t0)||t− t0| = 0
e portanto m = limt→t0
g(t)− g(t0)
t− t0
e´ a derivada e y(t) = g(t0) +m(t− t0) e´ a reta tangente
ao gra´fico da func¸a˜o no ponto (t0, g(t0)). Assim, a reta tangente e´ a u´nica que faz com que
o erro seja um infinite´simo.
t0 t
η(t − t0)
Resumindo, pode-se dizer o seguinte: a func¸a˜o g(t) e´ deriva´vel em t0 se, e somente se,
existe m ∈ R tal que o erro η(t− t0) = g(t)− [g(t0)+m(t− t0)] e´ um infinite´simo em relac¸a˜o
a t− t0 quanto t→ t0. Nesse caso m e´ necessariamente igual a` derivada g
′(t0).
O pro´ximo exemplo ilustra essa caracterizac¸a˜o da reta tangente.
Exemplo 2. Verifique que a func¸a˜o g : R→ R, g(t) = t2, e´ deriva´vel em t0 = 2.
Soluc¸a˜o. A equac¸a˜o da reta por (t0, g(t0))=(2, 4) de inclinac¸a˜o m e´ y(t)=4+m(t−2). Logo,
η(t− 2) = g(t)− y(t) = t2 − 4−m(t− 2)
= (t+ 2)(t− 2)−m(t− 2)
= (t− 2)(t+ 2−m)
de onde segue-se que
η(t− 2)
t− 2
= t + 2 −m. E´ claro agora que existe m = 4 tal que o erro
η(t− t0) e´ um infinite´simo em relac¸a˜o a t− 2 quanto t→ 2, isto e´, tal que
lim
t→2
|η(t− 2)|
|t− 2|
= lim
t→2
|t+ 2− 4| = 0,
Assim, a func¸a˜o e´ deriva´vel em t0 = 2 e, claro, a derivada e´ g
′(2) = 4. �
Diferenciabilidade em Va´rias Varia´veis
A discussa˜o acima, para o caso de uma varia´vel, e´ um modelo muito bom para se com-
preender o caso de duas varia´veis. De fato, conceitualmente, os dois casos sa˜o ideˆnticos!
As perguntas a serem respondidas agora sa˜o as seguintes: dado um domı´nio D ⊂ R2,
uma func¸a˜o f : D → R e um ponto P0 = (x0, y0) interior a D, o que significa um plano ser
tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0))? Uma vez respondida essa pergunta,
como obter a equac¸a˜o desse plano?
Ora! Como no caso de uma varia´vel, a ideia e´ aproximar a func¸a˜o por um plano e, em
seguida, verificar se e´ poss´ıvel escolher esse plano de forma a que o erro na aproximac¸a˜o
seja o menor poss´ıvel. Em geral, um plano por (x0, y0, f(x0, y0)) tem equac¸a˜o na forma
z(x, y) = f(x0, y0) + a(x − x0) + b(y − y0), onde a e b sa˜o quaisquer dois nu´meros dados.
Ca´lculo III Notas da Aula 07 3/6
Usando a notac¸a˜o P = (x, y), se a func¸a˜o f(P ) for aproximada por esse plano, o erro
η(P − P0) nessa aproximac¸a˜o e´ dado por
η(P − P0) = f(P )− z(P ) = f(P )− [f(P0) + a(x− x0) + b(y − y0)]
Em vista do que ja´ se sabe sobre infinite´simos, a pro´xima definic¸a˜o e´ bastante natural. O
nome diferencia´vel e´ usado para distinguir essa definic¸a˜o do caso em que a func¸a˜o e´ deriva´vel
(possui derivada parcial) em relac¸a˜o a` uma de suas varia´veis.
P0 P
η(P − P0)
Definic¸a˜o 2. A func¸a˜o f : D → R e´ diferencia´vel em um ponto P0 = (x0, y0) interior a D
se existem a e b em R tais que o erro η(P − P0) = f(P )− [f(P0) + a(x − x0) + b(y − y0)]
tem a propriedade de que lim
P→P0
|η(P − P0)|
‖P − P0‖
= 0.
Se a func¸a˜o e´ diferencia´vel enta˜o ela pode ser escrita na forma
f(P ) = z(P ) + η(P − P0) = f(P0) + a(x− x0) + b(y − y0) + η(P − P0) (2)
onde o erro e´ muito pequeno se comparado com a distaˆncia‖P − P0‖. Nesse caso, o plano
z(P ) = f(P0) + a(x − x0) + b(y − y0) e´ uma boa aproximac¸a˜o para a func¸a˜o, e e´ dito o
plano tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). O plano z(P ) e´ dito ainda a
aproximac¸a˜o de primeira ordem da func¸a˜o f no ponto P0.
Como no caso de uma varia´vel, para uma func¸a˜o ser diferencia´vel ela tem que ser cont´ınua.
De acordo com o pro´ximo lema, isso e´ tambe´m verdade para func¸o˜es de duas varia´veis.
Lema 1. Se f e´ diferencia´vel em P0, enta˜o ela e´ cont´ınua nesse ponto.
Demonstrac¸a˜o. Da equac¸a˜o (2) tem-se que f(P ) = z(P ) + η(P − P0), onde e´ claro que
lim
P→P0
z(P ) = f(P0). Ale´m disso, como η(P − P0) e´ um infinite´simo, tem-se que
lim
P→P0
|η(P − P0)| = lim
P→P0
|η(P − P0)|
‖P − P0‖
‖P − P0‖ = 0
Desses dois limites segue-se que
lim
P→P0
f(P ) = lim
P→P0
[z(P ) + η(P − P0)] = f(P0)
e portanto f e´ cont´ınua em P0 �
O pro´ximo ponto e´ em relac¸a˜o aos nu´meros a e b que determinam o plano z(P ). Tambe´m
como no caso de uma varia´vel, eles ficam determinados pela condic¸a˜o de diferenciabilidade.
Lema 2. Suponha f diferencia´vel em P0 = (x0, y0). Enta˜o f possui as derivadas parciais
nesse ponto, e o plano tangente tem equac¸a˜o z(P ) = f(P0)+fx(P0)(x−x0)+fy(P0)(y−y0).
Ca´lculo III Notas da Aula 07 4/6
Demonstrac¸a˜o. Como f e´ diferencia´vel, existem a e b em R tais que o plano
z(P ) = f(P0)+a(x−x0)+b(y−y0) tem a propriedade de que o erro η(P−P0) = f(P )−z(P )
e´ um infinite´simo. Escolhendo o ponto P na forma P = (x0, y), que esta´ sobre uma reta
paralela ao eixo Oy (veja a figura abaixo), tem-se que ‖P − P0‖ = |y − y0| e
η(P − P0) = f(x0, y)− z(x0, y)
= f(x0, y)− [f(x0, y0) + b(y − y0)]
= f(x0, y)− f(x0, y0)− b(y − y0)
Da´ı segue-se que
|η(P − P0)|
‖P − P0‖
=
∣∣∣∣ f(x0, y)− f(x0, y0)y − y0 − b
∣∣∣∣
Finalmente, como o erro e´ um infinite´simo, tem-se que
x0
y0 y
P0 P
lim
y→y0
∣∣∣∣ f(x0, y)− f(x0, y0)y − y0 − b
∣∣∣∣ = limP→P0 |η(P − P0)|‖P − P0‖ = 0
Isso mostra que f possui a derivada parcial em relac¸a˜o a y e fy(P0) = b. Analogamente
mostra-se que f possui a derivada parcial em relac¸a˜o a x e fx(P0) = a. �
P
D
Este lema e´ um resultado sobre inclusa˜o de conjuntos,
como ilustra a figura ao lado. Indicando por D o conjunto
das func¸o˜es diferencia´veis em P0 e por P o conjunto das
func¸o˜es que possuem derivadas parciais nesse ponto, o lema
afirma que D ⊂ P. Assim, por exemplo, se uma func¸a˜o na˜o
possui derivadas parciais, ela na˜o e´ diferencia´vel. Mas pode
acontecer da func¸a˜o ter derivadas parciais, e mesmo assim
na˜o ser diferencia´vel. Essas situac¸o˜es esta˜o bem ilustradas
nos pro´ximos exemplos.
Exemplo 3. Verifique se a func¸a˜o f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y2, e´ diferencia´vel em um
ponto gene´rico P0 = (x0, y0).
Soluc¸a˜o. Ja´ foi visto que f possui as derivadas parciais, que
sa˜o dadas por fx(P0) = 2x0 e fy(P0) = 2y0. Da´ı segue-se que
o candidato a plano tangente tem equac¸a˜o
z(P ) = f(P0) + fx(P0)(x− x0) + fy(P0)(y − y0)
= x20 + y
2
0 + 2x0(x− x0) + 2y0(y − y0)
Resta ainda verificar se o erro η(P − P0) = f(P ) − z(P ) e´
de fato um infinite´simo em relac¸a˜o a` distaˆncia ‖P − P0‖.
x0
y0
Ora! O erro e´ dado por
η(P − P0) = x
2 + y2 − [x20 + y
2
0 + 2x0(x− x0) + 2y0(y − y0)]
= x2 − x20 − 2x0(x− x0) + y
2 − y20 − 2y0(y − y0)
= (x2 − 2x0x+ x
2
0) + (y
2 − 2y0y + y
2
0)
= (x− x0)
2 + (y − y0)
2 = ‖P − P0‖
2
Ca´lculo III Notas da Aula 07 5/6
e e´ claro agora que
lim
P→P0
η(P − P0)
‖P − P0‖
= lim
P→P0
‖P − P0‖ = 0.
Assim, o erro e´ mesmo um infinite´simo, e portanto a func¸a˜o e´ diferencia´vel em P0. Por
exemplo, se P0 = (1, 1), enta˜o o plano tangente ao gra´fico de f nesse ponto tem equac¸a˜o
z = 2 + 2(x− 1) + 2(y − 1) = 2x+ 2y − 2. �
Exemplo 4. Verifique se f : R2 → R, f(x, y) =
√
|x y|, e´ diferencia´vel em P0 = (0, 0).
Soluc¸a˜o. Como a raiz na˜o e´ deriva´vel na origem, pode-se imaginar que f na˜o possua as
derivadas parciais em P0. No entanto, usando a definic¸a˜o de derivada, obte´m-se que
fy(P0) = lim
t→0
f(0, 0 + t)− f(0, 0)
t
= lim
t→0
0
t
= 0
Esse resultado pode ser percebido a partir do gra´fico da
func¸a˜o, ilustrado ao lado, uma vez que f(0, y) = 0 para todo
y ∈ R. Analogamente obte´m-se que fx(P0) = 0.
Como as derivadas parciais e a pro´pria func¸a˜o se anu-
lam em P0, segue-se que o candidato a plano tangente tem
equac¸a˜o z(P ) = 0, isto e´, o candidato e´ o plano Oxy.
Resta verificar se o erro η(P −P0) = f(P )− z(P ) e´ de fato um infinite´simo. Ora! Como
‖P − P0‖ = ‖P‖ e z(P ) = 0, segue-se que
η(P − P0)
‖P − P0‖
=
f(P )
‖P‖
=
√
|x y|√
x2 + y2
=
{
0 se x = 0
1√
2
se x = y
Assim, para P → P0, o quociente η(P − P0)/‖P − P0‖ tem limites distintos ao longo
das retas x = 0 e x = y. Da regra dos dois caminhos segue-se que na˜o existe o limite
limP→P0
η(P − P0)
‖P − P0‖
, e portanto a func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel em P0. �
Em resumo, se uma func¸a˜o e´ diferencia´vel, enta˜o ela possui as derivadas parciais, e e´
fa´cil obter a equac¸a˜o do plano tangente. No entanto, como ilustra o u´ltimo exemplo, a
func¸a˜o pode ter derivadas parciais e na˜o ser diferencia´vel. Esse fato e´ natural, uma vez que
as derivadas parciais da˜o informac¸o˜es sobre a func¸a˜o ao longo de duas retas, e isso na˜o e´
suficiente para caracterizar o plano tangente.
Ca´lculo III Notas da Aula 07 6/6