cal3na a8 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 8
Func¸o˜es de va´rias varia´veis
Lembre-se que, para uma func¸a˜o de uma varia´vel, podemos construir seu gra´fico, e a
derivada e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico.
Podemos tambe´m construir o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis z = f(x, y). Ana´-
logo ao caso de uma varia´vel, em cada ponto (x, y) marcamos a altura z = f(x, y) ao longo do
eixo z. A` medida que (x, y) percorre o domı´nio da func¸a˜o, os pontos (x, y, f(x, y)) descrevem
uma superf´ıcie, dita o gra´fico da func¸a˜o.
A figura 1 ilustra o exemplo em que z = f(x, y) = −y. Observe que, cortando o gra´fico
ao longo do plano x = x0, obtemos a reta z = −y. Por outro lado, cortando o gra´fico ao
longo do plano y = y0, obtemos a reta horizontal z = −y0. De fato, o gra´fico da func¸a˜o
z = f(x, y) = −y e´ o plano de equac¸a˜o z + y = 0
Figura 1 Figura 2
A figura 2 ilustra o exemplo em que z = f(x, y) = 1 + x2 + y2. Nesse caso, cortando
o gra´fico ao longo dos planos x = 0 e y = 0 obtemos as para´bolas z = y2 e z = x2,
respectivamente. Outra informac¸a˜o importante pode ser obtida cortando o gra´fico ao longo
de um plano horizontal. Por exemplo, cortando o gra´fico ao longo do plano z = 2, obtemos a
circunfereˆncia 2 = f(x, y) = 1 +x2 + y2, isto e´, x2 + y2 = 1. Dizemos que essa circunfereˆncia
corresponde a` curva de n´ıvel da func¸a˜o no n´ıvel z = 2.
Em geral, cortando o gra´fico de uma func¸a˜o z = f(x, y) ao longo de planos horizontais
z = c, obtemos as curvas de n´ıvel f(x, y) = c. Essas curvas sa˜o muito usadas em cartografia
para indicar o relevo de uma regia˜o. A figura 3 ilustra o uso dessas curvas na agricultura.
Figura 3 Figura 4
A figura 4 ilustra o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = 1 − x2 − y2, algumas curvas de n´ıvel (no
plano xy) e as correspondentes curvas sobre o gra´fico. Essa figura ilustra mais claramente
a relac¸a˜o entre o gra´fico e as curvas de n´ıvel. Por exemplo, apenas pelas curvas de n´ıvel
percebemos que a func¸a˜o possui um ponto de ma´ximo na origem.
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 4 Summary
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Derivadas parciais. Outra forma de estudar uma func¸a˜o de duas varia´veis f(x, y) e´ por
meio de suas derivadas parciais. Em um ponto (x0, y0), a derivada parcial fx(x0, y0) e´ definida
por
fx(x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x, y0) − f(x0, y0)
∆x
De maneira ana´loga definimos a derivada parcial fy(x0, y0).
Semelhante ao caso de uma varia´vel, as derivadas parciais sa˜o interpretadas geometrica-
mente como inclinac¸o˜es de retas tangentes.
De fato, cortando o gra´fico da func¸a˜o ao longo do plano
y = y0, obtemos uma curva que e´ o gra´fico da func¸a˜o de uma
varia´vel g(x) = f(x, y0). E´ claro enta˜o que g
′(x0) = fx(x0, y0)
e´ a inclinac¸a˜o dessa curva no ponto x = x0. Interpretac¸a˜o
semelhante vale para a derivada parcial fy(x0, y0). A figura
ao lado ilustra essa interpretac¸a˜o no caso em que a func¸a˜o e´
f(x, y) = 1 − x2 − y2. Figura 5
O ca´lculo das derivadas parciais e´ feito como no caso de uma varia´vel, mantendo a
outra constante. Por exemplo, para a func¸a˜o f(x, y) = x3y + y2, temos fx(x, y) = 3x
2y e
fy(x, y) = x
3 + 2y.