C3 UnB cal3na 09

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 09∗
Regra da Cadeia
A regra da cadeia e´ ta˜o importante para func¸o˜es de duas como e´ para func¸o˜es de uma
varia´vel. Ale´m de facilitar os ca´lculos, ela e´ um instrumento de investigac¸a˜o teo´rica. Por
exemplo, as propriedades do gradiente ∇f=(fx, fy) sa˜o consequeˆncias imediatas desta regra.
Lembrando: Regra da Cadeia em uma Varia´vel
Considere as func¸o˜es deriva´veis h : I → R e g : J → R onde I e J sa˜o intervalos abertos
da reta. Indique por t uma varia´vel em I, por x uma varia´vel em J e suponha que h(t) ∈ J
para todo t ∈ I. Nesse caso, fica definida a composta g ◦h : I → R, onde (g ◦h)(t) = g(h(t)).
t0
t
I
h
g ◦ h
g
x0
x
J
g(x0)
g(x)
Sendo h e g deriva´veis, e´ natural perguntar pela derivada da composta g ◦ h. Nesse
sentido, dado t0 ∈ I, suponha que h(t) 6= h(t0) para todo t suficientemente pro´ximo de t0.
Enta˜o, pode-se dividir por h(t)− h(t0) e obter que
(g ◦ h)(t)− (g ◦ h)(t0)
t− t0 =
g(h(t))− g(h(t0))
t− t0
=
g(h(t))− g(h(t0))
h(t)− h(t0)
h(t)− h(t0)
t− t0
=
g(x)− g(x0)
x− x0
h(t)− h(t0)
t− t0 (1)
onde foi usada a notac¸a˜o x = h(t) e x0 = h(t0) para indicar que esses nu´meros esta˜o no
intervalo J . Ora! Por ser deriva´vel, h e´ tambe´m cont´ınua, e portanto x = h(t)→ h(t0) = x0
quando t → t0. Da´ı segue-se que g(x)− g(x0)
x− x0 → g
′(x0) quando t → t0. Logo, passando ao
limite com t→ t0 em (1), obte´m-se que
(g ◦ h)′(t0) = g′(x0)h′(t0)
= g′(h(t0))h
′(t0)
Esta e´ a regra da cadeia, que relaciona a derivada da composta g ◦h com as derivadas de
g e de h. Grosso modo, a regra diz que a derivada da composta e´ o produto das derivada, o
que facilita o estudo das func¸o˜es compostas. Veja o exemplo a seguir.
∗Texto digitado e diagramado por Yuri Santos a partir de suas anotac¸o˜es de sala
Exemplo 1. Esboce o gra´fico da func¸a˜o sen2(t) para t ∈ [0, 2pi].
Soluc¸a˜o. A func¸a˜o e´ uma composta sen2(t) = (sen(t))2 = g(h(t)), onde g(x) = x2 e
h(t) = sen(t). Como g′(x) = 2x e h′(t) = cos(t), da regra da cadeia segue-se que
(g ◦ h)′(t) = g′(h(t))h′(t) = 2 sen(t) cos(t).
Assim, os pontos cr´ıticos da composta sa˜o aqueles para os quais g′(h(t)) = 2 sen(t) se
anula ou h′(t) = cos(t) se anula. Calculando, obte´m-se que, no intervalo aberto (0, 2pi), os
pontos cr´ıticos sa˜o pi/2, pi e 3pi/2.
Outra consequeˆncia interessante da regra da cadeia e´ que o sinal da derivada (g◦h)′, que
determina a monotonicidade da func¸a˜o, depende do produto dos sinais de g′(h(t)) e de h′(t).
A tabela a seguir inclu´ı o estudo do sinal dessas func¸o˜es.
Sinal \ Intervalo (0, pi
2
) (pi
2
, pi) (pi, 3pi
2
) (3pi
2
, 2pi)
g′(h(t)) + + − −
h′(t) + − − +
(g◦h)′(t)) + − + −
pi/2 pi 3pi/2 2pi
Da tabela e dos valores de (g ◦ h)(0) = (g ◦ h)(pi) = 0 e (g ◦ h)(pi/2) = (g ◦ h)(3pi/2) = 1,
o gra´fico de g ◦ h e´ como ilustrado na figura acima. �
Regra da Cadeia em Va´rias Varia´veis
A ideia agora e´ adaptar os argumentos acima para o caso de func¸o˜es de duas varia´veis.
P (t)
f(P (t))
Suponha enta˜oD⊂R2 um domı´nio aberto, f:D→R uma
func¸a˜o diferencia´vel e P : (a, b) → R2 um caminho deriva´vel
tal que P (t) = (x(t), y(t)) ∈ D para todo t em (a, b). Fica
enta˜o definida a composta f ◦ P : (a, b)→ R, onde
(f ◦ P )(t) = f(P (t)) = f(x(t), y(t))
e e´ natural perguntar pela derivada (f ◦P )′(t). Veja a figura
ao lado. Nesse sentido, primeiro escolha t0 ∈ (a, b) e indique
por P0 = (x(t0), y(t0)) = (x0, y0).
Enta˜o, como f e´ diferencia´vel em P0 segue-se que
f(x, y)− f(x0, y0) = fx(P0)(x− x0) + fy(P0)(y − y0) + η(P − P0),
onde limP→P0
η(P − P0)
‖P − P0‖ = 0. Ale´m disso, como P (t) e´ deriva´vel em t0, segue-se que
lim
t→t0
P (t)− P (t0)
t− t0 = limt→t0
(
x(t)− x(t0)
t− t0 ,
y(t)− y(t0)
t− t0
)
= (x′(t0), y
′(t0)).
Dessas igualdades segue-se que
f(P (t))− f(P (t0))
t− t0 = fx(P0)
x(t)− x(t0)
t− t0 + fy(P0)
y(t)− y(t0)
t− t0 +
η(P (t)− P (t0))
t− t0 (2)
Ca´lculo III Notas da Aula 09 2/6
Suponha agora que P (t) 6= P (t0) para todo t suficientemente pro´ximo de t0. Pode-se
enta˜o multiplicar e dividir por ‖P (t)− P (t0)‖ para obter que
lim
t→t0
∣∣∣∣η(P (t)− P (t0))t− t0
∣∣∣∣ = limt→t0
( |η(P (t)− P (t0))|
‖P (t)− P (t0)‖
‖P (t)− P (t0)‖
|t− t0|
)
= lim
t→t0
( |η(P (t)− P (t0))|
‖P (t)− P (t0)‖
)
lim
t→t0
(‖P (t)− P (t0)‖
|t− t0|
)
= 0× ‖P ′(t0)‖ = 0
onde foi usado o fato de que P (t) → P (t0) quanto t → t0, pois P (t) e´ deriva´vel, e portanto
cont´ınuo. Finalmente, passando o limite em (2), obte´m-se que f ◦ P e´ deriva´vel em t0 e
d
dt
(f ◦ P )(t0) = lim
t→t0
f(P (t))− f(P (t0))
t− t0
= fx(P (t0))x
′(t0) + fy(P (t0))y
′(t0)
De fato, mesmo sem a hipo´tese de que P (t) 6= P (t0) para todo t suficientemente pro´ximo
de t0, pode-se demonstrar o
Teorema 1 (Regra da Cadeia). Suponha D ⊂ R2 aberto e f : D → R diferencia´vel. Suponha
ainda P : (a, b) → R2 deriva´vel com P (t) = (x(t), y(t)) ∈ D para todo t ∈ (a, b). Enta˜o a
composta (f ◦ P )(t) e´ deriva´vel e
d
dt
(f ◦ P )(t) = fx(P (t))x′(t) + fy(P (t))y′(t)
Em termos das coordenadas de P (t) = (x(t), y(t)), a regra da cadeia escreve-se como
d
dt
f(x(t), y(t)) = fx(x(t), y(t))x
′(t) + fy(x(t), y(t))y
′(t)
e uma boa maneira de lembrar desta regra e´ escreve-la, muito abreviadamente, na forma
d
dt
f = fx
dx
dt
+ fy
dy
dt
Exemplo 2. Determine os valores mı´nimo e ma´ximo da func¸a˜o f(x, y) = x2 − xy + y2 ao
longo do c´ırculo C de equac¸a˜o x2 + y2 = 1.
Soluc¸a˜o. A figura ao lado ilustra o gra´fico da func¸a˜o f , o c´ırculo
C no plano Oxy e a restric¸a˜o de f ao longo desse c´ırculo. Da
figura percebe-se que a restric¸a˜o da func¸a˜o ao c´ırculo possui dois
pontos de mı´nimo e dois pontos de ma´ximo.
Para determinar esses pontos, o primeiro passo e´ notar que
o c´ırculo pode ser parametrizado por P (t) = (cos(t), sen(t)),
com t ∈ [0, 2pi], e o valor da func¸a˜o no ponto P (t) e´ dado pela
composta (f ◦ P )(t) = f(P (t)).
Para derivar essa composta, calcula-se primeiro as derivadas parciais fx(x, y) = 2x− y e
fy(x, y) = −x+ 2y. Enta˜o, da regra da cadeia segue-se que
d
dt
(f ◦ P )(t) = fx(P (t))x′(t) + fy(P (t))y′(t)
= (2 cos(t)− sen(t))(− sen(t)) + (− cos(t) + 2 sen(t)) cos(t)
= sen2(t)− cos2(t)
Ca´lculo III Notas da Aula 09 3/6
Da´ı segue-se que os pontos cr´ıticos da composta sa˜o aqueles para os quais
sen(t) = ± cos(t), isto e´, t = pi/4 + kpi/2 com k = 0, 1, 2, 3. Calculando a func¸a˜o com-
posta nesses pontos cr´ıticos obte´m-se
f(P (pi/4)) = f(P (pi/4 + pi)) = 1/2 e f(P (pi/4 + pi/2)) = f(P (pi/4 + 3pi/2)) = 3/2.
Daqui segue-se que o valor mı´nimo da composta e´ 1/2 e o ma´ximo e´ 3/2. �
A rigor, nem seria necessa´rio a regra da cadeia nesse exemplo, uma vez que a expressa˜o da
composta e´ f(P (t)) = 1−cos(t) sen(t), e essa func¸a˜o pode ser derivada sem muita cerimoˆnia.
No entanto, como indicado a seguir, a regra da cadeia tem uma interpretac¸a˜o geome´trica
que faz dela um importante instrumento de investigac¸a˜o teo´rica.
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Para a interpretac¸a˜o geome´trica o primeiro passo e´ dar um nome para o vetor formado
pelas derivadas parciais. Ele e´ conhecido como o vetor gradiente de f , e denotado por
∇f(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)).
Com essa notac¸a˜o, a derivada da composta
d
dt
(f ◦ P )(t) = fx(P (t))x′(t) + fy(P (t))y′(t)
pode ser vista como o produto escalar entre o vetor gradiente∇f(P (t)) = (fx(P (t)), fy(P (t)))
e o vetor velocidade P ′(t) = (x′(t), y′(t)). De fato, a regra da cadeia escreve-se como
d
dt
(f ◦ P )(t) = 〈(fx(P (t)), fy(P (t))), (x′(t), y′(t))〉
= 〈∇f(P (t)), P ′(t)〉
em que o produto escalar que aparece no lado direito tem interpretac¸o˜es geome´tricas impor-tantes. Veja como uma dessas interpretac¸o˜es e´ usada no pro´ximo exemplo.
Exemplo 3. Resolver o Exemplo 2 usando a interpretac¸a˜o geome´trica da regra da cadeia.
Soluc¸a˜o. Ja´ foi calculado o gradiente da func¸a˜o f(x, y) = x2 − xy + y2, que e´ dado por
∇f(x, y) = (2x − y,−x + 2y). Ale´m disso, se (x, y) e´ um ponto do c´ırculo C de equac¸a˜o
x2+y2 = 1, enta˜o o vetor tangente a C neste ponto tem a direc¸a˜o do vetor ortogonal (y,−x).
Feitas essas observac¸o˜es, procede-se como no Exemplo 2, procurando pontos cr´ıticos da
composta (f◦P )(t), onde P (t) e´ uma parametrizac¸a˜o de C. Ora! Da interpretac¸a˜o geome´trica
da regra da cadeia, em um ponto cr´ıtico t desta composta deve-se ter que
0 =
d
dt
(f ◦ P )(t) = 〈∇f(P (t)), P ′(t))〉
onde P ′(t)) e´ tangente ao c´ırculo no ponto P (t). Da´ı segue-se
que ∇f(P (t)) e´ ortogonal ao c´ırculo no ponto P (t). Assim,
geometricamente falando, os pontos cr´ıticos da restric¸a˜o sa˜o
aqueles para os quais o gradiente ∇f e´ ortogonal ao c´ırculo,
e essa condic¸a˜o geome´trica pode ser verificada mesmo sem
a parametrizac¸a˜o P (t)! Veja a figura ao lado, que ilustra o
c´ırculo juntamente com alguns vetores gradiente.
Basta enta˜o procurar os pontos (x, y) ∈ C para os quais o gradiente ∇f(x, y) e´ ortogonal
ao vetor tangente ao c´ırculo. Como o tangente tem a direc¸a˜o do vetor (y,−x), basta procurar
Ca´lculo III Notas da Aula 09 4/6
os ponto (x, y) ∈ C para os quais ∇f(x, y) e´ ortogonal a (y,−x). Calculando, obte´m-se que
essa condic¸a˜o e´ equivalente a
0 = 〈∇f(x, y), (y,−x)〉 = 〈(2x− y,−x+ 2y), (y,−x)〉 = x2 − y2
Assim, os pontos cr´ıticos da restric¸a˜o sa˜o as intersec¸o˜es das retas y2 = x2 com o c´ırculo,
intersec¸o˜es que sa˜o os pontos (a, a), (a,−a), (−a, a) e (−a,−a), onde a = √2/2. Finalmente,
calculando a func¸a˜o nesses pontos chega-se ao mesmo resultado do Exemplo 2. �
Gradiente e Curva de Nı´vel
Outra consequeˆncia da regra da cadeia e´ uma interessante relac¸a˜o entre o gradiente e as
curvas de n´ıvel, como ilustra o pro´ximo exemplo.
Exemplo 4. Seja C1 a curva de n´ıvel, no n´ıvel 1, da func¸a˜o f(x, y) = y
2 − x2. Determine
a equac¸a˜o da reta L que e´ tangente a C1 no ponto P0 = (2,
√
5) ∈ C1.
2
√
5
C1 L
Soluc¸a˜o. Um ponto (x, y) ∈ C1 se, e somente se,
f(x, y) = y2 − x2 = 1. Isolando y nessa igualdade obte´m-se
que |y| = √1 + x2. Escolhendo x(t) = t e y(t) = √1 + t2 obte´m-
se uma parametrizac¸a˜o P (t) = (x(t), y(t)) da parte de cima da
curva C1. De fato, ao longo de P (t) tem-se que
f(P (t)) = f(t,
√
1 + t2) = (
√
1 + t2)2 − t2 = 1
Ale´m disso, no ponto t = 2 tem-se que P (2) = (2,
√
5) = P0 e´ o
ponto no qual se quer calcular a equac¸a˜o da reta tangente L.
Ora! Como f(P (t)) = 1 para todo t, segue-se que
0 =
d
dt
f(P (t)) = 〈∇f(P (t)), P ′(t)〉
e portanto o gradiente∇f(P (t)) e´ ortogonal ao vetor velocidade P ′(t). Como P ′(t) e´ tangente
a C1 no ponto P (t), segue-se que ∇f(P (t)) e´ ortogonal a C1 no ponto P (t).
Em particular, ∇f(P (2)) = ∇f(P0) e´ ortogonal a C1 no
ponto P0. A partir do vetor ortogonal, segue-se que um ponto
P = (x, y) esta´ na reta tangente L se, e somente se (ver figura)
0 = 〈∇f(P0), P − P0〉
De forma mais expl´ıcita, como f(x, y) = y2 − x2, o gradiente
dessa func¸a˜o e´ o vetor ∇f(x, y) = (−2x, 2y). Assim, em ter-
mos das coordenadas do ponto P0 = (2,
√
5), o vetor ortogonal e´
∇f(P0) = (−4, 2
√
5) e a equac¸a˜o da reta L e´
P0
P
∇f(P0)
0 = 〈(−4, 2
√
5), (x− 2, y −
√
5)〉 = −4x+ 2
√
5y − 2
Equivalentemente, a equac¸a˜o e´
√
5y − 2x = 1. �
Essa propriedade, de que o gradiente e´ ortogonal a`s curvas de n´ıvel, vale em geral, e e´
mais uma consequeˆncia importante da regra da cadeia. De fato, dada uma func¸a˜o diferen-
cia´vel f : D → R, o conjunto Ck = {(x, y) ∈ D; f(x, y) = k} e´ a curva de n´ıvel de f no
n´ıvel k. Logo, se P (t) = (x(t), y(t)) e´ uma parametrizac¸a˜o de Ck, com t ∈ (a, b), enta˜o
f(P (t)) = f(x(t), y(t)) = k para todo t ∈ (a, b), e da regra da cadeia segue-se que
0 =
d
dt
f(P (t)) = 〈∇f(P (t)), P ′(t)〉.
Ca´lculo III Notas da Aula 09 5/6
P
f(P )
∇f(P )
Assim, ∇f(P (t)) e´ ortogonal a P ′(t) para todo t∈(a, b).
Como P ′(t) e´ tangente a` curva Ck no ponto P (t), segue-
se que ∇f(P (t)) e´ ortogonal a Ck no ponto P (t).
Abreviadamente diz-se que o gradiente ∇f e´ orto-
gonal a` curva de n´ıvel Ck, entendendo que a ortogona-
lidade se verifica em cada ponto da curva.
Exemplo 5. Esboce alguns vetores do campo magne´tico
B = ∇f associado ao potencial f(x, y) = arctan(x/y)
definido no domı´nio D = {(x, y) ∈ R2; y > 0}.
Soluc¸a˜o. O primeiro fato a notar e´ que as curvas de
n´ıvel do potencial sa˜o semi-retas pela origem, uma vez
que essas curvas sa˜o dadas por
Ck = {(x, y) ∈ D; f(x, y) = k} = {(x, y) ∈ D; x/y = tan(k)}
Por exemplo, as curvas C±pi/4 sa˜o as semi-retas x = ±y
com y > 0, que esta˜o ilustradas na figura ao lado. Ora! O
campo B = ∇f e´ ortogonal a`s curvas de n´ıvel, e da´ı ja´ se
tem a direc¸a˜o deste campo. Para saber o sentido deve-se
olhar o sinal das coordenadas. Enta˜o, calculando, na˜o e´
dif´ıcil ver que o campo e´ dado por
Cpi/4C−pi/4
B(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) = (
y
x2 + y2
,
−x
x2 + y2
)
Da´ı segue-se que, no primeiro quadrante, a primeira
coordenada e´ positiva, enquanto que a segunda e´ nega-
tiva. Ja´ no segundo quadrante as duas coordenadas sa˜o
positivas. Logo, o campo deve ser como o ilustrado na
figura acima. A figura ao lado ilustra va´rias curvas de
n´ıvel juntamente com mais alguns vetores do campo. �
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