C3 UnB cal3na a13 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 13
Multiplicadores de Lagrange.
Problema: determinar o mı´nimo ou o ma´ximo de uma func¸a˜o f(x, y, z) quando as varia´veis
(x, y, z) esta˜o sujeitas a um v´ınculo g(x, y, z) = c.
Exemplo 1 Encontrar o ponto da curva xy = 3 que esta´ mais
perto da origem. De outra forma, minimizar o quadrado da
distaˆncia f(x, y) = x2 + y2 sujeito ao v´ınculo g(x, y) = xy = 3.
Soluc¸a˜o: Observe na figura ao lado que, no ponto de mı´nimo,
as curvas de n´ıvel de f e g sa˜o tangentes, e portanto os vetores
normais ∇f e ∇g sa˜o paralelos.
Da´ı segue-se que existe um multiplicador λ tal que ∇f = λ∇g. Dessa forma, o prob-
lema de determinar o mı´nimo/ma´ximo com v´ınculo em duas varia´veis fica substitu´ıdo pelas
equac¸o˜es envolvendo as varia´veis x, y e λ:
fx = λgx
fy = λgy
g = c
isto e´,

2x = λy
2y = λx
xy = 3
Em geral, resolver esse sistema pode ser dif´ıcil, ou mesmo ser necessa´rio um computador. Mas
aqui o sitema e´ simple; da a´lgebra linear, o sitema
{
2x− λy = 0
−λx+ 2λy = 0 implica em soluc¸a˜o
nula x = y = 0 (imposs´ıvel, desde que xy = 3), ou det = 4−λ2 = 0. Assim, λ = ±2. Na˜o ha´
soluc¸a˜o para λ = −2, enquanto λ = 2 fornece as soluc¸o˜es (√3,√3) e (−√3,−√3) (verifique
na figura acima que ∇f = 2∇g no ponto de mı´nimo). �
Porque o me´todo funciona: em um problema de
mı´nino/ma´ximo com v´ınculo, mover em qualquer di-
rec¸a˜o ao longo da superf´ıcie de n´ıvel g = c deve resultar
em df/ds = 0. Enta˜o, para qualquer uˆ tangente ao n´ıvel
g = c, deve-se ter df
ds |uˆ = ∇f · uˆ = 0, isto e´, uˆ⊥∇f .
Portanto ∇f e´ normal ao n´ıvel g = c, da mesma
forma que ∇g tambe´m e´, e consequentemente os vetores
gradientes sa˜o paralelos.
Atenc¸a˜o: o me´todo na˜o nos diz se temos um mı´nimo ou um ma´ximo, e o teste da se-
gunda derivada na˜o se aplica em problemas com v´ınclulos. Essa questa˜o deve ser respondida
utilizando argumentos geome´tricos ou por comparac¸a˜o de valores de f .
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 5 Summary
2
Exemplo 2 (avanc¸ado) Entre as piraˆmides de base triangu-
lar dada e volume V fixo, determinar aquela cuja superf´ıcie
lateral tem a´rea mı´nima.
Soluc¸a˜o: Como V = 1
3
Abaseh, a a´rea da base e´ dada e o
volume e´ fixo, enta˜o a altura h e´ tambe´m fixa. Assim, o ve´rtice
do topo da piraˆmide move-se no plano z = h.
Podemos abordar o problema introduzindo as coordenadas dos ve´rtices da base P1, P2 e
P3 e do ve´rtice do topo P = (x, y, h), como ilustrado acima. Em seguida, usar que as a´reas
das faces sa˜o dadas por 1
2
|−−→PP1 × −−→PP2|, etc. Nessa abordagem, os ca´lculos para resolver o
problema sa˜o muito dif´ıceis.
Outra abordagem e´ usar varia´veis adaptadas a` geometria da situac¸a˜o. Por exemplo,
indique por a1, a2 e a3 os comprimentos dos lados do triaˆngulo da base; indique ainda por
Pb a projec¸a˜o do ve´rtice do topo P sobre o plano xy e por u1, u2, e u3 as distaˆncias de Pb
aos lados do triaˆngulo da base.
Com essa notac¸a˜o, decompondo o triaˆngulo da base em 3 triaˆngulos menores com alturas
ui, obte´m-se o v´ınculo g(u1, u2, u3) =
1
2
a1u1 +
1
2
a2u2 +
1
2
a2u2 = Abase.
Ale´m disso, usando o teorema de Pita´gora, cada face da piraˆmide e´ um triaˆngulo com
base de comprimento ai e altura
√
u2i + h
2, e portanto de a´rea 1
2
ai
√
u2i + h
2 .
Basta agora minimizar a a´rea total f(u1, u2, u3) =
3∑
i=1
1
2
ai
√
u2i + h
2 sujeita ao v´ınculo
g(u1, u2, u3) = Abase.
Usando o me´todo dos multiplicadores de Lagrange, com ∇f = λ∇g, obte´m-se
ai
2
ui√
u2i + h
2
= λ
ai
2
, i = 1, 2, 3.
Da´ı segue-se que
ui√
u2i + h
2
= λ para i = 1, 2, 3,
e portanto u1 = u2 = u3.
A conclusa˜o e´ que, para a piraˆmide de a´rea
mı´nima, o ve´tice P do topo deve ter a sua projec¸a˜o
Pb no plano xy coincidindo com o incentro (centro
da circunfereˆncia inscrita) do triaˆngulo da base. �