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Func¸o˜es de Valores Reais∗
– Parte I –
George Cain & James Herod
Georgia Institute of Technology (Gatech)
1 Introduc¸a˜o
Voltaremos agora nossas atenc¸o˜es para o caso muito especial de fun-
c¸o˜es que teˆm valores reais ou escalares. Algumas vezes elas sa˜o chama-
das de campos escalares. No caso particular, mas importante, em que a
dimensa˜o do domı´nio e´ dois, podemos de fato observar o gra´fico da fun-
c¸a˜o. Especificamente, no caso em que f : R2 → R, a colec¸a˜o de pontos
S = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : f(x1, x2) = x3} e´ chamado o gra´fico de f . Se
f e´ uma func¸a˜o razoavelmente boa, enta˜o S e´ o que chamamos de uma
superf´ıcie. Veremos mais sobre isso depois. Voltemos agora ao caso mais
geral de uma func¸a˜o f : Rn → R. A derivada de f e´ um vetor linha
f ′(x) =
(
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
)
. E´ frequentemente chamada de gradiente
da f e e´ denotado por grad f ou ∇f .
2 A derivada direcional
Nas aplicac¸o˜es de campos escalares e´ interessante falar sobre taxa de va-
riac¸a˜o de uma func¸a˜o numa direc¸a˜o espec´ıfica. Suponha, por exemplo, que
a func¸a˜o T (x, y, z) deˆ a temperatura nos pontos (x, y, z) do espac¸o e deseje-
mos saber o quanto a temperatura varia se nos movemos numa determinada
direc¸a˜o. Sejam f : Rn → R, a ∈ Rn e seja u ∈ Rn um vetor tal que ||u|| = 1.
Enta˜o a derivada direcional de f em a, na direc¸a˜o do vetor u e´ definida como
sendo
Duf(a) =
d
dt
f(a+ tu)
∣∣∣
t=0
.
∗Traduc¸a˜o livre, por Mayra Madeira, do texto f : Rn → R
1
3. Normais a`s Superf´ıcies 2
Agora que temos pra´tica com a Regra da Cadeia, sabemos como calcular
essa derivada. E´ simplesmente
Duf(a) =
d
dt
f(a+ tu)
∣∣∣
t=0
= 〈∇f(a), u〉
Exemplo 1 A superf´ıcie de uma montanha e´ o gra´fico de f(x, y) = 700 −
x2 − 5y2. Em outras palavras, no ponto (x, y), a altura e´ f(x, y). O eixo y
positivo aponta para o Norte e, claro, o eixo x positivo aponta para o Leste.
Voceˆ esta´ em um lado da montanha, sobre o ponto (2, 4), e comec¸a a caminhar
para o Sudeste. Qual a inclinac¸a˜o do percurso no ponto inicial? Voceˆ esta
subindo ou descendo?
Soluc¸a˜o. A resposta para essas questo˜es requerem a derivada direcional.
Sabemos que estamos no ponto a = (2, 4), mas precisamos de um vetor
unita´rio na direc¸a˜o que estamos andando. Claro, esse vetor e´ u =
1√
2
(1,−1).
Em seguida calculamos o gradiente ∇f(x, y) = (−2x,−10y). Aplicando
no ponto a temos ∇f(2, 4) = (−2,−40), e por u´ltimo temos 〈∇f(a), u〉 =
(−2 + 40)/√2 = 38/√2. Isto nos da´ a inclinac¸a˜o do caminho; e´ positiva, e
portanto estamos subindo. Voceˆ pode dizer em qual direc¸a˜o devemos seguir
para manter o mesmo n´ıvel do ponto a? �
Exemplo 2 A temperatura no espac¸o e´ dada por T (x, y, z) = x2y + yz3.
Partindo do ponto (1, 1, 1), em que direc¸a˜o a temperatura aumenta mais ra-
pidamente?
Soluc¸a˜o. Claramente precisamos saber em qual direc¸a˜o a derivada direcional
e´ ma´xima. A derivada direcional e´ simplesmente 〈∇T, u〉 = ||∇T || cos θ, onde
θ e´ o aˆngulo entre ∇T e u. E´ claro que esse valor sera´ ma´ximo se θ = 0.
Enta˜o T aumenta mais rapidamente na direc¸a˜o do gradiente de T . Neste
caso, essa direc¸a˜o e´ (2xy, x2 + z3, 3yz2). Em (1, 1, 1) essa direc¸a˜o e´ (2, 2, 3).
�
3 Normais a`s Superf´ıcies
Seja fR3 → R uma func¸a˜o e c uma constante. Relembre que o conjunto
S = {(x, y, z) ∈ R3 : f(x, y, z) = c} e´ dito conjunto ou superf´ıcie de n´ıvel da
func¸a˜o f . Suponha que r(t) = (x(t), y(t), z(t)) descreva uma curva em R3 que
3. Normais a`s Superf´ıcies 3
esta´ contida na superf´ıcie S. Isto significa que f(r(t)) = f(x(t), y(t), z(t)) =
c. Agora olhe para a derivada com respeito a` t dessa expressa˜o:
d
dt
f(r(t)) = 〈∇f(r(t)), r′(t)〉 = 0
Em outras palavras, o gradiente da f e a tangente a` curva sa˜o perpendi-
culares. Perceba que na˜o ha´ nada de especial na nossa escolha de r(t); e´
qualquer curva contida na superf´ıcie. O gradiente ∇f e´ assim perpendicular,
ou normal a` superf´ıcie f(x, y, z) = c
Exemplo 3 Suponha que queremos encontrar a equac¸a˜o do plano tangente
a` superf´ıcie
x2 + 3y2 + 2z2 = 12
no ponto (1,−1, 2).
Soluc¸a˜o. Para uma equac¸a˜o do plano, precisamos de um ponto a no plano
e um vetor N normal ao plano. Enta˜o a equac¸a˜o do plano e´ simplesmente
〈N,X − a〉 = 0 (1)
onde X = (x, y, z). No caso em questa˜o, ja´ temos o ponto a = (1,−1, 2) do
plano, e acabamos de ver que o gradiente da func¸a˜o f(x, y, z) = x2+3y2+2z2
e´ normal a` superf´ıcie. Como
∇f(x, y, z) = (2x, 6y, 4z)
segue-se que N = ∇f(1,−1, 2) = (2,−6, 8). O plano tangente e´ enta˜o obtido
com (1), que nesse caso e´
2(x− 1)− 6(y + 1) + 8(z − 2) = 0
�
Observe que a discussa˜o aqui na˜o depende da dimensa˜o do domı´nio. As-
sim se f : R2 → R, enta˜o o conjunto {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = c} e´ uma curva
de n´ıvel , e o gradiente de f e´ normal a` essa curva.
Combinando esses resultados com aqueles que conhecemos sobre derivada
direcional vemos que, a partir de um dado ponto, o valor da func¸a˜o aumenta
mais rapidamente na direc¸a˜o normal ao conjunto de n´ıvel passando pelo ponto
dado. Em um mapa com as curvas de n´ıvel de uma regia˜o da superf´ıcie da
Terra, por exemplo, os percursos mais ı´ngremes sa˜o na direc¸a˜o normal a`s
curvas de n´ıvel.
	1 Introdução
	2 A derivada direcional
	3 Normais às Superfícies