Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017 Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o ao lado do item e justificando a sua resposta. 1) Os alelos A, B e O determinam os tipos sangu¨ineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z sa˜o as proporc¸o˜es dos alelos A, B e O em uma determinada populac¸a˜o, enta˜o a proporc¸a˜o P de indiv´ıduos da populac¸a˜o que possuem dois alelos distintos e´ dada por P = 2(xy + xz + yz). Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como func¸o˜es z = z(x, y) e P = P (x, y) das varia´veis x e y. A figura ilustra o domı´nio D da func¸a˜o P e os segmentos L1, L2 e L3 de modo que ∂D = L1 ∪ L2 ∪ L3. C E a) O domı´nio D intercepta a regia˜o x+ y > 1. C E b) O valor ma´ximo de P sobre o segmento L3 e´ 1/2. C E c) O valor ma´ximo de P sobre o bordo ∂D e´ 3/2. C E d) A func¸a˜o P possui dois pontos cr´ıticos interiores ao domı´nio D. L1 L2 L3 D C E e) As proporc¸o˜es dos alelos A, B e O que maximizam a proporc¸a˜o P de indiv´ıduos com dois alelos distintos sa˜o x = 1/3, y = 1/3 e z = 1/3. 2) Considere o problema de determinar o paralelep´ıpedo de maior volume que pode ser inscrito no elipsoide E de equac¸a˜o x 2 a2 + y 2 b2 + z 2 c2 = 1, onde a, b e c sa˜o constantes positivas. Para isso, considere o domı´nio plano D = {(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0 e x 2 a2 + y 2 b2 ≤ 1}. x y z a) Para cada (x, y) ∈ D, determine z = z(x, y) ≥ 0 de forma que o paralelep´ıpedo retaˆngulo de lados 2x, 2y e 2z esteja inscrito no elipso´ide E . Resposta: z = c √ 1− x 2 a2 − y 2 b2 b) Defina agora a func¸a˜o V : D → R que fornece o volume do paralelep´ıpedo acima. Resposta: V (x, y) = 8cxy √ 1− x 2 a2 − y 2 b2 c) Justifique a afirmac¸a˜o de que o ma´ximo de V e´ assumido no interior de D, e portanto e´ um ponto cr´ıtico. Resposta: V (x, y) ≥ 0 e V se anula sobre o bordo ∂D d) Calcule os pontos cr´ıticos de V . Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico e´ ( a√ 3 , b√ 3 ) e) Usando os itens anteriores, determine os lados do paralelep´ıpedo de maior volume que pode ser inscrito no elipsoide, justificando a sua resposta. Resposta: u´nico ponto cr´ıtico ⇒ ponto de ma´ximo; os lados sa˜o a√ 3 , b√ 3 e c√ 3 Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017 – 1/2 3) Considere a situac¸a˜o em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a L m. A figura abaixo ilustra uma sec¸a˜o transversal da calha, que e´ sime´trica e com treˆs lados retos. Observe que a a´rea A da sec¸a˜o transversal e´ uma func¸a˜o A = A(s, θ) das medidas s e θ indicadas na figura, e o domı´nio dessa func¸a˜o e´ o conjunto D = [0, L/2]× [0, pi/2]. Como a vaza˜o e´ proporcional a` a´rea da sec¸a˜o transversal, o problema consiste em escolher os valores de s e θ que maximizam esta a´rea. a) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o A(s, θ). Resposta: A(s, θ) = s sen(θ)(s cos(θ) + L− 2s). b) Esboce o bordo ∂D do domı´nio D. Resposta: ver figura abaixo. L− 2s ss θθ L/2 pi/2 c) Determine o valor ma´ximo de A(s, θ) sobre o bordo ∂D. Resposta: A(s, θ) ≤ A(L/2, pi/4) = L2/8. d) Calcule os pontos cr´ıticos de A(s, θ) que sa˜o interiores a D. Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico e´ (L/3, pi/3). e) Determine agora os valores de s e θ que maximizam a a´rea da sec¸a˜o transversal. Resposta: s = L/3 e θ = pi/3. 4) Considere um tronco de a´rvore de sec¸a˜o transversal el´ıtica de semi-eixos a e b. Introduzindo o sistema Oxy como na figura, considere o problema de determinar as dimenso˜es da viga de maior resisteˆncia que pode ser extra´ıda do tronco, onde a resisteˆncia e´ proporcional a` largura l = 2x e ao quadrado da altura h = 2y da viga. Para as func¸o˜es f(x, y) = k(2x)(2y)2 e g(x, y) = x 2 a2 + y 2 b2 , definidas no domı´nioD = {(x, y); x ≥ 0 e y ≥ 0}, o problema corresponde a determinar o ma´ximo da restric¸a˜o f ∣∣ C , onde C e´ a curva de n´ıvel de g no n´ıvel 1. a b x y l h a) Justifique a afirmac¸a˜o de que f ∣∣ C possui pontos de ma´ximo e de mı´nimo absolutos. Resposta: C e´ fechado e limitado e f e´ cont´ınua b) Calcule os gradientes ∇f(x, y) e ∇g(x, y). Resposta: ∇f(x, y) = (8ky2, 16kxy) e ∇g(x, y) = (2x/a2, 2y/b2) c) Obtenha o sistema que fornece os pontos cr´ıticos de f ∣∣ C . Resposta: 8ky2 = λ2x/a2 16kxy = λ2y/b2 x2 a2 + y 2 b2 = 1 d) Verifique se f ∣∣ C possui pontos cr´ıticos. Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico e´ (x0, y0) = ( √ 1 3 a, √ 2 3 b) e) Obtenha as dimenso˜es da viga de maior resisteˆncia, justificando a sua resposta. Resposta: f(a, 0) = f(0, b) = 0 e f(x0, y0) > 0 ⇒ (x0, y0) e´ ma´ximo absoluto ⇒ as dimenso˜es da viga de maior resisteˆncia sa˜o l = 2x0 e h = 2y0 Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017 – 2/2
Compartilhar