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C3 UnB Lista 4 Gabarito

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Os alelos A, B e O determinam os tipos sangu¨ineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O
(OO) e AB. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z sa˜o as proporc¸o˜es dos alelos A, B
e O em uma determinada populac¸a˜o, enta˜o a proporc¸a˜o P de indiv´ıduos da populac¸a˜o que
possuem dois alelos distintos e´ dada por
P = 2(xy + xz + yz).
Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como func¸o˜es
z = z(x, y) e P = P (x, y) das varia´veis x e y. A figura ilustra o domı´nio D da func¸a˜o P e os
segmentos L1, L2 e L3 de modo que ∂D = L1 ∪ L2 ∪ L3.
C E a) O domı´nio D intercepta a regia˜o x+ y > 1.
C E b) O valor ma´ximo de P sobre o segmento L3 e´ 1/2.
C E c) O valor ma´ximo de P sobre o bordo ∂D e´ 3/2.
C E d) A func¸a˜o P possui dois pontos cr´ıticos interiores ao
domı´nio D.
L1
L2
L3
D
C E e) As proporc¸o˜es dos alelos A, B e O que maximizam a proporc¸a˜o P de indiv´ıduos
com dois alelos distintos sa˜o x = 1/3, y = 1/3 e z = 1/3.
2) Considere o problema de determinar o paralelep´ıpedo de maior volume que pode ser
inscrito no elipsoide E de equac¸a˜o x
2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1, onde a, b e c sa˜o constantes positivas.
Para isso, considere o domı´nio plano D = {(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0 e x
2
a2
+ y
2
b2
≤ 1}.
x
y
z
a) Para cada (x, y) ∈ D, determine z = z(x, y) ≥ 0 de forma
que o paralelep´ıpedo retaˆngulo de lados 2x, 2y e 2z esteja
inscrito no elipso´ide E .
Resposta: z = c
√
1− x
2
a2
− y
2
b2
b) Defina agora a func¸a˜o V : D → R que fornece o volume do
paralelep´ıpedo acima.
Resposta: V (x, y) = 8cxy
√
1− x
2
a2
− y
2
b2
c) Justifique a afirmac¸a˜o de que o ma´ximo de V e´ assumido no interior de D, e portanto
e´ um ponto cr´ıtico.
Resposta: V (x, y) ≥ 0 e V se anula sobre o bordo ∂D
d) Calcule os pontos cr´ıticos de V .
Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico e´ ( a√
3
, b√
3
)
e) Usando os itens anteriores, determine os lados do paralelep´ıpedo de maior volume que
pode ser inscrito no elipsoide, justificando a sua resposta.
Resposta: u´nico ponto cr´ıtico ⇒ ponto de ma´ximo; os lados sa˜o a√
3
, b√
3
e c√
3
Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017 – 1/2
3) Considere a situac¸a˜o em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de
metal de largura igual a L m. A figura abaixo ilustra uma sec¸a˜o transversal da calha, que
e´ sime´trica e com treˆs lados retos. Observe que a a´rea A da sec¸a˜o transversal e´ uma func¸a˜o
A = A(s, θ) das medidas s e θ indicadas na figura, e o domı´nio dessa func¸a˜o e´ o conjunto
D = [0, L/2]× [0, pi/2]. Como a vaza˜o e´ proporcional a` a´rea da sec¸a˜o transversal, o problema
consiste em escolher os valores de s e θ que maximizam esta a´rea.
a) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o A(s, θ).
Resposta: A(s, θ) = s sen(θ)(s cos(θ) + L− 2s).
b) Esboce o bordo ∂D do domı´nio D.
Resposta: ver figura abaixo. L− 2s
ss
θθ
L/2
pi/2
c) Determine o valor ma´ximo de A(s, θ) sobre o bordo ∂D.
Resposta: A(s, θ) ≤ A(L/2, pi/4) = L2/8.
d) Calcule os pontos cr´ıticos de A(s, θ) que sa˜o interiores a D.
Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico e´ (L/3, pi/3).
e) Determine agora os valores de s e θ que maximizam a a´rea da sec¸a˜o transversal.
Resposta: s = L/3 e θ = pi/3.
4) Considere um tronco de a´rvore de sec¸a˜o transversal el´ıtica de semi-eixos a e b. Introduzindo
o sistema Oxy como na figura, considere o problema de determinar as dimenso˜es da viga de
maior resisteˆncia que pode ser extra´ıda do tronco, onde a resisteˆncia e´ proporcional a` largura
l = 2x e ao quadrado da altura h = 2y da viga. Para as func¸o˜es f(x, y) = k(2x)(2y)2 e
g(x, y) = x
2
a2
+ y
2
b2
, definidas no domı´nioD = {(x, y); x ≥ 0 e y ≥ 0}, o problema corresponde
a determinar o ma´ximo da restric¸a˜o f
∣∣
C
, onde C e´ a curva de n´ıvel de g no n´ıvel 1.
a
b
x
y
l
h
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que f
∣∣
C
possui pontos de ma´ximo
e de mı´nimo absolutos.
Resposta: C e´ fechado e limitado e f e´ cont´ınua
b) Calcule os gradientes ∇f(x, y) e ∇g(x, y).
Resposta: ∇f(x, y) = (8ky2, 16kxy) e ∇g(x, y) = (2x/a2, 2y/b2)
c) Obtenha o sistema que fornece os pontos cr´ıticos de f
∣∣
C
.
Resposta:


8ky2 = λ2x/a2
16kxy = λ2y/b2
x2
a2
+ y
2
b2
= 1
d) Verifique se f
∣∣
C
possui pontos cr´ıticos.
Resposta: o u´nico ponto cr´ıtico e´ (x0, y0) = (
√
1
3
a,
√
2
3
b)
e) Obtenha as dimenso˜es da viga de maior resisteˆncia, justificando a sua resposta.
Resposta: f(a, 0) = f(0, b) = 0 e f(x0, y0) > 0 ⇒ (x0, y0) e´ ma´ximo absoluto ⇒ as dimenso˜es da
viga de maior resisteˆncia sa˜o l = 2x0 e h = 2y0
Ca´lculo III Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 4 2.o/2017 – 2/2

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