Teleinformática e Redes 1 - Cálculos para Retificação de Onda

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Cálculos para Reti�cação de Onda
Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa
10 de agosto de 2011
Resumo
Este documento objetiva fornecer um material documentado das equações envolvidas
na determinação de tensões DC, RMS, fator de ondulação de �ripple� usadas ao longo da
disciplinas de Eletrônica.
1 Cálculo de valor DC de sinais
O nível DC, ou nível CC, corresponde ao valor médio do sinal - f(t) - em um intervalo de tempo
in�nito (T →∞). Como nossos sinais geralmente serão periódicos, T é �nito e corresponde ao
inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos:
V
dc
=
1
T
∫ T
0
f(t)dt (1)
Como sabemos, qualquer sinal pode ser decomposto em uma parcela constante (nível DC) e
outra parcela que oscila (nível AC). Nesta decomposição, oriunda da Teoria e Séries de Fourier,
notaremos que a média obtida por pela Eq. 1 gera o nível constante do sinal.
1.1 Exemplos
1.1.1 Sinal senoidal
Considere o sinal
f(t) = Vm sen(ωt)
onde ω = 2pi/T é a freqüência - em radianos - do sinal f(t) e Vm é o valor máximo do sinal
f(t). Naturalmente sua média, intuitivamente, é zero. Usando a Eq. 1, temos:
V
dc
=
1
T
∫ T
0
f(t)dt
=
ω
2pi
{∫ 2pi/ω
0
Vm sen(ωt)dt
}
=
Vm
2pi
{
[− cos(ωt)]2pi/ω0
}
= 0
1
1.1.2 Reti�cação de sinal senoidal em meia onda
O sinal a ser reti�cado em meia onda é f(t) = Vm sen(ωt), com ω = 2pi/T , T é o período
fundamental do sinal e Vm é o valor máximo do sinal f(t). Aplicando a Eq. 1, temos:
V
dc
=
1
T
∫ T
0
f(t)dt
=
ω
2pi
{∫ pi/ω
0
Vm sen(ωt)dt
}
=
ω
2pi
{
[− cos(ωt)]pi/ω0
}
=
1
pi
Vm
= 0,318Vm
1.1.3 Reti�cação de sinal senoidal em onda completa
O sinal a ser reti�cado em onda completa é f(t) = Vm sen(ωt), com ω = 2pi/T , T é o período
fundamental do sinal e Vm é o valor máximo do sinal f(t). Aplicando a Eq. 1, temos:
V
dc
=
1
T
∫ T
0
f(t)dt
=
ω
2pi
{∫ pi/ω
0
Vm sen(ωt)dt−
∫ 2pi/ω
pi/ω
Vm sen(ωt)dt
}
=
ω
2pi
{
[− cos(ωt)]pi/ω0 − [− cos(ωt)]2pi/ωpi/ω
}
=
2
pi
Vm
= 0,636Vm
1.1.4 Onda quadrada
Este sinal é de�nido por:
f(t) =
{
1, 0 ≤ t ≤ T2
0, T2 ≤ t ≤ T
Aplicando a Eq. 1, temos:
V
dc
=
1
T
∫ T
0
f(t)dt
=
1
T
∫ T/2
0
Vmdt
=
1
2
Vm
2 Cálculo de valor RMS de sinais
O valor e�caz, ou valor RMS, corresponde ao valor médio quadrático do sinal - f(t) - em um
intervalo de tempo in�nito (T →∞). Como esses sinais geralmente são periódicos, T é �nito e
corresponde ao inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos:
2
V
rms
=
1
T
∫ T
0
f2(t)dt (2)
O valor e�caz pode ser visto como a energia do sinal. Note que f(t) pode conter nível DC
e AC. Geralmente aplicamos a Eq. 2 em sinais sem nível DC, ou seja, estamos interessados em
quanti�car em um único número um sinal contendo apenas componentes oscilatórias.
2.1 Exemplos
Considere os sinais já de�nidos na seção anterior
2.1.1 Sinal senoidal
Usando a Eq. 2, temos:
V 2
rms
=
1
T
∫ T
0
f2(t)dt
=
ω
2pi
{∫ 2pi/ω
0
V 2m sen
2(ωt)dt
}
=
1
2
ω
2pi
V 2m
{∫ 2pi/ω
0
dt−
∫ 2pi/ω
0
cos(2ωt)dt
}
=
1
2
ω
2pi
V 2m [t]
2pi/ω
0 −
1
2
ω
2pi
V 2m
[
sen(2ωt)
2ω
]2pi/ω
0
=
V 2m
2
⇒ V
ac
=
Vm√
2
onde sen2(α) = 12 [1− cos(2α)] (das relações trigonométricas).
2.1.2 Reti�cação de sinal senoidal em meia onda
Usando a Eq. 2, temos:
V 2
rms
=
1
T
∫ T
0
f2(t)dt
=
ω
2pi
{∫ pi/ω
0
V 2m sen
2(ωt)dt
}
=
1
2
ω
2pi
V 2m
{∫ pi/ω
0
dt−
∫ pi/ω
0
cos(2ωt)dt
}
=
1
2
ω
2pi
V 2m [t]
pi/ω
0 −
1
2
ω
2pi
V 2m
[
sen(2ωt)
2ω
]pi/ω
0
=
V 2m
4
⇒ V
ac
=
Vm
2
2.1.3 Reti�cação de sinal senoidal em onda completa
Usando a Eq. 2, temos:
3
V 2
rms
=
1
T
∫ T
0
f2(t)dt
=
ω
2pi
{∫ pi/ω
0
V 2m sen
2(ωt)dt+
∫ pi/ω
0
[−V 2m sen2(ωt)]
}
= 2
ω
2pi
{∫ pi/ω
0
V 2m sen
2(ωt)dt
}
=
V 2m
2
⇒ V
ac
=
Vm√
2
Note que o valor RMS do sinal reti�cado é exatamente igual ao valor RMS do sinal não
reti�cado (sinal senoidal). É fácil veri�car isso visualmente, o que simpli�ca os cálculos.
2.1.4 Onda quadrada
Usando a Eq. 2, temos:
V 2
rms
=
1
T
∫ T
0
f2(t)dt
=
1
T
∫ T/2
0
V 2mdt
=
V 2m
2
⇒ V
ac
=
Vm√
2
3 Cálculo de valor RMS na parcela AC de sinais
O valor RMS na parcela AC de sinais consiste em eliminar o nível DC do sinal e determinar o
valor e�caz deste. Para facilitar esse cálculo, considere que:
f(t) = f
ac
(t) + V
dc
(3)
Isso signi�ca que:
f
ac
(t) = f(t)− V
dc
(4)
Calculando o valor e�caz de f
ac
(t) através da Eq. 2 e considerando a de�nição de nível DC
(Eq. 1), temos:
V 2
ac
=
1
T
∫ T
0
f2
ac
(t)dt
=
1
T
∫ T
0
[f(t)− V
dc
]2 dt
=
1
T
∫ T
0
[
f2(t)− 2V
dc
f(t) + V 2
dc
]
dt
=
1
T
∫ T
0
f2(t)dt− 2V
dc
1
T
∫ T
0
f(t)dt+
1
T
V 2
dc
∫ T
0
dt
= V 2
rms
− 2V
dc
V
dc
+ V 2
dc
= V 2
rms
− V 2
dc
Logo,
4
V 2
rms
= V 2
ac
+ V 2
dc
(5)
3.1 Exemplos
Considere os sinais já de�nidos na seção anterior
3.1.1 Sinal senoidal
Usando a Eq. 5, temos:
V 2
ac
= V 2
rms
− V 2
dc
=
V 2m
2
⇒ V
ac
=
Vm√
2
3.1.2 Reti�cação de sinal senoidal em meia onda
Usando a Eq. 5, temos:
V 2
ac
= V 2
rms
− V
dc
=
V 2m
4
− V
2
m
pi2
= V 2m
[
1
4
− 1
pi2
]
⇒ V
ac
≈ 0,385Vm
3.1.3 Reti�cação de sinal senoidal em onda completa
Usando a Eq. 5, temos:
V 2
ac
= V 2
rms
− V
dc
=
V 2m
2
− 4
pi2
V 2m = V
2
m
[
1
2
− 4
pi2
]
⇒ V
ac
≈ 0,308Vm
3.1.4 Onda quadrada
Usando a Eq. 5, temos:
V 2
ac
= V 2
rms
− V
dc
=
V 2m
2
− V
2
m
4
⇒ V
ac
=
Vm
2
4 Fator de ondulação
No processo de reti�cação CA-CC, temos interesse de veri�car quando �reti�cado� é o sinal
resultando do processo. Isso permite comparar métodos de reti�cação.
Tal medida é chamada fator de ondulação e é de�nida por:
r =
V
ac
V
dc
× 100% (6)
4.1 Exemplos
Considere os sinais já de�nidos na seção anterior
5
4.1.1 Sinal senoidal
Usando a Eq. 6, temos:
r =
V
ac
V
dc
× 100% =
Vm√
2
0
× 100% =∞
4.1.2 Reti�cação de sinal senoidal em meia onda
Usando a Eq. 6, temos:
r =
V
ac
V
dc
× 100% = 0,385Vm
0,318Vm
× 100% = 121%
4.1.3 Reti�cação de sinal senoidal em onda completa
Usando a Eq. 6, temos:
r =
V
ac
V
dc
× 100% = 0,308Vm
0,636Vm
× 100% = 48%
4.1.4 Onda quadrada
Usando a Eq. 6, temos:
r =
V
ac
V
dc
× 100% = Vm√
2
2
Vm
× 100% = 141%
5 Reti�cação com �ltro capacitivo
Considere a Fig. 1, na qual um trecho do sinal reti�cado em onda completa sem e com �ltro
capacitivo é apresentado. Queremos determinar V
rms-ac
desse sinal, construído a partir de uma
aproximação por sinal triangular. Naturalmente temos:
Figura 1: Sinal reti�cado em onda completa, sem e com �ltro capacitivo
V
dc
= Vm − ∆V
2
(7)
Note que ∆V corresponde à tensão pico-a-pico do sinal reti�cado, enquanto que Vm é o valor
máximo desse sinal.
Considerando o intervalo T2, que é o trecho onde há descarga do capacitor, temos:
Ic =
∆Q
T2
=
∆V C
T2
≈ I
dc
=
∆V C
T2
(8)
6
Sabemos que (vide demonstração Seção 5.1)
V
ac
=
∆V
2
√
3
(9)
Note V
ac
depende de ∆V , que foi calculado em função da corrente de descarga do capaci-
tor (ou uma aproximação da corrente DC). Mas tal corrente depende de T2, que precisamos
determinar.
Por relação de triângulos e considerando a rampa decarga do capacitor (na Fig. 1), temos
que:
∆V
T1
=
Vm
T/4
Isso permite que determinemos T1 em função de parâmetros conhecidos do sinal, ou seja:
T1 = ∆V
T/4
Vm
e naturalmente
T2 =
T
2
− T1
=
T
2
−∆V T/4
Vm
=
2TVm − (∆V )T
4Vm
=
(
2Vm −∆V
Vm
)
T
4
Reescrevendo a Eq. 7, temos que:
V
dc
=
2Vm −∆V
2
E assim,
T2 =
V
dc
Vm
T
2
Retornando T2 na Eq. 8, produzindo:
∆V =
I
dc
C
[
V
dc
Vm
T
2
]
=
I
dc
2fC
V
dc
Vm
(10)
Assim, usando a Eq. 9, temos:
V
ac
=
I
dc
4
√
3fC
V
dc
Vm
(11)
Se considerarmos a reti�cação em meia-onda com �ltragem por capacitor, as expressões �cam
um pouco mais complexas com a aproximação por onda triangular adotada, ou seja:
∆V =
I
dc
2fC
Vm + V
dc
V
dc
(12)
7
pois T2 = T − T1 para meia onda.
O valor e�caz da parcela AC da reti�cação em meia-onda é:
V
ac
=
I
dc
4
√
3fC
(
Vm + Vdc
Vm
)
(13)
Posteriormente veri�que os cálculos de valor e�caz da parcela AC usando a aproximação
(com onda também triangular) da onda reti�cada e �ltrada usando capacitor da Fig. 2.
Figura 2: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reti�cado �ltrado por capacitor
5.1 Demonstração de V
ac
= ∆V/(2
√
3)
Considere a Fig. 3, que é um período da aproximação do sinal reti�cado em onda completa após
a aplicação do �ltro capacitivo. A partir do mesmo, determinamos dois segmentos de reta que
forma f(t).
Figura 3: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reti�cado �ltrado por capacitor
f(t) =

f1(t) =
∆V
T1
t− ∆V
2
, 0 ≤ t ≤ T1
f2(t) = − ∆V
T2 − T1 (t− T1) +
∆V
2
, T1 ≤ t ≤ T2
Aplicando a Eq. 2 (pois da Eq. 5 e da Fig. 3 notamos que o nível DC de f(t) é zero), temos:
V
ac
=
1
T2
∫ T2
0
f2(t)dt
=
1
T2
[∫ T1
0
f21 (t)dt+
∫ T2
T1
f22 (t)dt
]
Calculando a primeira integral, temos:
8
∫ T1
0
f21 (t)dt =
∫ T1
0
[
∆V
T1
t− ∆V
2
]2
dt
=
∫ T1
0
(∆V )2
T 21
t2dt−
∫ T1
0
2(∆V )2
2T1
tdt+
∫ T1
0
(∆V )2
4
dt
=
1
3
(∆V )2
T 21
[
t3
]T1
0
− 1
2
(∆V )2
T1
[
t2
]T1
0
+
(∆V )2
4
[t]T10
=
1
3
(∆V )2T1 − 1
2
(∆V )2T1 +
1
4
(∆V )2T1
=
1
12
(∆V )2T1
Calculando a segunda integral, temos:
∫ T1
0
f22 (t)dt =
∫ T2
T1
[
− ∆V
T2 − T1 (t− T1)−
∆V
2
]2
dt
=
∫ T2
T1
(∆V )2
(T2 − T1)2 (t− T1)
2dt−
∫ T2
T1
2(∆V )2(t− T1)
2(T2 − T1) dt+
∫ T2
T1
(∆V )2
4
dt
Para facilitar a integração, efetuamos a seguinte troca de variáveis:
a = t− T1 ⇒

t = T2 → a = T2 − T1,
t = T1 → a = 0,
dt = da
∫ T1
0
f22 (t)dt =
∫ T2−T1
0
(∆V )2
(T2 − T1)2a
2da−
∫ T2−T1
0
(∆V )2
(T2 − T1)a da+
∫ T2−T1
0
(∆V )2
4
da
=
1
3
(∆V )2
(T2 − T1)2 (T2 − T1)
3 − 1
2
(∆V )2
(T2 − T1)(T2 − T1)
2 − (∆V )
2
4
(T2 − T1)
=
1
12
(∆V )2(T2 − T1)
Com as duas integrais resolvidas, temos:
V 2
ac
=
1
12
(∆V )2T1 +
1
12
(∆V )2(T2 − T1)
T2
=
1
12
(∆V )2
Ou seja:
V
ac
=
∆V
2
√
3
Posteriormente veri�que se esse resultado é veri�cado para a onda triangular mostrada na
Fig. 4.
9
Figura 4: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reti�cado �ltrado por capacitor
5.2 Estimativa do fator de ondulação
A partir do cálculo do nível RMS de uma onda triangular qualquer (Eq. 9) e da expressão do
fator de ondulação (Eq. 6), temos:
r =
V
ac
V
dc
× 100%
=
∆V
2
√
3
1
Vdc
× 100%
Mas, da Eq. 7, temos:
V
dc
= Vm − ∆V
2
⇒ ∆V = 2 (Vm − Vdc)
E, portanto:
r =
1√
3
Vm − Vdc
Vdc
× 100% (14)
Isso signi�ca que:
Vm
Vdc
= 1 +
√
3r
Note que estas expressões são válidas para reti�cação tanto em meia-onda quanto em onda
completa, já que podemos representar a onda de �ripple� de ambas as reti�cações por uma onda
triangular. Além disso, a expressão resultante (Eq. 14) independe de T .
5.3 Estimativa do nível DC
Podemos agora estimar o valor V
dc
a partir do valor máximo de tensão da onda a ser reti�cada
(Vm) e outras informações do circuito, facilitando a comparação com medidas obtidas a partir
do multímetro.
Considere uma resistência de carga RL drenando uma corrente Idc do circuito reti�cador
ca-cc. Desta forma temos uma tensão sobre o resistor de carga V
dc
. A partir da Eq. 10 temos:
∆V =
I
dc
2fC
V
dc
Vm
=
V 2
dc
2fRLCVm
Considerando a Eq. 7, temos:
2 (Vm − Vdc) = V
2
dc
2fRLCVm
10
V 2
dc
+ 4fRLCVmVdc − 4fRLCV 2m = 0
Resolvendo V
dc
dessa equação de segundo grau, temos:
V
dc
= 2Vm
[
−fRLC ±
√
fRLC(fRLC + 1)
]
Note que −a−√a(a+ 1) é negativo, resultando em uma tensão V
dc
também negativa, o que
é incompatível com o processo de reti�cação, e também com a Eq. 7 para valores positivos de
Vm e Vm � ∆V/2. Assim:
V
dc
= 2Vm
[
−fRLC +
√
fRLC(fRLC + 1)
]
(15)
Assim, a partir da resistência de carga, do capacitor de reti�cação e da freqüência e amplitude
do sinal CA podemos estimar a tensão CC produzida.
Para a reti�cação em meia-onda com �ltragem usando capacitor temos:
V
dc
=
Vm
2
[
−(1 + 4fRLC) +
√
(1 + 4fRLC)2 + 42fRLC
]
(16)
que é obtida relacionando a Eq. 7 e a Eq. 12.
Posteriormente calcule V
dc
para a aproximação mostrada na Fig. 2.
11