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Integrac¸a˜o∗ George Cain & James Herod Georgia Tech Institute – GaTech 1 Introduc¸a˜o Agora voltaremos nossa atenc¸a˜o para a ide´ia de uma integral em dimen- so˜es maiores que um. Considere um func¸a˜o real f : D → R, onde o domı´nio D e´ um subconjunto fechado do espac¸o Euclideano n-dimensional Rn. Co- mec¸aremos por definir o que significa a integral de f sobre o conjunto D; em seguida veremos como a essa integral pode ser u´til na vida real. Ja´ conhecemos bem o caso n = 1. Da mesma forma que foi feita a extensa˜o de derivada para dimenso˜es maiores, nossa definic¸a˜o de integral em va´rias dimenso˜es inclui o caso de uma dimensa˜o – como sempre, na˜o ha´ nada que desaprender. Vamos rever o que sabemos sobre a integral f : D → R no caso em que D e´ um subconjunto conexo “razoavel” da reta real R. Primeiramente, neste contexto, os u´nicos subconjuntos razoaveis de R sa˜o os intervalos fechados; temos assim que D e´ um conjunto [a, b] onde b > a. Lembre que definimos uma partic¸a˜o P do intervalo como sendo simplesmente um subconjunto finito {x0, x1, ..., xn} de [a, b] com a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. A norma de uma partic¸a˜o e´ o max{|xi − xi−1| : i = 1, 2, . . . n}. Definimos a Soma de Riemann S(P ) para essa partic¸a˜o como sendo a soma S(P ) = n∑ i=1 f(x∗i )∆xi, onde ∆xi = xi−xi−1 e´ simplesmente o comprimento do subintervalo [xi−1, xi] e x∗i e´ qualquer ponto nesse subintervalo. Observe que na˜o ha´ apenas uma soma de Riemann para uma partic¸a˜o P ; a soma claramente depende tam- be´m das escolhas dos pontos x∗i , apesar dessa dependencia na˜o aparecer na notac¸a˜o. ∗Traduc¸a˜o livre, por Mayra Madeira, do texto Chapter 12 Integration 1 2. Duas Dimenso˜es 2 Agora, se existe um nu´mero L tal que podemos fazer todas as somas de Riemann pro´ximas o suficiente de L apenas escolhendo a norma da partic¸a˜o suficientemente pequena, enta˜o f e´ dita integra´vel no intervalo, e o nu´mero L e´ chamado de integral de f em [a, b]. Esse nu´mero L e´ quase sempre denotado por ∫ b a f(x) dx. Mais formalmente, dizemos que L e´ a integral de f sobre [a, b] se, para cada � > 0, existe um δ tal que |S(P )−L| < � para toda partic¸a˜o P com norma menor que δ. Voceˆ sem du´vida deve se lembrar de seu primeiro encontro com essa definic¸a˜o e do quanto ela parecia imposs´ıvel de calcular em qualquer situac¸a˜o, mas enta˜o uma versa˜o do Teorema Fundamental do Ca´lculo veio para ajuda´-lo. 2 Duas Dimenso˜es Vamos comec¸ar nosso estudo de integrais em dimenso˜es maiores pelo caso bidimensional. Como vimo algumas vezes no passado, o mais interessante em estender as ide´ias do ca´lculo para dimenso˜es maiores e´ o passo do uni pra o bidimensional — raramente o passo de mudar de 97 para 98 dimenso˜es e´ muito interessante. Devemos enta˜o comec¸ar olhando a integral de f : D → R para o caso em que D e´ um subconjunto fechado e “razoa´vel” do plano. Mas a´ı ja´ comec¸am as complicac¸o˜es. Na reta real, subconjuntos fechados e “razoa´veis” sa˜o simplesmente intervalos fechados; no plano, subconjuntos fechados e “razoa´veis” sa˜o consideravelmente mais interessantes. Um momento de reflexa˜o nos convence que o domı´nio D pode, mesmo em duas dimenso˜es, ser consideravelmente mais complicado do que em uma dimensa˜o. Primeiro, coloque D dentro de um retaˆngulo com lados paralelos aos eixos coordenados; e enta˜o divida esse retaˆngulo em sub-retaˆngulos particionando cada um de seus lados: 2. Duas Dimenso˜es 3 Agora, nomeie os sub-retaˆngulos que interceptamD com, digamos, os sub- ı´ndices i = 1, 2, . . . , n. A maior a´rea de todos esses retaˆngulos e´ chamada de norma da subdivisa˜o. Em cada um dos retaˆngulo, escolha um ponto (x∗i , y ∗ i ) em D. A soma de Riemann S agora fica da seguinte forma: S = n∑ i=1 f(x∗i , y ∗ i )∆Ai, onde ∆Ai e´ a a´rea do retaˆngulo de onde escolhemos (x ∗ i , y ∗ i ). Agora, se existe um nu´mero L tal que podemos nos aproximar dele tanto quanto queiramos apenas escolhendo a norma da subdivisa˜o suficientemente pequena, enta˜o f e´ dita integra´vel em D, e o nu´mero L e´ a integral de f sobre D. O nu´mero L e´ usualmente escrito com o s´ımbolo de duas “cobrinhas”:∫ D ∫ f(x, y) dA . As integrais sobre domı´nios bidimensionais sa˜o frequentemente chamadas de integrais duplas . A definic¸a˜o da integral no caso em que D e´ um subconjunto “razoa´vel” de R3 e´ ana´loga. Colocamos D dentro de uma caixa, e subdividimos essa caixa em sub-caixas, etc., etc. Falaremos mais sobre dimenso˜es maiores depois. Vamos olhar um momento para a geometria. Para desenharmos algo razoa´vel, suponhamos que f(x, y) ≥ 0 em todo o domı´nio D. Cada termo f(x∗i , y ∗ i )∆Ai e´ o volume de uma caixa com base no retaˆngulo Ai e altura f(x ∗ i , y ∗ i ). Assim, o topo da caixa intercepta a superf´ıcie z = f(x, y). A soma de Riemann e´ assim o volume total de todas as caixas. A` medida em que as a´reas das bases tendem a 0, as caixas preenchem o so´lido limitado inferiormente pelo plano x-y, por cima pela superf´ıcie z = f(x, y), e pelos lados pelo cilindro determinado pela regia˜o D. A integral 2. Duas Dimenso˜es 4 ∫ ∫ D f(x, y) dA e´ enta˜o igual ao volume desse so´lido. Se f(x, y) ≤ 0, enta˜o teremos o negativo do volume limitado por baixo pela superf´ıcie z = f(x, y), por cima pelo plano x-y, etc. Suponha que a e b sejam constantes, e D = E ∪ F , onde E e F sa˜o domı´nios “razoa´veis” e com interiores disjuntos. As seguintes propriedades de integral dupla devem ser evidentes: (i) ∫ D ∫ [a f(x, y) + b g(x, y)] dA = a ∫ D ∫ f(x, y) dA+ b ∫ D ∫ g(x, y) dA; (ii) ∫ D ∫ f(x, y) dA = ∫ E ∫ f(x, y) dA+ ∫ F ∫ f(x, y) dA Agora, como calcular a integral ∫ ∫ D f(x, y) dA? Vejamos. Novamente usaremos uma figura, e de novo vamos supor f(x, y) ≥ 0. O outro caso e´ ana´logo. Vamos assumir que o domı´nio D tem uma forma especial; especificamente, suponhamos que ele seja limitado por cima pela curva y = h(x), por baixo por y = g(x), pela esquerda por x = a e pela direita por x = b. E´ conveniente pensarmos na integral ∫ ∫ D f(x, y) dA como o volume de um so´lido limitado inferiormente por D no plano x-y e superiormente pela superf´ıcie z = f(x, y). Pensemos em como encontrar esse volume dividindo o so´lido em fatias paralelas ao eixo y e somando os volumes das fatias. Para aproximar o volume das fatias procedemos como segue. Particionamos o intervalo [a, b] : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b. Em cada subintervalo [xi−1, xi] escolhemos um ponto x∗i . As fatias podem agora ser aproximadas peles so´lidos cujas bases sa˜o os retaˆngulos de lados ∆xi = xi − xi−1 e h(x∗i ) − g(x∗i ) e cujas alturas sa˜o os gra´ficos das func¸o˜es z = f(x∗i , y). O volume de cada um desses so´lidos e´ igual a` a´rea da 2. Duas Dimenso˜es 5 sec¸a˜o transversal ∫ h(x∗i ) g(x∗i ) f(x∗i , y) dy multiplicada pela espessura ∆xi, conforme ilustra a figura abaixo. A soma de todos esses volumes e´ S = n∑ i=1 [∫ h(x∗i ) g(x∗i ) f(x∗i , y) dy ] ∆xi A integral dupla que procuramos e´ justamente o “limite” desta soma, se to- marmos os lados dos retaˆngulos ∆xi cada vez mais finos; ou partic¸o˜es do inter- valo [a, b] com normas cada vez menores. Mas as somas acima sa˜o exatamente as somas de Riemann unidimensionais da func¸a˜o F (x) = ∫ h(x) g(x) f(x, y) dy, e enta˜o a integral dupla e´ dada por∫ D ∫ f(x, y) dA = ∫ b a F (x) dx = ∫ b a [∫ h(x) g(x) f(x, y) dy ] dx A integral dupla e´ assim igual a uma integral de uma integral, normalmente chamada de integral iterada. E´ usual omitir os colchetes e escrever a integral iterada simplesmente como∫ b a ∫ h(x) g(x) f(x, y) dy dx . Exemplo 1 Encontrar a integral dupla ∫ ∫ D [x2 + y2] dA, onde D e´ a regia˜o delimitada pelas retasy = x, x = 0, e x+ y = 2. Soluc¸a˜o. O que primeiro passo e´ desenhar a regia˜o D (precisamos sempre de uma figura da regia˜o de integrac¸a˜o): 2. Duas Dimenso˜es 6 Podemos ver da figura que, com a notac¸ao introduzida anteriormente, temos g(x) = x, h(x) = 2− x, a = 0 e b = 1. Assim, a fatia paralela ao eixo y e´ limitada por baixo por y = x e por cima por y = 2− x. No ponto x, a a´rea lateral dessa fatia (ou a´rea da sec¸a˜o transversal) e´ dada por∫ 2−x x [x2 + y2] dy = x2y + y3 3 ∣∣∣y=2−x y=x = 2x2 + (2− x)3 3 − 7 3 x3, e temos essa fatia para todos os valores de x que va˜o de x = 0 ate´ x = 1. Assim, ∫ D ∫ [x2 + y2] dA = ∫ 1 0 [ 2x2 + (2− x)3 3 − 7 3 x3 ] dx = 2x 3 3 − (2−x)4 12 − 7x4 12 ∣∣∣1 0 = 4 3 � Exerc´ıcio Suponha que o domı´nio de integrac¸a˜o D seja limitado a` esquerda por x = g(y), a` direita por x = h(y), por baixo por y = a e por cima por y = b, conforme figura ao lada. Expresse a integral dupla∫ ∫ D f(x, y) dxdy como uma inte- gral iterada, integrando primeiro com respeito a x. 1 Introdução 2 Duas Dimensões
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