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MIT OpenCourseWare Multivariable Calculus, Fall 2007 Prof. Denis Auroux Notas de Aula∗ Aula 16 Integrais duplas Recorde do ca´lculo em uma varia´vel que a integral ∫ b a f(x)dx calcula a a´rea abaixo do gra´fico da func¸a˜o y = f(x) definida no intervalo [a, b]. Em duas varia´veis, a integral dupla ∫∫ R f(x, y)dA calcula o volume abaixo do gra´fico da func¸a˜o z = f(x, y) definida na regia˜o plana R. Como no caso de uma varia´vel, a integral dupla e´ definida como o limite das somas de Riemann: divida R em pequenos pedac¸os de a´rea ∆Ai, como ilustra a figura ao lado. Enta˜o, es- colhendo um ponto (xi, yi) em cada um dos pedac¸os, o volume e´ aproximadamente ∑ f(xi, yi)∆Ai. A integral ∫∫ R f(x, y)dA e´ obtida passando o limite com ∆A→ 0. A integral pode ser calculada por meio de fatias: indique por S(x) a a´rea da fatia correspondente a um plano paralelo ao plano- yz, como ilustra a figura ao lado. Enta˜o o volume e´ a soma de todas essas a´reas, isto e´, volume = ∫ xmax xmin S(x)dx onde, para x fixo, S(x) = ∫ f(x, y)dy Na integral interna, x e´ um paraˆmetro fixo, e y e´ a varia´vel de integrac¸a˜o. Esse processo de ca´lculo e´ conhecido como integral iterada. Exemplo 1 Calcular a integral da func¸a˜o z = 1−x2−y2 definida na regia˜o 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (ver figura ao lado)∫ 1 0 ∫ 1 0 (1− x2 − y2)dydx. A notac¸a˜o dA = dydx e´ motivada pelo caso em que ∆A = ∆y∆x e´ a a´rea de um pequeno retaˆngulos. Soluc¸a˜o. O ca´lculo pode ser feito por integrais iteradas, como a seguir 1) integral interna (x constante):∫ 1 0 (1− x2 − y2) dy = [ (1− x2)y − 1 3 y3 ]1 0 = (1− x2)− 1 3 = 2 3 − x2. 2) integral externa: ∫ 1 0 ( 2 3 − x2) dx = [ 2 3 x− 1 3 x3 ]1 0 = 1 3 . � ∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 7 Summary 2 Exemplo 2 Calcular a integral da mesma func¸a˜o do exemplo anterior, mas sobre a regia˜o R correspondente a` parte do disco x2 + y2 ≤ 1 que esta´ no primeiro quadrante (ver figura ao lado). Soluc¸a˜o. Como encontrar os limites de integrac¸a˜o? Primeiro considere x constante; enta˜o, das condic¸o˜es y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 1, deve-se ter que y ∈ [0,√1− x2]. Isso determina os limites da integral interna. Para a integral externa: a primeira fatia e´ x = 0 e a u´ltima e´ x = 1. Obte´m-se enta˜o a integral iterada: ∫ 1 0 ∫ √1−x2 0 (1− x2 − y2)dydx. Observe que os limites internos dependem da varia´vel externa x, e que os limites externos sa˜o constantes! O ca´lculo das integrais e´ feito como a seguir: 1) Integral interna:∫ √1−x2 0 (1− x2 − y2) dy = [ (1− x2)y − y 3 3 ]√1−x2 0 = 2 3 (1− x2)3/2. 2) Integral externa: usar a substituic¸a˜o x = sen(t), com dx = cos(t) dt e t ∈ [0, pi/2]; usar ainda a igualdade cos4(t) = 1 8 (3 + 4 cos(2t) + cos(4t)) para obter∫ 1 0 2 3 (1−x2)3/2 dx = 2 3 ∫ pi/2 0 cos3(t) cos(t) dt = 2 3 ∫ pi/2 0 1 8 (3+4 cos(2t)+cos(4t)) dt = pi 8 Trocando a ordem de integrac¸a˜o. No caso de uma regia˜o retangular, como por exemplo, 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1, a ordem de integrac¸a˜o pode ser alterada de forma automa´tica: ∫ 1 0 ∫ 2 0 dxdy = ∫ 2 0 ∫ 1 0 dydx Mas, em geral, uma mudanc¸a na ordem de integrac¸a˜o pode ser mais elaborado, como mostra o pro´ximo exemplo. Exemplo 3 Calcular ∫ 1 0 ∫ √x x ey y dydx, cuja regia˜o de integrac¸a˜o esta´ ilustrada abaixo. 3 Soluc¸a˜o. Na ordem em que esta´, a integral interna na˜o possui primitava. No entanto, a integral pode ser calculada invertendo a ordem de integrac¸a˜o. Para isso, de acordo com a figura da direita acima, fixando um valor de y deve-se ter x no intervalo y2 ≤ x ≤ y. Ale´m disso, deve-se ter 0 ≤ y ≤ 1, e portanto∫ 1 0 ∫ √x x ey y dydx = ∫ 1 0 ∫ y y2 ey y dxdy = ∫ 1 0 ey y (y − y2) dy = ∫ 1 0 (ey−y ey) dy = e−2. onde a integral ∫ y ey dy foi calculada por partes. �
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