Ondas não Senoidais

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CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
Unidade 6 
ONDAS NÃO-SENOIDAIS 
 
6.1 – ONDAS COMPLEXAS / ONDAS NÃO-SENOIDAIS 
Toda forma de onda que não pode ser representada por uma função seno ou co-seno é denominada 
não-senoidal. Nas análises de circuitos efetuadas até então, assumimos que os sinais de tensão e corrente 
fossem senoidais, embora ondas não-senoidais sejam comuns em eletrotécnica. 
Exemplos de ondas não-senoidais: 
 
 
V - Forma de tensão gerada por um alternador 
particular; 
i - Forma de onda da corrente que flui por um 
elemento capacitivo do circuito; 
p – Forma de onda da potência instantânea. 
 
 
 
Onda de corrente deformada, i, quando se aplica 
uma onda de tensão v senoidal a uma determinada 
bobina com núcleo de ferro saturado. 
 
 
 
 
 
 
Forma de onda produzida por um gerador do tipo 
ranhuras abertas com predominância da 17ª 
harmônica. 
 
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As formas de onda não-senoidais mais comuns estão indicadas na figura abaixo. 
 
O sinal de muitos dispositivos elétricos e eletrônicos pode ser não-senoidal, mesmo que o sinal 
aplicado o seja, por exemplo, na retificação de meia onda que eliminam os semi-ciclos negativos do sinal de 
entrada, mostrado a seguir. 
 
Exemplos de ondas não-senoidais, soma de duas ondas senoidais 
Observe na figura seguinte (a) que o sinal v(t) soma de dois sinais senoidais de freqüências diferentes 
(2 sen wt + 1 sen 2wt) resulta num sinal não-senoidal. Além disso, uma mudança de fase em um deles (de 1 
sen 2wt para 1 cos 2wt) resulta numa outra forma de onda completamente diferente. 
 
6.2 – SÉRIES DE FOURIER 
A maioria das ondas não-senoidais periódicas, encontradas em eletrotécnica podem ser expressas em 
função de componentes senoidais de diferentes freqüências e de um termo constante, ou melhor, na forma: 
y � f��� � C� � A� sen��� � A� sen�2 �� ��� A� sen�n �� � 
 B� cos��� � B� cos�2 �� � �� B� cos �n ��; 
Ou, com representação de somatórios: y � f��� � C� � ∑ A� sen�i ������ � ∑ B� cos�i ������ . 
Ao agregarem-se os termos em seno e em co-seno de mesmas freqüências, obtêm-se: y � f��� � C� � ∑ C� sen�i � � θ������ � C� � ∑ C� cos�i � � φ������ . 
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Na expressão acima, conhecida como Série de Fourier, aplicam-se as leis que governam as ondas em 
seno para cada componente senoidal da onda complexa e, a seguir, combinam-se os resultados das análises 
de cada componente de modo a obter-se a análise composta ou final, de acordo com o teorema da 
superposição. Com relação ao número de componentes da série de Fourier necessários para expressar a 
função com uma precisão aceitável do ponto de vista da análise de circuitos, têm-se: 
1. Teoricamente uma quantidade infinita, exceto em casos especiais; 
2. Praticamente apenas alguns termos são necessários na maioria dos casos, devido ao pequeno efeito 
relativo dos termos de maior freqüência. 
O teorema que assegura as condições para que qualquer onda periódica (f�t� � f�t � T�) possa ser 
expressa em termos do somatório de ondas em seno de diferentes freqüências, exige que: 
1. A onda periódica deve ser unívoca; 
2. Contínua, exceto para um nº finito de descontinuidades finitas; 
3. Que não tenha infinitos máximos e mínimos no entorno de qualquer ponto. 
Como alternativa para o teorema anterior, para que uma forma de onda periódica não-senoidal possa 
ser expressa por uma série de Fourier, são as condições de Dirichlet, ou melhor: 
1. Sendo descontínua, haja um nº finito de descontinuidades no período T; 
2. Tenha um valor médio finito no período T; 
3. Tenha um número finito de máximos positivos e negativos. 
A maioria das tensões e correntes não-senoidais são periódicas ou se não-periódicas, podem ser 
consideradas periódicas em curtos intervalos de tempo. O período da onda não-senoidal determina a 
freqüência do termo fundamental (1a harmônica) da série de Fourrier. Por exemplo, para um sinal periódico 
não-senoidal com período de 10 ms, têm-se: 
• Período da onda não-senoidal: T = 10 ms; 
• Freqüência angular da Fundamental ou da 1a Harmônica: � � ��� �
��
�� × ���� � 200� ��	/�; 
• Freqüência angular da 2a Harmônica: �� = 2 × � � 2 × 200� � 400� �� /"; 
• Freqüência angular n-ésima Harmônica: �� = # × � � # × 200� �� /". 
Após o cálculo das amplitudes dos termos em seno ( )niAi ,...,2,1, = e, também, dos termos em co-
seno ( )niBi ,...,2,1, = da série de Fourier na forma: y � f�t� � C� � A� sen�ωt� � A� sen�2 ωt� � �� A� sen�n ωt� � 
 B� cos�ωt� � B� cos�2 ωt� � �� B� cos�n ωt�; 
Ou, com representação de somatórios: y � f�t� � C� � ∑ A� sen�i ωt����� � ∑ B� cos�i ωt����� , 
Recomenda-se efetuar a composição dos termos em seno e em co-seno de mesmas freqüências, obtendo-se: y � f�t� � C� � ∑ C� sen�i ωt � θ������ ; y � f�t� � C� � ∑ C� cos�i ωt � φ������ ; 
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Onde: %� � &'�� � (��; )� � ��*+, -.��	�./; 0� � ��*+, -.	���./. 
 
Exemplo: Para a tensão não-senoidal v dada, efetue a composição dos termos em seno e em co-seno. 1 � 2�+� � 10 � 5 "5# �200 +� � 3 "5# �400 +� � 8 cos �200+� � 2 cos �400 +�. 
 
 
Podemos, portanto, representar a série de Fourier por uma das formas equivalentes: 1 � 2�+� � 10 � 9,43 "5# �200+ � 57,99°� � 3,61 "5# �400+ � 146,31°�; 1 � 2�+� � 10 � 9,43 "5# �200+ � 122,01°� � 3,61 "5# �400+ � 33,69°�; 1 � 2�+� � 10 � 9,43 *<" �200+ � 147,99°� � 3,61 *<" �400+ � 123,69°�; 1 � 2�+� � 10 � 9,43 *<" �200+ � 32,01°� � 3,61 *<" �400+ � 56,31°�. 
6.3 - Revisões Trigonométricas importantes para o cálculo dos coeficientes da série de Fourier *<" �� � =� � *<" � *<" = � "5# � "5# =; (I) *<" �� � =� � *<" � *<" = � "5# � "5# =; (II) "5# �� � =� � "5# � *<" = � "5# = *<" �; (III) "5# �� � =� � "5# � *<" = � "5# = *<" �; (IV) *<" 2� � *<"�� � "5#��; (V) De (I) com (� � =); "5# 2� � 2 "5# � *<" �; (VI) De (III) com (� � =); 1 � "5#�� � *<"��; (VII) "5#�� � �
��
 ��� ; (VIII) De (VII) - (V); *<"�� � ����
 ��� ; (IX) De (VII) + (V); *<"� *<"= � ��� ��
������ ������ ; (X) De (II) + (I); 
 
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 "5#� "5#= � ��� ��
��
��� ������ ; (XI) De (II) - (I); "5#� *<"= � ��� ��
������ ������ ; (XII) De (IV) + (III). 
6.4 – ANÁLISE DA ONDA – Cálculo dos coeficientes da Série de Fourier 
Para determinar as expressões que permitirão calcular os valores dos coeficientes 0C , 
( )niAi ,...,2,1, = e ( )niBi ,...,2,1, = da série de Fourier, y � f�t� � C� � ∑ A� sen�i ωt����� � ∑ B� cos�i ωt����� , 
utilizar-se-á a estratégia de integrar uma função da onda não-senoidal (f(t)) num período completo tal que 
anulam-se todos os termos da série, exceto aquele que contém o termo de interesse. 
6.4.1 – Expressão para determinar o coeficiente 0C > 2�+� +�� � > %� +�� � > ∑ '� "5#�?�+����� +��@AAAAAABAAAAAAC
��
� > ∑ (� *<"�?�+� +������@AAAAAABAAAAAAC
��
� %� D ⇒ 
�� � �� � ���� ���� . 
Observe que integrais de funções seno e co-seno em períodos completos são sempre nulas. 
6.4.2 – Expressão para determinar os coeficientes ( )nkAk ,...,2,1, = > 2�+� "5#�E �+� +�� � > %� "5#�E �+� +��@AAAAABAAAAAC��
� > ∑ '� "5#�? �+� "5#�E �+����� +�� � 
 > ∑ (� *<"�? �+����� �� "5#�E �+� +@AAAAAAAAAABAAAAAAAAAAC
��
 ⇒ > 2�+� "5#�E �+� +�� � > ∑ '� "5#�? �+� "5#�E �+��
���� +��@AAAAAAAAAABAAAAAAAAAAC
��
� > '� "5#��E �+� +�� + 
 > ∑ '� "5#�? �+� "5#�E �+������� +��@AAAAAAAAAAABAAAAAAAAAAAC
��
� > �� 	0 1�cos�2� ���2 = �� �� ⇒ 
�� � �� � ���� ����� ��� ���� , para k=1, 2, 3, ..., n. 
Observe que integrais de funções seno e co-seno em períodos completos são sempre nulas e, também: 
• Integrais do tipo > �"5# F� "5# #���� tal que m e n inteiros e F G # podem ser substituídas pelo seu 
equivalente � ��	
��
������	
��������� , integrais de funções co-seno em períodos completos 
e, portanto, sempre nulas; 
• Integrais do tipo > �*<" F� "5# #���� = > �"5# #� *<" F���� tal que m e n inteiros podem ser 
substituídas pelo seu equivalente � 	��
��
����	��
��������� , integrais de funções seno em 
períodos completos e, portanto, sempre nulas. 
 
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6.4.3 – Expressão para determinar os coeficientes ( )nkBk ,...,2,1, = 
Com procedimento similar ao item anterior obtém-se a expressão: 
�� � �� � ���� ����� ��� ���� , para k=1, 2, 3, ..., n. 
6.4.4 –Determinar os coeficientes da série de Fourier da função H � 2�)� � 2���; 
Neste caso, o sinal periódico não-senoidal está expresso em função de (θ) e não do tempo (t) e, 
evidentemente, o período a ser considerado é 2pi. Para esta representação tem-se a série de Fourier: y � f�θ� � C� � ∑ A� sen�i θ����� � ∑ B� cos�i θ����� , 
e, dessa forma, a integração será sobre a variável θ e o intervalo de integração é [0, 2pi]. Com procedimento 
similar ao dos itens anteriores (6.4.1, 6.4.2 e 6.4.3) têm-se, então, as expressões que permitirão calcular os 
valores dos coeficientes 0C , ( )niAi ,...,2,1, = e ( )niBi ,...,2,1, = : 
�� � ���� ���� ����� ; 
�� � �� � ���� ����� �� ����� , para k=1, 2, 3, ..., n; 
�� � ��� ���� ����� �� ����� , para k=1, 2, 3, ..., n. 
6.4.5 – Graus de simetria de ondas não-senoidais como simplificador na determinação dos coeficientes 
da série de Fourier da 
a) Simetria em relação ao eixo X (eixo horizontal) 
Exemplo: 2��� � 4 "5# ��� � 2 "5# �2��. 
Aplicabilidade à série de Fourrier: 
O termo da componente contínua da série de Fourier 
é nulo, (%� � 0), visto que ele é o valor médio da 
forma de onda para um ciclo completo, ou seja, %� � ��� > 2��� ���� , e a simetria em relação ao eixo 
X assegura que as áreas acima e abaixo do eixo 
horizontal sejam iguais, tornando-se %� nulo. 
b) Função par: 2��� � 2���� 
Exemplos: 2��� � 2 � �� � �� � 2� ����� � ����� � 2����; 2��� � *<" � � 1 � ���! � ���! � ���! � �� ! � � . 
Propriedades: 
A soma de duas ou mais funções pares é uma função par; 
A adição de uma constante mantém a natureza da função. 
 
 
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Aplicabilidade à série de Fourrier: 
A série contém apenas termos em co-senos e, eventualmente, o termo constante se o valor médio da 
onda não-senoidal for não nulo. Assim, para um sinal periódico par tem-se que: '� � 0, para ? � 1, 2, 3, … , # ; 
Nota-se que as funções pares têm simetria axial, isto é, simetria em relação ao eixo vertical como 
mostrado nas figuras abaixo e podem ser descritas completamente usando apenas o termo do valor 
médio e os termos em co-seno da série de Fourier. 
 
c) Função ímpar: 2��� � �2���� 
Exemplos: 2��� � � � �! � �" =���� � ����! � ����" �� �2����; 2��� � "5# � � � � ��!! � ��"! � ��#! � ��$! �� . 
Propriedades: 
A soma de duas ou mais funções ímpares é função ímpar; 
A adição de uma constante elimina a natureza ímpar da função; 
O produto de duas funções ímpares é uma função par. 
 
Aplicabilidade à série de Fourrier: 
A série contém apenas termos em senos. Assim, para um sinal periódico ímpar tem-se que: (� � 0, para ? � 1, 2, 3, … , # e %� � 0 ; 
Nota-se que as funções ímpares têm simetria central, isto é, simetria em relação à origem como 
mostrado nas figuras abaixo e podem ser descritas completamente usando apenas o termo do valor 
médio (nulo) e os termos em seno da série de Fourier; 
 
 
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Atenção especial deve ser tomada para onda não-senoidal com valor médio não nulo e que ao retirar o 
efeito do componente constante (sinal DC - %�) verifica-se que a onda tem simetria central (função 
ímpar) e neste caso têm-se que: (� � 0, para ? � 1, 2, 3, … , # e %� G 0 . 
d) Simetria de meia onda: 2��� � �2 -� � ��/ onde D é o período. 
Exemplos: 2��� � �� para 0 N � O ��; 2��� � 0,5 � �� para �� N � O D. 
 
Aplicabilidade à série de Fourrier: 
A série contém apenas termos ímpares. Assim, para um sinal periódico com simetria de meia onda 
tem-se que: '� � (� � %� � 0, para ? � 2, 4, 6, … , 2# ; 
A afirmativa acima baseia no fato que para atender a condição 2��� � �2�� � �� a série de Fourier 
correspondente não poderá conter harmônicos pares já que: 2��� � %� � %�"5# �� � 0�� � %� "5# �2� � 0�� � �� %� "5# �#� � 0��; 2�� � �� � %� � %� "5# �� � � � 0�� � %� "5# �2� � 2� � 0�� � �� %� "5# �#� � #� � 0�� � %� � %�"5# �� � 0�� � %� "5# �2� � 0�� � �� ��1�� %� "5# �#� � 0��; 
E, para atender a condição 2��� � �2�� � ��, é obrigatório que: %� � �%� P %� � 0; %� "5# �2� � 0�� � �%� "5# �2� � 0�� P %� � 0; %� "5# �4� � 0�� � �%� "5# �4� � 0�� P %� � 0; %�� "5# �2#� � 0��� � �%�� "5# �2#� � 0��� P %�� � 0; 
Ou melhor, os termos pares %� da série de Fourier são nulos e, conseqüentemente, '� � (� � 0, para ? � 2, 4, 6,… , 2# já que %� � &'�� � (��. 
Diz-se que as funções com simetria de meia onda têm simetria especular como mostrado na figura 
abaixo e podem ser descritas completamente usando apenas os termos ímpares em seno e em co-seno 
da série de Fourier. 
 
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e) Simetria de um quarto de onda: Q 2 -�2 � �/ � 2 -�2 � �/ 2 -3�2 � �/ � 2 -3�2 � �/R 0 N � N �2. 
Exemplo: 2��� � 2 "5# ��� � "5# �3��. 
Aplicabilidade à série de Fourrier: 
 
Para uma onda que possui simetria de ¼ de onda (simetria com relação aos seus pontos médios nos 
laços positivo e negativo) e, além disso, tem simetria de meia onda T2��� � �2�� � ��U, sua série de 
Fourier conterá apenas termos ímpares em seno. Têm-se: 
• Pode-se observar facilmente que uma onda com estas características é uma função ímpar e, 
conseqüentemente, (� � 0, para ? � 1, 2, 3,… , # e %� � 0 ; 
• Além disso, se tem simetria de ½ onda, então, %� � 0, para ? � 2, 4, 6, … , 2# ; 
• Conclui-se, então, que a série de Fourier conterá apenas termos ímpares em seno. 
f) Simetria de meio ciclo: 2��� � 2 -� � ��/ onde D é o período. 
Exemplo: 
Uma forma de onda conforme vista ao lado 
onde a função repete-se a cada intervalo de 
meio período. 
 
Aplicabilidade à série de Fourrier: 
A série contém apenas termos pares. Assim, para um sinal periódico com simetria de meio ciclo tem-se 
que '� � (� � %� � 0, para ? � 1, 3, 5,… , 2# � 1 ; 
Este fato pode ser comprovado de maneira similar ao item (d) anterior onde para atender a condição 2��� � 2�� � �� a série de Fourier correspondente não poderá conter harmônicos ímpares já que: 2��� � %� � %�"5# �� � 0�� � %� "5# �2� � 0�� � �� %� "5# �#� � 0��; 2�� � �� � %� � %� "5# �� � � � 0�� � %� "5# �2� � 2� �0�� � �� %� "5# �#� � #� � 0�� � %� � %�"5# �� � 0�� � %� "5# �2� � 0�� � �� ��1�� %� "5# �#� � 0��; 
E, para atender a condição 2��� � 2�� � ��, é obrigatório que: %� "5# �� � 0�� � �%� "5# �� � 0�� P %� � 0; %! "5# �3� � 0!� � �%! "5# �3� � 0!� P %! � 0; %��
� "5# V�2# � 1� � � 0��
�W � �%��
� "5# ��2# � 1� � � 0��
�� P %��
� � 0; 
Ou melhor, os termos ímpares %� da série de Fourier são nulos e, conseqüentemente, '� � (� � 0, para ? � 1, 3, 5,… , 2# � 1 já que %� � &'�� � (��. 
Atencão: Observe que a função com simetria de meio ciclo acima, é par e pode-se considerar o seu 
meio período como um período completo tornando-a simplesmente numa função par. 
 
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6.4.6 – Análise qualitativa dos coeficientes da série de Fourier, função das simetrias da onda 
não-senoidal 
Para os sinais não-senoidais seguintes, observe os tipos de simetrias presentes em cada um deles, 
informe os coeficientes nulos e, também, aqueles coeficientes que definem completamente o sinal. 
a) X � Y�Z� � Z � [ \]^] _ N Z N `[ 
 
Simetria em relação ao eixo X P %� � 0; 
Função ímpar P (� � 0, ? � 1, 2, 3,… , #; 
Sinal completamente definido apenas por termos em seno; '� � � ��; H � �2-"5# � � 
%� ��� � 
%� !�! ��� 
%� ��� /. 
b) aX � Y�Z� � b& cde Z \]^] Z � T_, [UX � Y�Z� � _ \]^] Z � T[, `[UQ 
 
 
Não é simétrica em relação ao eixo X P %� � �� � 0,318 f'; 
Nenhuma simetria (par, ímpar ou de ½ onda); 
Para definir completamente o sinal a série deve conter termos 
em seno, em co-seno e termo constante (DC); H � f' g1� � 12 "5# � � 23� *<" 2� � 215� *<" 4� � ��h 
c) aX � Y�Z� � i__ \]^] _ N Z N [X � Y�Z� � _ \]^] [ N Z N `[Q 
 
Não é simétrica em relação ao eixo X P %� � 50; 
Tem simetria de ¼ de onda, é função ímpar e, assim, a série 
conterá apenas termos ímpares em seno; H � ���� � ���� "5# � � ���!� *<" 3� � �� ����� "5# #�. 
Observe que com um deslocamento da origem, para a direita, de pi/2 obter-se-ia uma função par e, 
conseqüentemente, '� � 0, ? � 1, 2, 3,… , #; 
d) jklk
m X � Y�Z� � () Z \]^] _ N Z N )(X � Y�Z� � � () Z � ` \]^] )( N Z N n )(X � Y�Z� � () Z � o \]^] n )( N Z N `[Q 
 
Simetria eixo x? Sim P %� � 0; 
Função ímpar? Sim P Termos em seno P (� � 0, ? � 1, 2, 3, … , #; 
Simetria meia onda? Sim P '�� � 0, ? � 1, 2, 3,…, n; 
A série conterá apenas termos ímpares em seno. 
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e) X � Y�Z� � n cde �Z� � cde �nZ� 
 
Simetria eixo x? Sim P %� � 0; 
Função ímpar? Sim P termos em seno P (� � 0, ? � 1,2,3,… , #; 
Simetria meia onda? Sim P '�� � 0, ? � 1, 2, 3, … , # ; 
A série conterá apenas termos ímpares em seno. 
f) X � Y�Z� � o cde �Z� � ` cde �`Z� 
 
Simetria eixo x? Sim P %� � 0; 
Função ímpar? Sim P termos em seno P (� � 0, ? � 1, 2, 3, … , #; 
Simetria meia onda? Não; 
A série conterá apenas termos em seno. 
g) X � Y�Z� � i � n cde �Z� � cde �nZ� 
 
 
Simetria eixo x? Não P %� � 1; 
Função ímpar? Sim P termos em seno P (� � 0, ? � 1, 2, 3, … , #; 
Simetria m terá apenas termos ímpares em seno. 
h) X � Y�Z� � ` cde �Z� � cde �`Z� � n 
 
Simetria eixo x? Não P %� � �3; 
Função ímpar? Sim P termos em seno P (� � 0, ? � 1, 2, 3, … , #; 
Simetria meia onda? Não; 
A série conterá apenas termos em seno. 
i) X � Y�Z� � cde -*(/ 
 
Simetria eixo x? Não P %� � �� � 0,637; 
Função par? Sim P termos em co-seno P '� � 0, ? � 1, 2, 3, … , n 
Simetria meia onda? Não 
A série conterá termos em co-seno e o componente DC; 
Supondo que este sinal seja proveniente da retificação 
completa de um sinal alternado senoidal de 60 hz, para sua representação função do tempo, têm-se: 
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• Freqüência angular do sinal alternado senoidal: pq � 2�2q � 2� 60 � 120� +,
 ; 
• Período do sinal alternado senoidal: pq � 2�2q � ���- ⇒ Dq � ��.- � ������ � ��� " � 16,667 F"; 
• Período da onda não-senoidal: D � �-� � ���� " � 8,333 F"; 
• Freqüência angular da onda não-senoidal: p � ��� � ��� ���⁄ � 240� � "⁄ ; 
• Onda não-senoidal função do tempo: X � Y�s� � cde -01( / onde p � 240� � "⁄ . 
j) a X � Y�Z� � cde Z \]^] _ N Z N [X � Y�Z� � �cde Z \]^] [ N Z N `[Q 
 
Simetria eixo x? Não P %� � �� � 0,637; 
Função par? Sim P termos em co-seno P '� � 0, ? � 1, 2, 3, … , n 
Simetria meio ciclo? Sim P %� � 0, ? � 1, 3, 5, … , 2# � 1 ; 
A série conterá termos pares em co-seno e o componente DC; 
Supondo que este sinal seja proveniente da retificação 
completa de um sinal alternado senoidal de 60 hz, para sua representação função do tempo, têm-se: 
• Freqüência angular do sinal alternado senoidal: pq � 2�2q � 2� 60 � 120� +,
 ; 
• Período do sinal alternado senoidal: pq � 2�2q � ���- ⇒ Dq � ��.- � ������ � ��� " � 16,667 F"; 
• Período da onda não-senoidal: D � Dq � ��� " � 16,667 F"; 
• Freqüência angular da onda não-senoidal: p � ��� � ��� ��⁄ � 120� � "⁄ ; 
• Onda não-senoidal função do tempo: tX � Y�s� � cde us \]^] _ N s N 2(X � Y�s� � �cde us \]^] 2( N s N vQ 
onde p � 120� � "⁄ e D � ��� ". 
6.5 – Cálculo dos coeficientes da série de Fourier - Método Analítico 
Para ilustrar os cálculos dos coeficientes da série de Fourier expressa na forma y�t� � C� � A� sen�ωt� � A� sen�2ωt� � A! sen �3ωt� � �� A�sen �nωt� � (� cos��+� � (� cos�2�+� � (! *<" �3�+� � �� (� cos �#�+�, 
Serão mostrados os métodos: analítico na seção seguinte, que utilizará as expressões desenvolvidas na seção 
(6.4) e, também, dois métodos práticos vistos nas seções (6.5.2 e 6.5.3). 
 
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6.5.1 –Método analítico 
Para o sinal dente de serra indicado abaixo, determine os valores dos coeficientes da série de Fourier: %�, '�, (�, ? � 1, 2, 3,… , #, função da tensão máxima V. 
 
 
Período: D � 20 F"; p � 2�D � 2�20 w 10
! � 100� � ";⁄ x � 100 1<y+"; H � 2�+� � 3� + para 0 N + N D. 
Têm-se que: %� � �� > 2�+� +�� � �� > 3� + +�� � �� 3� > + +�� � 3�� z4�� {�� � 3�� ��� � 3�. 
Eliminando-se o efeito de %� da onda não-senoidal, observa-se que o sinal de tensão resultante é função 
ímpar e, dessa forma: (� � (� � � � (� � 0. 
Para o termo genérico '�, tem-se que: '� � �� > 2�+� "5#�?�+� +�� � �� > 3� + "5#�?�+� +�� � �3�� > +|5 "5#�?�+� +@AABAAC,6�� . 
Para integração por partes têm-se que: > } 1�� � T} 1U�� � > 1 }�� , onde ~} � +; 1 � "5#�?�+� +.Q P  } � +; 1 � � ��
��74��7 .Q 
Substituindo estes valores na expressão de '�, obtém-se: '� � �3�� €z�+ ��
��74��7 {�� � > � ��
��74��7 +��@AAABAAAC
��

 = 
�3
��
�
�7 T�D ‚ 1 � 0U = � �3�7 �� . 
Como �D � 2� P '� � � �3�� �� � � 3� �� . 
Dessa forma resulta que H�+� � 3� � 3� -"5# �+ � 
%� �74� � 
%� !74! � �� 
%� �74� /. 
Para este caso particular em que x � 100 x, D � 20 F" e p � 100� � "⁄ , obtém-se: H�+� � ���� � ���� -"5# 100� + � 
%� ���� 4� � 
%� !��� 4! ��� 
%� � × ���� 4� / 
Ou, H�+� � 50 � 31,83 "5# 100� + � 15,92 "5# 200� + � 10,61 "5# 300� + � �� ���� � "5# �# × 100� +�. 
 
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6.5.1.1 –Transformaçõesde variáveis de funções periódicas 
Pode-se ocorrer situações em que para um sinal periódico, expresso em função do tempo (t), seja 
interessante transformá-lo numa função do ângulo (θ). Assim, dado as funções: H � 2�+� e H � 2�)�, 
têm-se na tabela seguinte, as expressões para o cálculo dos coeficientes da série de Fourier, 0C , 
( )niAi ,...,2,1, = e ( )niBi ,...,2,1, = : 
 H � 2�+� 5 � � 2�2 � 2�D � /" H � 2�)� <# 5 < ƒ5�í< < � 2pi �� ?�#<" %� � 1D„ 2�+� +�� %� � 12�„ 2�θ� θ��� '� � 2D„ 2�+� "5# �E�+� +�� '� � 22�„ 2�θ� "5# �Eθ� θ��� (� � 2D„ 2�+� *<" �E�+� +�� (� � 22�„ 2�θ� *<" �Eθ� θ��� 
Podem-se efetuar as transformações: 
a) Transformar a função H � 2�+� em uma função H � 2�)� p + � θ ⇒ + � θ. ; p + � θ ⇒ p D � 2pi ⇒ p � ��� . 
b) Transformar a função H � 2�)� em uma função H � 2�+� 
θ � p + ; 
θ � p + ⇒ 2pi � p D ⇒ D � ��. ou p � ��� . 
 
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6.5.1.2 – Exemplos de ondas não-senoidais características 
Observe o efeito nos coeficientes da série de Fourier (termos em seno e em co-seno) ao deslocar a 
origem da onda não-senoidal para as ninais característicos seguintes. 
I - Onda Quadrada 
 
 
Situação (a): 
• y= f (θ) onde 2�θ� � ax, 0 < θ O �0, pi < θ O 2πQ; 
• Função ímpar e simetria de meia onda (após eliminar o efeito do componente DC); 
• Série de Fourier: y= f (θ) = 3� � �3� "5# ) � �3� 
%� !8! � �3� 
%� "8" ��� �3� 
%� �8� . 
 
Situação (b): 
• y= f (α) onde 2�†� � jklk
mx, 0 < † O pi�0, pi� < † O !pi�x, !pi� < † O 2piQ; 
• Função par e simetria de meia onda (após eliminar o efeito do componente DC); 
• Série de Fourier: y= f (α) = 3� � �3� *<" † � �3� ��
 !9! � �3� ��
 "9" ��� ��1�	
�� �3� ��
 �9� . 
• De (a) e (b) nota-se que † � θ� � 2 ⇒ θ � † � � 2⁄⁄ . Substituindo esta relação de θ na função 
y= f (θ) da situação (a) obtém-se claramente aquela (y= f (α)) apresentada para a situação (b). 
 
Situação (c): 
• y= f (β) onde a origem de 2�‡� é um ponto diferente de 0, pi/2, pi, 3pi/2 e de 2pi, tomando como 
referência a situação (a); 
• Função nem ímpar nem par (após eliminar o efeito do componente DC); 
• y= f (β) conterá termos em seno e em co-seno. Ao efetuar a composição dos termos de mesmas 
freqüências (mesmas harmônicas) obter-se-á uma função do tipo: 
• y= f (β) = 3� � �3� "5# �‡ � 0�� � �3� 
%� �!:
;��! � �3� 
%� �":
;��" ��� �3� 
%� ��:
;	�� ; 
• Nota-se nos três casos acima que a mudança da origem provoca diferenças de fases nos termos da série 
de Fourier, mantendo-se as mesmas harmônicas e, também, as amplitudes dos coeficientes %� , i=1, 2, 
3, ... , n. 
 
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II - Onda Dente de Serra 
 
 
Situação (a): 
• y= f (θ) onde 2�θ� � 3�pi θ, 0 ≤ θ ≤ 2�; 
• Função ímpar (após eliminar o efeito do componente DC); 
• Série de Fourier: y= f (θ) = 3� � 3� "5# ) � 3� 
%� �8� � 3� 
%� !8! � �� 3� 
%� �8� . 
 
Situação (b): 
• y= f (α) onde 2�†� � t 3� � 3�pi †, 0 ≤ † ≤ pi� 3� � 3�pi †, pi ≤ † ≤ 2piQ ; 
• Função ímpar (após eliminar o efeito do componente DC); 
• Série de Fourier: y= f (α) = 3� � 3� "5# ) � 3� 
%� �8� � 3� 
%� !8! � �� ��1�� 3� 
%� �8� . 
• De (a) e (b) nota-se que † � θ� pi ⇒ θ � † � pi . Substituindo esta relação de θ na função y= f (θ) 
da situação (a) obtém-se claramente aquela (y= f (α)) apresentada para a situação (b). 
 
Situação (c): 
• y= f (β) onde a origem de 2�‡� é um ponto diferente de 0, pi e de 2pi, tomando como referência a 
situação (a); 
• Função nem ímpar nem par (após eliminar o efeito do componente DC); 
• y= f (β) conterá termos em seno e em co-seno. Ao efetuar a composição dos termos de mesmas 
freqüências (mesmas harmônicas) obter-se-á uma função com todas as harmônicas; 
• Nota-se nos três casos acima que a mudança da origem provoca diferenças de fases nos termos da série 
de Fourier, mantendo-se as mesmas harmônicas e, também, as amplitudes dos coeficientes %� , i=1, 2, 
3, ... , n. 
 
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III - Onda Triangular 
 
 
Situação (a): 
• y= f (θ) onde 2�θ� � t 3pi θ, 0 ≤ θ ≤ �2x � 3pi θ, pi ≤ θ ≤ 2πQ; 
• Função par e simetria de meia onda (após eliminar o efeito do componente DC); 
• Série de Fourier: y= f (θ) = 3� � �3�� -*<" ) � ��
 !8!� � ��
 "8"� � ��
 #8#� ��� ��
 �8�� /. 
 
Situação (b): 
• y= f (α) onde 2�†� � jklk
m 3� � 3pi †, 0 < † O pi�
!3
� � 3pi †, pi� < † O !pi�� !3� � 3pi †, !pi� < † O 2piQ; 
• Função ímpar e simetria de meia onda (após eliminar o efeito do componente DC); 
• Série de Fourier: y= f (α) = 3� � �3�� -�"5# † � 
%� !9!� � 
%� "9"� � 
%� #9#� � �� ��1�	
�� 
%� �9�� /. 
• De (a) e (b) nota-se que † � θ� � 2 ⇒ θ � † � � 2⁄⁄ . Substituindo esta relação de θ na função y= f 
(θ) da situação (a) obtém-se claramente aquela (y= f (α)) apresentada para a situação (b). 
 
Situação (c): 
• y= f (β) onde a origem de 2�‡� é um ponto diferente de 0, pi/2, pi, 3pi/2 e de 2pi, tomando como 
referência a situação (a); 
• Função nem ímpar nem par (após eliminar o efeito do componente DC); 
• y= f (β) conterá termos em seno e em co-seno. Ao efetuar a composição dos termos de mesmas 
freqüências (mesmas harmônicas) obter-se-á uma função com todas as harmônicas; 
• Nota-se nos três casos acima que a mudança da origem provoca diferenças de fases nos termos da série 
de Fourier, mantendo-se as mesmas harmônicas e, também, as amplitudes dos coeficientes %� , i=1, 2, 
3, ... , n. 
 
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6.5.2 – Método Gráfico 1 – Integrais pelo método de aproximações sucessivas 
É comum não se conhecer uma função que represente o sinal não-senoidal com precisão. Dessa 
forma é inviável utilizar o método literal já visto, para o cálculo dos coeficientes da série de Fourier. Por 
outro lado seria muito trabalhoso estabelecer equações que representasse parte da onda em análise. Nesses 
casos pode-se usar integração numérica do sinal obtido, por exemplo, através de um osciloscópio ou de um 
registro gráfico qualquer, mesmo fotográfico. 
O método consiste em dividir o período do sinal y=f(t) em 
m intervalos conforme indicado ao lado. A seguir, obtém-se o valor 
da função H� para cada ponto médio do i-ésimo intervalo e que 
corresponde ao tempo +� . Esses valores encontrados nos permitirão 
determinar o termo %� da série de Fourier como será mostrado mais 
adiante. 
Observe que para um sinal H � 2�+�, dividindo-se seu 
período em m intervalos, têm-se para o cálculo de %�: 
 %� � �� > 2�+� +�� � �� ∑ 2�+�� ∆+'��� � �� ∑ 2�+�� �''��� = �' ∑ 2�+�� '��� . 
De forma similar, para os coeficientes dos termos em seno ('� , ? � 1, 2, 3, … , #), têm-se: '� � �� > 2�+� "5# �?�+� +�� � ��∑ 2�+�� "5# �?�+�� ∆+'��� � ��∑ 2�+�� "5# �?�+�� '��� �'.⇒ '� � �'∑ 2�+�� "5# �?�+�� '��� . 
De forma similar, para os coeficientes dos termos em co-seno ((� , ? � 1, 2, 3,… , #), têm-se: (� � �'∑ 2�+�� *<" �?�+�� '��� . 
Observe que para o ponto central do k-ésimo intervalo �+�), tem-se o tempo: +� � �E � 0,5� �'. 
Para o ângulo �θ�,�) correspondente ao i-ésimo harmônico e ao k-ésimo intervalo de tempo, tem-se: 
θ�,� � ?�+� � ? ��� �E � 0,5� �' � ? �E � 0,5� ��' . 
Exemplo: Para o mesmo exemplo da seção (6.5.1), sinal dente de serra, 
calcule %�; '�; (�; ? � 1, 2, 3com ‰ � 10. Têm-se: 
Período: D � 20 F"; p � 2�D � 2�20 w 10
! � 100� � ";⁄ x � 100 1<y+"; H � 2�+� � 3� + para 0 N + N D ou H � 2�)� � 3�� ). 
 
Considerando os valores encontrados para os somatórios na Tabela da página seguinte, têm-se: %� � �'∑2�+�� � ��� 500,00 � 50 x; 
 
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 '� � 2FŠ2�+�� "5# �� +�� � 210 ��161,80� � �32,36 x; '� � �'∑2�+�� "5# �2� +�� � ��� ��85,07� � �17,01 x; '! � 2FŠ2�+�� "5# �3� +�� � 210 ��61,80� � �12,36 x; (� � �'∑2�+�� *<" �� +�� � ��� �0,00� � 0; (� � 2FŠ2�+�� *<" �2� +�� � 210 �0,00� � 0; (! � 2FŠ2�+�� *<" �3� +�� � 210 �0,00� � 0; 
Série de Fourier: H � 2�+� � 50 � 32,36 "5# �100� +� � 17,01 "5# �200� +� � 12,36 "5# �300� +� volts. 
Observações finais sobre o Método Gráfico 1: 
• Para funções pares os termos em seno são nulos, portanto, é desnecessário calcular '� , ? � 1, 2, 3,… , #; 
• Para funções ímpares os termos em co-seno são nulos, portanto, é desnecessário calcular (� , ? �1, 2, 3,… , #; 
• Sinais com simetria de meia-onda têm os harmônicos pares nulos sendo desnecessário calculá-los; 
• Para sinais com simetria de meia-onda é necessário efetuar os cálculos somente para os primeiros 180˚, 
pois, os cálculos para os outros 180˚ resulta no mesmo valor numérico encontrado para os primeiros 180˚. 
Portanto, é apenas necessário duplicar o valor encontrado para meia onda; 
• Recomendou-se utilizar o ponto médio dos intervalos para os cálculos, mas, ressalta-se que para 
intervalos menores ou iguais a 5˚, a diferença dos resultados ao usar seus pontos médios ou seus extremos 
são insignificantes. 
 
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Método Gráfico 1 - Tabela de Análise para o Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier 
T (ms) = 20 V (volts) = 100 w (rd/s) = 314,159 N0 interv (m) = 10 
Ponto Tempo θ = wt f(θ) f(θ) sen (θ) f(θ) sen (2θ) f(θ) sen (3θ) f(θ) cos (θ) f(θ) cos (2θ) f(θ) cos (3θ) 
No (ms) (rd) (volts) (volts) (volts) (volts) (volts) (volts) (volts) 
1 1 0,314 5,00 1,545 2,939 4,045 4,755 4,045 2,939 
2 3 0,942 15,00 12,135 14,266 4,635 8,817 -4,635 -14,266 
3 5 1,571 25,00 25,000 0,000 -25,000 0,000 -25,000 0,000 
4 7 2,199 35,00 28,316 -33,287 10,816 -20,572 -10,816 33,287 
5 9 2,827 45,00 13,906 -26,450 36,406 -42,798 36,406 -26,450 
6 11 3,456 55,00 -16,996 32,328 -44,496 -52,308 44,496 -32,328 
7 13 4,084 65,00 -52,586 61,819 -20,086 -38,206 -20,086 61,819 
8 15 4,712 75,00 -75,000 0,000 75,000 0,000 -75,000 0,000 
9 17 5,341 85,00 -68,766 -80,840 -26,266 49,962 -26,266 -80,840 
10 19 5,969 95,00 -29,357 -55,840 -76,857 90,350 76,857 55,840 
Totais da coluna 500,00 -161,80 -85,07 -61,80 0,00 0,00 0,00 
 
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6.5.3 – Método Gráfico 2 
Embora o princípio do método anterior seja bem simples, dependendo do que se deseja com relação 
aos coeficientes da série de Fourier, existem métodos que exigem menos tempo para os cálculos numéricos. 
O Método Gráfico 2 é um deles. Para a equação y � f��� escrita na forma: f��� � C� � A� sen��� � A� sen�2 ��…� A� sen�n �� � B� cos��� � B� cos�2 ��…� B� cos �n �� 
pode-se determine os coeficientes ��; �� , �� , � � 1,2,3; usando as expressões: 2���� � ��� � ��� � �	� � �� � � 1 
��! � � 3 
��! � � 5 
��!…� � �4� � 1� 
��!; (I) 2���� � ��� � ��� � �	� ��� � ��0� � � 1 
�! � � 2 
�! � � 3 
�!…� � �2� � 1� 
�!; (II) �� � �� � �� � �� ��� �� � ��0�; (III) 
Onde q é o número da harmônica que está sendo determinada. 
Observação: Nas expressões acima, deve-se usar o valor médio da função em pontos de descontinuidades. 
Por exemplo, se na origem a função ���� varia de zero a 20 volts (é descontínua), então, o valor de ��0� que 
deverá ser usado nas expressões (II) e (III) é 10 volts. 
O método consiste em: 
1. Definir a harmônica (q) de maior ordem, de interesse; 
2. Substituir seu valor nas relações (I) e (II), desprezando-se os termos: �� , ��, para % > &, ou melhor, 
desprezam-se os termos de ordem maior que q; 
3. Determinam-se, assim, os valores de �� e �� de maior ordem; 
4. Diminua o valor de q e repita os procedimentos (2) e (3), acima até & � '; 
5. Determinados os valores de �� , � � 1, 2, 3,… , �, substitua seus valores na relação (III) e determine C�. 
Exemplo - Para o mesmo exemplo do item anterior, sinal dente de serra com: ( � 100 )*+,-, . � 20 /-, 
calcule os valores de ��; �� , �� , � � 1, 2, 3. Têm-se: 
a) Harmônica de maior ordem: q =3; 
b) Cálculo de 0� 
• � � 3 ⇒ 1 
�� � 
 234 � 30° 4� � 1 � 11 5 ; 
• 2 6 3 ��� � �� � ��� ��� � � 1 
! � � 3 
! � � 5 
! ��� � 11 
!; 
• 6�� � 8,33 � 25,00 � 41,67 � 58,33 � 75,00 � 91,67 � �50; 
• �� � � ��
 � �8,33. 
c) Cálculo de 0� 
• � � 2 ⇒ 1 
�� � 
� 234 � 45°4� � 1 � 7 5 ; 
• 2 6 2 ��� � �
 � ��� ��� � � 1 
�! � � 3 
�! � � 5 
�! ��� � 7 
�!; 
• 4 �� � 12,5 � 37,5 � 62,5 � 87,5 � �50; 
• �� � � ��� � �12,5. 
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d) Cálculo de 0� 
• � � 1 ⇒1 
�� � 
� 234 � 90° 4� � 1 � 3 5; 
• 2 6 1 ��� � �� � �� � �� � � 1 
�! � � 3 
�! � 25 � 75 � �50; 
• �� � �� � � ��� � �25; 
• �� � �25� �� � �25 � 8,33 � �33,33. 
e) Cálculo de ;� 
• � � 3 ⇒1
� � 
� 234 � 60° 2� � 1 � 5 5 ; 
• 2 6 3 ��� � �� � ��� ��� � ��0� � � 1 
�! � � 2 
�! � � 3 
�! � � 4 
�! � � 5 
�!; 
• 6 �� � 50� 16,67 � 33,33 � 50,00 � 66,67 � 83,33 � 0; 
• �� � 0. 
f) Cálculo de ;� 
• � � 2 ⇒1
� � 
� 234 � 90°2� � 1 � 3 5; 
• 2 6 2 ��� � �
 � ��� ��� � ��0� � � 1 
�! � � 2 
�! � � 3 
�!; 
• 4�� � 50� 25 � 50 � 75 � 0; 
• �� � 0; 
g) Cálculo de ;� 
• � � 1 ⇒1
� � 
� 234 � 180°2� � 1 � 1 5; 
• 2 6 1��� � �� � �� � �� � ��0� � ��1<� 
• �� � �� � 0 
• �� � 0 
h) Cálculo de =� 
• �� � �� � �� � �� � ��0�; 
• �� � 50� ��� � �� � ��� � 50 � 0; 
• �� � 50. 
i) Série de Fourier 
• ��,� � 50 � 33,33 ->? �100< ,� � 12,5 ->? �200< ,� � 8,33 ->? �300< ,� volts. 
 
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6.5.4 – Comparação entre os Métodos Gráficos 1 e 2 
• Em geral o Método 1 necessita de mais cálculos que o Método 2; 
• A precisão do Método 1 depende exclusivamente do número de intervalos (m) em que foi subdividido o 
período T. Quanto mais intervalos, mais preciso, embora aumente a quantidade de cálculos necessários; 
• No Método 2, ao calcular o coeficiente de maior ordem Aq ou Bq, despreza-se os valores dos 
coeficientes de maior ordem Ai, Bi para i > q. Com isto provoca-se erros em seus valores, e também, 
estendendo-os para os coeficientes de menor ordem, já que os mesmos dependerão dos valores 
numéricos dos termos de maior ordem. Observe que A1 depende de A3, A5, A7,... ; B2 depende de B6, B10, 
B14, ... , e, assim, sucessivamente; 
• Tendo em vista o exposto acima concluímos que a precisão do Método 2 depende da forma de onda, ou 
seja, se seus coeficientes tendem à zero rapidamente, ao desprezarmos os termos de maior ordem o erro 
não será crítico, mas se isto não for verdade, teremos um erro muito grande a menos que esteja-se 
trabalhado com o termo de maior ordem elevado de modo a amenizar os erros nos cálculosde todos os 
coeficientes da série de Fourier; 
• Em geral, caso deseja-se analisar apenas uma única harmônica, o Método 1 é preferível. 
6.6 – Definições 
a) Espectro de Linha (de Raias) 
É a representação gráfica das amplitudes (C) das harmônicas das ondas. 
Exemplo - Para a onda dente de serra mostrada ao lado, 
onde: @ � ��,� � �� , � 5.000 , para 0 B , B .; @ � ��C� � ��
 C; @�,� � 50 � 31,83 ->? 100< , � 15,92 ->? 200< , � 
 10,61 ->? 300< , � �� ���
 � ->? 100< ,; �� � 50; �� � �� � �31,83; �� � �� � �15,92; �� � �� � �10,61; �� � �� � �7,96; �� � �� � �6,37; �
 � �
 � �5,31; �	 � �	 � �4,55; �� � �� � �3,98; 
Tem como resultado o espectro indicado ao lado. 
 
Têm-se as considerações sobre o espectro de linhas de uma determinada onda não-senoidal: 
• As amplitudes das linhas diminuem mais rapidamente para as séries que convergem mais rapidamente; 
• Ondas com descontinuidades possuem espectro com amplitudes que decrescem lentamente, por 
exemplo, o sinal dente de serra e a onda quadrada (retangular); 
• Ondas sem descontinuidade e de conformação suave convergem rapidamente para a função e apenas 
alguns termos são suficientes para reproduzir a onda; 
• O conteúdo harmônico (harmônicas existente na série de Fourier) e o espectro de linhas são partes 
integrantes da natureza da onda e não se modifica com o método de análise. Por exemplo, um 
deslocamento da origem não afeta o espectro de linhas. 
 
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b) Síntese da forma de Onda 
Síntese é a reunião dos componentes, de modo a reconstruir o todo. Na análise de Fourier, ele é a 
combinação dos termos da série trigonométrica, geralmente os primeiros quatro ou cinco, de modo a se 
produzir uma aproximação da onda original. 
Exemplo – Veja na figura ao lado a mesma 
onda dente de serra do item anterior (����) e a 
síntese da série de Fourier correspondente 
(�D���) onde: ( � 100 )*+,-; ���� � ��
 � � 15,915 �; �D��� � 50 � ∑ ���
 � ->? ������ ; �� � 50; �� � �� � �31,83; �� � �� � �15,92; �� � �� � �10,61; �� � �� � �7,96; �� � �� � �6,37; �
 � �
 � �5,31; �	 � �	 � �4,55; �� � �� � �3,98; 
Observe que nos cálculos da composição da síntese da série de Fourier, neste exemplo, utilizaram-se 
nove termos da série, o termo constante e as harmônicas: 1ª, 2ª, 3ª, ... , e 8ª, embora, por questão de 
legibilidade da figura, mostrou-se apenas o termo constante e as harmônicas: 1ª, 2ª, 3ª e 4ª. À medida que 
aumentarmos o número de termos da série, a síntese convergirá para a onda dente de serra, com exceção do 
ponto de descontinuidade quando, então, convergirá para o ponto médio da descontinuidade. 
6.7 – Ondas de mesma forma de onda 
As condições para que duas ondas tenham a mesma forma de onda são: 
1. Devem conter as mesmas harmônicas; 
2. As relações das harmônicas para as fundamentais devem ser as mesmas para as duas ondas; 
3. As harmônicas devem estar igualmente espaçadas com relação às fundamentais. 
Exemplo - Verificar se as ondas abaixo têm a mesma forma de onda. 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).º1405cos5,2º15035º6010
;º40525º60350º30100
−+−+−=
++−−+=
ttsentseni
tsentsentsene
ωωω
ωωω
 
a) Mesmas harmônicas? 
Sim, pois os dois sinais contêm a fundamental, a 3ª e a 5ª harmônicas. 
b) Mesmas relações com relação às fundamentais? 
Sim, já que 10
10
100
'
1
1 ==
C
C ; 10
5
50
'
3
3 ==
C
C
 e .10
5,2
25
'
5
5 ==
C
C
 
 
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c) Mesmas defasagens das harmônicas? 
Operação: avançar i de 90º ou recuar e de 90 º de modo que as fundamentais fiquem em fase. 
( ) ( ) ( )º450º1405cos5,2º270º15035º90º6010 +−++−++−= ttsentseni ωωω ; 
( ) ( ) ( )º3105cos5,2º12035º3010 +++++= ttsentseni ωωω ; 
( ) ( ) ( ).º4055,2º6035º3010 ++−−+= tsentsentseni ωωω
 
Sim, os dois sinais têm as mesmas defasagens em relação às fundamentais, pois, com o adianto 
de 90˚ da fundamental da corrente, as diferenças de fases dos dois sinais ficaram iguais e, 
respectivamente, de 30˚, -60˚ e de 40˚ para a
 
1ª, 3ª e 5ª harmônicas. 
d) Conclusão final 
Como as três condições foram atendidas conclui-se que o sinal de tensão (e) e o sinal de 
corrente (i) têm mesmas formas de onda. 
Observe a seguir o efeito sobre a forma de onda dos sinais �����, ����� e �����, ao deslocar-se a 
terceira harmônica com relação à fundamental. Note, também, que ao combinarem-se estes sinais dois a 
dois, estas combinações atenderiam as condições (1) e (2) acima e, só não têm a mesma forma de onda 
porque não atendem a condição (3). 
 
 
 ����� � 100 ��� � 	 40 ��� 3�. 
 
 
 
 
 ����� � 100 ��� � � 40 ��� 3�. 
 
 
 
 
 ����� � 100 ���� 	 40 
�� 3�. 
 
 
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6.8 – Valor eficaz de uma onda não-senoidal 
Por definição, o valor eficaz de um sinal � ��� qualquer é dado por ��� � 	�� 
 �������
��� . 
Aplicando-se esta definição a onda complexa geral ���� � �� � �	� ��� �� � �	� ��� �2�� � ��� � �	� ��� �3�� � ��� � � 
tem-se: ���� � �� 
 ��� � �	� ��� �� � �	� ��� �2�� � ��� � �	� ��� �3�� � ��� � ���
��� ; ���� � �� 
 ���� � �	�� ������ � �	�� �����2�� � ��� � �� �� �	� ��� �� � ���� �	� ��� �� ��� …� �	� �	� ��� �� ��� �2�� � ��� � �� 
�. 
Lembrando-se que: � � ����; 
 ��� �� ��� ��
� � �� 
 
�� 
������� 
� � 
 
�� 
������� 
� �� �� ; 
 ����� 
� � �� 
 ��
�� �θ� 
��� ; 
e, também, que integrais em períodos completos de funções em seno e em co-seno são nulos, têm-se que: ���� � �� ���� � � ����� � � ����� � � ����� � ��� ⇒ ��� � 	���� � ����������������� ����� �; 
onde �	� é o valor máximo da i-ésima harmônica. Como para sinais senoidais, �� � ���√� , onde �� é o valor 
eficaz da i-ésima harmônica, tem-se que 
��� � 	��� � ��� � ��� ��� ��� . 
Exercício 6.7 - Qual o valor eficaz da onda: ���� � 100 ��� ��� � 30°� � 50 ��� �3�� � 60°� � 25 ��� �5�� � 40°� 
Solução: $�� � 	������������� � 81,01; $�� � '70,71� � 35,36� � 17,68� � 81,01. 
 
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6.8.1 – Valor eficaz de uma onda dente de serra 
Para o sinal não-senoidal indicado na figura ao lado, será calculado 
os valores eficazes para o sinal original (valor verdadeiro) e para suas 
séries de Fourier determinadas pelo Método Literal e pelos dois Métodos 
Gráficos, considerando-se apenas quatro termos da série, o termo constante 
(sinal DC) e os três primeiros termos em seno (as três primeiras 
harmônicas). 
 
a) Valor eficaz do sinal original ) � ���� � �� � � ���������� � � 5.000 � +,-��; ��� � 	�� 
 .�� �/� 
��� = 	���� 
 �� 
��� = 	���� ���� ��� = 	���� ��� = 	��� = �√� = ���√� = 57,735 V. 
b) Valor eficaz da série de Fourier com seus coeficientes determinados pelo método Analítico )��� � 50 � 31,83 ��� 1000 � � 15,92 ��� 2000 � � 10,61 ��� 3000 �; ��� � 	50� � ��,��� � ��,��� � ��,���� ⇒ ��� � 56,48 �. 
c) Valor eficaz da série de Fourier com seus coeficientes determinados pelo Método Gráfico 1. Têm-se: ) � ���� � 50 � 32,36 ��� �1000 �� � 17,01 ��� �2000 �� � 12,36 ��� �3000 �� volts. ��� � 	50� � ��,������,������,���� � 56,96 �. 
d) Valor eficaz da série de Fourier com seus coeficientes determinados pelo Método Gráfico 2 ) � ���� � 50 �33,33 ����1000 �� � 12,5 ��� �2000 �� � 8,33 ��� �3000 �� volts; ��� � 	50� � ��,������,����,���� � 56,29 �. 
6.9 – Potência Média (Real) devido a sinais não-senoidais 
Por definição, a potência média de um sinal � ��� qualquer é dada por 2 � �� 
 ���� ���� 
��� . 
Aplicando-se esta definição aos sinais ���� e ���� abaixos: ���� � $� � $	� ��� ��� � ��� � $	� ��� �2�� � ��� � � ; ���� � �� � �	� ��� ��� � 3�� � �	� ��� �2�� � 3�� � � ; 
e, após, efetuarmos os produtos ���� por ���� na expressão da potência média, teremos produtos de 
freqüências desiguais e que integradas num período completo são nulas. Restariam os produtos de termos de 
freqüências iguais como, por exemplo: 
�� 
 4 ��� �5�� � �� 6 ��� �5�� � 3� 
��� = �� 
 !� 7,� 8�5�� � �� � �5�� � 3�9 
� ��� �� 
 !� 7,� �2 5�� � � � 3� 
���:;;;;;;;;;<;;;;;;;;;="� = �� !� 7,��� � 3�8� � 09 � !� 7,��� � 3�. 
Estendendo-se este raciocínio para todas as harmônicas, obter-se-ia a expressão para a potência média: 2 � $� �� � $� �� 7,� ��� � 3�� � $� �� 7,� ��� � 3�� � $� �� 7,� ��� � 3�� � � . 
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Exemplo 6.8 – Determinar a potência média relativa aos sinais de tensão ���� e de corrente, ����: ���� � 100 ��� ��� � 30°� � 50 ��� �3�� � 60°� � 25 ��� �5��� volts; ���� � 20 ��� ��� � 30°� � 15 ��� �3�� � 30°� � 10 7,� �5�� � 60°� ampères. 
Observe que: 7,� �5�� � 60°� � ��� �5�� � 60°� 90°� � ��� �5�� � 30°�. 
Solução: 2 � ���×��� cos830°� ��30°�9 � ��×��� cos860°� 180°� 30°9 � ��×��� cos�0°� 30°� � 1.000 7,� 60°� 375 cos ��150°� � 125 cos ��30°� � 500 � 324,76 � 108,25 ⇒ 2 � 283,49 A 
Problema 6.7 – Determinar a potência real correspondente aos sinais de tensão ���� e de corrente, ����: ���� � 100 ��� ���� � 50 ��� �5�� � 80°� � 40 7,� �7�� � 30°� volts; ���� � 30 ��� ��� � 60°� � 20 ��� �5�� � 50°� � 10 ��� �7�� � 60°� ampères. 
Solução: 2 � ��� × ��� cos 80°� 60°9 � �� × ��� cos 8�80°� ��50°�9 � #� × ��� cos ��30°� 90°� � 60°� ⇒ 2 � 750 � 433,01 � 100 ⇒ 2 � 1.083,01 A . 
6.10 – Potência Aparente (Volt Ampère) 
Potência aparente para sinais não-senoidais são determinados pelo produto dos valores eficazes da 
tensão e da corrente. Assim, B � $�� ��� � 	$�� � $����$����$������ ×	��� � ����������������� . 
Exemplo 6.9 – Determinar a potência aparente para os dados do Exemplo 6.8. 
Solução: ���� � 100 ��� ��� � 30°� � 50 ��� �3�� � 60°� � 25 ��� �5��� volts; ���� � 20 ��� ��� � 30°� � 15 ��� �3�� � 30°� � 10 ��� �5�� � 30°� ampères. B � 	������������� ×	������������ � 81,01 × 19,04 � 1.542,43 �4 . 
6.11 – Fator de Potência (fp) 
Fator de potência para sinais não-senoidais é definido como a relação da potência média pela 
potência aparente. Assim, 
fp = %& . 
Exemplo. 6.10 – Para os exemplos anteriores determinar o fator de potência. 
Solução: �C � %& � ���,#��.�#�,# � 0,1838. 
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6.12 – Ondas Senoidais Equivalentes 
Uma onda senoidal equivalente de corrente ou de tensão é uma onda cujo valor eficaz é o mesmo da 
onda não-senoidal que está sendo substituída. Ondas senoidais equivalentes devem ser usadas com 
prudência, porque cálculos baseados nas mesmas geralmente levam a erros, como por exemplo, adição e 
subtração de ondas equivalentes. 
No cálculo de ondas senoidais equivalentes de tensões e de correntes, o ângulo de fase é determinado 
de modo que a potência real e o fator de potência sejam os mesmos das ondas reais. O ângulo D estará 
atrasado ou adiantado, dependendo do ângulo das fundamentais das tensões e correntes: Se as fundamentais 
estiverem em fase e o fator de potência não for unitário, o ângulo de fase é indeterminado (atrasado ou 
adiantado). 
Exemplo 6.11 – Determinar as ondas senoidais equivalentes dos sinais de tensão ���� e de corrente, ����: ���� � 100 ��� ��� � 30°� � 50 ��� �3�� � 60°� � 25 ��� �5��� volts; ���� � 20 ��� ��� � 30°� � 15 ��� �3�� � 30°� � 10 7,� �5�� � 60°� ampères. 
Solução: ��� � 	������������� � 81,01; ��� � 	������������ � 19,04; �C � %& � ∑ $�	� ��	� 
�� 
)��*��� ��	 × ��	 � ���,#��.�#�,#� � 0,1838; 7,�D � 0,1838 ⇒ D � 79,41°; 
Como ���� está atrasado de ����, têm-se as ondas senoidais equivalentes: E ���� � √2 × 81,01 ��� ������ � √2 × 19,03 ��� ��� � 79,41°�G. 
Ou, mantendo-se o defasamento de ����: E ���� � √2 × 81,01 ��� ��� � 30°����� � √2 × 19,03 ��� ��� � 49,41°�G. 
Problema 6.8 – Determinar as ondas senoidais equivalentes dos sinais de tensão ���� e de corrente, ����: � � 100 ��� �� � 50 ��� �5�� � 80°� � 40 7,� �7�� � 30°� V � � 30 ��� ��� � 60°� � 20 ��� �5�� � 50°� � 10 ��� �7�� � 60°� A 
Solução: ��� � 	���������#��� � 83,96; ��� � 	������������ � 26,446; 2 � 1.083 A; �C � ������,�� × ��,##� � 0,48775; D � 60,8° adiantado. 
Ondas senoidais equivalentes: E � � √2 × 83,96 ��� �� � 118,74 ��� ��;� � √2 × 26,446 ��� ��� � 60,08°� � 37,4 ��� ��� � 60,08°�.G 
 
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6.13 – Fator de Desvio (fd) 
É definido como sendo a relação da diferença máxima 
entre ordenadas correspondentes de uma onda real ���� e uma 
onda senoidal equivalente ��+��� pela ordenada máxima da 
senoidal equivalente ($	), quando as duas ondas são 
superpostas e deslocadas ao longo do eixo X de tal forma a 
fazer esta diferença máxima um mínimo. Assim, o fator de 
desvio pode ser determinado pela expressão: �
 � 	�	-	
���
�������� �� ��.	á0�	- 122´44444, 55644444, 776444489$� . 
Ondas senoidais equivalentes são algumas vezes 
 
empregadas para determinar o desvio de uma onda não-senoidal e um fator de desvio da ordem de 0,1 é 
comumente admissível para máquinas comerciais. 
6.14 – Análise de um circuito série para ondas não-senoidais 
Aplicou-se o sinal dente de serra ) � ���� sobre o circuito RLC mostrados abaixo, onde � � 50 +,-�� e � � 20 5�. Pede-se determinar os valores instantâneos de ���� e +:���, bem como, os 
valores medidos pelos instrumentos de medição: A, V, VC e W. Observação: Usar nos cálculos a 
aproximação do sinal dente de serra com os quatro primeiros harmônicas da série de Fourier. 
 
 
Solução: 
Analisando o sinal dente de serra aplicado ao circuito e considerando solução analítica do item 
(6.5.1), têm-se que: I� � 0 (valor médio nulo num período completo); 6� � 0, � � 1, 2, 3, … , �. (função ímpar); 4� � � ��; ��, � � 1, 2, 3,… , �; � � �;� � �;�� × ���� � 1000 JK
/�. 
Dessa forma resulta para a tensão aplicada ao circuito, ���� � ) � ����, que: ���� � � ��; .��� �� � <�� �=�� � <�� �=�� � <�� #=�# /; ���� � � ���; .��� 1000 � � <�� ���; �� � <�� ���; �� � <�� #��; �# /; ���� � �31,83 ��� 1000 � � 15,915 ��� 2000 � � 10,610 ��� 3000 � � 7,958 ��� 4000 �. 
 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 31 
Tabela com os parâmetros elétricos do circuito para cada harmônica. 
Nº da 
Harmônica 
R 
(Ω) 
XL 
(Ω) 
XC 
(Ω) 
X= XL- XC 
(Ω) 
Z ∠θZº 
(Ω) 
1ª 6 15,708 31,837 -16,123 17,203 ∠-69,588º 
2ª 6 31,416 15,915 15,500 16,621 ∠68,839º 
3ª 6 47,124 10,610 36,514 37,003 ∠80,668º 
4ª 6 62,832 7,958 54,874 55,201 ∠83,760º 
Tabela com os parâmetros elétricos do circuito para cada harmônica (continuação). 
Nº da 
Harmônica 
Vm ∠θv 
(volts) 
Im ∠θi 
(ampères) 
VCm ∠θc 
(volts) 
�	�	2 cos ��> � ��� 
(watts) 
1ª 31,83 ∠180º 1,850 ∠249,588º 58,895 ∠159,588º 10,270 
2ª 15,915 ∠180º 0,958 ∠111,16º 15,239 ∠21,161º 2,750 
3ª 10,610∠180º 0,287 ∠99,33º 3,042 ∠9,331º 0,247 
4ª 7,958 ∠180º 0,144 ∠96,24º 1,147 ∠6,240º 0,062 
Considerando os valores calculados na Tabela acima, têm-se: 
Leitura do Amperímetro (A): ��� � 	∑���� � 1,491 4; Leitura do Voltímetro �V�: ��� � 	∑���� � 26,855 �; Leitura do Voltímetro �V?�: �:�� � 	∑����� � 43,078 �; Leitura do Vatímetro �A�: 2@�2A � ∑ ����� cos ��> � ��� � 13,327 A; Leitura do Vatímetro �A�: 2@�2A � [ ���� � 6 × 1,491� � 13,338 A; ���� � 1,850 ��� �1000� � 249,59°� � 0,958 ��� �2000� � 111,16°� � 
 0,287 ��� �3000� � 99,33°� � 0,144 ��� �4000� � 96,24°� 4; +:��� � 58,895 ��� �1000� � 159,588°� � 15,239 ��� �2000� � 21,161°� + 
 3,024 ��� �3000� � 9,331°� � 1,147 ��� �4000� � 6,240°� 4; 
Para o mesmo exemplo anterior, trabalhando na forma fasorial, têm-se: 
Para a 1ª harmônica: ��� � \ � 1000 JK
/�� �]� � ��,���√� � 22,507 � ⇒ �]� � 22,507 ^180° �; _]� � [� � `�aB� � a:�� � 6 � `�15,708 � 31,831� � 6 � `16,123 � 17,203 ^ � 69,588° Ω; �]� � �C�DC� � ��,���∟���° ��,���∟���,���° � 1,308 ^ � 110,412° 4; �]:� � a]:� �]� � �`31,831 × 1,308 ^ � 110,412° � 41,635 ^159,588° �. 
 
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UFU – FEELT – Mauro Guimarães 32 
 
Para a 2ª harmônica: �\� � 2� � 2000 JK
/�� �� � ��,���√� � 11,254 � ⇒ �]� � 11,254 ^180° �; _]� � 6 � `�31,416 � 15,915� � 6 � `15,500 � 16,621 ^68,839° Ω; �]� � ��,��#∟���° ��,���∟��,���° � 0,677 ^111,161° 4; �]:� � �`15,915 × 0,677 ^111,161° � 10,774 ^21,161° �. 
 
Para a 3ª harmônica: �\� � 3� � 3000 JK
/�� �]� � 7,502 ^180° �; _]� � 6 � `�47,124 � 10,610� � 6 � `36,514 � 37,003 ^80,668° Ω; �]� � 0,2027 ^99,332° 4; �]:� � 2,151 ^9,332° �. 
 
Para a 4ª harmônica: �\# � 4� � 4000 JK
/�� �]# � 5,627 ^180° �; _]# � 6 � `�62,832 � 7,958� � 6 � `54,874 � 55,201 ^83,760° Ω; �]# � 0,1019 ^96,24° 4; �]:# � 0,8109 ^6,24° �. 
Têm-se, então: ���� � 1,308 × √2 ��� �1000� � 110,412°� � 0,677 × √2 ��� �2000� � 111,161°� � 
 0,2027 × √2 ��� �3000� � 99,332°� � 0,1019 × √2 ��� �4000� � 96,24°� A; +:��� � 41,635 × √2 ��� �1000� � 159,588°� � 10,774 × √2 ��� �2000� � 21,161°� � 
 2,151 × √2 ��� �3000� � 9,332°� � 0,8109 × √2 ��� �4000� � 6,24°� V. 
 
Para a leitura dos instrumentos têm-se: 
Leitura de A: ��� � '1,308� � 0,677� � 0,2027� � 0,1019� � 1,490 4; 
Leitura de V: ��� � '22,507� � 11,254� � 7,502� � 5,627� � 26,854 �; 
Leitura de �: : �:�� � '41,635� � 10,774� � 2,151� � 0,8109� � 43,078 �; 
Leitura de W: 2 � [ × ���� � 6 × 1,490� � 13,321 A; 
Leitura de W: 2 � 22,507 × 1,308 cos ��69,558°� � 11,254 × 0,677 cos �68,839°� � 
 7,502 × 0,2027 cos �80,668°� � 5,627 × 0,1019 cos �83,760°� = 
 10,267� 2,750 � 0,247 � 0,062 � 13,366 A. 
 
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6.15 – Adição e subtração de ondas complexas 
Considere o circuito aditivo ��� � �� � ��� mostrado na figura abaixo, onde: �� � 10 ��� ��� � 30°� � 5 ��� �3�� � 40°�; �� � 15 ��� ��� � 10°� � 10 ��� �3�� � 60°�. 
 
Para determinar a corrente ��, soma de �� com ��, basta adicionar os componentes de mesma 
freqüência. Assim, para calcular �� � �� � �� deve-se somar, separadamente, cada harmônica. Têm-se: 
a. 1ª Harmônica (Fundamental) �� � �� � �� = 10 ��� ��� � 30°� � 15 ��� ��� � 10°�; �� � 10 ���� \� cos 30°� ��� 30° cos\�� � 15 ���� \� cos 10°� ��� 10° cos\��; �� � 8,66 ��� \� � 5 cos\� � 14,772 ��� \� � 2,605 cos\� � 23,432 ��� \� � 2,395cos\�; �� � 23,554 ��� �\� � 5,837°�. 
Alternativamente, poder-se-ia efetuar operações na forma complexa em vez da forma trigonométrica. �� � �� � �� = 10 ^30°� 15 ^ � 10° � �8,66 � `5� � �14,772 � 2,605� � 23,432 � `2,395; �� � �� � �� = 23,554 ^5,837° ; 
 
b. 3ª Harmônica �� � �� � �� = �5 ��� �3�� � 40°� � 10 ��� �3�� � 60°� � 5 ^140°� 10 ^60°; �� � �� � �� � ��3,83 � `3,214� � �5 � `8,66� � 1,17 � `11,874 � 11,932 ^84,874° 
c. Onda resultante �� � 23,554 ��� ��� � 5,837°� � 11,932 ��� �3�� � 84,874°�. 
d. Observações �����72E � 	������� � 7,906 ; �����72E � 	�������� � 12,746; �����72E � 	��,��#����,����� � 18,670; 
Nota-se que �����72E � �����72E � 7,906 � 12,746 � 20,642 b �����72E � 18,670. 
No caso de sinais subtrativos, com procedimento similar, efetuam-se operações de subtrações em vez 
de adições. Por exemplo, no circuito acima, conhecendo-se �� e ��, determinar-se-ia �� fazendo: �� � �� � ��, separadamente, para cada harmônica de �� e de ��. 
 
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6.16 – Análise de um circuito paralelo para ondas não-senoidais 
Resolva separadamente cada ramo como no caso de circuito série e, a seguir, adicione os efeitos dos 
dois ramos paralelos de acordo com a seção anterior, adição e subtração de ondas complexas. 
Exemplo - Suponha que ao resolver os ramos paralelos obtiveram-se as correntes: �� � 2� 5 ��� ��� � 30°� � 2 ��� �3�� � 90°� 4; �� � 3 � 6 ��� ��� � 20°� � 3 ��� �3�� � 40°� 4. 
Para obter-se a corrente � � �� � ��, basta efetuar a soma vetorial dos sinais de mesma freqüência. Assim, � � �� � �� � 5 � 9,98 ��� ��� � 2,57°� � 4,55 ��� �3�� � 59,67°� A. 
Têm-se os valores eficazes para as correntes: �� � 	2� � ������ � 4,30 4; �� � 	3� � ������ � 5,61 4; � � 	5� � �,����#,���� � 9,23 4. 
Observe que, em geral, o valor eficaz de um sinal não-senoidal soma de outros dois sinais não-
senoidais não é igual à soma de seus valores eficazes. (�� � �� b � já que 4,30 � 5,61 � 9,91 b 9,23). 
6.17 – Introdução de Harmônicas devidas a variação nos parâmetros do circuito 
Existem situações em circuitos elétricos onde um sinal de tensão senoidal puro pode produzir uma 
onda de corrente com harmônicas conforme mostrados, a seguir. 
Exemplo 1 -Filamento muito fino e material resistivo com 
coeficiente de temperatura elevado. 
Assume-se que o fio é suficientemente fino de modo que 
esquentará e esfriará durante o ciclo, à medida que a corrente varia 
de zero ao valor máximo. Dessa forma, a resistência varia durante 
o meio ciclo com valores mais elevados para pontos próximos do 
pico de tensão achatando assim, o sinal de corrente (��) com 
relação ao sinal senoidal (��). Este achatamento da senóide 
introduz harmônicos no sinal de corrente �����. 
 
 
Exemplo 2 - Tensão aplicada a uma bobina de indutância com 
núcleo de ferro. 
Para correntes maiores (trecho 6Icccc das curvas 6 × d e e × d), ocorre a diminuição da indutância e da reatância da bobina 
devido à operação numa parte mais elevada da curva de 
magnetização do núcleo de ferro. Dessa forma, a curva da corrente 
fica mais pontiaguda com relação à senóide da tensão aplicada. 
Em situações normais deve-se operar na região 46cccc da curva de 
magnetização 6 × d onde não ocorre saturação do núcleo e a 
permeabilidade magnética permanece praticamente constante. 
 
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6.18 – Ondas moduladas 
Ondas moduladas consistem em uma combinação de ondas de diferentes freqüências e são, portanto, 
classificadas como ondas complexas ou não-senoidais. A transmissão de informações por rádio é, 
comumente, realizada por meio de alguma combinação das freqüências portadoras e de áudio. 
Representações gráficas de uma onda portadora de 
freqüência relativamente alta (de 540 a 1.600 kHz - radiofusão) e 
de uma onda moduladora de freqüência relativamente baixa (de 30 
a 10.000 Hz - audiofreqüências) estão mostradas na figura ao 
lado.Elas são combinadas no transmissor de tal modo que sejam 
obtidas variações úteis na Amplitude (mostrada na figura ao lado) 
ou na Freqüência. 
Para uma modulação de amplitude considera-se: 
a) Onda portadora não modulada: 4� ��� ��; 
b) Onda moduladora: $	6 ��� ���; 
c) Onda modulada: �� � �4� � $	6 ��� \���:;;;;;<;;;;;= �� ��� ��, onde a 
amplitude 4�6 pode ser variada aplicando-se a onda 
moduladora �$	 ′ ��� ���� ao enrolamento de campo do alternador que gera a onda portadora; 
a) Grau de modulação (gm) que, em geral, varia de 50% a 100% é definido como sendo: fg � F��G� × 100 � ���á��G�G� × 100. 
Desenvolvendo-se a equação geral da onda modulada em amplitude obtém-se: �� � �4� � $	 ′ ��� ���� ��� �� � 4� ��� �� � $	 ′ ��� �� ��� ��� ; �� � 4� ��� ��:;;<;;=
�� � $� ′� cos �� � ��� �:;;;;;<;;;;;=
��� � $� ′� cos �� � ����:;;;;;<;;;;;=
���� ; 
onde: 
(I) Sinal de mesma freqüência da onda portadora que é a própria onda portadora; 
(II) Sinal de freqüência igual à diferença das freqüências da onda portadora e da onda moduladora, 
designada onda de freqüência inferior da faixa lateral; 
(III) Sinal de freqüência igual à soma das freqüências da onda portadora e da onda moduladora, 
designada onda de freqüência superior da faixa lateral. 
Resumindo, pode-se ocorrer modulação de Amplitude ou de Freqüência, onde para a tensão 
portadora modulada �� � 4�6 ��� ��, pode-se ter: 
• Modulação da Amplitude: 4�6 � � (moduladora); 
• Modulação da Freqüência: � � � (moduladora). 
 
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Problemas - Capítulo 6 - Corcoran 
 
 
 
 
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Respostas dos Problemas - Capítulo 6 - Corcoran 
6.9) 
 
6.10) 
a) Co = 2,5; A1 = 30
pi
; A3 = 
30
3pi
; c) 
 Demais nulos; 
b) i = 2,5 + 30
pi
 sen wt + 30
3pi
 sen 3wt 
a) Co = 2,5; B1 = 30
pi
; B3 = -
30
3pi
; B5 = 
30
5pi
; 
Demais nulos; 
b) i = 2,5 + 30
pi
 cos wt - 30
3pi
 cos 3wt + 30
5pi
 cos 5wt; 
c) Similar à questão 6.9. 
 
6.11) Co = 0,875; A1 = 1,43; B1 = 0,22. 
6.12) Co =0; A1 = 10; A2 = 0; A3 = -1; B1 = 0; B2 = -2. 
6.13) Co =0; A1 = 10; A2 = 0; A3 = -1; B1 = 0; B2 = -2; B3 = 0. 
6.14) v = 5 sen (wt - 36,87°) + 10 sen (2wt + 139,99°) + 2,5 sen (3wt - 143,13°). 
6.15 ) b) y = 11,59 sen wt - 1,41 cos wt + 2,87 sen 3wt + 0,333 cos 3wt - 1,8 sen 5wt 
 + 1,15 cos 5wt - 0,0828 sen 7wt - 0,0757 cos 7wt; 
 c) y = 11,68 sen (wt - 6,96°) + 2,82 sen (3wt + 6,62°) + 2,13 sen (5wt + 147,4 °) 
 + 0,112 sen (7wt - 137,6°). 
6.16) Mesmos valores do problema 6.15. 
6.17) y = 0,9976 sen x - 0,0015 cos x + 0,52 sen 3x - 0,3 cos 3x + 0,2534 sen 5x 
 - 0,3043 cos 5x - 0,006 sen 7x - 0,0009 cos 7x; 
 y = 1 sen x + 0,6 sen (3x - 30°) + 0,396 sen (5x - 50,2°) - 0,00606 sen (7x + 8,54°). 
6.18) Nenhuma delas. Tanto v quanto i tem 2a harmônica e consequentemente não teremos 
simetria de ½ onda. 
6.19) Nenhuma delas. Para ter Simetria de ¼ de onda é necessário ter simetria ½ onda (o que 
nenhuma delas satisfaz) e, além disso, é necessário que todos sinais (harmônicos) 
passam pelo zero no mesmo instante. 
6.20) Sim. Satisfazem as três condições exigidas. 
6.21) Não. Satisfazem as duas primeiras condições, mas as diferenças de fases em relação a 
fundamental para a 3a e para a 5a harmônicas são diferentes. 
6.22) Eef = 81,01 volts; Ief = 16,20 ampères. 
6.23) Vef = 77,46 volts. 
6.24) Vef = 131,91 volts. 
6.25) Ief onda = 7,91 A; Ief série = 7,76 A. 
6.26) a)Imáx = 7 A; Imin = 3 A; Imed = 5 A; b) Sim; c) 5,20 A. 
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6.27) a) Sim; b) Imed (c.a.) = 4,243 A. 
6.28) a) 
 
 
b) Imax = 0,31 A; 
 Imin = 0,11 A; 
 Imed = 0,20 A; 
 Io ≠ 0,5 (Imax + Imin). 
6.29) a) Prova; b) Prova; c) 10% e 10%. 
6.30) Imax = 0,265 A; Imin = 0,135 A; Imed = 0,20 A. 
6.31) 918,5 W. 6.32) 506,19 W. 
6.33) 0,70. 6.34) 0,386. 
6.35) veq = 114,57 sen (wt + 30°) volts; ieq = 22,91 sen (wt + 75 , 57°) A. 
6.36) 0,5. 
6.37) I = 6,34 A; P = 241,32 W; fp = 0,465; VC = 97,55 V. 
6.38) v = 100 sen (wt - 96,87°) + 42,72 sen (2wt + 40,56°) V. 
6.39) i = 17,28 sen (wt + 19,74°) - 7,28 cos (3wt - 31,15°) A. 
6.40) I1 = 12,60 A; I2 = 6,30 A; It = 13,26 A. 
6.41) P1 = 794,26 W; P2 = 237,90 W; Pt = 1.032,16 W. 
6.42) fp1 = 0,797; fp2 = 0,478; fpt = 0,985. 
6.43) it = 30,41 sen (wt + 55,29°) + 10 sen (2wt + 90°) + 5 sen (3wt + 140°) A; 
 I1 = 16,20 A; I2 = 14,58 A; It = 22,91 A. 
6.44) isub = 18,03 sen (wt - 16,10°) - 17,32 sen 2wt + 15 sen (3wt - 40°) A; 
6.45) a) It = 20,3 A; b) I1 = I2 = 10,15 A; 
 c) I1 = 14,14 sen (377t - 8,13°) - 2,47 sen (3 × 377t - 39,78°) A; 
 d) Pt = 1.442,68 W; e) fp = 0,899. 
6.46) a) A1 = 10; B3 = 3,5; b) 10 sen x + 3,5 cos 3x. 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating 
Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). Cap. 6, p. 204-255. 
2. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Tradução: José Lucimar do Nascimento; 
revisão técnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. 
reimpressão, fev. 2008. Tradução de Introductory circuit analysis, tenth edition. Cap. 25, p. 756-771. 
3. IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. Tradução: Luis Antônio Aguirre, Janete Furtado 
Ribeiro Aguirre; revisão técnica: Antônio Pertence Júnior. 4. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 
2000. 848 p. Tradução de: Basic Engineering Circuit Analysis – 4 th edition. Cap. 18. p. 758-808. 
4. EDMINISTER, J. A. Circuitos Elétricos : reedição da edição clássica : resumo da teoria, 350 problemas 
resolvidos, 493 problemas propostos. Tradução de Sebastião Carlos Feital. Revisão e adaptação de 
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(ColeçãoSchaum). Cap. 15, p. 443-489.