C3 UnB cal3na a17 Auroux

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MIT OpenCourseWare
Multivariable Calculus, Fall 2007
Prof. Denis Auroux
Notas de Aula∗
Aula 17
Integrac¸a˜o em Coordenadas Polares
A relac¸a˜o entre as coordenadas cartesianas (x, y) e as coor-
denadas polares (r, θ) e´ dada por x = r cos θ e y = r sen θ. Essa
transformac¸a˜o e´ u´til quando o integrando ou a regia˜o de integrac¸a˜o
possuem uma expressa˜o mais simples em coordenadas polares.
O elemento de a´rea dessa transformac¸a˜o e´ ∆A ≈ (r∆θ)∆r,
conforme ilustra a figura ao lado. No limite, com ∆θ,∆r → 0,
obtemos dA = rdrdθ.
Exemplo 1 A integral da func¸a˜o f(x, y) = (1−x2− y2) sobre a regia˜o do disco x2 + y2 ≤ 1
que esta´ no primeiro quadrante e´ dada por∫∫
x2+y2≤1, x≥0, y≥0
(1− x2 − y2)dxdy =
∫ pi/2
0
∫ 1
0
(1− r2)r drdθ
=
∫ pi/2
0
([
1
2
r2 − 1
4
r4
]1
0
)
dθ
=
∫ pi/2
0
1
4
dθ =
pi
8
Em geral, na determinac¸a˜o dos limites de integrac¸a˜o de
∫∫
f r drdθ, procedemos de ma-
neira usual: dado um θ fixo, encontramos os correspondentes valores inicial e final de r,
varrendo a regia˜o por raios.
Aplicac¸o˜es.
1) A a´rea da regia˜o R e´
∫∫
R
1dA. Tambe´m a massa total de um objeto plano com densidade
δ = lim
∆A→0
∆m/∆A (massa por unidade de a´rea, δ = δ(x, y)) e´ dado por:∫∫
R
δdA
onde δ e´ constante se o material for uniforme
2) Lembre-se que o valor me´dio de f sobre R e´ f =
1
a´rea
∫∫
R
f dA. Em particular, o
centro de massa ( ou centro´ide, se δ for constante) de uma chapa de densidade δ e´
dado pela me´dia ponderada
x =
1
massa
∫∫
R
x δ dA e y =
1
massa
∫∫
R
y δ dA
∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 7 Summary
2
Outra aplicac¸a˜o e´ o momento de ine´rcia, que e´ o equivalente f´ısico da massa para os
movimentos de rotac¸a˜o. De fato, a massa mede a dificuldade de aumentar a acelerac¸a˜o no
movimento de translac¸a˜o; ja´ o momento de ine´rcia (em relac¸a˜o a um eixo) mede a dificuldade
de aumentar a acelerac¸a˜o angular no movimento de rotac¸a˜o (em torno do eixo).
Ide´ia: a energia cine´tica de uma u´nica part´ıcula de massa m, a
uma distaˆncia r do eixo de rotac¸a˜o e girando com velidade angular
ω = dθ/dt (e velocidade v = rω) e´ dada por 1
2
mv2 = 1
2
mr2ω2.
Definimos enta˜o o momento de ine´rica da part´ıcula por I0 = mr
2,
de maneira que a energia cine´tica e´ igual a e´ 1
2
I0ω
2
Para uma chapa R no plano Oxy girando em torno do eixo Oz e de densidade δ, o
momento de ine´rcia e´ dado por I0 =
∫∫
R
r2 δ dA. Nesse caso, se a chapa gira com velocidade
angular ω, enta˜o a sua energia cine´tica e 1
2
I0ω
2.
Se a rotac¸a˜o da chapa for em torno de algum
outro eixo, enta˜o o momento de ine´rcia e´ dado por
I =
∫∫
R
(distaˆncia ao eixo)2 δ dA. Por exemplo, se a
rotac¸a˜o for em torno do eixo Ox, como ilustrado ao lado,
a distaˆncia e´ |y|, e portanto
Ix =
∫∫
R
y2 δ dA.
Exemplo 2 Calcular o momento de ine´rcia do disco de raio a,
ilustrado ao lado, com densidade δ = 1 e girando em torno de
seu centro.
Soluc¸a˜o. Nesse caso, o momento de ine´rcia e´∫ 2pi
0
∫ a
0
r2 r drdθ = 2pi
[
r4
4
]a
0
=
pia4
2
.
�
Exemplo 3 Calcular o momento de ine´rcia do mesmo disco do exemplo anterior, mas
girando em torno de um ponto sobre a circunfeˆncia x2 + y2 = 1.
Soluc¸a˜o. Coloque a origem sobre o ponto de rotac¸a˜o
e com o diaˆmetro sobre o eixo Ox, como ilustrado ao
lado. Enta˜o a equac¸a˜o do disco e´ (x − 1)2 + y2 ≤ 1,
que em coordenadas polares corresponde a r ≤ 2a cos θ
com −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2. Ale´m disso, a distaˆncia do ponto
(x, y) ao eixo de rotac¸a˜o e´ exatamente r. Da´ı segue que
o momento de ine´rcia e´ dado por
I0 =
∫ pi/2
−pi/2
∫ 2a cos θ
0
r2 r drdθ = ... =
3
2
pia4
�