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MIT OpenCourseWare Multivariable Calculus, Fall 2007 Prof. Denis Auroux Notas de Aula∗ Aula 17 Integrac¸a˜o em Coordenadas Polares A relac¸a˜o entre as coordenadas cartesianas (x, y) e as coor- denadas polares (r, θ) e´ dada por x = r cos θ e y = r sen θ. Essa transformac¸a˜o e´ u´til quando o integrando ou a regia˜o de integrac¸a˜o possuem uma expressa˜o mais simples em coordenadas polares. O elemento de a´rea dessa transformac¸a˜o e´ ∆A ≈ (r∆θ)∆r, conforme ilustra a figura ao lado. No limite, com ∆θ,∆r → 0, obtemos dA = rdrdθ. Exemplo 1 A integral da func¸a˜o f(x, y) = (1−x2− y2) sobre a regia˜o do disco x2 + y2 ≤ 1 que esta´ no primeiro quadrante e´ dada por∫∫ x2+y2≤1, x≥0, y≥0 (1− x2 − y2)dxdy = ∫ pi/2 0 ∫ 1 0 (1− r2)r drdθ = ∫ pi/2 0 ([ 1 2 r2 − 1 4 r4 ]1 0 ) dθ = ∫ pi/2 0 1 4 dθ = pi 8 Em geral, na determinac¸a˜o dos limites de integrac¸a˜o de ∫∫ f r drdθ, procedemos de ma- neira usual: dado um θ fixo, encontramos os correspondentes valores inicial e final de r, varrendo a regia˜o por raios. Aplicac¸o˜es. 1) A a´rea da regia˜o R e´ ∫∫ R 1dA. Tambe´m a massa total de um objeto plano com densidade δ = lim ∆A→0 ∆m/∆A (massa por unidade de a´rea, δ = δ(x, y)) e´ dado por:∫∫ R δdA onde δ e´ constante se o material for uniforme 2) Lembre-se que o valor me´dio de f sobre R e´ f = 1 a´rea ∫∫ R f dA. Em particular, o centro de massa ( ou centro´ide, se δ for constante) de uma chapa de densidade δ e´ dado pela me´dia ponderada x = 1 massa ∫∫ R x δ dA e y = 1 massa ∫∫ R y δ dA ∗Traduc¸a˜o livre, por Andre´ von Borries Lopes, de parte do texto Lecture Notes - Week 7 Summary 2 Outra aplicac¸a˜o e´ o momento de ine´rcia, que e´ o equivalente f´ısico da massa para os movimentos de rotac¸a˜o. De fato, a massa mede a dificuldade de aumentar a acelerac¸a˜o no movimento de translac¸a˜o; ja´ o momento de ine´rcia (em relac¸a˜o a um eixo) mede a dificuldade de aumentar a acelerac¸a˜o angular no movimento de rotac¸a˜o (em torno do eixo). Ide´ia: a energia cine´tica de uma u´nica part´ıcula de massa m, a uma distaˆncia r do eixo de rotac¸a˜o e girando com velidade angular ω = dθ/dt (e velocidade v = rω) e´ dada por 1 2 mv2 = 1 2 mr2ω2. Definimos enta˜o o momento de ine´rica da part´ıcula por I0 = mr 2, de maneira que a energia cine´tica e´ igual a e´ 1 2 I0ω 2 Para uma chapa R no plano Oxy girando em torno do eixo Oz e de densidade δ, o momento de ine´rcia e´ dado por I0 = ∫∫ R r2 δ dA. Nesse caso, se a chapa gira com velocidade angular ω, enta˜o a sua energia cine´tica e 1 2 I0ω 2. Se a rotac¸a˜o da chapa for em torno de algum outro eixo, enta˜o o momento de ine´rcia e´ dado por I = ∫∫ R (distaˆncia ao eixo)2 δ dA. Por exemplo, se a rotac¸a˜o for em torno do eixo Ox, como ilustrado ao lado, a distaˆncia e´ |y|, e portanto Ix = ∫∫ R y2 δ dA. Exemplo 2 Calcular o momento de ine´rcia do disco de raio a, ilustrado ao lado, com densidade δ = 1 e girando em torno de seu centro. Soluc¸a˜o. Nesse caso, o momento de ine´rcia e´∫ 2pi 0 ∫ a 0 r2 r drdθ = 2pi [ r4 4 ]a 0 = pia4 2 . � Exemplo 3 Calcular o momento de ine´rcia do mesmo disco do exemplo anterior, mas girando em torno de um ponto sobre a circunfeˆncia x2 + y2 = 1. Soluc¸a˜o. Coloque a origem sobre o ponto de rotac¸a˜o e com o diaˆmetro sobre o eixo Ox, como ilustrado ao lado. Enta˜o a equac¸a˜o do disco e´ (x − 1)2 + y2 ≤ 1, que em coordenadas polares corresponde a r ≤ 2a cos θ com −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2. Ale´m disso, a distaˆncia do ponto (x, y) ao eixo de rotac¸a˜o e´ exatamente r. Da´ı segue que o momento de ine´rcia e´ dado por I0 = ∫ pi/2 −pi/2 ∫ 2a cos θ 0 r2 r drdθ = ... = 3 2 pia4 �
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