Cálculo 3 Lista 3 gabarito

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 3 2.o/2017
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Seja Q o so´lido limitado pelos gra´ficos das equac¸o˜es 2x + 2y + z = 1 e z = 3 − x2 − y2,
e indique por M a massa de Q com densidade δ0 = 1. De acordo com a figura, o so´lido e´ a
regia˜o entre os gra´ficos de duas func¸o˜es f, g : D → R, definidas em algum domı´nio D ⊂ R2.
C E a) O domı´nio D e´ um disco.
C E b) Q e´ o conjunto dos pontos (x, y, z) em que
(x, y) ∈ D e 3− x2 − y2 ≤ z ≤ 1− 2x− 2y .
C E c) A mudanc¸a g(u, v) = (u + 1, v + 1) simplifica
o ca´lculo da massa M .
C E d) Calculando obte´m-se que M < 10pi.
C E e) A coordenada x do centro de massa e´ tal que
x < 1/2.
2) Indique porD a calota circular ilustrada na figura e por A(x0) a sua a´rea, onde 0 ≤ x0 ≤ 2.
Feito o ca´lculo, os valores de A(0) e A(2) podem ser comparados com as expresso˜es das a´reas
nos casos em que x0=0 e x0=2, expresso˜es que podem ser deduzidos diretamente da figura.
x0 2
D
a) Descreva D em coordenadas cartesianas.
Resposta: D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ R2 e x ≥ x0}
b) Descreva a reta x = x0 em coordenadas polares.
Resposta: x0 = x = r cos(θ)⇒ r = x0/ cos(θ).
c) Descreva D em coordenadas polares.
Resposta: D̂ = {(r, θ) ∈ R
2;−θ0 ≤ θ ≤ θ0 e x0/ cos(θ) ≤ r ≤ R}
onde θ0 = arccos(x0/R)
d) Calcule a a´rea A(x0).
Resposta: A(x0) = R
2 arccos(x0/R)− x0
√
R2 − x20
e) Verifique o resultado do item anterior comparando os valores de A(0) e A(2) com
aqueles deduzidos diretamente da figura.
Resposta: A(0) = R2pi/2 = 1/2 da a´rea do disco e A(R) = 0, pois arccos(0) = pi2 e arccos(1) = 0
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3) Apesar da func¸a˜o e−x
2
na˜o ter uma primitiva elementar, a integral
∫∞
0
e−x
2
dx pode ser
calculada usando coordenadas polares e que e−x
2
e−y
2
= e−(x
2+y2). De fato, tem-se que∫ ∞
0
e−x
2
dx
∫ ∞
0
e−y
2
dy =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−(x
2+y2) dxdy = lim
a→∞
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy
onde o integrando sugere o uso de coordenadas polares. Nesse sentido, sejam R1 e R2 as
regio˜es no primeiro quadrante limitadas pelos c´ırculos de raios a e
√
2 a, conforme a figura.
a) Use coordenadas polares para calcular a integral
de e−(x
2+y2) sobre a regia˜o R1.
Resposta:
∫∫
R1
e−(x
2+y2) dxdy = pi4 (1− e−a
2
)
b) Repita o mesmo ca´lculo para a regia˜o R2.
Resposta:
∫∫
R2
e−(x
2+y2) dxdy = pi4 (1− e−2a
2
)
a
√
2a
R1 R2
c) Determine func¸o˜es g1(a) e g2(a) tais que g1(a) <
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy < g2(a).
Resposta: g1(a) =
pi
4 (1− e−a
2
) e g2(a) =
pi
4 (1− e−2a
2
)
d) Use o item anterior para calcular o limite lima→∞
∫ a
0
∫ a
0
e−(x
2+y2) dxdy.
Resposta: lima→∞
∫ a
0
∫ a
0 e
−(x2+y2) dxdy = pi4
e) Calcule finalmente o valor da integral
∫∞
0
e−x
2
dx.
Resposta:
∫∞
0
e−x
2
dx =
√
pi
2
4) Considere uma chapa CR limitada pela circunfereˆncia x
2 + y2 = R2, com densidade cons-
tante δ0, uma part´ıcula de massa m0 situada no ponto (0, 0, b) e o problema de determinar a
forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional entre esses corpos. Denote por G a constante gravitacional e
por dF (x, y) a forc¸a de atrac¸a˜o entre a part´ıcula e o elemento de massa dm(x, y) = δ0 dxdy
do ponto (x, y). Observe que, por simetria, as componentes horizontais de dF (x, y) e
dF (−x,−y) se cancelam, restando apenas as componentes verticais dessas forc¸as.
b
R
a) Use a lei de Newton para calcular ‖dF (x, y)‖.
Resposta: ‖dF (x, y)‖ = Gm0dm(x,y)(x2+y2+b2)
b) Determine o vetor unita´rio U(x, y) na mesma direc¸a˜o do vetor
de ponto inicial(0, 0, b) e ponto final (x, y, 0).
Resposta: U(x, y) = (x,y,−b)√
(x2+y2+b2)
c) Usando que dF (x, y) = ‖dF (x, y)‖ U(x, y), determine a
componente vertical dFv(x, y) de dF (x, y).
Resposta: dFv(x, y) = −Gm0 dm(x, y) b (x2 + y2 + b2)−(3/2)
d) Calcule a forc¸a de atrac¸a˜o entre CR e a part´ıcula usando um argumento infinitesimal.
Resposta: 2piGm0δ0[b(R
2 + b2)−1/2 − 1]
e) Passando o limite com R → ∞, verifique que a forc¸a de atrac¸a˜o entre a part´ıcula e
todo o plano Oxy, com densidade δ0, na˜o depende da distaˆncia b da part´ıcula ao plano.
Resposta: −2piGm0δ0
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